Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logika

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logika"

Átírás

1 Logika Indukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor a konkrét tapasztalatokra támaszkodva jutunk el az általános fogalomhoz, indukciónak nevezzük. Dedukció: A fogalomalkotásnak azt a módját, amikor már meglévő fogalmak segítségével alakítunk ki újabb fogalmakat, dedukciónak nevezzük. Általában induktív úton szerezzük meg a tapasztalatokat a fogalmak megértéséhez, de a fogalmak meghatározását már deduktív úton tesszük. DEFINÍCIÓ: (Kijelentés) Logikai értelemben kijelentésnek (állításnak, ítéletnek) nevezzük azt a kijelentő mondatot, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. A kijelentéseket latin nagybetűkkel jelöljük. Nem minden kijelentő mondat ítélet, de minden ítélet kijelentő mondat. Egy kijelentések logikai értéke:,,igaz, vagy,,hamis. Jelölés: A = I; B = H. A formális logika nem vizsgálja a kijelentések tartalmát, csak a logikai értéküket. Paradoxon: Azt a kijelentő mondatot, melynek logikai értékét vizsgálva mindig ellentmondásra jutunk, paradoxonnak nevezzük. Pl.:,,Ez a mondat hamis. Harmadik kizárásnak elve: Egy adott tárgyalás során egy ítélet vagy igaz, vagy hamis, más logikai értéke nem lehet, vagyis bármely A ítélet esetén: A A = I (egy ítélet és negációja nem lehet egyszerre hamis). Ellentmondás mentesség elve: Egy adott tárgyalás során egy ítélet nem lehet egyszerre igaz és hamis is, vagyis bármely A ítélet esetén: A A = H (egy ítélet és negációja nem lehet egyszerre igaz). 1

2 Logikai művelet: Logikai műveletnek nevezzük a formális logikában azt a gondolati eljárást (valamely nyelvi forma alkalmazását), amely eredményeként egy vagy több ítéletből újabb ítéletet kapunk, és az új ítélet logikai értékét a felhasznált ítéletek logikai értéke, valamint a végrehajtott művelet egyértelműen meghatározzák. DEFINÍCIÓ: (Elemi ítélet) Elemi ítéletnek nevezzük azt az ítéletet, amelyet nem lehet egyszerűbb ítéletekből logikai műveletek alkalmazásával létrehozni. DEFINÍCIÓ: (Összetett ítélet) Összetett ítéletnek nevezzük az elemi ítéletekből logikai műveletek alkalmazásával képzett ítéletet. DEFINÍCIÓ: (Negáció) Az A ítélet negációján (tagadásán) azt a kijelentést értjük, amely igaz, ha A hamis, és hamis, ha A igaz. Jelölés: A; A. A tagadás nyelvi formái:,,nem,,,nincs,,,nem igaz, stb. Értéktáblázat: A I H A H I Kettős tagadás elve: Egy kijelentés tagadásának tagadása az eredeti kijelentés. Jelöléssel: ( A) = A. DEFINÍCIÓ: (Konjunkció) Az A és B ítélet konjunkcióján azt a kijelentést értjük, amely pontosan akkor igaz, ha a két eredeti ítélet egyidejűleg igaz. Jelölés: A B. A konjukció nyelvi formái:,,és,,,de,,,noha,,,pedig,,,bár,,,mégis,,,továbbá,,,valamint,,,illetve, stb. 2

3 A kötőszók a logikai művelet szempontjából helyettesíthetőek az,,és kötőszóval, ezért a konjunkciót logikai és műveletnek is szokás nevezni. Értéktáblázat: A B A B I I I I H H H I H H H H DEFINÍCÓ: (Diszjunkció) Az A és B ítélet diszjunkcióján azt a kijelentést értjük, amely pontosan akkor hamis, ha a két eredeti ítélet egyidejűleg hamis. Jelölés: A B. A konjukció nyelvi formája:,,vagy. A,,vagy - ot megengedő értelemben használjuk, vagyis az,,a vagy B jelentése:,,a vagy B vagy mindkettő. A diszjunkciót logikai megengedő vagy műveletnek is szokás nevezni. Értéktáblázat: A B A B I I I I H I H I I H H H DEFINÍCÓ: (Összeférhetetlenségi vagy) Az A és B ítélet összeférhetetlenségi vagy műveletén azt a kijelentést értjük, amely pontosan akkor hamis, ha a két eredeti ítélet egyidejűleg igaz. Jelölés: A B. Az összeférhetetlenségi vagy nyelvi formái:,,legalább az egyik, legfeljebb az egyik. Az összeférhetetlenségi vagy esetén az,,a vagy B jelentése:,,a vagy B vagy egyiksem. 3

