Levezetések klasszikus nulladrendű logikai kalkulusban

Átírás

1 Levezetések klasszikus nulladrendű logikai kalkulusban Molnár Attila november 21. Ebben az óravázlatban a nulladrendű logikai kalkulusbeli tételek levezetéséről esik majd szó. Következzen egy gyors összefoglaló az eddig tanultakból: 1. Emlékeztető 1.1. Induktív definíció Felfedeztük magunknak az induktív definíciót 1, amivel alkalmunk nyílt arra, hogy egy fogalmat olyan módon definiáljunk, hogy megadunk néhány speciális objektumot, melyekről kikötjük, hogy azok a fogalom alá tartoznak ezek alkotják az ún. bázist, majd belőlük származtatjuk az összes többi fogalom alá tartozó dolgot egy szabály az ún. bővítési szabály segítségével Szintaxis A jólformált formula fogalmát így már induktívan definiálhatjuk, méghozzá a következőféleképpen. Nevezzük a jólformált formulák összességét wff-nek, azt pedig, hogy egy x jel jólformált formula, a görög létige ( eszti ) nyomán jelöljük így: x wff. Ha két összesség közül az egyik része a másiknak, azt -nal jelöljük. A jólformált formulákon belül az atomi jólformált formulákat, azaz a további részre nem bontható formulákat awff-fel jelöljük majd. A metanyelvi kondicionálist pedig most -val jelöljük, melyhez ha nem írunk zárójeleket, akkor jobbról kell kezdődik a sorrend. Ekkor a jólformált formulák (és az atomi jólformált formulák szimultán) induktív definíciója: { { Bázis: p awff Bázis: awff wff { Bővítési szabály: X awff X awff X wff X wff Bővítési szabály: X wff Y wff (X Y ) wff A továbbiakban a következő jelölési konvencióval fogunk élni: 1.3. Szemantika p = def p p = def q p = def r p = def s. (A & B) def (A B) (A B) def ( A B) (A B) def ((A B) & (B A)) A szintaxisra, azaz a jólformált formulákra eztán szemantikát építettünk; meghatároztuk egy szabályt arra vonatkozólag, hogy bizonyos indulófeltételek mellett mely formulát nevezzük igaznak és melyet hamisnak. Erre az igazságérték-tulajdonításra, az ún. interpretációra a jelölést fogjuk használni, 1 : Nevezik még rekurzív definíciónak is, sőt néha még (kissé tévesen, egy nála általánosabb definíciófajtával keverve) generatív definíciónak is. 1

