Komplex hullámfront moduláció megvalósítása térbeli fénymodulátorral

Átírás

1 Szakdolgozat Komplex hullámfront moduláció megvalósítása térbeli fénymodulátorral Kettinger Ádám Ottó Témavezető: Koppa Pál egyetemi docens BME Fizikai Intézet Atomfizika Tanszék illetve Sarkadi Tamás PhD. hallgató Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2012.

2 A szakdolgozat kiírása Témavezető neve: Koppa Pál Tanszéke: Atomfizika Tanszék címe: Telefonszáma: Azonosító: Sz A szakdolgozat címe: Komplex hullámfront moduláció megvalósítása térbeli fénymodulátorral Melyik szakiránynak ajánlott? Fizika A jelentkezővel szemben támasztott elvárások: dellalkotási képesség, numerikus számításokra al- Alapvető optikai ismeretek, gyakorlati érzék, mokalmas szoftver ismerete, angol nyelvtudás Leírása: A fény hullámfrontjának helytől függő (térbeli) modulációja megannyi műszaki alkalmazásban fontos szerepet játszik. Az LCD képernyők, projektorok nem nélkülözhetik a hatékony intenzitásmodulátorokat. Koherens fénnyel működő berendezésekben, mint pásztázó mikroszkópokban, holografikus adattároló rendszerekben, számítógépes holográfiában elvárás, hogy ne csak az intenzitást, de a hullámfront fázisát is lehessen helytől függően modulálni. A fény fázisát és amplitúdóját egymástól függetlenül moduláló eszközt a szakirodalom komplex hullámfront modulátornak nevezi, hiszen segítségével a komplex sík tetszőleges pontjába mutató komplex amplitúdó vektor előállítható. A szakdolgozat célja, hogy megvizsgálja egy aluláteresztő térszűrésen alapuló komplex hullámfront modulátor működését. A fénymodulátorok ezen típusa egy hagyományos, csavart nematikus folyadékkristályos kijelzőből és egy aluláteresztő Fourier térszűrő rendszerből állnak. A fázismodulátor üzemmódban működő kijelzőn olyan fázismaszkot jelenítünk meg, hogy a térszűrő rendszer kimenetén az általunk megvalósítani kívánt fázisban és amplitúdóban modulált hullámfront jöjjön létre. A hallgató feladata, hogy kidolgozzon egy fázismaszkok létrehozására szolgáló módszert, amely fáziseloszlást a kijelzőn megjelenítve a teljes rendszer a leghatékonyabb komplex modulációt valósítja meg. Megvizsgálja, mennyiben tér el a rendszer kimenetén keletkezett hullámfront a megvalósítani kívánt ideális hullámfronttól. Számításokkal modellezi és kísérletileg is összeállítja az optikai rendszert, megvizsgálja, mekkora térszűrés mellett valósul meg leghatékonyabban a komplex moduláció. Elvégzi a modell és a mérés eredmények diszkusszióját, munkáját szakmai értekezés formájában összefoglalja.

3 Önállósági nyilatkozat Alulírott Kettinger Ádám Ottó, a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem fizika BSc szakos hallgatója kijelentem, hogy ezt a szakdolgozatot meg nem engedett segédeszközök nélkül, önállóan, a témavezető irányításával készítettem, és csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, melyet szó szerint, vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból vettem, a forrás megadásával jelöltem. Kettinger Ádám Ottó

4 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani mindazoknak, akik útmutatással, türelmükkel, megértésükkel segítségemre voltak a szakdolgozatom megírásában. Köszönöm szüleimnek, hogy a munkámhoz megteremtették, és folyamatosan megteremtik a stabil családi és otthoni hátteret. Köszönöm Koppa Pálnak, hogy vállalta a témavezetéssel járó plusz feladatokat. Végül, mindenek felett köszönöm Sarkadi Tamásnak, hogy szakmai iránymutatásaival és példaértékű hozzáállásával mindig megadta a továbblépéshez szükséges kezdőlökést; kitartása és türelme nagy segítségemre volt a munka nehezebb szakaszaiban.

5 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Motiváció és célkitűzések A térbeli komplex modulátorokról általában A számítási módszerekről Az LCD modellezése és kísérleti vizsgálata A reflexiós LCD Jones-mátrixa A reflexiós LCD paramétereinek mérése A fázistolástól különböző paraméterek mérése A fázistolás mérése Az LCD-vel és polárszűrőkkel megvalósítható fázismodulációk Az aluláteresztő térszűrésen alapuló komplex moduláció módszere A módszer elmélete A fázismodulátorként használt LCD-vel és aluláteresztő térszűréssel elérhető komplex modulációk A térben változó, nagyfelbontású komplex moduláció megvalósítása A lézernyaláb intenzitás-eloszlásának mérése A komplex moduláció hatékonyságának vizsgálata a térszűrés függvényében A hatékonyság vizsgálata számítógépes modellben A hatékonyság kísérleti vizsgálata Összefoglalás és kitekintés 28 A. Reflexiós LCD Jones-mátrixának levezetése 30 Irodalomjegyzék 34

6 1. Bevezetés 1.1. Motiváció és célkitűzések Az optikai rendszereket is felhasználó műszaki alkalmazásokban gyakran felmerül az igény a fény hullámfrontjának helytől függő modulációjára. Ez sokszor, például a világítástechnikában az intenzitás modulációjára korlátozódik, azonban a koherens fénnyel működő eszközökben általában mind az intenzitás, mind a fázis helytől függő modulációja elvárás. Így például a fény nagy felbontású komplex modulációja a holografikus adattárolásban nélkülözhetetlen a megfelelő hatékonyság eléréséhez. Ezen túlmenően a komplex moduláció akár lencsehibák korrekciójára is alkalmazható, és felületanalitikai vizsgálatoknál is hasznos lehet. Szakdolgozatomban egy térbeli fázismodulátoron és aluláteresztő térszűrésen alapuló komplex modulátort vizsgálok, amely alkalmas a fény hullámfrontjának fázisban és amplitúdóban függetlenül történő modulálására, kb. 100 mm-es felbontással. A dolgozat első felében a térbeli fázismodulátorként szolgáló csavart nematikus reflexiós LCD kísérleti vizsgálatával foglalkozom, a második felében pedig a komplex modulátort numerikusan modellezem, illetve kísérletileg is összeállítom, és meghatározom, hogy a térszűrés nagyságától függően milyen mértékben képes előállítani a kívánt komplex modulációt A térbeli komplex modulátorokról általában A térbeli komplex moduláció létrehozásának rengeteg módja ismert a szakirodalomban. Ezek többsége alkalmaz egy vagy több, speciálisan erre a célra készített eszközt, úgynevezett térbeli fénymodulátort, röviden SLM-et 1. Ahogy neve is mutatja, ez képes a térben változó módon valamilyen mértékben modulálni a fényt, tipikusan nem képes azonban a teljes komplex moduláció létrehozására, ezért nem önmagában, hanem egy nagyobb elrendezés részeként alkalmazzák. A komplex moduláció létrehozására szolgáló módszerek közti fő eltérés az SLM típusában, illetve az alkalmazott elrendezés elvében rejlik. Sok esetben alkalmaznak SLM-ként folyadékkristályos kijelzőt, LCD-t. Ennek megvan az az előnye, hogy térben viszonylag nagy felbontással képes különböző modulációs állapotok létrehozására, illetve, hogy feszültségjellel, tehát számítógéppel vezérelhető, viszonylag egyszerűen. Leggyakrabban a kijelzőkben is megtalálható, ún. csavart nematikus folyadékkristályos kijelzőt használják, amely önmagában általában fázismodulátorként 1 A rövidítés az eszköz angol nevéből származik: spatial light modulator. 1