4 Értéktáblázat: A B A B I I H I H I H I I H H I DEFINÍCÓ: (Kizáró vagy) Az A és B ítélet kizáró vagy műveletén (antivalenciáján) azt a kijelentést értjük, amely pontosan akkor hamis, ha a két eredeti ítélet egyidejűleg igaz, illetve hamis. Jelölés: A B; A B. A kizáró vagy nyelvi formái:,,pontosan az egyik ;,,vagy, vagy. A kizáró vagy esetén az,,a vagy B jelentése:,,a vagy B közül pontosan az egyik. Értéktáblázat: A B A B I I H I H I H I I H H H TÉTEL: Bármely A, B és C ítélet esetén teljesülnek a következő azonosságok: Idempotencia (azonos hatványúság): Pl.: A A = A Kommutativitás (felcserélhetőség): Pl.: A B = B A Asszociativitás (csoportosíthatóság, társíthatóság): Pl.: (A B) C = A (B C) Adjunktivitás (elnyelési tulajdonság, abszorpció): Pl.: A (A B) = A Disztributivitás (széttagolhatóság): Pl.: A (B C) = (A B) (A C) De Morgan képletek: (A B) = A B és (A B) = A B 4

5 DEFINÍCIÓ: (Implikáció) Az A előtag és a B utótag implikációján azt az ítéletet értjük, amely pontosan akkor hamis, ha az előtag igaz, de az utótag hamis. Jelölés: A B; A B; A B. Hamis állításból bármi következhet. Az előtagot feltételnek (premisszának), az utótagot következménynek (konklúziónak) nevezzük. Az implikáció nyelvi formája:,,ha, akkor. Értéktáblázat: A B A B I I I I H H H I I H H I DEFINÍCIÓ: (Ekvivalencia) Az A és B ítéletek ekvivalenciáján azt az ítéletet értjük, amely pontosan akkor igaz, ha a két komponens logikai értéke megegyezik. Jelölés: A B; A B; A = B. Az ekvivalencia azt jelenti, hogy a két kijelentést egyenértékűnek tekintjük. Az implikáció nyelvi formái:,,akkor és csak akkor, ha ; pontosan akkor, ha ; ekvivalens azzal. A tételek általában implikációk, vagy ekvivalenciák. Értéktáblázat: A B A B I I I I H H H I H H H I 5

6 TÉTEL: Bármely A és B ítélet esetén teljesülnek a következő azonosságok: A B = A B A B = (A B) (B A). Állítások tagadása: Két,,és sel összekötött állítás esetén: az állításokat tagadjuk és azokat,,vagy gyal kötjük össze. Jelöléssel: (A B) = A B. Két,,vagy gyal összekötött állítás esetén: az állításokat tagadjuk és azokat,,és sel kötjük össze. Jelöléssel: (A B) = A B. Két,,kizáró vagy gyal összekötött állítás esetén: az állításokat (vagy azok tagadásait),,akkor és csak akkor ral kötjük össze. Jelöléssel: (A B) = A B = A B. Két,,akkor és csak akkor ral összekötött állítás esetén: az állításokat (vagy azok tagadásait),,kizáró vagy gyal kötjük össze. Jelöléssel: (A B) = A B = A B. Két,,ha akkor ral összekötött állítás esetén: az első állítást és a második állítás tagadását,,és - sel kötjük össze. Jelöléssel: (A B) = A B. A,,ha akkor helyett szokás a,,minden t használni, amit tagadáskor a,,van olyan - ra cserélünk (és fordítva). Elviekben a,,nem igaz, hogy kifejezéssel bármi tagadható, de egyes esetekben nehéz értelmezni, ezért ezt a formát kerülni szoktuk. Univerzális kvantor: A,,bármely,,,minden, stb. kifejezést univerzális kvantornak nevezzük. Jelölés:. Egzisztenciális kvantor: A,,van olyan,,,létezik, stb. kifejezést egzisztenciális kvantornak nevezzük. Jelölés:. Kvantorok tagadása: Ha A(x) jelöli az x tulajdonságát, akkor a x A(x) tagadása: x A(x) a x A(x) tagadása: x A(x). 6