2 méghozzá a következőképpen: Az X = i azt jelenti majd, hogy X igaz, ugyanígy pedig h-val. Ezt a hozzárendelést is induktívan határozzuk meg: Bázis: X awff X {i, h} X = h X = def i X = i X = def h X = i Y = i (X Y ) = Bővítési szabály: def i X = i Y = h (X Y ) = def h X = h Y = i (X Y ) = def i X = h Y = h (X Y ) = def i Itt X {i, h} alatt azt értettük, hogy X igaz vagy hamis Centrális szemantikai fogalmak A szemantika segítségével már beszélhetünk az ún. centrális logikai fogalmakról: Kielégíthetőség: Egy Γ formulahalmaz kielégíthető, ha van olyan interpretáció, mely esetben minden formulája igaz. Kielégíthetetlenség, ellentmondásosság: Egy Γ formulahalmaz ellentmondásos, ha nem kielégíthető. Következményreláció: Egy Γ formulahalmazból következik egy A formula, ha mindig, mikor a Γ-beli formulák igazak, a konklúzió is igaz. Azaz minden olyan interpretációban, melyben Γ elemei igazak, A is igaz. A Γ-t ebben a szerepben premisszahalmaznak, A-t pedig konklúziónak szokás nevezni. Vagy másképp: Γ elemei és A ellentmondásos formulahalmazt alkotnak. Jelölése: Γ = A Ekvivalencia: Az A és B formulák ekvivalensek (jelölése: A B), ha ugyanazon interpretációkban igazak (illetve hamisak). Logikai igazság: Egy A formula logikai igazság (jelölése: = A), ha minden interpretációban igaz. 2. Kalkulus 2.1. Bevezető A logikai igazság fogalma a többihez hasonlóan igen fontos fogalom, ugyanis szoros kapcsolatban áll logikai következtetéseinkkel. Minden olyan formula, amelyet logika szabálynak, logikai törvénynek szeretnénk hívni, tárgynyelvi alakban megjelenhet, mint logikai igazság. Pl. a De Morgan azonosság, azaz előáll a következő alakban: (A & B) ( A B) = ( (A & B) ( A B)) Vegyük észre, hogy ezekre logikai igazságokra egy deduktív (vagy más néven arisztotelészi) definíciót adtunk? Vajon adhatunk-e ezekre is ugyanúgy induktív definíciót, ahogy az imént azt a jólformált formulákkal és az interpretációval is tettük? Azaz meghatározhatjuk-e a logikai igazságoknak, mint speciális jólformált formulák körét szemantikára, azaz igaz -ra és hamis -ra való hivatkozás nélkül? A válasz igenlő. Be fogunk mutatni egy induktív definíciót, amely a logikai igazságok fogalmát hivatott induktívan definiálni. A klasszikus nulladrendű logika logikai igazságainak induktív definícióját klasszikus nulladrendű kalkulusnak fogjuk nevezni. Látni fogjuk, hogy minden formula, amit ezzel a kalkulussal elő fogunk állítani, logikai igazságok lesz. Ezt a megállapítást helyességi tételnek fogjuk nevezni. Azt a megállapítást pedig, hogy a kalkulus ezenkívül megadja az összes logikai igazságot is, pedig teljességi tételnek fogjuk nevezni. Azt, hogy a helyességi tétel és a teljességi tétel teljesül, adekvátsági tételnek nevezzük. Ez teszi lehetővé, hogy a szemantikai következményrelációnkat bármikor felcserélhessük a most bemutatásra kerülő szintaktikai következményrelációval. A következőkben megkezdjük menetelésünket az adekvátsági tétel felé. 2

3 2.2. A kalkulus maga A nulladrendű logikai kalkulusban kísérletet teszünk tehát a logikai igazságok induktív definíciójára. Azt, hogy egy A formula ebben a szintaktikai (kalkulusi) értelemben vett logikai igazság, a következőképpen fogjuk jelölni: A. Azt pedig, amennyiben egy B formula akkor logikai igazság, ha egy másik A formula is logikai igazság, a következőképpen jelöljük:. Ha egyetlen A helyett több ilyen feltételt is adunk, azt egymás fölé írással jelöljük, tehát pl. így: A B A B C. Tehát a metanyelvi ha-akkor -viszonyt egy vízszintes vonallal jelöljük, a metanyelvi és -viszonyt pedig egymás fölé írással. A nulladrendű logikai kalkulus e jelöléssel a következőképpen néz ki: Bázis: Bővítési szabály: 2.3. Megjegyzések (A (B A)) ((A (B C)) ((A B) (A C))) (( A B) (B A)) Γ (A B) Γ B Néhány apróbb megállapítás a bázissal kapcsolatban: Az első formula igazából a konjunkcióról szól. Emlékezzünk arra, hogy még régen volt egy ilyen logikai törvényünk: (A (B C)) ((A & B) C) Eszerint a fenti báziselem valami ilyesmi lenne: ((A & B) A) Ez pedig nem más, mint ahogyan a konjunkcióból következtetni szoktunk. Párja ennek a ((A & B) B) (A (B B)) A(z egyelőre szemantikai) dedukció-szabály segítségével ezt a következőképpen alakíthatjuk át: (A & B) A (A & B) B Minden logikai konstansra megvannak a rá jellemző következtetések. Amelyeket dedukciótétellel bizonyos kulcsfontosságú (jelen esetben csak kondicionálissal és negációval kifejezett) logikai igazságokból nyerhetünk. Szolgáljon ezek közül a legfontosabbak megvilágítására a következő táblázat: A A ( A A) A A (A A) (A & B) A (A (B A)) (A & B) B (A (B B)) (A A) A (( A A) A) (A B) A ( (A B) A) (A B) B ( (A B) B) Ezeket a levezetések kapcsán mind útba ejtjük majd. 3

