MATEMATIKA 7. SZERKESZTÉS ALATT. Megoldások. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Átírás

1 MATEMATIKA. Megoldások Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

2 A kiadvány megfelel az /0. (XII..) EMMI rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv az általános iskolák 8. évfolyama számára..0. előírásainak. Tananyagfejlesztő: GEDEON VERONIKA, PARÓCZAY ESZTER, SZÁMADÓ LÁSZLÓ, TAMÁS BEÁTA, DR. WINTSCHE GERGELY Alkotószerkesztő: DR. WINTSCHE GERGELY Vezetőszerkesztő: TÓTHNÉ SZALONTAY ANNA Tudományos szakmai szakértő: RÓZSAHEGYINÉ DR. VÁSÁRHELYI ÉVA Pedagógiai szakértő: ILLÉS JÁNOS Olvasószerkesztő: DARCSINÉ MOLNÁR EDINA Fedélterv: OROSZ ADÉL Látvány és tipográfiai terv: GADOS LÁSZLÓ, OROSZ ADÉL IIlusztráció: LÉTAI MÁRTON Szakábra: SZALÓKI DEZSŐ Fotók: Flickr, MorgueFile, Pixabay, WikimediaCommons, Wikipedia, Dominic Alves, Kováts Borbála, Louis K., Márton Tünde, Wintsche Gergely, Wolfgang Lonien A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet A kiadásért felel: dr. Kaposi József főigazgató Raktári szám: FI0000 Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála, Márton Tünde Nyomdai előkészítés: Gados László Terjedelem:, (A/ ív), tömeg:, gramm. kiadás, 0 A kísérleti tankönyvek az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program..B/0000 számú, A Nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és Nemzeti Köznevelési Portál fejlesztése című projektje keretében készült. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg. Nyomtatta és kötötte: Felelős vezető: A nyomdai megrendelés törzsszáma: Európai Szociális Alap

3 Tartalom

4

5 GONDOLKODJUNK! ES Z TÉ S A LA TT I. SZ ER K Esztert és Kristófot első hallásra nem hozta lázba a kötelező tanulmányi kirándulás híre. Láttad, hogy Judit néni még azt is előírta, hogy előadást tartsunk a többieknek? fordult Eszter Kristófhoz. Kristóf csak bólogatott, de nem válaszolt, mert teljesen elmerült annak az új téridőtrafónak a tanulmányozásában, amit az iskola egy nemzetközi pályázaton nyert. A szerkezet lehetővé tette, hogy az osztály néhány tagja a kirándulás alkalmával szabadon mozogjon a térben és az időben. A kezdeti unott várakozást és az első téridőutazást követően Kristóf úgy fordult Eszterhez, mintha csak az egy nappal korábban feltett kérdésére válaszolna, bár ez alkalommal elégedett mosoly terült szét az arcán. Azt hittem, halálosan unalmas lesz, de ez elképesztő volt! Láttuk Arisztotelészt meg Alexandroszt fiatalon. Ott sétáltak előttünk, akár meg is tudtuk volna érinteni őket! És az a fordítókütyü, amit kaptunk, Attila eddigi legjobban sikerült szerkezete! Érdekes volt hallani, amikor Arisztotelész arról magyarázott, hogyan emlékezünk azokra a dolgokra, amiket korábban érzékeltünk, és hogy tulajdonképpen ebből következik az, hogy tudunk valamit mondta Eszter elgondolkodva. Kár, hogy utána a katonák elvitték a kis Nagy Sándort vívóedzésre. Rémes, hogy még be sem jelölhetem facebookon! nevetett Kristófra, aki lelkesen böngészte a következő utazás kiírását a neten.

6 I. Számold össze! Feladatok Válaszolj a kérdésekre! a) Hány darab kétjegyű páros szám van? b) Hány darab háromjegyű páratlan szám van? c) Hány darab négyjegyű öttel osztható szám van? a) 0től ig összesen 0 darab kétjegyű szám van, ebből minden második páros. Azaz ilyen szám van. b) 00től ig összesen 00 darab háromjegyű szám van, ebből minden második páratlan. Azaz 0 ilyen szám van. c) 000től ig összesen 000 darab négyjegyű szám van, ebből minden ötödik osztható öttel. Azaz 800 ilyen szám van. Nekeresdiában csak öt betű van: két magánhangzó és három mássalhangzó. Minden szó hárombetűs, és pontosan egy magánhangzót tartalmaz. Hány szó lehet összesen Nekeresdiában? Legyen az öt betű: a, b, c, d, e. A három mássalhangzóból kettőt kell választanunk: bb, bc, bd, cc, cd, dd. Ezekhez vagy az a, vagy az e magánhangzót hozzá kell tennünk. A három különböző betűt hatféleképpen tudjuk sorba rendezni. Ha a szóban van két egyforma betű, akkor háromféle sorba rendezés van. Így a darabszám: ^ h. Vagyis szó van Nekeresdiában. Egy társasjátékban annyit léphetsz előre a bábuddal, amennyit a dobókockával dobsz. A startmező sorszáma 0. a) Hányas sorszámú mezőkön állhat a bábud, ha már háromszor dobtál? b) Hányas sorszámú mezőkön állhatott közben a bábud, ha a harmadik dobás után a es mezőre került? c) Hányas sorszámú mezőkön állhatott közben a bábud, ha a harmadik dobás után a es mezőre került? a) A legrosszabb esetben mindháromszor est dobtunk, ekkor a as mezőn áll a bábu, a legjobb esetben pedig három ost, ekkor a bábu a 8as mezőn áll. A két szám között mindegyik mezőre eljuthattunk. b) A es mezőre csak úgy juthat el a bábu, ha két ost és egy öst dobtunk. Az érintett mezők sorszámai esetenként: az első dobás ös:,, ; a második dobás ös:,, ; a harmadik dobás ös:,,. Tehát a bábu az.,.,.,. sorszámú mezőkön állhatott. Gondolkodjunk!

7 Számold össze! I. c) A három dobásból az első től ig bármi lehet, mert utána a bábu akár a es, akár a 8as mező érintésével két dobásból eljuthat a es mezőre. Tehát a bábu től 8ig bármelyik sorszámú mezőn állhatott. Növekedő számsort kell készítened pozitív egész számokból. A számsorban a 0 legyen a legnagyobb szám, és az nek is szerepelnie kell benne. Az öttel osztható számok elé mindig pontosan egy darab nem öttel osztható számot kell írnod. Hányféle számsort tudsz készíteni? A számsor mindig hosszúságú lesz, a második tagja az, a negyedik, egyben utolsó tagja pedig a 0. A növekedés miatt az elé írható számok:,,, ; a 0 elé írható számok:,, 8,. Ezért ilyen számsor készíthető. Válaszolj a kérdésekre! a) Hány egyenes jelöli ki a sakktábla négyzetrácsát? b) Hány darab négyzetet határoznak meg a sakktáblát kijelölő egyenesek? a) 8 egyenes jelöli ki a sakktábla négyzetrácsát. b) A sakktáblára 8 különböző méretű négyzet rajzolható. Ha a legkisebb négyzetet a bal felső sarokba rajzoljuk, akkor vízszintesen és függőlegesen is nyolc helyre tolhatjuk el. Az összes lehetséges helyzet figyelembevételével esetet kapunk. A különböző méretű négyzeteket hasonlóan végiggondolva összesen 0 négyzetet kapunk. Tehát a sakktáblát kijelölő egyenesek 0 négyzetet határoznak meg. Figyeld meg a korábbi ábrán Dürer Melankólia című metszetét, majd válaszolj az alábbi kérdésekre! a) Mennyi a bűvös száma a metszeten látható négyszer négyes bűvös négyzetnek? b) Mennyi a számok összege a besatírozott mezőkben? a) A bűvös szám:. b) 8 Gondolkodjunk!