7 működik, de polárszűrők megfelelő alkalmazásával amplitúdómodulátorként is alkalmazható. Az LCD-t, mint térbeli fénymodulátort alkalmazó, komplex moduláció létrehozására készült rendszerek még mindig igen sokfélék lehetnek. Ismert, például [1, 2]-ben részletezett módszer, hogy a rendszerben két LCD-t alkalmaznak, az egyiket fázismodulátorként, a másikat pedig amplitúdómodulátorként. A két LCD-t egymás után elhelyezve a modulációjuk összeszorzódik, így elérhető a komplex moduláció. Nehézkesebb, de megvalósítható az is, hogy a két LCD által külön-külön modulált nyalábokat nyalábosztó segítségével összeadják, ekkor szintén megvalósulhat a teljes komplex moduláció, bár a szükséges kivezérlések meghatározása bonyolultabb. Mindkét elrendezésről részletes leírást találunk [1, 2]-ben. Ettől eltérő, érdekes módszerről találhatunk leírást [3]-ban, ahol a szerző egy SLM-et alkalmaz, mégpedig egy ferroelektromos LCD-t, amplitúdómodulátorként. Az LCD egyik pixelén a tárolni kívánt komplex szám valós részének megfelelő, a szomszédos pixelen pedig a képzetes résznek megfelelő amplitúdómodulációt hoz létre, majd az utóbbi pixelt elhagyó nyalábot az előbbihez képest π/2 fázissal eltolja. Ily módon két pixel használatával egy komplex számot képes tárolni a hullámfrontban. Gyakori, hogy a komplex moduláció elérése érdekében nem csak magát a hullámfrontot, hanem közvetlenül annak Fourier-transzformáltját is moduláljuk. Ezt a fenti módszerek egy része is használja a nemkívánatos zaj eltávolítására, de sok alkalmazásban nem csupán zajcsökkentő szerepet játszik, hanem fontos mozzanata a komplex moduláció elérésének. Ezt használják például a [4, 5]-ben leírt módszerek, és mi is egy Fourier-szűrésen alapuló modulátort fogunk vizsgálni. A hullámfront Fourier-transzformáltjának modulációjára egy általánosan használt optikai elrendezés az ún. 4f szűrő, melynek vázlatos elrendezése az 1.1. ábrán látható ábra. A Fourier-síkbeli modulációhoz alkalmazott 4f szűrő Az ábrán a kék ellipszisek f fókusztávolságú Fourier-lencséket jelölnek. A 4f elnevezés abból adódik, hogy a teljes elrendezés hossza a fókusztávolság négyszerese, ahogy az ábrán 2

8 is látható. A Fourier-síkba kerülhet a moduláló eszköz, például egy fázistoló lemez, vagy egy aktív eszköz, akár egy újabb SLM. A továbbiakban egy csavart nematikus LCD-ből, mint fázismodulátorból, illetve egy 4f szűrőből álló komplex modulátort fogunk vizsgálni, melyben az LCD által modulált hullámfront Fourier-síkját egyszerű térszűrésnek tesszük ki. Az elrendezés egyik kulcseleme maga a fázismoduláló LCD, ezért ennek megismerésével kezdjük a tárgyalást A számítási módszerekről A munkám során monokromatikusnak tekinthető fényforrást használtam, ezért a modellekben a Jones-féle számítási eljárást fogom használni, a fényt egy kételemű Jonesvektorral modellezve, amelynek első komponense a vízszintes, a második a függőleges komponenst reprezentálja. Az LCD hatását a fényre lineárisnak feltételezem, így egy 2 2-es Jones-mátrixszal modellezem. A gyakorlatban alkalmazott folyadékkristályos kijelzőket, így az általunk használtat is egy 8 bites DA konverter segítségével vezéreljük, egyes pixeleit így 256-féle módon tudjuk kivezérelni, ennyi különböző feszültségjelet tudunk rájuk kapcsolni. Ebből adódik, hogy az egyes pixelek állapotát nem a rájuk kapcsolt feszültséggel célszerű jellemezni, hanem érdemes azt megmondani, hogy a lehetséges 256 állapot közül épp melyikben van a pixel. A lehetséges állapotokat 0-tól 255-ig megszámozva kapjuk az egyes pixelek kivezérlését jellemző skálát, az ún. szürkeskálát. A továbbiakban a pixelekre eső tényleges feszültséggel nem foglalkozunk, az egyes pixelek kivezérlését kizárólag a szürkeskálával jellemezzük. 3

9 2. Az LCD modellezése és kísérleti vizsgálata 2.1. A reflexiós LCD Jones-mátrixa Ismeretes [6 8], hogy a Jones-féle számítási módszerben a hagyományos, csavart nematikus transzmissziós LCD mátrixa az alábbi szorzatban írható fel: L = T (α ki )MT (α be )e iβ (2.1) Ahol T (α ki ) az LCD-ből kilépő fény polarizációs iránya és a kitüntetett, jelen esetben a vízszintes irány által bezárt szöggel való forgatás mátrixa; T (α be ) az LCD-be belépő fény polarizációs iránya és a kitüntetett irány által bezárt szöggel való forgatás mátrixának transzponáltja, azaz a negatív irányba való forgatás mátrixa; az exponenciális tag az LCD által okozott fázistolás; M pedig az LCD-re jellemző mátrix, ami [6 8]-nak megfelelően: cos(γ) i β M = γ sin(γ) α γ sin(γ) α γ sin(γ) cos(γ) + iβ γ sin(γ) (2.2) A mátrixban szereplő paraméterek az adott LCD-re jellemzők, és függenek az alkalmazott fény hullámhosszától, illetve a kivezérléstől, azaz attól, hogy a ig terjedő szürkeskálából melyiket jelenítjük meg. A fenti szorzatalakból levezethető (A. függelék), hogy a reflexiós LCD Jones-mátrixa a következőképp írható fel: [ ] X + iy iz L refl = e i2β (2.3) iz X + iy Ahol X, Y, Z és β valós paraméterek, és függenek a kivezérléstől, illetve a hullámhossztól. 4

10 2.2. A reflexiós LCD paramétereinek mérése A fázistolástól különböző paraméterek mérése Egy hasznos módszer ötletét találhatjuk meg [9]-ben, mégpedig, hogy a reflexiós LCD (2.3) mátrixában szereplő paraméterek mérését intenzitásmérésre vezetjük vissza. Az X, Y és Z paramétereket nem interferométeres módszerrel mérjük ki, így ezek mérésénél az exponenciális tagot, azaz a fázistolást elhagyjuk. Tekintsük az alábbi Jones-vektorral reprezentált fényhullámot: [ ] 1 0 (2.4) Ez egy vízszintes polarizációs irányú, lineárisan polarizált hullámot ír le. Az LCD hatását a fényhullámra egyszerű mátrixszorzással írhatjuk le a Jones-féle számítási eljárásban, így ha az LCD-be bemenő fényt a (2.4) vektor írja le, akkor az LCD-ből kilépő fény: [ ] [ ] [ ] X + iy iz 1 X + iy = iz X + iy 0 iz (2.5) Ha ezt a hullámot egy függőleges polárszűrőn eresztjük át, akkor a polárszűrő után a fény vektora, felhasználva a függőleges polárszűrő Jones-mátrixát [10]: [ ] [ ] [ ] 0 0 X + iy 0 = 0 1 iz iz (2.6) Ennek a hullámnak az amplitúdója tehát arányos Z-vel, így intenzitása Z 2 -tel arányos. Jelöljük ezt az intenzitást I 1 -gyel, az LCD-re vetülő fény intenzitását pedig a továbbiakban I 0 -lal. Ekkor a Z paraméterre: Z 2 = I 1 I 0 (2.7) Az Y paraméter méréséhez bocsássunk a vízszintessel 45 -os szöget bezáró polarizációjú fényt az LCD-re, majd az arról való visszaverődés után eresszük át a vízszintessel szintén 45 -os szöget bezáró polárszűrőn. Az így kapott hullám, felhasználva a 45 -os polárszűrő Jones-mátrixát, melyet a függőleges polárszűrő mátrixából egyszerű forgatással kaphatunk [10]: 5