4 A második báziselemet disztributivitási formulának is mondjuk, mivel olyan, mintha a kondicionális önmagára lenne disztributív. Valójában inkább arról van szó, hogy lépten-nyomon használt Dedukció-szabály levezetéséhez használt teljes indukciós bizonyításban éppen erre a formulára van szükség. A harmadik báziselem lényegében a kontrapozíció szabályának egyik irányát fejezi ki tárgynyelven, és ez teszi majd lehetővé, hogy feltorlódó negációjeleket tüntethessünk el azaz ezt fogjuk majd alaposan használni a negációtörvények levezetésekor. Az, hogy ő felelős a negációjelt manipuláló logikai igazságokért, onnan is látszik, hogy a három báziselem közül csak ebben van negáció. A bővítési szabályban eleddig ismeretlen jelöléssel találkozhatunk:. Mivel a szemantikában beszéltünk premisszákból konklúzióra való következtetésről, itt is bevezetünk egy ennek megfelelő fogalmat. (E két következményreláció viszonyáról fog szólni igazából az adekvátsági tétel.) Egy adott Γ formulahalmazból a levezethetőséget a következőképpen értelmezzük (és jelöljük): akkor és csak akkor, ha A axióma, axiómaséma, netán Γ eleme (vagy séma esetén egyfajta része), avagy ezekből kapható meg a modus ponens véges sok alkalmazásával. Most pedig következzen néhány fontosabb megállapítás. A bázisban nem formulák, hanem formulasémák vannak. 2 Ez azt jelenti, hogy nem azt állítjuk, hogy az (A (B A)) formula egy logikai igazság, hanem azt, hogy A helyére bármit helyettesítve logikai igazságokat kapunk. Úgy mondhatnánk, hogy nem három formuláról kötöttük ki, hogy logikai igazságok, hanem három bizonyos formájú formulatípusról kötöttük ki, hogy az ilyen formájú formulák logikai igazságok. A fentiek alapján tehát logikai igazságok a következők: (p (q p)) (q (p q)) (s (r s)) ((p q) (p (p q))) (( (r s) ( p (p s))) (( (r s) p) ( (r s) (p s)))) Tehát az alapsémákba bármely jól formált formulát behelyettesíthetünk, ha tartjuk azt az egyetlen szabályt, hogy azonos sémajelekbe azonos formulákat teszünk (tehát ugyanazokat az A-kba, a B-kbe, stb.). Vegyük észre, hogy bár három formulaséma van, meglehetősen végtelen sok formuláról posztuláltuk, hogy logikai igazság. Kicsit más a helyzet azonban a bővítési szabállyal, a modus ponensszel. Ott csak olyan formulákból tudunk levezetni, amikről már beláttuk, hogy levezethetők. Tehát ott az A és (A B) helyére csak már levezetett formulákat helyettesíthetünk. Az ellenben, hogy A és B helyében ott konkrétan milyen formulák szerepelnek, édes mindegy; a lényeg, hogy A és (A B) levezetettek legyenek. És most néhány szót az elnevezésekről. A kalkulus bázisának elemeit, ezt a három formulasémát speciálisan ún. axiómasémának nevezzük. A Bővítési szabályt (amelyben a modus ponensre ismerhetünk) pedig levezetési szabálynak nevezik 3, de mi csak leválasztás vagy modus ponens néven fogunk rá hivatkozni. Azokat a formulákat, amelyeket a logikai axiómasémák behelyettesítései, vagy azokból nyerhető a modus ponens ismételt alkalmazásaival, a kalkulus tételeinek fogjuk nevezni. A tételek tehát azok, amelyek a logikai igazságok szerepét játszák. Tételsémák azon formulasémák, melyek összes behelyettesítése tétel. A kalkulus tehát a tételek induktív definíciója A megengedett lépések A levezetés értelmezését jobban szemügyre véve új (de triviális) levezetési szabályokat is felfedezhetünk: Ha mondjuk, akkor jogosan következtethetünk arra is, hogy mondjuk Γ formuláiból és még a p formulából is levezethető A, hiszen A levezetése már Γ-ból rendelkezésre áll, így egy felesleges p premissza nem ront el semmit. 4 Triviális dolognak tűnik ez, de nagyon gyakran fogunk ehhez a lépéshez nyúlni. Meglévő premisszáink közé tehát felvehetünk új premisszákat is, de természetesen akár premisszasémákat vagy egész premisszahalmazokat is. Ezeket a meggondolásokat rendre így jelölhetjük: Γ {p} A, Γ {B} A, Γ A 2 Eddig is használtunk implicite formulasémákat a szintaxisban illetve szemantikában. 3 : De hívják még következtetési vagy deriválási szabálynak is 4 Látni fogjuk ráadásul, hogy egy esetleges felbukkanó ellentmondásból ráadásul bármit le fogunk tudni vezetni, így ilyen esetben még gyorsabb levezetésünk is lehet A-ra. 4

5 A másik levezetési szabály, amit felismerhetünk, szintén triviális: A premisszák levezethetők, hiszen megkaphatók a premisszák, az axiómasémák és a modus ponens alkalmazásaival. Jobb híján ezt valahogy így jelölhetném: A Γ Ekkor most már beszélhetünk arról, hogy milyen lépéseket is tehetünk a levezetések során. Behelyettesítünk egy formulát egy axiómasémába. Behelyettesítünk egy formulasémát egy axiómasémába. Behelyettesítünk egy formulát egy tételsémába. Behelyettesítünk egy formulasémát egy tételsémába Alkalmazzuk a modus ponenst két axiómára. Alkalmazzuk a modus ponenst két axiómasémára. Alkalmazzuk a modus ponenst két tételre. Alkalmazzuk a modus ponenst két tételsémára. Felveszünk egy premisszát. Felveszünk egy premisszasémát. Felveszünk egy premisszahalmazt. Levezetünk egy premisszát. Levezetünk egy premisszasémát. Azaz lényegében: Behelyettesítünk. Modus ponenst alkalmazunk. Premisszákat veszünk föl. Premisszát vezetünk le. A továbbiakban csak és kizárólag ezt a négy lépést fogjuk lépni a levezetéseink során. Ez az a négy pont, amit masszírozni kell a tekintetünkkel, mikor egy levezetést szeretnénk végrehajtani. 5

6 3. Levezetések 3.1. A terv Ezeket tudván már megkezdhetjük a levezetések sorát. Azonban ehhez is először tervet alkotunk, amelyet a következő diagram próbál meg szemléltetni: 1. Kondicionális (A A) 2. Fordított kontrapozíció Γ ( A B) Γ (B A) Monotonitás Con (Γ) Con (Γ {A}) 8. Ellentmondás ( B (B A)) Elégséges feltétel inkonzisztenciára Γ A Con (Γ) 3. Dedukció-szabály Γ {A} C Hf. Γ {A} C Lánc-szabály Γ (A B) Γ (B C) 4. Negációtörvények ( A A) (A A) 5. Kontrapozíció Γ (B A) Γ ( A B) Negált 9. kondicionális 6. Alternáció antecedense (( A A) A) ( (A B) A) Negált 12. Indirekt levezetés 7. kondicionális Con (Γ A) konzekvense ( (A B) B) Con (Γ A) Fentről indulunk, lefele haladunk, és a kis nyilak jelzik, hogy melyik tételhez melyik tételre van szükség. A tételek és szabályok levezetése speciális alakot ölt majd. Formulák követik majd egymást, mellettük kis szavak. Minden formula mellett azok megjegyzések magyarázzák, pontosan honnan is vettük az adott formulát. Azt, hogy egy B formulát vagy formulasémát helyettesítünk egy formulasémában A helyére, így jelöljük majd: B := A. A levezetések végét jellel jelöljük. 5 5 Ez kocka valójában nem más, mint a Q.E.D., azaz a quod erat demonstrandum rövidítése. Ez magyarul annyit tesz: Ezzel a tételt beláttuk. 6