8 I. Számold össze! 0 8 Liza szobájából a szemközti házon háromszor négy ablak látható. Este megfigyelte, hogy ezek közül négy mögött nem ég a villany. A sötét ablakok sem sarkukkal, sem oldalukkal nem érintkeznek. Hányféleképpen helyezkedhet el ez a négy ablak? Rajzolj a füzetedbe! A négy sötét ablak csak úgy helyezkedhet el, hogy kettő a felső és kettő az alsó emeleten van. Egy sorban három lehetőség van: Ezek közül bármelyik lehet a felső és az alsó sorban is, így eset lehetséges. 8 Gondolkodjunk!

9 Számold össze! I. 8 Az ábrán egy olyan, négyzet alakú ablakokból álló sorozat első négy elemét látjuk, amelyekre rácsot terveztek. Az első ablakot a rács két, a második ablakot hat egyforma részre osztja, és így tovább. a) Hány darab függőleges szakaszból állna a rács a hetedik ablakon? b) Hány darab vízszintes szakaszból állna a rács a nyolcadik ablakon? c) Hány részre osztaná a rács a tizedik ablakot? d) Hány cm lenne egy kis téglalap területe az ötödik ablakon, ha az eredeti ablak, m területű? e) Hányadik ablakot osztaná a rács 00 részre? a) függőleges szakaszból. b) vízszintes szakaszból. c) Az. ablakot, a. ablakot, a harmadik ablakot, a sorozatot folytatva a 0. ablakot 0 0 részre osztaná a rács. d) Az ötödik ablak 0 kis téglalapból áll, ezért egy téglalap 00 : 0 80 cm területű lenne. e) 00 00, vagyis a. ablakot osztaná a rács ennyi részre Gondolkodjunk!

10 I. Rendezd sorba! Feladatok Készíts háromjegyű számokat a képen látható számkártyák mindegyikének felhasználásával! Sorold fel az összes esetet! Hány esetben kaptál négyzetszámot? A háromjegyű számok:,,,,,. Ezek közül négyzetszámok:,,. Hányféle sorrendben rakhatod egymás mellé a következő szavak betűit? A megoldások között értelmes szavak is lesznek. Írd le ezeket! a) RÉT; b) ADNI; c) TAPOS. a) féleképpen. Értelmes szavak: RÉT, TÉR, ÉRT, TRÉ. b) féleképpen. Értelmes szavak: ADNI, ANDI, DANI, INDA, INAD. (Esetleg: ANID, DINA.) c) 0féleképpen. Értelmes szavak: TAPOS, POSTA. Lázár Ervin A Négyszögletű Kerek Erdő című mesekönyvében olvashatsz arról, hogy az erdő lakói költői versenyt rendeztek. Szerették volna eldönteni, hogy ki a legnagyobb költő közöttük. Nagyon sok vers született. Bruckner Szigfrid ezt írta: Ej, mi a kő! tyúkanyó, kend a szobában lakik itt bent? Miután a többiek elmagyarázták neki, hogy ez nem az ő verse, a következő változattal állt elő: Ej, kend, tyúkanyó, mi a kő, itt bent lakik a szobában? Hányféle változatot írhatott volna ilyen módon Bruckner Szigfrid, ha csak soronként keverte össze a szavakat, és a kő és a szobában szavak előtt az a névelőt mindig megtartotta? Az első sorban lévő öt szót 0, a második sorban lévő négy szót pedig féleképpen keverhette össze Szigfrid. Ez összesen különböző vers, de ezek közül egy az eredeti, ezért 8 féle változatot írhatott volna. 0 Gondolkodjunk!

11 Rendezd sorba! I. A 8 egy olyan kilencjegyű szám, amelyikben az összes pozitív számjegy szerepel. Hány ilyen kilencjegyű szám készíthető, ha először a páros, aztán a páratlan számjegyeket kell felhasználnod? A négy páros számjegy, az öt páratlan számjegy 0féleképpen rendezhető sorba. Ez összesen különböző szám. Az iskolai verseny döntőjébe a tíz legjobb sakkozó került. Hányféleképpen alakulhat az arany, ezüst, bronzérem kiosztása? Az aranyérmet 0, az ezüstérmet a maradék, a bronzérmet a maradék 8 versenyző bármelyike kaphatta. Ez összesen lehetséges éremosztás. Hány különböző ötjegyű számot tudsz előállítani a 0,,,, számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával? A nullát nem tehetjük az első helyre, mert akkor négyjegyű számot kapunk. A tízezresek helyére, az ezresekére, a százasokéra, a tízesekére, az egyesekére számot írhatunk. Ez összesen különböző ötjegyű szám. Gondolkodjunk!

12 I. Kiválasztások Feladatok Hány olyan nyolcjegyű szám van, amelynek számjegyei csökkenő sorrendben követik egymást? A 8 0 számból kell kihúznunk két számjegyet, így a feltételeknek megfelelő számot kapunk. Elsőként bármelyiket kihúzhatjuk. Ez 0 lehetőség. Másodikra bármelyiket a megmaradt ből. Ez öszszesen 0 0 eset. Így azonban minden esetet kétszer számoltunk, vagyis 0 : különböző kihúzás lehetséges. Tehát olyan nyolcjegyű szám van, amely megfelel a feltételeknek. Egy nyolcszemélyes társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Hány kézfogás történt összesen? Mindenki hét emberrel fogott kezet, így viszont minden kézfogást kétszer számoltunk. Tehát összesen 8 8 kézfogás történt. Hét pont úgy helyezkedik el a síkon, hogy semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre. Hány darab szakaszt kell rajzolnod, ha minden lehetséges módon összekötöd őket? Mind a hét pontból hat különböző szakasz rajzolható, így viszont minden szakaszt kétszer számoltunk. Tehát összesen szakasz rajzolható. Egy fős csoportban mozijegyet kell kiosztani. Egynél több jegyet senki nem kaphat. Hányféle kiosztás lehetséges? 0 x Válasszuk ki azt a két főt, akik nem kapnak mozijegyet! Az egyik, a másik a maradék ember közül kerülhet ki, így viszont minden párt kétszer számoltunk. Összesen 0féle kiosztás lehetséges. y A A B B C C Gondolkodjunk!

13 Kiválasztások I. Az iskolai pályázatra öt pályamű érkezett. A három legjobbat díjazzák. A díjakat nem különböztetik meg egymástól. Hányféleképpen történhet a díjazás? Legyen az öt versenyző A, B, C, D és E. A díjazottak lehetnek: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE. Vagyis a díjazás 0féleképpen történhet. Egy társasjátékhoz hat darab különböző színű bábu tartozik: piros, zöld, fehér, sárga, lila és fekete. Hárman szeretnének játszani, ezért három bábut kell kiválasztani. Hányféleképpen lehet ezt megtenni? Sorold fel az eseteket! A hat szín rövidítve: p, z, f, s, l, (feket)e. Vizsgáljuk a következő két esetet:. eset: Van piros a kiválasztott bábuk közt: pzf, pzs, pzl, pze, pfs, pfl, pfe, psl, pse, ple.. eset: Nincsen köztük piros: zfs, zfl, zfe, zsl, zse, zle, fsl, fse, fle, sle. Mindkét esetben 0 különböző bábuhármast választhattunk, vagyis összesen 0féleképpen lehet a három bábut kiválasztani. Egy sakkfeladványt öt bábuval lehet kirakni a sakktáblára: három világossal és két sötéttel. Tudjuk, hogy a világos és a sötét királynak is a táblán kell lennie, továbbá nem lehet két azonos világos bábu a táblán. Hányféle kiválasztása lehet a bábuknak egy ilyen feladvány esetén? A lehetséges figurák a király, vezér, bástya, huszár, futó és a gyalog. A királyok a táblán vannak, ezért csak a maradék három bábut kell kiválasztanunk hozzá. A fehérek esetében az öt bábuból tízféleképpen választhatunk kettőt, a fekete király mellé pedig a fekete bábu az ötféle egyike lesz. Ez összesen 0 0féle kiválasztás. Gondolkodjunk!