11 [ ] [ X + iy iz iz X + iy ] [ ] 1 2 = 1 [ ] iy iy (2.8) Ennek a hullámnak az amplitúdója arányos Y-nal, az arányossági tényező pedig ugyanaz, mint a fent leírt Z paraméter esetén, a vektor előtt álló gyökös szorzónak köszönhetően. A hullám intenzitása tehát Y 2 -tel arányos, jelöljük I 2 -vel. Ekkor az Y paraméterre: Y 2 = I 2 I 0 (2.9) Az X paramétert közvetetten tudjuk mérni: olyan elrendezést használunk, amivel X 2 +Y 2 mérésére van lehetőség, amiből a fentebb megmért Y 2 -et kivonva az X paraméter számolható. Az elrendezésben vízszintes polarizációs irányú, lineárisan polarizált fényt bocsátunk az LCD-re, és az onnan visszaverődött fényt víszintes polárszűrőn vezetjük át. Az így kapott hullám, felhasználva a vízszintes polárszűrő Jones-mátrixát [10]: [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 X + iy iz 1 X + iy = 0 0 iz X + iy 0 0 (2.10) hogy: A kapott hullám intenzitása láthatóan X 2 +Y 2 -tel arányos, jelöljük I 3 -mal. Ekkor igaz, X 2 + Y 2 = I 3 I 0 (2.11) Amiből (2.9) felhasználásával kapjuk az X paraméterre, hogy: X 2 = I 3 I 2 I 0 (2.12) Az egyes paraméterek relatív előjelének meghatározását szintén intenzitásmérésre vezetjük vissza. Bocsássunk az LCD-re a vízszintessel 45 -os szöget bezáró lineáris polarizációjú fényt, majd vezessük át egy vízszintes, majd egy függőleges polárszűrőn, és mérjük az intenzitásokat. A kapott hullámok: [ ] [ 1 0 X + iy iz 0 0 iz X + iy ] [ ] 1 2 = 1 [ ] X + i(z + Y ) (2.13) [ ] [ ] [ ] 0 0 X + iy iz 1 2 = 1 [ ] iz X + iy 2 2 X i(z Y ) (2.14) 6

12 Az első hullám intenzitását I 4 -gyel, a másodikét I 5 -tel jelölve: X 2 + (Z + Y ) 2 = I 4 (2.15) X 2 + (Z Y ) 2 = I 5 (2.16) Amiből Y és Z relatív előjelére a következő adódik: sgn(y ) = sgn(i 4 I 5 ) sgn(z) (2.17) X és Z relatív előjelének meghatározásához bocsássunk az LCD-re egy cirkulárisan polarizált hullámot, vezessük át előbb vízszintes, majd függőleges polárszűrőn, és mérjük az intenzitásokat. Az így kapott hullámok: [ ] [ 1 0 X + iy iz 0 0 iz X + iy ] [ ] 1 2 = 1 [ ] (X Z) + iy i (2.18) [ ] [ ] [ ] 0 0 X + iy iz 1 2 = 1 [ ] 0 i 0 1 iz X + iy 2 2 Y i(x + Z) (2.19) Az első hullám intenzitását I 6 -tal, a másodikét I 7 -tel jelölve: (X Z) 2 + Y 2 = I 6 (2.20) Y 2 + (X + Z) 2 = I 7 (2.21) Ebből X és Z relatív előjelére pedig a következőt kapjuk: sgn(x) = sgn(i 7 I 6 ) sgn(z) (2.22) Az X, Y és Z paraméterek mérésekor az LCD-n homogén képet jelenítettünk meg, és a közti kivezérléseken 5-ös lépésekben mentünk végig, így minden paraméternél összesen 52 mérési pontot kaptunk. A mérési elrendezés vázlata a 2.1. ábrán látható. Az ábrán l/4 egy lambda-negyedes lemezt jelöl, P1 és P2 pedig polárszűrők, irányuk a fent részletezett mérési eljárásoknak felel meg, az éppen mért paramétertől függ. A mérés során is teljesített, de főleg a későbbi használat során lényeges követelmény, hogy az LCD-re vetülő, illetve az arról visszaverődő fény iránya kis szöget zárjon be az LCD normálisával; ugyanis csak ekkor igaz, hogy egy, az LCD-re vetülő fénysugár ugyanazon pixelen jön ki a véges vastagságú LCD-ről, mint amelyiken bement. A paraméterek kivezérléstől függő, mért értékei a 2.2. ábrán láthatók. 7

13 2.1. ábra. A reflexiós LCD mátrixában szereplő paraméterek mérésére szolgáló elrendezés vázlata 2.2. ábra. A reflexiós LCD mátrixában szereplő paraméterek mért értékei a kivezérlés függvényében Az LCD modellezéséhez szükségünk lenne a paraméterek értékeire az összes lehetséges kivezérlésen, nem csupán a minden 5. kivezérlésen mértekre. A 2.2. ábrán azonban látható, hogy a paraméterek értékei a kivezérlésnek nem túlságosan gyorsan változó függvényei, ezért valószínűleg nem vétünk nagy hibát, ha a nem mért kivezérléseken a paraméterek 8

14 értékét a mért pontok közti lineáris interpolációval határozzuk meg. A későbbiekben ezt a módszert használjuk minden olyan esetben, ahol szükség van a paraméterek értékére mind a 256-féle kivezérlésen A fázistolás mérése A reflexiós LCD (2.3) alakjában látható exponenciális tag jelentősen hozzájárul az LCD fázismoduláló szerepéhez. Az ebben a tagban szereplő β paraméter kivezérléstől függő értékeit interferométer segítségével mértük meg, az alkalmazott mérési elrendezés vázlata a 2.3. ábrán látható ábra. A fázistolás méréséhez összeállított elrendezés vázlata Az ábrán M1 és M2 tükrök, BS1 és BS2 polarizációs osztókockák, L1 és L2 lencsék, P1, P2 és P3 polárszűrők, l/4 pedig egy lambda-negyedes lemez. A kamera előtt elhelyezkedő két polárszűrő a kamerára vetülő nyaláb intenzitásának beállítására, a kamera telítődésének elkerülésére szolgál. A lézernyaláb a BS1 osztókockáról és az M1 tükörről továbbhaladva kissé emelkedő szögben éri el az LCD-t, és arról szintén kissé emelkedő szögben verődik vissza, oly módon, hogy az L1 lencse felé haladva az M1 tükör és a BS1 9