7 3.2. A menetelés 1. Tétel. (A A) (A (B A)) axiómaséma ((A (B C)) ((A B) (A C))) axiómaséma ((A (B A)) ((A B) (A A))) A := C ((A B) (A A)) modus ponens ((A (B A)) (A A)) B := (B A) (A (B A)) axiómaséma (A A) modus ponens 2. Tétel. (Dedukció-szabály) Vegyük először az első irányt: Γ {A} C Γ {A} C Γ {A} C És most a másik irány: C feltétel Γ {A} A C felvettünk egy premisszát Γ {A} A a premissza levezethető Γ {A} C modus ponens Γ {A} C Válasszuk szét az eseteket aszerint, hogy mi lehet a C! Menjünk sorba, hogy a jel bal oldalán pontosan honnan származhat! Lehet, hogy a jel bal oldalán van, azaz Γ-beli, lehet hogy a jobb oldalán van, azaz nem más, mint A, lehet aztán, hogy egyikből sincs, mivel logikai igazság, és végül lehet ez a legvészesebb hogy valahogy mindezekből vezethető le egy modus ponens alkalmazása által. Vezessük hát akkor le esetre lebontva: (1) C logikai igazság: Azaz C. Ekkor: C feltevés (A (B A)) axiómaséma (C (A C)) A := C, B := A (A C) modus ponens bővítés premisszahalmazzal (2) C nem más, mint A (azaz nézzük C := A -t): (3) C egy premissza(séma): Azaz C Γ. (A A) ez az 1. tétel Γ (A A) bővítés premisszahalmazzal Γ C a premisszaséma levezethető Γ (A (B A)) axiómaséma Γ (C (A C)) A := C, B := A modus ponens 7