14 I. Igazold! Cáfold! Feladatok Döntsd el a tankönyv. példájában szereplő mondatokról és megfordításaikról, hogy igazak vagy hamisak! A hamis állításokat cáfold! a) Ha egy állat ló, akkor négylábú. I A megfordítása: Ha egy állat négylábú, akkor ló. H A róka is négylábú és nem ló. b) Ha egy négyszög rombusz, akkor tengelyesen tükrös. I A megfordítása: Ha egy négyszög tengelyesen tükrös, akkor rombusz. H A deltoidok tengelyesen tükrösek, de nem feltétlenül rombuszok. c) Ha egy szám pozitív egész szám, akkor a reciproka pozitív tört szám. H Az pozitív és egész, de a reciproka nem tört. A megfordítása: Ha egy szám pozitív tört szám, akkor a reciproka pozitív egész szám. H Az, pozitív és tört, de a reciproka nem egész. Fogalmazd meg a következő állítások megfordítását! Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis! Az igaz állításokat igazold, a hamisakat cáfold! a) Ha egy négyszög minden oldala egyenlő, akkor az négyzet. b) Ha egy egész szám re végződik, akkor osztható tel. c) Ha egy állatnak hat lába van, akkor az rovar. d) Ha egy négyszögnek van szimmetriatengelye, akkor az deltoid. a) Ha egy négyszög négyzet, akkor minden oldala egyenlő. Igaz, mert a négyzet minden oldala egyenlő. b) Ha egy szám tel osztható, akkor re végződik. Hamis, mert nullára is végződhet. c) Ha egy állat rovar, akkor hat lába van. Igaz, mert a rovaroknak hat lába van. d) Ha egy négyszög deltoid, akkor van szimmetriatengelye. Igaz, mert minden deltoid tengelyesen szimmetrikus négyszög. Gondolkodjunk!

15 Igazold! Cáfold! I. Tudunk mondani olyan igaz állításokat, amelyeknek a megfordítása is igaz. Például: Ha egy pozitív egész szám osztható tel, akkor az utolsó számjegye 0 vagy. Ha egy pozitív egész szám utolsó számjegye 0 vagy, akkor osztható tel. Ilyenkor a két mondatot egy igaz állításként is megfogalmazhatjuk: Egy pozitív egész szám akkor és csak akkor osztható tel, ha utolsó jegye 0 vagy. Fogalmazd meg a következő állítások megfordítását! Ha az eredeti állítás és a megfordítása is igaz, akkor fogalmazd meg őket egy igaz állításként! a) Ha egy négyszög deltoid, akkor a kétkét szomszédos oldala egyenlő hosszúságú. b) Ha egy szám osztható vel, akkor osztható gyel. c) Ha egy háromszög két oldala egyenlő hosszúságú, akkor tengelyesen szimmetrikus. d) Ha egy szám osztható tel, akkor osztható mal és tel. a) Ha egy négyszög kétkét szomszédos oldala egyenlő hosszúságú, akkor deltoid. Egy négyszög akkor és csak akkor deltoid, ha kétkét szomszédos oldala egyenlő hosszúságú. b) Ha egy szám osztható gyel, akkor osztható vel. c) Ha egy háromszög tengelyesen szimmetrikus, akkor két oldala egyenlő hosszúságú. Egy háromszög két oldala akkor és csak akkor egyenlő hosszúságú, ha tengelyesen szimmetrikus. d) Ha egy szám osztható mal és tel is, akkor osztható tel. Egy szám akkor és csak akkor osztható tel, ha osztható mal és tel is. A Minden négyzet téglalap állítás tagadása: Nem igaz, hogy minden négyzet téglalap. Ezt a mondatot így is mondhatjuk: Van olyan négyzet, amelyik nem téglalap. Az eredeti állítás igaz, a tagadása hamis! A fentiek alapján fogalmazd meg a következő állítások tagadását! Döntsd el, hogy melyik igaz, melyik hamis! a) Minden paralelogramma rombusz. b) Minden bogár rovar. c) Minden kocka téglatest. a) Van olyan paralelogramma, ami nem rombusz. I b) Van olyan bogár, ami nem rovar. H c) Van olyan kocka, ami nem téglatest. H Gondolkodjunk!

16 I. Igazold! Cáfold! A Nincs olyan háromszög, amelyben két tom paszög van állítás tagadása: Nem igaz, hogy nincs olyan háromszög, amelyben két tompaszög van. Ezt a mondatot így is mondhatjuk: Van olyan háromszög, amelyben két tompaszög van. Az eredeti állítás igaz, a tagadása hamis! A fentiek alapján fogalmazd meg a következő állítások tagadását! Dönts, hogy melyik igaz, melyik hamis! a) Nincs olyan háromszög, amelyben két derékszög van. b) Nincs olyan állat, amelyiknek nyolc lába van. c) Nincs olyan test, amelyiknek hat lapja van. a) Van olyan háromszög, amelyben két derékszög van. H b) Van olyan állat, amelyiknek nyolc lába van. I c) Van olyan test, amelyiknek hat lapja van. I Gondolkodjunk!

17 Matematikai játékok I. Feladatok Dóri és Zsombi továbbra is a lecke első játékát játsszák. a) Zsombi kimondta a et. Mit mondjon Dóri, hogy megnyerje a játékot? b) Dóri kimondta a os számot. Hányféle befejezése van innen a játéknak, ha Dóri már nem rontja el, és ő nyeri a játékot? c) Zsombi kimondta a es számot. Hányféle befejezése van innen a játéknak, ha Dóri már nem rontja el, és ő nyeri a játékot? a) Dóri mondjon 0at, ekkor Zsombi biztosan veszíteni fog a legalább gyel. b) Zsombi et, 8at vagy et mond, utána Dóri 0at, ezután Zsombi kénytelen kimondani a et, így veszített. c) Dóri ot mond, onnantól pedig az a) rész megoldása szerint zajlik a játék tovább. Hogyan változik a taktikád a lecke első játékában, ha a) az előző számot maximum gyel lehet növelni, és a et nem szabad túllépni? b) az előző számot maximum tal lehet növelni, és a 0et nem szabad túllépni? a) A nyerő stratégia a 0,, 0,, 0, kimondása. Tehát a kezdés lehetőségét érdemes átadni a másik félnek. b) A nyerő stratégia a,,, 8,,, kimondása, ezért a kezdés lehetőségét át kell engedni a másik félnek. Gondold tovább a lecke második játékában megkezdett játszmát! Véleményed szerint ki fog nyerni? Az nyer, aki a jobb szélső kupakot a saját lépéseinél a tetejére fordítja. Gondolkodjunk!

18 I. Matematikai játékok A lecke második játékában megismert szabályokkal kell játszanod. Szeretnél kezdeni? Válaszodat indokold, és rajzold le a folytatást a füzetedbe! a) b) c) d) a) Nem szeretnénk kezdeni. Folytatás (F felfordított kupak, R rendesen álló) : RRRFF; RRRRR. b) Szeretnénk kezdeni. Folytatás: RRRFR; RRRRF; RRRRR. c) Szeretnénk kezdeni. Folytatás: RRFFR; RRRRF; RRRRR. d) Szeretnénk kezdeni. Folytatás: RFFFR; RRRRF; RRRRR. 8 Gondolkodjunk!

19 Összefoglalás I. Feladatok Írd fe a 0,, számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával képezhető összes a) páros számot; b) páratlan számot; c) öttel osztható számot! a) 0, 0, 0 b) 0 c) 0, 0 Válaszolj az alábbi kérdésekre! a) Hányféle sorrendben helyezheted egymásra az ötödikes matematikakönyved, a munkafüzeted, a hatodikos matematikakönyved és a munkafüzeted? b) Az előző kupac tetejére ráteszed a hetedikes matematikakönyvedet és a munkafüzetedet is. Így hányféle sorrend alakulhat ki összesen? a) A legalsó helyre négy könyv közül választhatok, rá a maradék háromból tehetem az egyiket, majd kettő közül választok, végül a maradék negyediket teszem a tetejére. Ez összesen féle sorrend. b) A két tankönyvet kétféleképpen tehetem a kupac tetejére, ez megkétszerezi az eddigi sorrendek számát, vagyis 8féle sorrend alakulhat ki. Hányféle betűsor készíthető az Á, I, D, K betűk mindegyikének egyszeri felhasználásával? Hány értelmes szó keletkezett így? Az. feladat a) megoldása szerint gondolkozva féle betűsor készíthető. Ezek közül az értelmesek: DIÁK, KÁDI. Esetleg még elfogadható: KIÁD (kiad régiesen), ÁDIK (Ádámok becézve), ÁKID (Ákosod becézve), IDÁK. Egy barátságos tornán öt labdarúgócsapat vett részt. a) Hányféle sorrendben végezhettek? b) Hányféle sorrendben végezhettek, ha a két legesélyesebbnek kikiáltott csapat valóban az első két helyet szerezte meg? a) 0féle sorrendben végezhettek. b) Az első két helyezés kétféleképpen alakulhatott, az utolsó három helyezés pedig féleképpen. Tehát a torna végére összesen féle sorrend alakulhatott ki. Gondolkodjunk!