7 Állítás megfordítása: Az,,A ból következik a B kijelentés megfordítása:,,b ből következik az A. Az A B megfordítása B A. Ha az állítás és megfordítása is igaz, akkor a kijelentést megfordíthatónak nevezzük. Ellenkező esetben nem fordítható meg. A megfordítható állítás nyelvi formái:,,akkor és csak akkor, ha ;,,pontosan akkor, ha ;,, ekvivalens azzal ;,, szükséges és elegendő. Szükséges feltétel: Ha egy A állítás csak akkor lehet igaz, ha egy B állítás igaz, azaz A igazságához szükséges B igazsága, akkor a B állítás az A állítás szükséges feltétele. Ha B hamis, akkor A is biztosan hamis, de B igazsága esetén A lehet igaz és hamis is, vagyis A igazságához szükséges B igazsága, de nem feltétlenül elegendő. Elégséges feltétel: Ha egy B állításból biztosan (minden esetben) következik egy A állítás, akkor a B állítást az A állítás elégséges feltételének nevezzük. Ha B igaz, akkor A is biztosan igaz, de B hamissága esetén A lehet igaz és hamis is, vagyis A igazságához elegendő B igazsága, de nem feltétlenül szükséges. Ha B elégséges feltétele A nak, akkor A szükséges feltétele B nek. Szükséges és elégséges feltétel: Ha a B álításból következik az A állítás, és ugyanakkor az is igaz, hogy ha B nem teljesül, akkor A sem teljesül, akkor a B állítást az A állítás szükséges és elégséges feltételének nevezzük. A szükséges és elégséges feltétel kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot jelent: ha B szükséges és elégséges feltétele A nak, akkor A is szükséges és elégséges feltétele B nek. 7

8 1. Melyik mondat állítás a következőek közül? A: Szép idő van ma? B: A 100 szép szám. C: Minden prímszám páratlan. D: Bárcsak újra nyár lenne! Az állítás olyan kijelentő mondat, melyről egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy igaz, vagy sem. Ezek alapján a megoldás: C. 2. Írd le a következő kijelentéseket logikai műveletek segítségével! a) Ha 2 nagyobb, mint 0, akkor a 2 nem negatív. b) Minden hétvégén focizok, vagy moziba megyek. c) Van olyan sportoló, aki nem tud vezetni, de szeret repülni. d) Bármely két különböző szám között van egy harmadik. a) Tekintsük a következő jelöléseket: A = { 2 nagyobb, mint 0} B = { 2 negatív} Ezek alapján a kijelentést leírhatjuk a következőképpen: A B. b) Tekintsük a következő jelöléseket: A = {hétvége van} B = {focizok} C = {moziba megyek} Ezek alapján a kijelentést leírhatjuk a következőképpen: A (B C). c) Tekintsük a következő jelöléseket: A = {sportoló} B = {tud vezetni} C = {szeret repülni} Ezek alapján a kijelentést leírhatjuk a következőképpen: A ( B C). d) Az állítást leírhatjuk a következőképpen: x, y R x < y ( z R x < z < y). 8