15 osztókocka fölött halad el. A mérésekben mindvégig egy frekvenciakétszerezett Nd:YAG lézert használtunk, melynek koherenciahossza néhány centiméter körüli. Ebben a mérésben, és minden más interferométeres elrendezés összeállításakor is ügyeltünk arra, hogy a két nyaláb úthosszkülönbsége a lézer koherenciahosszánál kisebb legyen. A mérés során az LCD-n a 2.4. ábrának megfelelő inhomogén képet jelenítettünk meg. Az ábrán a fekete terület a konstans 0 kivezérlésnek felel meg, a szürke terület pedig a ig változó kivezérlésű területnek, ez utóbbit a mérés során 5-ös lépésekben változtattuk, így a β paraméterre is 52 értéket kaptunk ábra. A fázistolás méréséhez az LCD-n megjelenített kép Az M1 tükörről az LCD-re vetülő nyaláb olyan területre érkezik, ahol homogén 0 kivezérlést alkalmaztunk, azaz a 2.4. ábrának megfelelő LCD-kép bal oldalára. A BS1 osztókockáról az LCD-re verődő nyaláb az LCD-nek arra a területére érkezik, ahol határos egymással a homogén 0 kivezérlés, és a változó értékű kivezérlés, azaz a 2.4. ábrának megfelelő LCD-kép jobb oldalára, függőlegesen középre. Ezt a nyalábot úgy irányítottuk, hogy közel azonos része essen a 0 kivezérlésű, illetve a változó kivezérlésű területre. A két nyalábot azonos polárszűrőn vezettük át, egyesítettük, majd leképeztük a kamerára, amin így a 2.5. ábrának megfelelő interferenciacsíkokat figyelhettünk meg. A kapott interferenciakép felső részén szinuszos interferenciacsíkok láthatók, az alsó részén pedig a felsőhöz képest eltolt interferenciacsíkok, hiszen itt a második nyaláb fázisát a változó kivezérlésű terület eltolta. A két területen a csíkok eltolódásából az LCD által okozott fázistolás mérhető. Az általunk használt mérési módszer előnye más mérési módszerekhez [6] képest, hogy az interferenciaképről leolvasható fázistolás nagyon stabil, ugyanis, ha az interferométer valamilyen oknál fogva, például az asztal deformációja miatt instabil, akkor az alsó és a felső csíkrendszer együtt mozdul el, így a csíkrendszerek egymáshoz viszonyított eltolódása megmarad. Az interferenciakép alsó és felső részén lévő interferenciacsíkok közti fáziskülönbséget úgy határoztuk meg, hogy a kép alsó és felső részét külön-külön Fourier-transzformáltuk, majd megkerestük a csíkok hatására kialakuló erős Fourier-csúcsokat, végül az itteni Fourier-együtthatók fázisának különbsége adta meg a csíkrendszerek közti fáziskülönb- 10

16 2.5. ábra. A fázistolás mérésekor kapott interferenciakép, az LCD jobb alsó részének 165- ös kivezérlése esetén séget. Ezzel a módszerrel a felvett képek alapján megkapható az LCD által okozott fázistolás, ez azonban nem azonos az LCD (2.3) mátrixában szereplő exponenciális tag által okozott fázistolással, ugyanis a (2.3) mátrixnak az exponenciális tag nélkül is van fázistoló hatása. Ez a hatás az X, Y és Z paraméterek ismeretében számolható, és az összes fázistolásból levonva megkaphatjuk az exponenciális tag által okozott fázistolást. Az exponensben a β paraméter egy kettes szorzóval szerepel, így az exponenciális tag által okozott fázistolás fele megadja β értékét. A β paraméter mért értékei a 2.6. ábrán láthatóak. Most már rendelkezésünkre áll az LCD összes jellemző paraméterének kivezérléstől függő értéke, így numerikusan modellezhetjük az LCD hatását a beérkező fényhullámra. Ezt arra használjuk fel, hogy megnézzük, a modell alapján milyen modulációs állapotok létrehozására képes az LCD Az LCD-vel és polárszűrőkkel megvalósítható fázismodulációk Most az LCD modellje és a mért paraméterek alapján megvizsgáljuk, hogy az LCD és polárszűrők alkalmazásával milyen komplex modulációk érhetők el, adott bemenő hullám 11

17 2.6. ábra. A fázistolásra jellemző β paraméter mért értékei a kivezérlés függvényében esetén, a kivezérléstől függően. Az LCD-t fázismodulátorként szeretnénk használni, ezért olyan elrendezést keresünk, melyre a kilépő, azaz az LCD-ről visszaverődő hullám intenzitása csak kis mértékben függ a kivezérléstől, ugyanakkor szeretnénk, ha minél nagyobb tartományban tudnánk a fázist modulálni. Másképpen fogalmazva, azt szeretnénk, hogy ha a kimenő hullám mint komplex fazor valós és képzetes részét különböző kivezérléseken ábrázoljuk, akkor egy olyan görbét kapjunk, amely a lehető legjobban hasonlít egy körívre, és a lehető legnagyobb komplex fázistartományt fedi át. A numerikus számítások azt mutatják, hogy vízszintes lineáris polarizációjú bemenő hullámmal, és a kilépő hullámot 45 -os polárszűrőn átvezetve ez elég jól teljesül. A 2.7. ábrán ábrázoljuk a kimenő hullám valós és képzetes részét, ebben az elrendezésben, az összes mért kivezérlésen, egységnyi intenzitású bemenő fény esetén. Látható, hogy az LCD-t ilyen polárszűrő-beállítások mellett alkalmazva közel tisztán fázismoduláció érhető el, nagyjából a [0, 1.12π] fázistartományban. 12

18 2.7. ábra. Kimenő hullám valós és képzetes része a mért kivezérléseken, egységnyi intenzitású bemenő hullám esetén 13

19 3. Az aluláteresztő térszűrésen alapuló komplex moduláció módszere 3.1. A módszer elmélete Az általunk alkalmazott módszer alapelve, hogy az LCD-n két különböző kivezérléssel egy sakktábla-mintázatot jelenítünk meg, a 3.1. ábrának megfelelően: 3.1. ábra. Az LCD-n megjelenített sakktábla-mintázat A 3.1. ábrán a sötétszürke négyzetek az egyik, a világosszürke négyzetek a másik kivezérlést jelképezik. Elvileg elegendő lenne, ha a 3.1. ábrán látható sakktábla egyes mezőit az LCD-n egy-egy pixellel jelenítenénk meg, a tényleges mérés során azonban a sakktábla egy mezőjét egy 2 2 pixeles négyzeten jelenítettük meg. Az így kivezérelt LCD-ről visszaverődő fény szintén a 3.1. ábrához hasonlóan, sakktábla-mintázatban lesz modulálva. Ha az LCD előtti és utáni polárszűrőket a 2.3. részben leírtak szerint állítjuk be, akkor a visszavert fényt lényegében csak fázisban moduláljuk, így - homogén síkhullámmal leírható beérkező fényt feltételezve - létrejön egy közel állandó amplitúdójú, fázisban sakktábla-szerűen modulált hullámfront. Ezt a visszavert hullámot ezután Fourier-térszűrésnek vetjük alá - például egy, az 1.1. ábrán látható 4f szűrő segítségével, - oly módon, hogy csak az alacsony frekvenciás összetevőket, elsősorban a nulladrendet engedjük át. Ha a visszavert hullámot helytől függő komplex vektorral, fazorral jellemezzük, akkor itt lényegében az történik, hogy a térben sakktábla-szerűen változó fazorok mintázatából a nulladrendet, azaz a nulla frekvenciájú, térben állandó összetevőt engedjük át, ami nem más, mint a két fazor átlaga, azaz a két komplex vektor vektori összegének fele. A visszavert fény kétféle modulációját, és a térszűrés utáni hullám modulációját reprezentáló sematikus rajz látható a 3.2. ábrán. Ily módon az eredeti, sakktábla-szerűen modulált hullámból egy, a térben jó közelítéssel homogén hullámot kapunk, amely már nem csupán fázisban, hanem amplitúdóban is 14