20 I. Összefoglalás Hány darab 0 000nél nagyobb tel osztható szám készíthető az,,,, számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával? A szám akkor lesz nagyobb 0 000nél, ha az első számjegye mindig a es. Az öttel való oszthatóság miatt pedig az egyesek helyére csak az ös kerülhet. A középső három helyi értékre a maradék három számjegy tetszőleges sorrendben letehető, így ilyen szám készíthető:,,,,,. Az ABCDEFGHIJ tízszög csúcsaiból nyolcat kell választanod. Hány nyolcszöget kaphatsz ilyen módon? Ha az összes lehetséges módon kihúzzuk azt a két csúcsot a betűsorozatból, amit nem választunk a nyolcszög megrajzolásához, akkor megkapjuk a kérdésre a választ. Ezt összesen 0 féle módon tehetjük meg, vagyis nyolcszöget kaptunk. A 8 fős osztályban egy osztálytitkárt, egy sportfelelőst és egy gazdasági felelőst választanak. Hányféleképpen lehetséges ez? Az osztálytitkárt 8 főből, a sportfelelőst a maradék főből, a gazdasági felelőst a maradék fő közül választja az osztály. Ez összesen 8 féleképpen lehetséges. 8 Panni firkálgatott a kockás füzetébe és egy idő után ezt látta maga elött: a) Hányféleképpen olvashatja ki a Gáspár nevet, ha csak jobbra vagy lefelé léphet? b) Hányféleképpen olvashatja ki a Gáspár nevet, ha egymás után legfeljebb kétszer léphet jobbra vagy lefelé? G Á S P Á R Á S P Á R S P Á R P Á R Á R R a) A Gáspár név kiolvasásának módját a következő módon írhatjuk le: L ha Panni lefelé halad, J ha Panni jobbra lép. Minden betű után, tehát összesen alkalommal, dönthet Panni arról, hogy lefelé vagy jobbra halad tovább, ezért a helyes kiolvasások az L és J betűkből álló hosszúságú sorok. Ilyen betűsorból pedig összesen: van, azaz Panni féle módon olvashatja ki az ábrájából a Gáspár nevet. b) Vonjuk ki az összes lehetőségből azokat, melyek nem felelnek meg a feladat feltételének, azaz a, vagy azonos irányú lépést tartalmazókat! Ezek: JJJJJ, LLLLL, JJJJL, JJJLJ, JLJJJ, LJJJJ, LLLLJ, LLLJL, LJLLL, JLLLL, JJJLL, LJJJL, LLJJJ, LLLJJ, JLLLJ, JJLLL, A lehetséges kiolvasások száma tehát. 0 Gondolkodjunk!

21 Összefoglalás I. Fogalmazd meg a következő mondatok megfordításait! Minden esetben dönts, hogy melyik igaz és melyik hamis! a) Ha egy tört számlálója és nevezője is páros szám, akkor a tört egyszerűsíthető. b) Ha egy háromjegyű szám minden számjegye egyenlő, akkor osztható hárommal. c) Ha egy egész szám végződése, akkor osztható tel. d) Ha egy szám osztható néggyel, akkor osztható hússzal. a) Ha egy tört egyszerűsíthető, akkor a számlálója és a nevezője is páros szám. H b) Ha egy háromjegyű szám osztható hárommal, akkor minden számjegye egyenlő. H c) Ha egy szám osztható tel, akkor a végződése. H d) Ha egy szám osztható hússzal, akkor osztható néggyel. I 0 Fogalmazd meg a következő állítások tagadását! a) Minden macska szereti a tejet. b) Nincs olyan macska, amelyik fehér. c) Minden macska tud nyávogni. d) Van olyan macska, amelyik fekete. a) Van olyan macska, amelyik nem szereti a tejet. b) Van olyan macska, amelyik fehér. c) Van olyan macska, amelyik nem tud nyávogni. d) Nincs olyan macska, amelyik fekete. Gondolkodjunk!

22

23 ES Z TÉ S A LA TT II. RACIONÁLIS SZÁMOK ÉS HATVÁNYOZÁS SZ ER K Bár a második útra Gazsi és Attila kártyáját sorsolta ki a véletlenszámgenerátor, az alhvárizmiről szóló Wikipédialapot valamennyi gyerek elolvasta. A két szerencsés időutazó reménykedett, hogy a 800as évek elejének Perzsiájába való utazás legalább annyira izgalmas lesz, mint az előző páros útja. A két fiú már jó előre beállította a fordító protokollrobotot, így a megérkezés pillanatában még épp elcsípték a következő beszélgetést: Miért rajzolsz magadnak négyzeteket és téglalapokat? kérdezte érdeklődve Rashid. Egyenleteket oldok meg. Nézd csak, ha itt egy téglalapot is rajzolok, akkor épp kiegészítem az egészre válaszolta alhvárizmi. Rashid nem tágított, mindenképpen megpróbálta kizökkenteni az elmélyülten dolgozó tudóst. Miért használsz hindu jeleket? Én is láttam már néhány helyen, de nem szoktam használni őket. Sokkal kényelmesebb. Ezt ideírom, ezt meg alá, és kész is az összeadás. Gyors vagy. Lehet ezekkel az új jelekkel szorozni is? Persze. Gyere el délután az iskolába, ahol gyerekeknek magyarázok mosolyodott el alhvárizmi, és visszafordult a rajzaihoz. Láttad? Súgta Attila Gazsinak. Már az új számokat használja. Kicsit hasonlítanak a mi szá mainkra, de sok különbség is van. Úgy tűnik, több mint 000 éve ugyanazokat a dolgokat tanuljuk a suliban somolygott Gazsi, aki már elképzelte, hogyan meséli el a többieknek, hogy már ezer éve is az összeadást és a szorzást kellett gyakorolni az iskolában.

24 II. Az egész számok tulajdonságainak áttekintése Feladatok Mennyi a kiemelt számot helyi értéke, alaki értéke és valódi értéke? a) 0; b) ; c) 0. A megoldásokat táblázatba foglaltuk. Helyi érték Alaki érték Valódi érték Furavilágban egy év hónapból, egy hónap hétből, egy hét napból áll. Hány napig tart Furavilágban a hétéves katonai szolgálat? év hónap hét nap nap év napig tart a szolgálat. Gerzson úgy döntött, március től sportos életet él és minden nap futni fog. Első nap lefutott kilométert, majd ezt a távot kétnaponta 00 méterrel növelte. a) Hány métert fut majd április 0én? b) Hány kalóriát égetett el március én, ha km lefutása alatt 0 kalóriát éget el? a) Mivel a táv naponta 00 méterrel nő, így március. és április 0. között 0szor 00 méterrel nőtt, tehát Gerzson métert futott le április 0én. b) Március én méter, kmt futott, így, 0 kalóriát égetett el. Döntsd el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek hamisak! a) Két természetes szám összege természetes szám. b) Két egész szám összege egész szám. c) Ha két egész szám összege természetes szám, akkor mindkét szám természetes szám. d) Ha egy szám kétszerese egész szám, akkor a szám is egész szám. a) Igaz b) Igaz c) Hamis d) Hamis Racionális számok és hatványozás