9 3. Legyen P = {péntek van} és F = {fáradt vagyok}. Írd le logikai műveletek segítségével a következő kijelentéseket! A = {Ma péntek van, vagy fáradt vagyok. } B = {Ma péntek van, de nem vagyok fáradt. } C = {Ha ma nincs péntek, akkor nem vagyok fáradt. } D = {Akkor és csak akkor vagyok fáradt, ha péntek van. } Az állítások logikai műveletekkel leírva a következők: A = P F B = P F C = P F D = F P 4. Legyen A = {A 19 összetett szám. } és B = {A 19 kisebb 20 nál. }. Fogalmazd meg a következő logikai szimbólumokkal leírt állításokat! C = (A B) D = A B E = B A F = A B Az állítások megfogalmazása a következők: C = {Nem igaz, hogy a 19 összetett szám és 20 nál kisebb. } D = {A 19 nem összetett szám, vagy 20 nál kisebb. } E = {Ha a 19 kisebb 20 nál, akkor össztett szám. } F = {A 19 akkor és csak akkor összetett szám, ha nem kisebb 20 nál. } 5. A következő kijelentésekben mely logikai műveletet fejezheti ki a,,vagy kötőszó? A: Az adott valós szám pozitív, vagy negatív. B: Az adott egész szám vagy páros, vagy páratlan. C: Az adott négyszögnek van beírt köre, vagy köré írt köre. A,,vagy kötőszó jelentésétől függően a következőképpen kategorizálhatjuk a mondatokat: A:,,összeférhetetlenségi vagy B:,,kizáró vagy C:,,megengedő vagy. 9

10 6. Tagadd a következő állításokat! A: Holnap délután focizni megyek vagy tanulok. B: Ma este 8 kor vagy alszok, vagy meccset nézek. C: Van olyan fiú, aki nem játszik számítógépen és nem is néz sorozatokat. D: Hull a hó és Micimackó fázik. E: István szereti a zenét és gyakran énekel a fürdőszobában. F: Van olyan kutya, amelyik nyávog. G: Minden nyáron kirándulunk és bulizunk. H: A 9 nek legalább három osztója van. I: A háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha nincs tompaszöge. J: Ha fürdőbe megyek, akkor veszek lángost. Használjuk a tagadásra vonatkozó szabályokat: Az A állítás tagadása: Holnap délután nem megyek focizni és nem tanulok. A B állítás tagadása: Ma este 8 kor akkor és csak akkor nem alszok, ha nem nézek meccset. A C állítás tagadása: Minden fiú játszik számítógépen vagy néz sorozatot. A D állítás tagadása: Nem hull a hó, vagy Micimackó nem fázik. Az E állítás tagadása: István nem szereti a zenét, vagy ritkán énekel a fürdőszobában. Az F állítás tagadása: Egyik kutya sem nyávog. (Minden kutya nem nyávog.) A G állítás tagadása: Van olyan nyár, amikor nem kirándulunk, vagy nem bulizunk. A H állítás tagadása: A 9 nek háromnál kevesebb osztója van. Az I állítás tagadása: A háromszög vagy nem derékszögű, vagy van tompaszöge. A J állítás tagadása: Van olyan, hogy fürdőbe megyek, és nem veszek lángost. 10

11 7. Fogalmazz meg olyan állításokat, amelyek tagadásai a következő állítások! A: Van olyan bolt, ahol nincs próbafülke. B: Minden lónak pontosan négy lába van. C: Ha macskát látok, az biztosan fekete színű. D: Minden vonat minden kocsijában van ülés és fűtés is. E: Van olyan mozi, ahol van olyan alkalmazott, aki takarít vagy jegyet árul. F: Minden embernek van legfeljebb két háza, vagy legalább egy háziállata. G: Ha sok vizet iszom, akkor nem leszek szomjas. H: Van olyan meccs, amikor végig játszik és gólt is lő. I: Egyik héten sincs olyan nap, hogy két órát sportolnék. J: Akkor és csak akkor veszek sálat, ha esik a hó, vagy fúj a szél. Az eredeti kijelentések a következők lehetnek: A: Minden boltban van próbafülke. B: Van olyan ló, amelynek nem négy lába van. C: Van olyan, hogy macskát látok és nem fekete színű. D: Van olyan vonat, amiben van olyan kocsi, ahol nincs ülés, vagy fűtés. E: Minden mozi minden alkalmazottja nem takarít és nem árul jegyet sem. F: Van olyan ember, akinek kettőnél több háza van és nincs háziállata. G: Van olyan, hogy sok vizet iszom és szomjas leszek. H: Minden meccsen nem játszik végig, vagy nem lő gólt. I: Van olyan hét, amikor van olyan nap, hogy két órát sportolok. J: Vagy veszek sálat, vagy esik a hó, vagy fúj a szél. 11