8 (4) C-t levezetéssel nyertük. Tehát volt egy modus ponens, ami valahogy a következőképpen nézett ki: B (B C) C Tehát a C-t úgy vezettük le, hogy egy B és egy (B C)) állt rendelkezésünkre. A C formulaséma logikai igazság-volta tehát attól függ, hogy vajon ez a bizonyos B illetve (B C) az volt-e. Ekkor ez maradt: Ahhoz, hogy levezessük (A C)-t, szemléletesen szólva be kéne látnunk, hogy ez a bizonyos A feltétele C feltételeinek is, nevezetesen B-nek és (B C)-nek is. Azaz ha be tudnánk látni, hogy (A B)-ből és (A (B C))-ből levezethető a kérdéses (A C), akkor azt láttuk be, hogy a dedukciótétel érvényessége öröklődik a modus ponens alkalmazása során. Mivel a lehetséges kezdőesetekre (triviális esetekre?) a dedukciótétel érvényességét már beláttuk az (1) (3) pontokban, ha ezt az öröklődést is be tudnánk látni, akkor sikerülne belátni a dedukciótétel érvényességét az összes logikai igazságra. 6 Bizonyítsuk hát az öröklődést, azaz a következőt: (A B) (A (B C)) (A C) Γ (A (B C)) feltevés Γ ((A (B C)) ((A B) (A C))) axiómaséma Γ ((A B) (A C)) modus ponens Γ (A B) feltevés modus ponens Itt jegyezzük meg, hogy a dedukció-szabályra igazából a dedukciótétel az elterjedt elnevezés, a továbbiakban mi is így hivatkozunk rá. A szabály elnevezést az indokolja, hogy ez nem a kalkulusnak tétele, hanem egy a kalkulusról szóló tétel. Az ilyen természetű megállapításainkat lévén a metanyelv tételei metatételeknek nevezzük. 3. Tétel. (Láncszabály) Γ (A B) Γ (B C) Ennek a tételnek a belátása házifeladat. Valamelyik axiómasémát és a dedukciótételt szükséges a bizonyításához, továbbá a szokásos levezetési lépéseket kell a két feltevésen alkalmazni, hogy megkapjuk belőlük -t. Ha ez sikerül, a láncszabályt beláttuk. Gyakorlásnak addig is érdemes továbbolvasni a jegyzetet. Helyébe, hogy az építményünk megálljon a maga lábán, kerülőúton mégis bebizonyítjuk. Belátjuk a láncszabály általánosítását, az ún. metszetszabályt, így a láncszabályt mint ennek speciális esetét használhatjuk majd fel. Következzen hát a metszetszabály: {A} B Γ B 6 Ezt a bizonyítási módszert, nevezetesen hogy egy tétel állítását belátjuk a lehetséges kezdőesetekre, majd belátjuk, hogy a jelen esetben a logikai igazságok konstrukciója során (ez lenne a kalkulusbeli levezetés) öröklődik a tulajdonság, és ezzel vesszük bizonyítottnak a tételt, strukturális indukciónak nevezzük. Azért strukturális indukció, mert a struktúra konstrukcióján kúszik föl az érvényesség. A középiskolában megismert teljes indukció is lényegében ez. A 0 szám a kezdőesetű elem, a konstrukció pedig a természetes számok rákövetkezése. Ezért szerepelhetett anno a táblán az n := n + 1 felirat annyiszor, mikor az öröklődés bizonyításán fáradoztak a diákok. 8

9 Tehát arról van szó, hogy a második premisszában szereplő A-t helyettesíthetjük egy olyan formulahalmazzal, amely tudja A-t, azaz képesek vagyunk belőle levezetni (úgyszólván kicsomagolni). A metszetszabály metszet-volta pedig abban áll, hogy a következtetés során a konklúzióhoz érvén már eltűnik, kimetsződik az A premissza. {A} B feltevés (A B) Dedukciótétel Γ (A B) felvettünk egy premisszahalmazt feltevés Γ A felvettünk egy premisszahalmazt Γ B modus ponens És hol van ebben a láncszabály? Vegyük elő mégegyszer a metszetszabályt: {A} B Γ B Itt ha Γ :={A}, A := B, B := C, :=, akkor a következőt kapjuk: {A} B {B} C {A} C Innen pedig a dedukciótétel háromszori alkalmazásával bizonyítható a láncszabály. 4. Tétel. (Fordított kontrapozíció) Γ ( A B) Γ (B A) Γ ( A B) feltevés (( A B) (B A)) axiómaséma Γ (( A B) (B A)) felvettünk egy premisszahalmazt Γ (B A) modus ponens 5. Tétel. (Negációtörvények) ( A A) (A A) { A, A} A cilinderből premissza { A} ( A A) Dedukciótétel { A} ( A A) Fordított kontrapozíció { A} ( A A) Fordított kontrapozíció { A} { A} A Dedukciótétel { A} A mert x x = x ( A A) Dedukciótétel ( A A) Negációtörvény ( A A) A := A (A A) Fordított kontrapozíció 9