25 Az egész számok tulajdonságainak áttekintése II. Flóra három legjobb barátnője számára összeállított egy oldalas újságot, amelynek oldalán színes fényképek is vannak. Számold ki, hány forintba kerül négy példány kinyomtatása, ha tudod, hogy egy színes oldalt 8 Ftért, egy feketefehéret pedig Ftért nyomtatnak ki! ( 8 ) 880 forintba került. Határozd meg, hogy melyik műveletsor eredménye pozitív, negatív, illetve nulla! a) ; b) ; c) ; d) ( ); e) ( ); f) ; g) ( ) ; h). a) pozitív; b) pozitív; c) nulla; d) ( ) nulla; e) ( ) pozitív; f) pozitív; g) ( ) pozitív; h) negatív. Racionális számok és hatványozás

26 II. A törtek Feladatok Add meg az alábbi egész számokat tört alakban! Keresd meg az egyenlőket! Melyik számnak nincs párja? 00 0, 8 0, 0,,, 0, ;, ;, ; 0, o. A,nek nincs párja. Írj háromhárom olyan törtet, amelyek értéke megegyezik az alábbi számokkal! a) ; a) ; b) ; b) ; 8 8 c) ; c) 8 ; d) ; d) 8 ; e) ; e) ; f) ; f) 8 8 ; 0 g) 0; g) ; h). h) 8. 8 Racionális számok és hatványozás

27 A törtek II. Válogasd ki az alábbi számhalmazból az egész számokat, a tört alakban írt egész számokat és a törteket! Egész számok: ;. Tört alakban írt egész számok: ; ;. Törtszámok: ; ; ; ; ;. Zoli megette a müzlijének az 8 részét, Dani pedig a saját adagjának a részét. Ki evett többet, ha eredetileg ugyanannyit kaptak? Zoli: 8 részét, Dani: 88 8 részét ette meg, így Zoli evett többet. 88 Hasonlítsd össze a két mennyiséget, és tedd ki a megfelelő relációs jelet (<; >; )! a) perc óra; b) másodperc perc; 0 c) hét 8 óra; d) m m; e) m mm; f) 00 dm km; 0 g) dl l; h) cl l. Racionális számok és hatványozás

28 II. A törtek Döntsd el, igaze vagy hamis? a) Ha két pozitív tört számlálója és nevezője is megegyezik, akkor a két tört értéke megegyezik. b) Két pozitív tört közül az a nagyobb, amelyiknek a számlálója és a nevezője is nagyobb. c) Ha két pozitív tört számlálója megegyezik, akkor az a nagyobb, amelyiknek a nevezője nagyobb. d) Ha két negatív tört nevezője megegyezik, akkor a kisebb számlálójú a nagyobb. e) Két negatív tört közül az a nagyobb, amelyik a számegyenesen közelebb van a nullához. a) Igaz b) Hamis c) Hamis d) Igaz e) Igaz 8 Racionális számok és hatványozás

29 Törtek összeadása, kivonása II. Feladatok Végezd el a műveleteket! Ahol tudsz, egyszerűsíts! a) ; b) ; c) 8 0 ; d) 8 0 ; e) ; f) 8 ; g) ; h) ; 8 0 i) ; j) ; k) ; l) ; 8 8 m) ; n) ; o) ; p) ; 8 q) 0 ; r) 8 8 ; s) 8 ; t) 8 8 ; 0 u) ; v) ; w) ; x) ; 0 8 y) ; z). 8 0 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; 0 h) ; 8 i) ; 8 j) ; k) ; 0 l) ; 0 m) ; n) 8 ; o) 8 ; p) ; q) ; 0 r) ; 0 s) ; t) ; u) ; 0 v) ; w) ; x) ; 0 y) ; z). Szofi ezen szomorkodik: Az ismerőseim kétharmada lájkolta a fényképemet, az ötöde csak hozzászólt. Vajon miért nem reagált semmit a maradék 8 ismerősöm? Hány ismerőse van Szofinak? Zsófi ismerőseinek része lájkolta a képeit, a maradék 8 ismerőse része az összes ismerősének. Ha a rész 8 ismerős, akkor az rész ismerős, amiből megkapjuk, hogy az ismerőseinek száma összesen: 0 fő. Racionális számok és hatványozás

30 II. Törtek összeadása, kivonása Dávid így morfondírozik: Van 00 forintom. Ha a zsebpénzem negyedéből ajándékot veszek nagyinak, a harmadát kölcsönadom a bátyámnak, akkor nem marad 800 forintom arra a pendrivera, amit meg akartam venni. a) Számold ki, mennyi pénze marad Dávidnak! b) Minimum hány forintra van szüksége ahhoz, hogy az ajándék, a kölcsön és a pendrive megvásárlása után is maradjon 000 forintja? a) Dávid pénzének negyede 00 Ft, harmada 00 Ft, így a kiadások után Ftja marad. b) Dávidnak Ftra lenne szüksége. Számold ki A, B, C, D és E értékét! Számításaidat írd a füzetbe! a) b) A 0 C D E a) A) 0 ; B) ; C) ; D) ; E). 0 b) A) ; B) ; C) ; D) ; E). B C D E Számolj minél egyszerűbben! Végezd el a műveleteket! a) ; b) ; c) 8 ; d) ` 8 j ; 8 e) 8 ; f) ; g) 0 ; h) 8 8 ; i) 0 ; j) A B 0 Racionális számok és hatványozás

31 Törtek összeadása, kivonása II. a) ; b) ; 8 0 c) ; d) 0 ; e) ; f) ; g) 8 ; h) ; i) 0 0; j). Számítsd ki a következő összeget! 8 b f l b f f f l b l b l,, Racionális számok és hatványozás

32 II. Törtek szorzása, osztása Feladatok Válaszolj a kérdésekre! a) Melyik számnak nincs reciproka? b) Melyik az a szám, amelyik megegyezik a reciprokával? c) Melyek azok a pozitív számok, amelyek reciproka kisebb nél? a) 0 b) ; c) Az nél nagyobb pozitív számok. Számítsd ki a) nek a részét; b) nak az részét; 8 0 c) nek az részét; 0 0 d) nek a részét; e) 8 részének a 8 szeresét; f) hatodrészének a szorosát; g) 8 háromnyolcadának a 8 szorosát! Racionális számok és hatványozás

33 Törtek szorzása, osztása II. Melyik nagyobb? a) 0 km része vagy 000 m része? a) 0 km része 000 m része. b) óra 8 része vagy perc része? b) óra 8 része perc része. c) 8 liter 8 része vagy dl része? c) 8 liter 8 része dl része. d) 0 kg része vagy tonna része? d) 0 kg része tonna része. Állítsd növekvő sorrendbe az alábbi törteket! a) ; b) ; c) 8 ; d) ; e) ; f) 8 ; g) 8 a) : b) : : 8 c) d) : e) f) 0 g) : h) Növekvő sorrend: c) b) e) g) f) h) a) d) ; h). Válaszd ki, melyik műveleteknél lehet egyszerűsíteni a művelet elvégzése előtt! A műveleteket írd le a füzetedbe és végezd el! Ahol lehet, mindenhol egyszerűsíts! a) ; b) ; c) ; d) ; e) ` j; f) ; g) : ` j ` j; h) :. a) ; 0 b) ; c) ; d) ; e) 8 ; 0 f) ; 0 g) 8 ; h). Racionális számok és hatványozás

34 II. Törtek szorzása, osztása Egy almáskertben délelőtt eladták egy nagy láda alma részét. Délután a ládában maradt mennyiség részét értékesítették. A délután eladott mennyiség 0 kg volt. a) A teljes láda hányadrészét adták el a délutáni időszakban? b) Mennyi alma volt eredetileg a ládában? részét adták el délután. Ha a rész 0 kg, akkor az rész 0 kg, így az egész láda alma súlya 0 0 kg volt. A harmincfős osztály e Bertára szavazott, amikor meg kellett szervezni a korcsolyázást. Hányan nem szavaztak Bertára? Ha az osztály e Bertára szavazott, akkor része nem. Tehát 0 fő nem Bertára szavazott. 8 Szofi a perces óra elején nagyon figyelt, de aztán kicsit elfáradt, és az óra ed részén rajzolgatott. Utána az óra végéig újra figyelt. Hány percig figyelt Szofi az órán? 0 percig nem figyelt Szofi, tehát 0 percig nagyon figyelt. Racionális számok és hatványozás