12 8. Írd fel a következő állítások megfordítását és add meg a logikai értéküket! A: Ha egy szám osztható 8 - cal, akkor osztható 2 - vel. B: Ha két szám közül legalább az egyik 0, akkor a két szám szorzata 0. C: Ha egy híd kőoroszlánjai észreveszik, hogy esik az eső, akkor bemásznak a híd alá. D: Ha a fű zöld, akkor a Hold sajtból van. Az állítások megfordításánál a tagmondatokat fel kell cserélnünk. Ezek alapján a megoldások: Az A megfordítása: Ha egy szám osztható 2 - vel, akkor osztható 8 - cal. hamis A B megfordítása: Ha két szám szorzata 0, akkor a két szám közül legalább az egyik 0. igaz A C megfordítása: Ha egy híd kőoroszlánjai bemásznak a híd alá, akkor esik az eső. igaz A D megfordítása: Ha a Hold sajtból van, akkor a fű zöld. igaz 9. Döntsd el, hogy a 24 - gyel való oszthatóságnak milyen feltételei a következők! (Szükséges és elégséges; Szükséges, de nem elégséges; Elégséges, de nem szükséges; Nem szükséges és nem elégséges) a) A számnak oszthatónak kell lennie 48 - cal. b) A számnak oszthatónak kell lennie 5 - tel. c) A számnak oszthatónak kell lennie 4 - gyel és 6 - tal. d) A számnak oszthatónak kell lennie 3 - mal és 8 - cal. a) Elégséges, de nem szükséges feltétel, mert ha egy szám osztható 48 - cal, akkor biztosan osztható 24 - gyel is, de egy szám nem csak akkor osztható 24 gyel, ha osztható 48 - cal. b) Nem szükséges és nem elégséges feltétel, mert a 24 - gyel való oszthatósághoz nem kell az 5 - tel való oszthatóságnak teljesülnie. c) Szükséges, de nem elégséges feltétel, mert egy szám csak akkor osztható 24 gyel, ha osztható 4 - gyel és 6 tal is, de ha egy szám osztható 4 - gyel és 6 tal, akkor nem biztos, hogy osztható 24 - gyel is. d) Szükséges és elégséges feltétel, mert egy szám csak akkor osztható 24 - gyel, ha osztható 3 - mal és 8 - cal is, illetve ha egy szám osztható 3 - mal és 8 cal, akkor biztosan osztható 24 gyel is. 12

13 10. A következő állítások esetén az A - nak milyen feltétele a B? a) A: Két szám összege páros. B: Mindkét szám páros. b) A: Két szám különbsége osztható 3-mal. B: Ugyanaz a maradékuk 3 - mal osztva. c) A: Egy négyszög négyzet. B: Egy négyszög minden oldala egyenlő. d) A: Egy négyszög paralelogramma. B: A négyszög átlói merőlegesek egymásra. a) Az A - nak elégséges, de nem szükséges feltétele a B, mert a B állításból biztosan következik az A is, de az A állítás nem csak a B esetén igaz, ugyanis két páratlan szám összege is páros. b) Az A - nak szükséges és elégséges feltétele a B, mert csak akkor igaz az A, ha a B teljesül, illetve ha a B igaz, akkor biztosan teljesül A is. c) Az A - nak szükséges, de nem elégséges feltétele a B, mert A csak akkor igaz, ha a B teljesül, de ha B igaz, akkor nem biztos, hogy A is teljesül, ugyanis a négyzet szögei is egyenlő nagyságúak. d) Az A - nak nem szükséges és nem elégséges feltétele a B, mert nincs összefüggés közöttük. 11. Egy útelágazáshoz érkezve két emberrel találkozunk. Az egyik ember mindig igazat mond, a másik pedig hazudik. Egy kérdést tehetünk fel, amire mindketten válaszolnak, de nem tudjuk, hogy melyik az igazmondó. Milyen kérdést tegyünk fel nekik, hogy megtudjuk, melyik út vezet Kabára? Mivel az igazmondó mindig helyesen felel, ezért olyan kérdést kell feltennünk, amire a hazug is helyesen fog felelni. Ez pedig a kettős tagadás elve alapján akkor lehetséges, ha a kérdésbe belefogalmazunk egy újabb kérdést. Ekkor ugyanis a hazug az első kérdésre hazudna, de mivel a kérdésünkre ismét hazudik, így ő is helyesen fog válaszolni. Legyen a kérdés a következő: Melyik utat mutatnád, ha azt kérdezném, melyik út megy Kabára? Az igazmondó a helyes útra fog mutatni. A hazug arra a kérdésre, hogy melyik út megy Kabára, a rossz irányt mutatná, de mivel most is hazudik, ezért a jó irányba fog mutatni. Ezek alapján, amelyik irányba mutatnak mindketten, arra kell továbbhaladnunk. 13