10 6. Tétel. (Kontrapozíció) Γ (A B) Γ ( B A) Γ (A B) feltevés ( A A) Negációtörvény Γ ( A A) felvettünk egy premisszahalmazt Γ ( A B) Láncszabály (A A) Negációtörvény Γ (A A) felvettünk egy premisszahalmazt Γ (B B) A := B Γ ( A B) Láncszabály Γ ( B A) Fordított kontrapozíció 7. Tétel. (Ellentmondás) ( B (B A)) (A (B A)) axiómaséma ( B ( A B)) A := B, B := A B ( A B) Dedukciótétel (( A B) (B A)) Axiómaséma B (( A B) (B A)) felvettünk egy premisszasémát B (B A) modus ponens ( B (B A)) Dedukciótétel És most egy lélegzetvételnyi szünet. Vegyük észre, hogy ha sikerülne levezetni egy B formulát és annak B negáltját, akkor a fenti logikai igazság segítségével két modus ponens távolságra vagyunk attól, hogy tetszőleges A-t le tudjunk vezetni. Ez azzal a következménnyel járna, hogy azon kísérletünk, hogy induktív módon, szemantikára való hivatkozás nélkül elkülönítsük a logikai igazságok körét, kudarcot vall. Ugyanis ha bármilyen jólformált formulát le tudunk vezetni, akkor ezzel magát a szintaxist definiáltuk (újfent)! Az olyan kalkulust, amely erre képes hogy tudniillik az összes jólformált formulát le képes vezetni inkonzisztensnek nevezzük. Az olyan kalkulust pedig, ami nem inkonzisztens, konzisztensnek nevezzük. A rövidség kedvéért azt, hogy egy Γ formulahalmaz konzisztens a következőképp jelöljük: Con (Γ). Azt, hogy inkonzisztens, pedig a következőféleképpen: Con (Γ). 8. Tétel. (Monotonitás) Konzisztens formulahalmaz levezetett formulával való bővítése konzisztens marad. Con (Γ) Con (Γ {A}) Indirekt: Tegyük fel, hogy Con (Γ) Con (Γ {A}) 10

11 Ekkor: Γ {A} B feltevés (inkonzisztencia) Γ (A B) Dedukciótétel feltevés Γ B modus ponens Bármilyen B formulát le tudnánk tehát vezetni Γ-ból, ami Γ inkonzisztenciáját jelentené, ez azonban ellentmond egy feltevésnek, tehát ellentmondásos tagadni a metatételt. 9. Tétel. Formulahalmaz inkonzisztenciájára vonatkozó feltétel: Γ A Con (Γ) Tehát Γ inkonzisztens. ( B (B A)) Ellentmondásnak hívott tétel Γ ( B (B A)) felvettünk egy premisszahalmazt Γ ( A (A B)) B := A A := B feltevés Γ (A B) modus ponens Γ A feltevés Γ B modus ponens 10. Tétel. (Alternáció) (( A A) A) {(A, ) ( A A)} A cilinderből premisszát vezetünk le {(A, ) ( A A)} ( A A) premisszát vezetünk le {(A, ) ( A A)} A modus ponens {(A }) (( A A) A) Dedukciótétel {(A }) ( A ( A A)) kontrapozíció {(A }) { A} ( A A) Dedukciótétel { A} ( A A) mert x x = x ( A ( A A)) Dedukciótétel (( A A) A) Fordított kontrapozíció 11. Tétel. (Indirekt levezetés) Con (Γ A) Con (Γ A) 11

12 Elsőé: Con (Γ A) feltétel Γ A A felvettünk egy premisszasémát Γ A A premisszasémát vezettünk le Másodiké: Con (Γ { A}) Az inkonzisztenciára vonatkozó elégséges feltétel miatt Con (Γ A) Con (Γ A) feltétel Γ { A} A mert inkonzisztens Γ ( A A) Dedukciótétel (( A A) A) Alternációs tétel. Γ (( A A) A) felvettünk egy premisszahalmazt modus ponens 12. Tétel. (Negált kondicionális antecedense) ( (A B) A) ( B (B A)) Ellentmondásos tétel ( A (A B)) A := B, B := A ( (A B) A) Kontrapozíció ( A A) Negációtörvény ( (A B) A) Láncszabály 13. Tétel. (Negált kondicionális konzekvense) ( (A B) B) (A (B A)) axiómaséma (B (A B)) A := B, B := A ( (A B) B) Kontrapozíció 12