35 Törtek tizedes tört alakja II. Feladatok Melyik szám a nagyobb: a), vagy 8o, ; b), vagy o, ; c),8 vagy, 8o ; d),8 vagy 8, oo? a), 8o, ; b), o, ; c),8, 8o ; d),8 8, oo? Írd fel az alábbi törtek tizedes tört alakját! a) ; b) 0 ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h). 8 a),; b),; c) 08o, ; d) 0o, ; e) 0,; f) 0, 8 o o ; g) 0o, ; h) 0,8. Szofi és Helén a lecke megírása közben talált két egymáshoz közeli racionális számot. Szofi szerint mindig tud olyan racionális számot mondani, ami a kettő között van, Helén viszont úgy gondolja, hogy ez nem lehetséges. Írj két egymáshoz közeli racionális számot, és próbáld ellenőrizni Szofi és Helén állítását! Melyik lánynak van igaza? Válaszodat indokold! Szofi állítása igaz, hisz a bővítés során mindig írhatunk újabb számokat két szám közé. Például: 0, 0,, ezt bővítve 0,0 0, 0, 0, 0,0. Határozd meg számológép segítségével az alábbi számok tizedes tört alakját: és! Milyen érdekességet vettél észre? Mi a magyarázata?, o és, o A cel való osztási maradék ismétlődik, így a hányados mindig ugyanaz. Vizsgáld meg a nevezőjű törtek tizedes tört alakját számológéped vagy mobiltelefonod segítségével! Írj a füzetedbe legalább öt példát! Fogalmazd meg tapasztalataidat! : 00, o; : 00, o o ; 0 : 00, oo; : 0, oo; : 0, o o A cel való osztáshoz hasonlóan működik a cel való osztási maradék is. Az előző feladat alapján próbáld felírni a a) 0, 8 o o ; b), o o; c), o o törteket közönséges tört vagy vegyes tört alakban! a) 0, 8 o o 8 ; b), o o ; c), o o Racionális számok és hatványozás

36 II. Mûveletek tizedes törtekkel Csoportmunka Az alábbi társasjátékot kis csoportokban játszhatjátok. A játék célja és menete: Oldjátok meg a feladatokat és szerezzetek minél több pontot! Válasszatok saját stratégiát, és alakítsátok úgy a pályátokat, ahogy a legjobbnak gondoljátok! Játékszabályok: A játékot legfeljebb négyen játszhatjátok. Minden csapathoz kell egy játékmester, aki a játékot felügyeli és a feladatokat javítja. Válasszatok ki egy kerek startmezőt, és tegyétek rá a bábutokat! Mindenki dobjon egyet a dobókockával, és lépjen annyit, amennyit dobott! A lépés iránya tetszőleges: jobbra, balra, lefele vagy felfele is mehettek. (Átlósan nem léphettek.) A kiinduló mezőkre többször nem léphettek. Minden mezőhöz egy feladat tartozik, aminek megoldásáért pontokat kaphattok. A zöld mezőn, a narancssárgán, a citromsárgán pontot szerezhettek. Egyegy feladatot maximum két perc alatt kell megoldanotok. Aki hibás választ adott, nem kap pontot. A játék hét körből áll, így mindenki hét feladatot kap. Segítségek: Ha egy feladattal nem boldogultok egyedül, kétféle segítség közül választhattok: Jelentkeztek és segítséget kértek a tanárotoktól. Számológépet használtok. Segítség igénybevétele esetén a helyes megoldásért csak pont jár. Ha egyetlen segítséget sem használtok a játék során, végül jutalompontot kaptok. Racionális számok és hatványozás

37 Mûveletek tizedes törtekkel II. Zöld:. 8,,,8,.,8,,. 8,, 8,., :,.,.,0,0,8,.,,8,., 8,8 8, 8. 0,,8 0,., 0, 0,08 8,0 0. 8,0 :,,. 8,,8,.,8, 08,8 Narancssárga:.,0,,00 08,.,8 (,) 0,8.,8,8,0,8. (8,0) :,8,. 8,0,,,80. 0,8,,,0. (8,0) (,) 88,0 8.,8,0,,. (,) : (,), 0.,,,,8.,0,8,0 08,.,00 :, 8, Sárga:., (,8),,.,8 :, 0,,.,8,0,,.,,0 :,,. (,,) : 0,,. (,8),,0,.,,8 :,, 8.,0, (8,) 0,0. (,) (,),8, 0. 0, : (,) 8, 0,. (,),8 (,),. 8,0 :,,, Racionális számok és hatványozás

38 II. Szöveges feladatok Feladatok Levente éppen elvégezte az egyetemet, amikor meghallotta a hírt, hogy hatalmas farmot örökölt kocsándi nagybátyjától. Ismerte a terepet, rengeteg szép nyarat töltött ott. Szeme előtt megjelent a kis tó, a kecskék és a frissen fejt tej, a hat ló, melyeken annyira szeretett lovagolni a környékbeli gyerekekkel, s a távoli méhkaptárak a sokat dolgozó méhekkel. Levente három napig gondolkodott, mi tévő legyen. Adja el az egész farmot, vagy hagyjon itt csapot papot, költözzön Kocsándra, és folytassa, amit a nagybátyja elkezdett? Megbeszélte a feleségével, Jankával, és úgy döntöttek, elutaznak Kocsándra. Mikor megérkeztek, egyenesen a szomszédokhoz Bálint bácsihoz és Anna nénihez mentek, akik mindeddig gondját viselték az állatoknak. Leventéék számtalan kérdést tettek fel nekik, hogy lássák, fenn tudnáke tartani a gazdaságot. Számold ki, a szomszédoktól szerzett információk alapján mennyi bevételre és kiadásra számíthatnak harminc nap alatt! A számolásoknál egy hónapot 0 nappal, illetve héttel számoltunk. Bálint bácsi büszkén mesélte, hogy az összes anyakecske együtt napi liter tejet ad, amit könnyedén el tudnak adni a piacon. Azt is hozzátette, hogy az összes kecskének csak a 8 része ad tejet. a) Hány kecske él a farmon, ha tudjuk, hogy egy kecske napi liter tejet ad? b) Hány forintot kereshetnek Leventéék a tej eladásából naponta, ha liter kecsketej ára 80 Ft, de a bevétel részét ki kell fizetniük a piacon helypénzre? c) Egy kecske napi takarmányozása 0 Ft. Számold ki, hányad része a kecskék napi takarmányozása a kecsketejből származó napi bevételnek! a) : kecske. Ez a kecske az összes kecske 8 része. ( : 8) kecske él a farmon. b) 80 0 forint a napi bevétel. c) kecske napi takarmányozása 0 80 Ft, a napi bevétel 0 Ft. A takarmányozás a bevétel 80 része, körülbelül a 8%a. 0 8 Racionális számok és hatványozás

39 Szöveges feladatok II. A hat ló békésen legelészett a karámban. A lovász már készítette a nyergeket a délutáni lovagláshoz. A futószáras oktatás 000 Ft, az osztályban lovaglás 000 Ft, a tereplovaglás pedig 000 Ft minden felnőttnek. A gyerekek ennek csak a részét fizetik. a) Mennyi heti bevételre számíthat Levente és Janka, ha tizenkét gyerek jár hozzájuk lovagolni, hetente kétszer? A gyerekek harmada futószáron, a többiek már osztályban lovagolnak. b) Tereplovaglásra minden szombat délelőtt felnőtt jár. Mennyi lesz az ebből származó havi bevétel? c) Egy ló napi takarmányozásához 8 kg széna és feleennyi abrak kell. A 00 kgos szénabála 000 Ft, egy mázsa abrak pedig ennek a részébe kerül. Számold ki, hány forintot kell költeniük a lovak takarmányozására havonta! Egy táblázatban foglaltuk össze a lovaglás bevételeit: Felnőtt Gyerek Futószár 000 Ft 00 Ft Osztály 000 Ft 00 Ft Terep 000 Ft 800 Ft a) A gyerekből futószáron, 8 pedig osztályban lovagol. Az ebből származó heti bevétel: Ft. b) A tereplovaglás havi bevétele: Ft. c) Az adatokból kiszámolható, hogy 8 kg széna 0 Ft, kg abrak 0 Ft, így ló napi takarmányozása: forintba kerül. ló havi takarmányozása Ft. Hálás állatok a méhek dicsérte őket Bálint bácsi. Egy kaptár átlagosan évi 0 kg mézet termel. A méz ötöde hársméz, része repceméz, része akácméz és a maradék virágméz. a) Mennyi mézet gyűjthetnek az egyes fajtákból egy év alatt, ha a farmon három kaptár van? b) Hány forint bevételük van a mézből évente, ha a piacon kg repcemézért 00 Ftot, a virágmézért ennek a 8 szorosát, a hárs mézért az szeresét és az akácmézért a szeresét kapják? a) kaptár átlagosan évi 0 kg mézet termel. Ebből kg hárs, 8 kg repce, kg akác és kg virágméz. b) A repceméz 00 Ft, a virágméz 800 Ft, a hársméz 000 Ft és az akácméz 00 Ft, így az ezekből származó bevétel: Ft. Racionális számok és hatványozás

40 II. Szöveges feladatok Anna néni büszkén mutatta meg nekik a baromfiudvart. Közben összeszedte a tojásokat is, aminek darabját Ftért lehet eladni a piacon. Arra is figyelmeztette őket, hogy minden este zárják be a tyúkokat, nehogy a környéken garázdálkodó róka elvigyen közülük párat. a) A baromfiudvar lakóinak része tojó tyúk, része jérce és kakas is van. Hányan laknak a baromfiudvarban? b) Egy tyúk heti hat tojást tojik. Mennyi bevétel származhat a tojások eladásából, ha a bevétel részét ki kell fizetni a piacon helypénzre? a) A baromfiudvar lakóinak 0 része tojó tyúk vagy jérce. A kakas tehát a baromfiállomány része, amiből már leolvasható, hogy lakója van a baromfiudvarnak. b) 8 tojó tyúk van. A tojásokból származó heti bevétel: 8 0 Ft. Egy baromfi napi takarmányszükséglete dkg, de a jérce ennek csak a részét fogyasztja. A vegyes takarmány része kukorica, része búza, része árpa, része zab, része napraforgó és a maradék korpa. a) Számold ki, melyik összetevőből hány dkgot tartalmaz kg vegyes takarmány! b) Hány forintot kell havonta a baromfik etetésére költeniük, ha kg vegyes takarmány forintba kerül? a) kg vegyes takarmány összetevői: Kukorica Búza Árpa Zab Napraforgó Korpa 8 dkg dkg 0 dkg 0 dkg dkg 0 dkg b) A jérce, 8 tyúk és kakas havi etetésének díja: dkg, ami,8 88 Ft. A farmra kéthavonta kijár az állatorvos, aki a család régi ismerőse, így a vizitdíj át nem számolja fel. Hány forintot kell erre havonta átlagosan félretenni, ha egy látogatásért hivatalosan 00 forintot kér el? Az állatorvos díja: 00 Ft havonta. 0 Racionális számok és hatványozás

41 Szöveges feladatok II. Készíts összesítő táblázatot a bevételekből és a kiadásokból! a) Mennyi a havi bevétel? b) Mennyi a havi kiadás, ha a víz, áram, és gázszámlára, illetve az egyéb kiadásokra havi forintot számolhatnak átlagosan? c) Mit gondolsz, fenn tudjáke tartani a gazda ságot? A havi fix bevételeket és kiadásokat táblázatba foglaltuk: Kecskék Lovak Méhek Baromfi Orvos Rezsi Bevétel Kiadás Nyereség Összeadva a különböző forrásokból származó nyereségeket megkapjuk, hogy 8 Ft nyereségre tehetnek szert Leventéék, ha minden munkát egyedül végeznek. Ez szinte lehetetlen, hisz rengeteg állatról kell gondoskodniuk, így fogadniuk kell pár embert, aki elvégzi helyettük a munka egy részét, így a bevételből még az ő munkabérüket is le kell vonni. Racionális számok és hatványozás

42 II. 8 Zárójelfelbontások, összetett mûveletek Feladatok Melyik az a szám, amelyik a) és összegénél del több? b) dal több, mint és különbsége? c) szerese a 8 és az összegének? d) a és a 0 hányadosánál dal kisebb? a) c m b) 8 c m 0 c) c 8 m d) : 0 Hasonlítsd össze a két kifejezést, és tedd ki a megfelelő relációs jelet a füzetedben (<; >; )! a), ` j, ; b),, ` j; c), ` j, ; d),, ` j. a), ` j, ; b),, ` j; c), ` j, ; d),, ` j. Válaszd ki a helyes zárójelfelbontást, majd végezd el a műveleteket! a), ` j, vagy, ; b), ` 0, j, 0, vagy, 0, ; c), 08 `, 0 j, 08, vagy, 08 8, ; 0 0 d) `, 8 j, vagy, ; 8 8 e) c m c m c 0 m vagy. 0 0 a),, ` j ; b), 0,, ` 0,, 0,, 0, j ; Racionális számok és hatványozás

43 8 Zárójelfelbontások, összetett mûveletek II. c), 08,, 08 8 `,, 0 j ; 0 d), `,, 8 j ; 8 e) c m c m c 0 m Hozd egyszerűbb alakra a következő emeletes törteket! a) ; b) ; c), ; d). 8, a) ; b) ;, c) : 8 : 8 8 ` j ; d). 0 0, Péter, az iskola Rubikkocka kirakó bajnoka,8 másodperc alatt rakja ki a kockát. Feliks Zemdegs, a 0as év világbajnoka ennek az időnek csak a részét használja fel. Számold ki, mennyi a világbajnok ideje! A Rubikkocka kirakó világbajnok ideje:, 8 88, másodperc. Racionális számok és hatványozás

44 II. Nagy számok és a hatványalak Feladatok Írd fel az alábbi szorzatokat hatványalakban! a) ; b) ; c) () () () (); d). a) ; b) ; c) () () () () () ; d) ` j. Írd rövidebb alakba a következő szorza tokat! a) ; b) ; c) ; d) () (). a) ; b) ; c) ; d) () () (). Melyik hatványok egyenlők egymással? a) ; b) ; c) () ; d) () ; e) 0. Az a), c) és e) értéke, ezért egyenlők. A b) értéke ^ h. A d) értéke ^ h ^h ^h ^h ^h ^ h, ezért a b) és a d) is egyenlő. Írd fel az alábbi hatványokat szorzatalakban, majd csoportosítsd őket aszerint, hogy pozitívak vagy negatívak! a) ; b) ; c) () ; d) () ; e). Pozitív: a) ; d) () () () () () () (); Negatív: b) ( ); c) () () () () () (); e) ( ). Racionális számok és hatványozás

45 Nagy számok és a hatványalak II. Ha egy vírus egy olyan számítógépet fertőz meg, amelyiknek internetösszeköttetése is van, akkor fél óra alatt három további számítógépre küldi át a vírust. A vírusos gépek fél óra múlva ismét háromhárom gépet fertőznek meg. a) Hány gép fertőződik meg egyetlen délelőtt folyamán (8.00tól.00ig)? b) Hány gép fertőződik meg reggel 8tól este 8ig? Próbáld meg kiszámolni a számológépeddel! Olvasd ki a kapott számot! c) Hány jegyű ez a szám? A Föld összlakosságánál kisebb vagy nagyobb számot kaptál? 8 a) A nyolc félóra alatt összesen 80 gép fertőződik meg. b) Ezen időszak alatt félóra telik el, tehát ig sorban össze kell adni hatványait. Sajnos a számológép a teljes számot nem írja ki, de nemsokára megtanuljuk, hogy hogyan kell ezt kiolvasni. Ha viszont a számítógépen megkeresed a számológép alkalmazást, és ezen adod össze a számokat, akkor a kapott eredmény: 0 0. A szám kiolvasva: Négyszázhuszonhárommilliárdhatszáznegyvennégymillóháromszáznégyezerhétszázhúsz c) A szám tizenkét jegyű, és sokkal nagyobb, mint a Föld összlakossága, amely kb. hét és fél milliárd. A kettő hatványai fontos szerepet játszanak az informatikában. Nézz utána, hogy byte hány bit, és hogy kilobyte hány byte! byte 8 bit ( ) bit kilobyte 0 byte ( 0 ) byte Racionális számok és hatványozás