14 12. Készítsd el a következő kifejezések logikai értéktáblázatát! a) (A B) (A B) b) (A B) (B C) a) A táblázat a következőképpen készíthető el: A B A B (A B) (A B) B A B I I I I H I I H H I I H H I H I H H H H H I I I b) A táblázat a következőképpen készíthető el: A B C A B (A B) (B C) B C I I I I I I I I H I I I I H I H H I I H H H I H H I I I I I H I H I I I H H I I I I H H H I H H 14

Knoch László: Információelmélet LOGIKA

Knoch László: Információelmélet LOGIKA Mi az ítélet? Az ítélet olyan mondat, amely vagy igaz, vagy hamis. Azt, hogy az adott ítélet igaz vagy hamis, az ítélet logikai értékének nevezzük. Jelölése: i igaz h hamis A 2 páros és prím. Logikai értéke

Részletesebben

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1 3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

A matematika nyelvéről bevezetés

A matematika nyelvéről bevezetés A matematika nyelvéről bevezetés Wettl Ferenc 2006. szeptember 19. Wettl Ferenc () A matematika nyelvéről bevezetés 2006. szeptember 19. 1 / 17 Tartalom 1 Matematika Kijelentő mondatok Matematikai kijelentések

Részletesebben

Matematikai logika. Jegyzet. Összeállította: Faludi Anita 2011.

Matematikai logika. Jegyzet. Összeállította: Faludi Anita 2011. Matematikai logika Jegyzet Összeállította: Faludi Anita 2011. Tartalomjegyzék Bevezetés... 3 Előzmények... 3 Augustus de Morgan (1806-1871)... 3 George Boole(1815-1864)... 3 Claude Elwood Shannon(1916-2001)...

Részletesebben

MATEMATIK A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR

MATEMATIK A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR MATEMATIK A 9. évfolyam 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR Matematika A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével

Részletesebben

Kijelentéslogika I. 2004. szeptember 24.

Kijelentéslogika I. 2004. szeptember 24. Kijelentéslogika I. 2004. szeptember 24. Funktorok A természetesnyelvi mondatok gyakran összetettek: további mondatokból, végső soron pedig atomi mondatokból épülnek fel. Az összetevő mondatokat mondatkonnektívumok

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel 5. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel Axióma: Bizonyítás: olyan állítás, amelynek igazságát bizonyítás nélkül elfogadjuk.

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a b pozitív egészek és tudjuk hogy a 2

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Csikós Pajor Gizella Péics Hajnalka ALGEBRA. Bolyai Farkas Alapítvány Zenta 2011.