20 3.2. ábra. A kiinduló modulációk és az aluláteresztő szűrés utáni moduláció modulált. Ha feltételezzük, hogy az LCD-ről visszaverődő fény tisztán fázismodulált, azaz a visszavert hullám amplitúdója térben homogén és egységnyi, akkor a térszűrés utáni hullám amplitúdóját és fázisát egyszerűen megkaphatjuk a visszavert, és kétféleképpen modulált hullámfront pixeleinek kétféle fázisállapotából. Ha a kétféle fázist φ 1 -gyel, illetve φ 2 -vel jelöljük, akkor a térszűrés utáni hullám A amplitúdója és Φ fázisa: A = 1 + cos(φ 1 φ 2 ) 2 (3.1) Φ = φ 1 + φ 2 2 (3.2) Ennél fontosabb, hogy ha egy A amplitúdójú és Φ fázisú hullámot akarunk előállítani ezzel a módszerrel, akkor ebből a két értékből meghatározhatjuk, hogy milyen legyen a térszűrésnek alávetett hullámfront pixeleinek kétféle fázisállapota, φ 1 és φ 2. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy φ 1 φ 2, hiszen ha nem így lenne, akkor cseréljük meg a kétféle fázis elnevezését. (3.1), illetve (3.2) alapján írható: cos(φ 1 φ 2 ) = 2A 2 1 (3.3) φ 1 + φ 2 = 2Φ (3.4) A (3.3) egyenletből, felhasználva, hogy φ 1 φ 2, következik, hogy: φ 1 φ 2 = arccos(2a 2 1) (3.5) Végül pedig (3.4) és (3.5) felhasználásával a következőt kapjuk a szükséges fázisokra: φ 1 = 2Φ + arccos(2a2 1) 2 (3.6) 15

21 φ 2 = 2Φ arccos(2a2 1) 2 (3.7) (3.6)-ból és (3.7)-ből azonnal látható, hogy a szükséges fázisok értékére nem kapunk eredményt, ha 2A 2 1 > 1, hiszen ekkor az arccos függvénynek nem lenne értelme. Ez azonban pontosan akkor fordul elő, ha A > 1, azaz ha azt szeretnénk, hogy a kapott hullám amplitúdója egységnyinél nagyobb legyen. Az LCD-ről visszaverődő hullám amplitúdóját azonban egységnyinek tételeztük fel, így a térszűrés utáni hullám amplitúdója ennél nem lehet nagyobb, pusztán térszűréssel nem növekedhet a hullám intenzitása, ez sértené az energiamegmaradást. Végeredményben tehát megkaptuk, hogy ha egy ideális fázismodulátorral a fény fázisát megfelelő mintázatban moduláljuk, majd aluláteresztő térszűrésnek vetjük alá, akkor milyen fázismodulációkat kell beállítanunk, hogy a térszűrés után a kívánt fázisú és amplitúdójú hullámot megkapjuk. Az általunk használt LCD azonban nem tökéletes fázismodulátor, a 2.7. ábrán látható lehetséges modulációk nem alkotnak tökéletes kört. Ezért a következő alfejezetben azt elemezzük, hogy az alkalmazott LCD fázismodulátorként történő használata esetén milyen komplex modulációk érhetők el a térszűrés után A fázismodulátorként használt LCD-vel és aluláteresztő térszűréssel elérhető komplex modulációk (3.1) és (3.2) összefüggéseket tekintve látható, hogy ha φ 1 -et és φ 2 -t a teljes [0, 2π] intervallumon tudnánk változtatni, akkor a térszűrés utáni hullámot jelképező fazort a komplex egységkörlapon bárhová be tudnánk állítani, azaz tetszőleges fázisú és amplitúdójú hullámot hozhatnánk létre, persze azzal a megkötéssel, hogy az amplitúdó legfeljebb egységnyi. Azonban a 2.3. részben láttuk, hogy az általunk alkalmazott LCD az alkalmazott hullámhosszon nem képes a teljes [0, 2π] intervallumban modulálni a fázist, így a térszűréssel előállítható hullámot jelképező fazor sem mutathat a komplex egységkörlap bármelyik pontjába. Ezen kívül az LCD kivezérlése diszkrét, így a komplex egységkörlapon is csupán diszkrét pontokat tudunk elérni. Azt, hogy konkrétan melyik pontokat érhetjük el, az előző alfejezetben leírtak alapján úgy tudjuk meghatározni, ha az LCD által létrehozható fázismodulációknak megfelelő komplex pontokból képezzük az összes lehetséges pontpárt, és ezen pontpárok átlagát ábrázoljuk a komplex síkon. Az ily módon képezett összes lehetséges pontpár-átlagot, azaz az LCD-vel és aluláteresztő térszűréssel elérhető összes lehetséges komplex modulációt mutatjuk a 3.3. ábrán. Látható, hogy az elérhető modulációk közel sem alkotnak körlapot 16

22 a komplex síkon, hiszen az alkalmazott LCD sem ideális fázismodulátor ábra. Modulált hullám valós és képzetes része az összes kivezérlésen, egységnyi intenzitású bemenő hullám esetén 17

23 4. A térben változó, nagyfelbontású komplex moduláció megvalósítása A komplex moduláció problémáját eddig csak abból a szempontból kezeltük, hogy milyen modulációkat vagyunk képesek egyáltalán megvalósítani. Az igazi feladat azonban az, hogy olyan hullámfrontot állítsunk elő, melynek modulációját a helytől függően tudjuk beálítani. Azt állítom, és a dolgozat hátralévő részében numerikus számításokkal és kísérletileg is igazolni fogom, hogy az előző fejezetben leírt módszer ismeretében ez már nem okoz nehézséget. A javaslatom a következő: osszuk fel a hullámfront síkját kis négyzetekre, majd határozzuk meg, hogy melyik négyzetben milyen modulációt szeretnénk elérni. Ezután az LCD-n a kiválasztott négyzetnek megfelelő helyen jelenítsük meg a 3.1. ábrán látható sakktábla-mintázatot, a kívánt modulációnak megfelelő kivezérléssel. Ezt végezzük el az összes kis négyzetre, lefedve a teljes hullámfrontot, majd alkalmazzuk az előző fejezetben leírt aluláteresztő térszűrést. Megfelelő mértékű térszűrés alkalmazásával ekkor a kívánt moduláció-mintázatot jól közelító hullámfrontot fogunk kapni. Ez a hullámfront a 3.1. ábrán is látható 4 4-es sakktáblamintát alkalmazva kb. 96 mm 96 mm területű, közel homogén modulációjú területekből fog összeállni, így kapjuk a bevezetőben említett felbontást. Matematikai, analitikus bizonyítás helyett a fenti módszer helyességét numerikus modellezés és kísérleti összeállítás segítségével fogjuk igazolni, illetve meghatározzuk, hogy mekkora a megfelelő mértékű térszűrés, azaz megvizsgáljuk, hogy a térszűrés mértékének függvényében mennyire korrelál a ténylegesen kapott, illetve modellből számolt hullámfront a kívánt hullámfronttal. Mielőtt azonban ehhez hozzálátnánk, szükség van még egy, a rendszert jellemző adatra, mégpedig a lézernyaláb térbeli intenzitás-eloszlására. Itt ugyanis már a térbeli helyzettől függő mennyiségekkel fogunk dolgozni, így egyáltalán nem mindegy, hogy az LCD-re vetülő, és onnan visszaverődött fény amplitúdója a térben hogyan változik A lézernyaláb intenzitás-eloszlásának mérése A lézernyaláb intenzitás-eloszlását ún. késél-módszerrel mértük meg. Ennek lényege, hogy a nyalábot egy detektorra bocsátjuk, a detektor elé pedig fokozatosan egy, a fényt át nem eresztő élt tolunk be, amely a nyaláb egy részét kitakarja. Az él helyzetétől függően mértük a detektor által mutatott intenzitásértéket, így lényegében a nyaláb intenzitás- 18

24 eloszlásának integrálját kaptuk meg. A kapott mérési pontok numerikus deriválásával kapható a lézer intenzitásprofilja. [11] alapján feltételezzük, hogy a lézernyaláb ún. Gaussnyaláb, azaz intenzitása csak a nyaláb közepétől, mint origótól mért r távolságtól függ, az alábbi módon: I(r) = I 0 e r2 2σ 2 (4.1) Itt I 0 a nyaláb maximális intenzitása, σ pedig a nyaláb alakját leíró Gauss-görbe szórása. A numerikus deriválás utáni értékek, és az illesztett Gauss-görbe a 4.1. ábrán látható ábra. A lézernyaláb mérési adatokból számolt intenzitása és az illesztett Gauss-görbe A nyalábra jellemző paraméterek az illesztett görbe alapján: I 0 = [önkényes egység] ± 3% (4.2) σ = mm ± 3% (4.3) Most, hogy ismerjük a lézernyaláb paramétereit, nekilátunk a tulajdonképpeni cél megvalósításának, azaz megnézzük, hogy mennyire hatékonyan tud az alkalmazott LCD és az aluláteresztő szűrés térben változó komplex modulációt előállítani. 19

25 4.2. A komplex moduláció hatékonyságának vizsgálata a térszűrés függvényében Annak vizsgálatára, hogy az alkalmazott módszer (LCD, mint fázismodulátor és aluláteresztő szűrés) milyen mértékben képes a kívánt komplex moduláció elérésére, a következő módszert dolgoztuk ki: Az LCD megvilágított területét kis négyzetekre osztottuk, a fejezet elején leírtaknak megfelelően. Ezután minden négyzeten a 3.1. ábrához hasonló sakktábla-mintázatot jelenítettünk meg, két, véletlenszerűen választott kivezérléssel. Ekkor természetesen minden négyzetre kiszámolható a várható kimeneti moduláció értéke, hiszen az LCD minden paramétere ismert, így meg tudjuk határozni, hogy az adott négyzetben szereplő kétféle kivezérlés milyen modulációt okoz; ezek átlagát véve pedig megkapjuk a térszűrés után várható modulációt, a kiszemelt négyzet helyén a hullámfronton. Ilyen módon az LCD kivezérléséből előállíthatunk egy várható moduláció-mintázatot, amelyet az ideális kimeneti hullámfrontnak tekintünk. Azt vizsgáljuk, numerikusan és kísérletileg, hogy az aluláteresztés mértékét változtatva a modellből számolt, illetve a kísérletileg mért hullámfront mennyire korrelál ezzel az ideális hullámfronttal. A matematikai egzaktság kedvéért megemlítjük, hogy a hullámfrontok közti kapcsolatot az őket reprezentáló, komplex elemű mátrixok keresztkorrelációjának abszolút értékével jellemezzük, ezt határozzuk meg. A fentiek szemléltetésére, az LCD-n megjelenített, véletlenszerű sakktáblákból összerakott mintát a 4.2. ábrán mutatjuk be. Az ábrán a fekete területek a 0 kivezérlést, a fehér részek a 255-ös kivezérlést, a köztes szürke területek pedig a szürkeskálának megfelelő kivezérlést jelentik. A kép közepén lévő fekete terület célja, hogy a kiértékelés során referenciaként szolgáljon, ugyanis a konstans 0 kivezérléssel elért modulációt (amely így a térszűrés után is ugyanilyen marad) tekintjük 0 fázisúnak. A 4.2. ábrán látható mintával kivezérelt LCD és aluláteresztő térszűrés segítségével létrehozott tényleges hullámfrontot, ahogy fentebb említettem, numerikus modellezéssel is számoltuk, és tényleges kísérletben is megvalósítottuk, különböző kivezérlések mellett. Az alábbiakban mindkét módszert elemzem A hatékonyság vizsgálata számítógépes modellben A számítógépes modellezés során először mátrixként eltároltam a 4.2. ábrán látotthoz hasonló mintázatot, majd minden egyes pixelre (mátrixelemre) kiszámoltam, hogy az adott pixelen érvényes kivezérlés az LCD paramétereivel számolva milyen modulációnak 20

26 4.2. ábra. A komplex moduláció hatékonyságának vizsgálatához az LCD-n megjelenített kép felel meg. Ezt a mátrixot megszoroztam egy, a lézer profiljára jellemző Gauss-burkolóval, Így egy komplex elemű mátrixot kaptam, ami az LCD-ről visszaverődő fény hullámfrontjának modulációját reprezentálja. Ezen kellett modellezni a térszűrést. Ezt úgy tettem meg, hogy a mátrixot Fourier-transzformáltam, a Fourier-síkban pedig a mátrix közepétől (a nulladrend helyétől) adott távolságnál messzebb elhelyezkedő mátrixelemeket nulláztam, ezzel reprezentálva, hogy ezeket a komponenseket szűrjük. (Az alkalmazott levágási távolság felel meg a térszűrés mértékének.) Végül az így kapott mátrixot inverz Fourier-transzformáltam, így megkaptam a szűrés utáni hullámfrontot reprezentáló mátrixot. Ezután képeztem a kapott mátrix, és a 4.2. részben leírt ideális mátrix keresztkorrelációjának abszolút értékét. A továbbiakban az egyszerűség kedvéért korrelációkról fogok beszélni, de ez alatt mindig a keresztkorreláció abszolút értékét kell érteni. Ezt az eljárást sok különböző levágási távolsággal, azaz különböző mértékű térszűréssel végrehajtottam, és a kapott korrelációkat ábrázoltam az aluláteresztés mértékének, azaz a modellben alkalmazott apertúra átmérőjének függvényében. A kapott korrelációk a 4.4. ábrán, kék vonallal jelölve láthatók. Az ábrán az apertúra átmérőjét a kivezérlés mintázatára jellemző Nyquist-apertúrában adtuk meg, hiszen ez a modellezett rendszer Fourier-síkjának karakterisztikus távolsága. Értéke annak a távolságnak felel meg, amilyen 21