46 II. 0 A hatványozás azonosságai I. Feladatok Számítsd ki az alábbi műveletek eredményét! a) ; b) ; c) 0 0 ; d) 0, 0, 0 ; e) ^h ^h ; f) : ; g) ^ h : ; h) ; i) 8 ; j) ^ : h. a) ; b) ; c) ; d) 0, 0, 0 0, 0 0; e) ^h ^ h ^ h ; f) : ; g) : ^ h 0; h) ; i) 8 0 ; j) ^ : h 0. Írd egyszerűbb alakba a következő szorzatokat! 8 a) ; b) ; c) 8 a) ; b) ; c) b l b l. b l b l b l. Írd növekvő sorrendbe! a) ^ h ^ h; b) ^h ^ h; c) ^h; d) b l b l ; e) ; f) Növekvő sorrend: ^h ^ h ^ h ^ h 8 ^ h ^ h Írd le az alábbi műveleteket, és pótold a hiányzó részeket! a k a k a) d ; b) d ; c) d 8 ` j ` j ; d) d ; 8 e) d. Racionális számok és hatványozás

47 0 A hatványozás azonosságai I. II. 8 a) ; b) ; 8 c) ` j ` j ; d) ; 8 e). Melyik nagyobb: 8 0 a) ` j vagy ; b) `j vagy `j? a) Mindkét oldalt át kell alakítani. Bal oldal: ` j ` j Jobb oldal: ` j 8 Így tehát: ` j b) A bal oldali negatív szám, a jobb oldali pedig pozitív, ezért: 0 `j `j 8 Végezd el a lehetséges szorzásokat, osztásokat! A végeredményt hatványalakban add meg! 8 a) ; b) ; c) ; d). 8 a) 0 ; b) ; c) ; d). Racionális számok és hatványozás

48 II. A hatványozás azonosságai II. Feladatok Számítsd ki az alábbi hatványok értékét! a) ; b) ; c) 0 ; d). a) ` j ; b) ` j ; c) 0 0 b l ; d) 80 b l. Döntsd el, melyik egyenlőség igaz! a) ; b) ; c) ; d) a), hamis, mert b), hamis, mert a jobb oldal átalakítása után látható, hogy ` j, ami nem egyenlő a bal oldallal. c), igaz. 0 0 d) hamis, mert a bal oldal átalakítása után vagy. Írd fel prímszámok hatványainak szorza taként! 0 a) ; b) 8 ; c) ; d) 00 8 a) 8 ` j ` j ; 8 b) 8 ` j ` j ; c) 0 ` j 0 ` j 0 Írd fel a számokat növekvő sorrendben! 0 ; b l ; b l ; b l ; ;. ; d) Átalakítás után írjuk a legegyszerűbb hatványalakba! 0 ; b l ; 8. b l ; b l ;, ; Növekvő sorrend: 0 c m c m c m. 8 Racionális számok és hatványozás

49 A hatványozás azonosságai II. II. A tanult azonosságok alkalmazásával írd egyszerűbb alakba! Segítség: Először írd le a számokat prímszámok hatványának szorzataként, majd utána alkalmazd a hatványozás tanult azonosságait! b a) e 8 o ; b) 0 l d n ; c) ; d). ` j b l b 8 l a) e 8 o e 8 8 o e 8 8 o e 0 o ; b) ` j ` j ` j 0 ; ` j ` j b l c) 8 ; b l 8 d n d). b l Számolj fejben! a) Meddig tudod felsorolni a hatványait? ; ; ; b) Meddig tudod felsorolni a hatványait? ; ; ; c) Meddig tudod felsorolni az hatványait? ; ; ; d) Meddig tudod felsorolni az hatványait? ; ; ; e) Meddig tudod felsorolni az hatványait? ; ; ; f) Meddig tudod felsorolni a négyzetszámokat? ; ; ; g) Meddig tudod felsorolni a köbszámokat? ; 8; ; Saját megoldás. Racionális számok és hatványozás

50 II. Normálalak Feladatok Írd át normálalakba a számokat! a) ; b) 00 milliárd; c) 8 000; d) 0; e) 000; f) hatszázhuszonötezer; g) 8 000; h) millió ezer; i),; j),; k) 0 00; l) a) ; b) 00 milliárd, 0 ; c) 8 000,8 0 ; d) 0, 0 ; e) 000, 0 ; f) hatszázhuszonötezer, 0 ; g) 8 000,8 0 ; h) millió ezer,0 0 ; i),, 0 ; j),, 0 ; k) 0 00,00 0 ; l) , Írd fel az alábbi számokat normálalakban! a) 0 ; b) 0 ; c) ; d) 0,0 0 ; e) 0,0 0 ; f) 0, ; g) 0 0 ; h) 0, ; i), 0 ; j) 0, 0 ; k) 0,0 0 ; l) 0, a) 0, 0 ; b) 0, 0 ; c) , ; d) 0,0 0, 0 ; e) 0,0 0 0 ; f) 0, , 0 ; g) ; h) 0, ; i), 0, 0 ; j) 0, 0, 0 ; k) 0,0 0, 0 ; l) 0, ,0 0. Vizsgáld meg, hogyan tudsz nagy számokat tartalmazó műveleteket elvégezni a mobilodon! Saját megoldás. 0 Racionális számok és hatványozás

51 Normálalak II. Végezd el a műveleteket, és add meg a végeredményt normálalakban! Az eredmény ellen őrzéséhez használj számológépet vagy mobilt! a) (, 0 ) 000; b) (, 0 8 ) ( 0 ); c) (, 0 0 ) (, 0 ); d) (, 0 8 ) : (,8 0 ); e) (, ) : 0 000; f) (8, 0 ) (, 0 ). a) (, 0 ) 000, 0 8 ; b) (, 0 8 ) ( 0 ) 0 ; c) (, 0 0 ) (, 0 ), 0 ; d) (, 0 8 ) : (,8 0 ) 0 ; e) (, ) : 0 000, 0 ; f) (8, 0 ) (, 0 ), 0. A Nap Föld távolságának hányszorosa a P üstökös Föld távolsága? A lecke elején szerepel, hogy a rádiójelek kb. 8 perc alatt érnek le a Földre. Ebből kiszámíthatjuk az üstökös és a Föld távolságát. perc alatt: , 0 0 m perc alatt: 8 8, 0 0, 0 m, 0 0 km. A Nap és a Föld távolsága közelítőleg km. 8 Így tehát az üstökös Föld távolsága 0, 0 : , szorosa a Nap Föld távolságnak. Racionális számok és hatványozás

52 II. Összefoglalás Feladatok Mennyi a kiemelt számok helyi értéke, alaki értéke és valódi értéke? a) 08; b) 80,; c), , 80,,0,0 Kiemelt szám Helyi érték Alaki érték Valódi érték , 0, ,0 0,0 Helyezd át a zárójeleket úgy, hogy könnyebb legyen a számolás, majd végezd el az összeadásokat! a) (8 ) 08; b) ( 0) ( ); c) 8 ( 88) ( ) 88; d) (0 8 80) (0 ). a) ( 8) ( 08) 000; b) ( ) (0 ) ( ) 000; c) (8 ) (88 ) ( 88) 000; d) (0 8) (80 0) ( ) 000. Melyik eredmény melyik műveletsorhoz tartozik? Először becsülj, aztán tippelj, végül számold ki az eredményeket! a) 8 8; 8 b) (8 8); c) 8 8; d) (8 8); e) 8 8; 0 f) ( 8) 8; g) (8 8). 0 8: d); e) : c); g) 0: f) 0: a); b) Racionális számok és hatványozás