Csikós Pajor Gizella Péics Hajnalka ALGEBRA. Bolyai Farkas Alapítvány Zenta 2011. Béres Zoltán Csikós Pajor Gizella Péics Hajnalka ALGEBRA elméleti összefoglaló és példatár Bolyai Farkas Alapítvány Zenta 0. Szerzők: Béres Zoltán, középiskolai tanár, Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

A logikai következmény

A logikai következmény Logika 3 A logikai következmény A logika egyik feladata: helyes következtetési sémák kialakítása. Példa következtetésekre : Minden veréb madár. Minden madár gerinces. Minden veréb gerinces 1.Feltétel 2.Feltétel

Részletesebben

A matematikai logika alapjai

A matematikai logika alapjai A matematikai logika alapjai A logika a gondolkodás törvényeivel foglalkozó tudomány A matematikai logika a logikának az az ága, amely a formális logika vizsgálatára matematikai módszereket alkalmaz. Tárgya

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 1. modul Logika Készítette: Vidra Gábor Matematika A 10. évfolyam 1. modul: Logika Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 0/03-as tanév. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató. Egy kör kerületére felírjuk -től 3-ig az egészeket

Részletesebben

Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? 4/14/2014. propozicionális logikát

Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? Mit tanultunk eddig? 4/14/2014. propozicionális logikát roozicionális logikát roozicionális logikát Legfontosabb logikai konnektívumok: roozíció=állítás nem néztünk a tagmondatok belsejébe, csak a logikai kacsolatuk érdekelt minket Legfontosabb logikai konnektívumok:

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 1. A 2014-et felírtuk három természetes szám összegeként úgy, hogy ha az első számot elosztjuk

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Az ellenpéldával történő cáfolás az elemi matematikában

Az ellenpéldával történő cáfolás az elemi matematikában Az ellenpéldával történő cáfolás az elemi matematikában Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ismeretes, hogy a logika a helyes gondolkodás törvényeit leíró tudomány, ezért más tudományágakban sem nélkülözhető.

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12. XXIV. NEMZETKÖZI MGYR MTEMTIKVERSENY Szabadka, 05. április 8-. IX. évfolyam. Egy -as négyzetháló négyzeteibe a bal felső mezőből indulva soronként sorra beirjuk az,,3,,400 pozitív egész számokat. Ezután

Részletesebben

Barangolás a nagyotmondók földjén Logika 3. feladatcsomag

Barangolás a nagyotmondók földjén Logika 3. feladatcsomag Logika 2.3 Barangolás a nagyotmondók földjén Logika 3. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 12 16 logikai következtetés igaz, hamis állítások állítások tagadása alapműveletek alkalmazása helyi érték,

Részletesebben

Kondicionális. Konverz (retro) kondicionális. Predikátumlogika. Predikátumlogika 22/05/2014. p q

Kondicionális. Konverz (retro) kondicionális. Predikátumlogika. Predikátumlogika 22/05/2014. p q Kondicionális p q Ha esik az eső, (akkor) vizes út. Ha felhívsz holnap, (akkor) találkozunk. Ha adsz pénzt, (akkor) veszek fagyit. Akkor vizes az út, ha esik az eső. Akkor találkozunk, ha felhívsz holnap.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Logika és érveléstechnika NULLADREND LOGIKA 3. Készítette: Szakmai felel s: 2011. február Készült a következ m felhasználásával: Ruzsa

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április 11.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április 11. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HETEDIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Ki lehet-e tölteni a következő táblázat mezőit pozitív egész számokkal úgy, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA I. JEGYZET 1. RÉSZ

MATEMATIKA I. JEGYZET 1. RÉSZ MATEMATIKA I. JEGYZET 1. RÉSZ KÉZI CSABA GÁBOR Date: today. 1 KÉZI CSABA GÁBOR 1. Logikai állítások, műveletek 1.1. Definíció. Matematikai értelemben állításnak nevezünk egy olyan kijelentést, melynek

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

MEMO (Middle European Mathematical Olympiad) Szoldatics József, Dunakeszi

MEMO (Middle European Mathematical Olympiad) Szoldatics József, Dunakeszi Szoldatics József: MEMO MEMO (Middle European Mathematical Olympiad) Szoldatics József, Dunakeszi A feladatmegoldó szemináriumon első részében egy rövid beszámolót fognak hallani a 010. szeptember 9. és

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László

Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László MATEMATIKAI LOGIKA A gondolkodás tudománya Diszkrét matematika Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey,

Részletesebben

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer

Részletesebben

A deduktív logika elemei. Érveléselmélet, 2015. 10. 12.