27 távol lenne a fókuszsíkban a nulladrendtől az első rend, ha az LCD-n olyan sakktáblamintázatot jelenítenénk meg, amelyben akkora méretű homogén területek váltakoznának, mint a 4.2. ábrán látható minta 4 4-es sakktáblákkal fedett négyzetei. Megjegyezzük, hogy a fenti eljárást több különböző, véletlenszerű, a 4.2. ábrán láthatóhoz hasonló képpel elvégezve az tapasztaltuk, hogy a korrelációs görbék a különböző képekre nagyon hasonlóak, a közöttük lévő különbség elhagyagolhatóan csekély. Ezért a kísérleti vizsgálatot elegendő egyféle képpel elvégezni, hiszen várható, hogy ott is nagyon hasonló értékeket kapnánk a korrelációkra más véletlen képek esetén is. A 4.4. ábrán látható, hogy megfelelő mértékű térszűrés esetén igen erős, 90% feletti korreláció tapasztalható a modellből számolt és az ideális moduláció-mintázat között. Semmiképp nem várhatjuk azonban, hogy a kísérletben mért hullámfront is ilyen jól korrelál majd az ideálissal, egyszerű modellemben ugyanis minden optikai elemet ideálisnak tételeztem fel, minden por, hiba és aberráció nélkül. Így, ha a 4.4. ábrán kék vonallal jelölt korrelációs görbéhez próbáljuk hasonlítani a majdani mért korrelációkat, akkor nem egyértelmű, hogy az eltérés a tökéletlen modulációból, vagy az optikai rendszer hibájából ered, például az egyes optikai elemeken lévő porból, a lézernyalábnak a nem tökéletesen sima felületek miatt létrejövő szemcseképe vagy a CCD kamera esetleges hibás pixeleiből. Annak érdekében, hogy a majdani mért korrelációkból a moduláció hatékonyságát lehessen kiolvasni, el kell készíteni egy olyan elméleti korrelációs görbét, amely már magában foglalja az optikai rendszer hibáit. Ezt úgy végeztük el, hogy az LCD-n homogén 0 kivezérlést jelenítettünk meg, majd a korrelációk mérésére szolgáló elrendezésen átengedett lézernyalábot lefényképeztük a CCD kamerával. Ennek a képnek elméletileg Gauss-profilt kellene mutatnia, a lézernyaláb intenzitásprofiljának megfelelően. Ez közelítőleg teljesül is, de persze nem tökéletesen, hiszen a por és az alkalmazott elemek hibái fluktuációkat visznek a kép profiljába. Ezzel a fluktuációval, a Gauss-harangtól való átlagos eltéréssel jellemezzük az optikai rendszer hibáját. Ezt a [12]-ban leírtaknak megfelelően úgy tesszük meg, hogy a hullámfront minden pontjához hozzáadunk egy, a zajt jelképező komplex vektort, amelynek fáziseloszlása a [0, 2π] intervallumban egyenletes, intenzitáseloszlása pedig exponenciális, mégpedig olyan exponenciális, melynek várható értéke a kamerával felvett lézernyalábnak a Gauss-harangtól vett relatív átlagos eltérése, az átlagos intenzitáshoz viszonyítva (matematikailag a felvett képre illesztett Gauss-harangra vett négyzetes közepes eltérés gyöke osztva az átlagos intenzitással). Az így előállított, zajjal terhelt hullámfrontokat szintén korreláltattuk az ideális hullámfronttal különböző mértékű térszűrés esetén. A kapott korrelációkat a 4.4. ábrán zöld színnel ábrázoltuk. Amint az várható, a zajjal terhelt esetben a korrelációk alacsonyab- 22

28 bak. A szimuláció után kísérlettel is meghatároztuk az ideális és a tényleges hullámfront közötti korrelációkat, különböző apertúraméretek, azaz különböző mértékű aluláteresztő térszűrés esetén A hatékonyság kísérleti vizsgálata A térszűrés utáni komplex hullámfrontot kísérletileg vizsgálni meglehetősen komplikált. Nem elegendő ugyanis, ha egyszerűen megjelenítjük az LCD-n a 4.2. ábrán látható mintázatot, majd elvégezzük az aluláteresztő szűrést, és a kapott képet kamerával felvesszük. A CCD kamera ugyanis, mint minden detektor, csak a fény intenzitásának mérésére képes, a fázis mérésére nem, ezért a helytől függő fázis és intenzitás mérésére interferométert állítottunk össze. A mérés elve, hogy a lézernyalábot az LCD előtt kettéosztjuk, majd az egyik nyaláb olyan területről verődik vissza, ahol a 4.2. ábrához hasonló képet jelenítünk meg (tárgynyaláb), a másik nyaláb pedig olyan területről, ahol homogén 0 kivezérlést alkalmazunk (referencianyaláb). Ezután mindkettőn elvégezzük az aluláteresztő szűrést, majd a referencianyalábot egy dönthető, plánparallel üveglapon vezetjük át, végül pedig a két nyalábot a kamerán interferáltatjuk. A mérési elrendezés vázlatát a 4.3. ábrán mutatjuk be. Az ábrán P1, P2 és P3 polárszűrőket jelentenek, L1 és L2 Fourier-lencséket, M1 egy síktükröt, l/4 pedig egy lambda-negyedes lemezt. Az elrendezés segítségével a tárgynaláb helytől függő fázisát a referencianyalábbal történő interferencia miatt helytől függő intenzitásként érzékeljük. Ez azonban önmagában nem elegendő a fázis mérésére, hiszen a kamerán egy csíkrendszert láthatunk az egyesített nyalábok nem tökéletes párhuzamossága miatt; továbbá gondot okoz a lézernyaláb Gaussprofilja is, hiszen nem egyértelmű, hogy egy adott pixel az interferencia miatt sötét, vagy a lézer intenzitása kisebb azon a helyen. Ezért iktattuk be a rendszerbe a dönthető üveglapot, amelynek vízszintes, a fénysugárra merőleges tengely körüli megdöntése segítségével a referencianyaláb fázisát tetszőlegesen eltolhatjuk. Az üveglapot egy második lézerrel világítottuk meg, a róla visszaverődő fényt pedig egy skálára vetítettük, így mérni tudtuk az üveglap dőlési szögét. Az üveglap megdöntésével a kamera által felvett képen minden pixel intenzitása változik, méghozzá periodikusan, hiszen a referencianyaláb relatív fázisa π többszörösével is el tud tolódni. Így a különböző szögben megdöntött üveglappal felvételeket készítve, minden pixel intenzitása periodikus, közel szinuszos változást fog mutatni, és ezen szinuszgörbék relatív fázisa elvben megadja az egyes pixelek helyén a fény relatív fázisát. A gyakorlatban persze erre még rálapolódik az egyesített nyalábok tökéletlen párhu- 23

29 4.3. ábra. A komplex moduláció hatékonyságának méréséhez alkalmazott összeállítás zamosságából adódó, lassan változó fázismaszk, ezért a fenti mérést úgy is elvégeztük, hogy a tárgynyaláb is homogén 0 kivezérlésű területről verődött vissza. Az ekkor mért fázist a fenti módszerrel mért fázisból levonva megkapjuk az egyes pixelek tényleges relatív fázisát. Ennél azonban többet is tud a rendszer: nem csupán a relatív fázis, hanem a relatív intenzitás mérésére is alkalmas. Az egyes pixelek közel szinuszos intenzitás-váltakozásából ugyanis - Hanning-ablak alkalmazásával - diszkrét Fourier-transzformációval határoztuk meg a fázist, úgy, hogy a legnagyobb Fourier-csúcsnál lévő, azaz a legnagyobb abszolút értékű Fourier-együttható fázisát tekintettük. A Fourier-transzformáció azonban lineáris, így a legnagyobb abszolút értékű Fourier-együttható abszolút értékének négyzete megadja 24

30 a relatív intenzitást. Ilyen módon meg tudtuk határozni a térszűrés utáni hullám helytől függő intenzitását és fázisát, azaz a teljes komplex modulációt. A mérést elvégeztük több különböző apertúraméret mellett, azaz különböző mértékű aluláteresztést alkalmazva; minden alkalommal körapertúrát használtunk. A különböző apertúrák alkalmazása esetén kapott hullámfrontokat korreláltattuk az ideális hullámfronttal, és a kapott értékeket ábrázoltuk az apertúraméret függvényében, a 4.4. ábrán, piros -ekkel jelölve ábra. A szimulált, és a mért hullámfrontok korrelációja az ideálissal Látható, hogy a mért korrelációk nagyon szépen illeszkednek a zajjal terhelt szimulációs görbére. Ez nem csupán azt mutatja, hogy a fázis- és intenzitásprofil mérésére kifejlesztett eljárás működik, hanem azt is, hogy a zaj kezelésével kibővített számítógépes szimuláció megfelelően modellezi a tényleges modulációt, jól írja le a tényleges optikai rendszer viselkedését. A szimuláció hatékonyságának szemléltetésére a 4.5a. ábrán közöljük a szimulációból kapott kép intenzitását, a 4.5b. ábrán pedig a tényleges mérés eredményét azonos aluláteresztő térszűrés esetén, interferencia nélkül. Ez természetesen csak az intenzitás modulációjáról ad tájékoztatást, de így képet kaphatunk arról, hogy mennyire tudtuk modellezni a rendszert. Mindkét kép esetén olyan mértékű aluláteresztő szűrést alkalmaztunk, amely a 4.4. ábrán látható korrelációs görbék maximumhelye közelében van. 25

31 Ha ezt elfogadjuk, akkor megállapíthatjuk, bár a konkrét eszközök - maguk a fizikai objektumok, lencsék, tükrök, stb. - nem elhanyagolható mértékű zajt visznek a rendszerbe, ami korlátozza a komplex moduláció hatékonyságát, maga a módszer azonban alkalmas komplex moduláció létrehozására. Ugyanis, ha a mérést terhelő zajt megfelelően modelleztük, akkor az, hogy a mért korrelációk jól egyeznek a zajjal terhelt szimulációs görbével, azt jelenti, hogy a komplex moduláció hatékonyságát elsősorban a mérés zaja rontja el, nem pedig a módszer elvi hibája. Ebből az is következik, hogy jobb eszközök - tökéletesebb lencsék, simább felületű tükrök, portalanított rendszer - alkalmazásával, azaz a zaj csökkentésével megközelíthető a 4.4. ábrán is látható, a zajterhelést nem tartalmazó szimulációs görbe. A zaj csökkentésével a komplex moduláció hatékonysága tehát növelhető, annak elvi maximumot csak a zajt nem tartalmazó szimulációs görbe szab, ez a maximum pedig - megfelelő mértékű térszűrés esetén - akár 95%-os korrelációt is jelenthet. 26

32 (a) szimulációból kapott kép (b) kamerával felvett kép 4.5. ábra. A szimulált és a mért képek intenzitáseloszlása, a Nyquist-apertúra kétszeresével végzett aluláteresztés esetén 27

33 5. Összefoglalás és kitekintés A dolgozatban célul tűztük ki, hogy megvizsgáljunk egy fázismodulátorból és aluláteresztő térszűrőből álló optikai rendszert, mint komplex modulátort. A transzmissziós LCD szakirodalomból vett Jones-mátrixát felhasználva levezettük a fázismodulátorként szolgáló reflexiós LCD Jones-mátrixát (A függelék), majd ezen mátrix paramétereinek meghatározására mérési összeállítást dolgoztunk ki, és különböző kivezérlések esetén megmértük a paraméterek értékeit. Ezt felhasználva numerikusan elemeztük, hogy az LCD milyen fázismodulációra képes, megállapítottuk, hogy megfelelő polárszűrő-beállítás esetén alkalmas fázismodulátornak kb. a [0, 1.12π] tartományban. Ezután bemutattuk az aluláteresztő térszűrésen alapuló komplex moduláció elvét, kidolgoztunk egy algoritmust, mellyel egy ideális fázismodulátor esetén a kívánt komplex modulációból kiszámolható a szükséges fázismoduláció, majd a módszer elméletét felhasználva számítógéppel vizsgáltuk, hogy a fázismodulátorként alkalmazott LCD és aluláteresztő szűrő alkalmazásával milyen komplex modulációkat hozhatunk létre. Ezután áttértünk a térben változó moduláció vizsgálatára, ehhez kimértük a lézernyaláb intenzitásprofilját, majd annak vizsgálatába kezdtünk, hogy a térben változó komplex moduláció hatékonysága hogyan függ az alkalmazott aluláteresztés mértékétől. A térszűréstől való függést véletlen képek segítségével számítógépes szimulációval és kísérletileg is vizsgáltuk, megmutattuk, hogy egy ideális rendszerrel, megfelelő aluláteresztő térszűrés alkalmazásával elvileg olyan hullámfront állítható elő, amely akár 95%-osan korrelál az ideálissal. A szimulációba ezután belefoglaltuk az optikai rendszer tökéletlensége folytán fellépő zajt, és így is elemeztük a komplex moduláció hatékonyságát a térszűrés függvényében. Végül a moduláció hatékonyságára kísérleti elrendezést állítottunk össze, mellyel mérni tudtuk a modulált fény intenzitás- és fázisprofilját, azaz a teljes komplex modulációját, és az így mért hullámfrontot is összehasonlítottuk az ideálissal. Azt tapasztaltuk, hogy a mért hullámfrontok korrelációja az ideális hullámfronttal nagyon hasonlóan viselkedik a térszűrés függvényében, mint a zajt is tartalmazó szimulált hullámfrontoké, mindkettővel kb. 75%-os korrelációt tudtunk elérni. Ebből azt a következtetést vontuk le, hogy helyesen modelleztük a rendszert, a hatékonyság csökkenését valóban a mérési zaj adta, ezért kisebb zajú eszközökkel az elrendezés alkalmas lehet hatékony komplex modulátorként való alkalmazásra. A módszerrel kapcsolatban még sok kérdés képezheti vizsgálat tárgyát. Jelen dolgozatban csak azt az esetet vizsgáltuk, amikor az LCD-n megjelenített kép a 3.1. ábrán látható 4 4-es sakktábla-mintákból állt, a minták mérete azonban természetesen tetszőlegesen változtatható. Várható, hogy a minták méretének növelése (pl. 6 6 mezőből álló minta 28

34 alkalmazása) növeli a komplex moduláció hatékonyságát, a moduláció térbeli felbontása azonban csökken. Szintén érdeklődésre tarthat számot, hogy mi történik, ha az aluláteresztő térszűrést nem a számomra rendelkezésre álló körapertúrával végezzük, hanem négyzetapertúrával. A 3.1. ábrán látható mintázat alkalmazása esetén ugyanis a modulált hullámfront Fourier-síkja négyzetháló-szerű, így várható, hogy a négyzetapertúra alkalmazása célszerűbb. Végül pedig megemlítjük, hogy az utóbbi idők hasonló területen kapott eredményei [13] alapján úgy tűnik, a Fourier-síkban történő szűrést célszerűbb úgy végezni, hogy a szűrő nem kétállapotú (átenged-nem enged át), hanem a transzmissziója a helynek folytonosan differenciálható függvénye. 29

35 A. Függelék Reflexiós LCD Jones-mátrixának levezetése Ahogy az 1.3. részben is látható, a transzmissziós LCD-re jellemző mátrix, amit a forgatási mátrixokkal szendvicselünk: cos(γ) i β L = γ sin(γ) α γ sin(γ) α γ sin(γ) cos(γ) + iβ γ sin(γ) (A.1) Amely a következő alakba írható, alkalmasan megválasztott c és v komplex elemekkel: L = [ ] c v v c (A.2) Egy ilyen alakú mátrixot szeparálni tudunk három mátrix szorzatára, mégpedig oly módon, hogy egy fázistolást leíró mátrixot két forgatási mátrixszal szendvicselünk. Legyen ugyanis: Illetve: [ ] cos(θ) sin(θ) T (θ) = sin(θ) cos(θ) [ ] e iφ 0 A(φ) = 0 e iφ (A.3) (A.4) Ekkor a három mátrix szorzata: T (θ)a(φ)t (θ) = [ ] cos 2 (θ)e iφ sin 2 (θ)e iφ cos(θ) sin(θ)(e iφ + e iφ ) cos(θ) sin(θ)(e iφ + e iφ ) cos 2 (θ)e iφ sin 2 (θ)e iφ (A.5) Látható, hogy ez a szorzat szintén (A.2) alakú. 30