A deduktív logika elemei. Érveléselmélet, 2015. 10. 12. A deduktív logika elemei Érveléselmélet, 2015. 10. 12. Ismétlés: Deduktív érvelés Deduktív érvelés: A premisszák igazsága szükségszerűen maga után vonja a konklúzió igazságát. Minden magyar adócsaló. Pityu

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam 01/01 1. évfolyam 1. Egy röplabda bajnokságban minden csapat pontosan egyszer játszik a többi csapat mindegyikével. A bajnokságból még két forduló van hátra és eddig 104 mérkőzést játszottak le. Hány csapat

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

BEVEZETÉS A MAGASABBSZINTŰ MATEMATIKÁBA ÉS ALKALMAZÁSAIBA KÉZI CSABA GÁBOR

BEVEZETÉS A MAGASABBSZINTŰ MATEMATIKÁBA ÉS ALKALMAZÁSAIBA KÉZI CSABA GÁBOR BEVEZETÉS A MAGASABBSZINTŰ MATEMATIKÁBA ÉS ALKALMAZÁSAIBA KÉZI CSABA GÁBOR 1 KÉZI CSABA GÁBOR Előszó Ez a jegyzet egy többrészes sorozat első kötete, mely elsősorban a Debrecen Egyetem Műszaki Karának

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

LOGIKA. Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László.

LOGIKA. Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László. MATEMATIKAI A gondolkodás tudománya Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey, Tarski, Ramsey, Russel,

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika

Érettségi feladatok: Halmazok, logika Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április mal, így a számjegyeinek összege is osztható 3-mal.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április mal, így a számjegyeinek összege is osztható 3-mal. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HATODIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Melyik a legkisebb 3-mal osztható négyjegyű szám, amelynek minden számjegye különböző,

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

A logika története ott kezdődik, ahol elkezdenek gondolkodni a helyes következtetési formákról.

A logika története ott kezdődik, ahol elkezdenek gondolkodni a helyes következtetési formákról. A MATEMATIKAI LOGIKA TÖRTÉNETE A logika eredetileg a filozófia részeként jelent meg a tudományok sorában. Az i. e. 5. századtól kezdtek terjedni a tisztán emberi gondolkodáson alapuló logikai bizonyítások.

Részletesebben

MATEMATIKA. Szakközépiskola

MATEMATIKA. Szakközépiskola MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó

Részletesebben

HEXAÉDEREK. 5. Hányféleképpen lehet kiolvasni Erdős Pál nevét, ha csak jobbra és lefelé haladhatunk?

HEXAÉDEREK. 5. Hányféleképpen lehet kiolvasni Erdős Pál nevét, ha csak jobbra és lefelé haladhatunk? HEXAÉDEREK 0. Két prímszám szorzata 85. Mennyi a két prímszám összege? 1. Nyolc epszilon találkozik egy születésnapi bulin, majd mindenki kézfogással üdvözli egymást. Ha eddig 11 kézfogás történt, hány

Részletesebben

Negáció igazságtáblája. Propozicionális logika -- levezetések. Diszjunkció igazságtáblája. Konjunkció igazságtáblája. Kondicionális igazságtáblája

Negáció igazságtáblája. Propozicionális logika -- levezetések. Diszjunkció igazságtáblája. Konjunkció igazságtáblája. Kondicionális igazságtáblája Negáció igazságtáblája Propozicionális logika -- levezetések p ~p I H H I Konjunkció igazságtáblája Diszjunkció igazságtáblája p q p&q I I I I H H H I H H H H p q pvq I I I I H I H I I H H H Megengedő

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

TANMENET javaslat. a szorobánnal számoló. osztály számára. Vajdáné Bárdi Magdolna tanítónő

TANMENET javaslat. a szorobánnal számoló. osztály számára. Vajdáné Bárdi Magdolna tanítónő 2 TANMENET javaslat a szorobánnal számoló 2. osztály számára Szerkesztette: Dr. Vajda József - Összeállította az Első Szorobán Alapítvány megbízásából: Vajdáné Bárdi Magdolna tanítónő Makó, 2001. 2010.

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben