KÉTRÉSZECSKÉS KVANTUMOS BOLYONGÁS

Átírás

1 KÉTRÉSZECSKÉS KVANTUMOS BOLYONGÁS Tudományos Diákköri dolgozat Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar IV. informatikus fizika Témavezető: Kiss Tamás MTA SZFKI, Kvantumoptikai és Kvantuminformatikai Osztály

2

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Áttekintés Célkitűzés Felépítés A kétdimenziós diszkrét kvantumos bolyongás leírása Kétdimenziós egyrészecskés bolyongás Kiterjesztés két részecskére Numerikus eredmények Szimulációs program Egyrészecske jellemzők A kétrészecske állapot kvantumstatisztikájának szerepe a találkozási valószínűségben Az összefonódás szerepe A bolyongás leírása Fourier-képben Áttérés Fourier-képre Találkozási valószínűség Fourier-képben A lokalizáció hatása a találkozási valószínűségre Grover-érme esetén Összefoglalás 24 Hivatkozások 25

4 Bevezetés 1. Bevezetés 1.1. Áttekintés A klasszikus véletlen bolyongás [1] egy sokat tanulmányozott, egyszerű, hatékony modell, mely többek között alkalmazható a diffúzió, járványterjedés, számítógépes hálózatok viselkedésének vizsgálatára. A klasszikus bolyongás egyik lehetséges kvantummechanikai kiterjesztése a diszkrét idejű kvantumos bolyongás [2]. A fellépő kvantummechanikai interferencia miatt a kvantumos bolyongás erős hullámtulajdonságokat is mutat. Fontos különbség, hogy a klasszikus véletlen bolyongás időfejlődése véletlenszerű, ezzel szemben a diszkrét idejű kvantumos bolyongás időfejlődése unitér, azaz determinisztikus, véletlenszerűséget csak a mérés hoz be. Az unitér időfejlődés fontos eleme az érmeoperátor, amely a bolyongó lépésének irányát befolyásoló véges dimenziós Hilbert téren, az úgynevezett érmetéren hat. Az egyrészecskés diszkrét idejű kvantumos bolyongás a hullámszerű viselkedés miatt más jellegű térbeli eloszlást mutat, mint a klasszikus véltetlen bolyongás (1. ábra). A klasszikus bolyongás Gauss-eloszláshoz vezet, melynek a szórása t, ezzel szemben a kvantummechanikai interferencia miatt a diszkrét idejű kvantumos bolyongás két csúcsú eloszlásra vezet, melynek a szórása t. 1. ábra. Klasszikus (piros görbe) és kvantumos (kék görbe) bolyongó megtalálási valószínűsége 1000 lépés után. A klasszikus bolyongásra jellemző a Gauss alakú eloszlás, melynek szórása t, ezzel szemben a kvantumos bolyongós a fellépő interferencia miatt két csúcsú eloszlásra vezet, melnyek szórása t. (Eme tisztán kvantumos tulajdonság klasszikusan behozhatatlan előnyöket jelenthet egy gráfot bejáró kvantumos algoritmusban.) A kvantumos bolyongás viselkedésében fontos a mérés időpontját és módját meghatározni. A diszkrét idejű kvantumos bolyongás időlépései természetes időskálát szolgáltatnak a méréshez, ám ha minden lépésben mérünk, akkor a bolyongás elveszti kvantumos jellegét és klasszikus bolyongásként viselkedik. Štefaňák és munkatársai [3] ezért a mérést a következő módon definiálják: képezzük egyforma kezdőállapotú bolyongók sokaságát, vegyünk ki egy bolyongót a sokaságból, fejlesszük el t ideig, végezzük el a megfelelő mérést, majd dobjuk el a mért rendszert. Az ilyen módon kapott mérési eredményekből képzett statisztikát használjuk a bolyongó várható viselkedésének jellemzésére. A bolyongás klasszikusan és kvantumosan is alkalmazható algoritmusok létrehozására. A kvantumos bolyongás új típusú algoritmusok [4] létrehozásának feltételeit teremti meg, melyekről megmutatható, hogy exponenciális gyorsuláshoz vezethetnek [5] a klasszikus algoritmusokhoz képest. Childs és munkatársai [6] adtak meg egy módszert, mely segítségével a folytonos idejű kvantumos bolyongás exponenciálisan gyorsabban jár végig egy speciális, úgyne- 4

5 Bevezetés vezett "glued-tree" gráfot, mint ami klasszikus algoritmusokkal lehetséges lenne. Shenvi és munkatársai [7] diszkrét idejű kvantumos bolyongással a klasszikusnál négyzetesen gyorsabb algoritmust konstruáltak rendezetlen adathalmazon történő keresésre. A terjedés kvadratikusan gyorsabb, mint klasszikusan, ez a tulajdonság tükröződik a diszkrét idejű bolyongáson alapuló keresési algoritmusok kvadratikusan nagyobb hatékonyságában. A diszkrét idejű egydimenziós kvantumos bolyongás egyik lehetséges megvalósítási módja az optikai Galton deszka [8]. A szórási kvantumos bolyongás [9, 10, 11], szintén ígéretes megvalósítási mód. Különösen fontos Pathak és munkatársai munkája [12], mely kétrészecskés bolyongás megvalósítását tartalmazza lineáris optikai eszközökkel. E megvalósítási módot először Zhao és munkatársai [13] dolgozták ki egyrészecskés bolyongásra. Üregrezonátoros megvalósítási módot is mutattak már több cikkben [14, 15, 16]. Hasonló ötleten nyugszik a Bose- Einstein kondenzációval megvalósítható kvantumos bolyongás [17] ben W. D. Phillips és munkatársai [18] kondenzátummal kísérletileg sikeresen valósítottak meg kvantumos bolyongást. Mások csapdázott ionokkal és semleges atomokkal javasolták a bolyongás megvalósítását [19, 20, 21], melyet tényleges kísérlet követett [22]. A kvantumos bolyongás két részecskére történő kiterjesztését többen javasolták [23, 24, 12, 25]. A klasszikus többrészecskés bolyongás során a részecskék egymástól függetlenül bolyonganak. Ezzel szemben a többrészecskés kvantumos bolyongásban a kvantummechanika szabályai szerint a részecskék összefonódottak is lehetnek, mely a részecskék közötti korrelációhoz vezet. Az irodalomban megjelent cikkek közül a Bose és munkatársai [23, 24] és a Štefaňák és munkatársai [25] által használt kiterjesztés hasonló, a részecskékre ható időfejlesztő operátor mindkét esetben tenzorszorzat alakú, a részecskék ezért független dinamikájú bolyongóként viselkednek. Mindkét esetben ugyanaz az operátor hat függetlenül a két részecskére, így a részecskék kvantumstatisztikai tulajdonságait az időfejlődés megőrzi [26]. Különbség viszont, hogy a bozonikus illetve fermionikus hullámfüggvény esetén az utóbbi cikkben lépésenként újra szimmetrizálják, illetve antiszimmetrizálják a hullámfüggvényt. Ez viszont csak az első mérés megtörténte után lényeges, amíg nem történik mérés a rendszeren, addig a két módszer ugyanahhoz az eredményhez vezet. Bose és munkatársai [23, 24] munkájukban Fourier-transzformáció segítségével vizsgálták a kétrészecskés egydimenziós bolyongásban a bolyongók távolságnégyzetének várható értékét. Azt találták, hogy a távolságnégyzet várható értéke fermionikus bolyongókra nagyobb és bozonikus pedig kisebb bolyongókra, mint megkülönböztethetőkre. Štefaňák és munkatársai [25] a kétrészecskés egydimenziós bolyongás találkozási valószínűségét vizsgálták, melyet összevetettek a klasszikus kétrészecskés bolyongás találkozási valószínűségével. A találkozási valószínűséget és a bolyongás aszimptotikus viselkedését analitikusan is közelitették, azt találták, hogy a bolyongók találkozási valószínűsége bozonikus állapotokra lassabban, fermionikus (szinglet) állapotokra gyorsabban cseng le, mint megkülönböztethetetlen esetben. Pathak és munkatársai megvalósítási módot adtak két foton bolyongására lineáris optikai elemekkel [12]. Ez az általánosítás viszont eggyel több kvantumszámot használ az optikai elrendezés miatt, ezért a bolyongás a szokásos egydimenziós bolyongáshoz képest más jellegű eloszlásokat mutat. Az összefonódásnak és a kvantumstatisztikai jellemzőknek itt is fontos szerep jut. A bolyongás kétdimenziós rácsra való kiterjesztése [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33] új szimmetrikus érmeoperátorok használatát teszi szükségessé. Míg egydimenziós esetben, ahol az érmeoperátor 2x2-es, addig a kétdimenziós esetben az érmeoperátor 4x4-es, amely sokkal több szabadsági fokot jelent, mert amíg egydimenziós esetben az általánosan használt szimmetrikus érmeoperátor a jól ismert Hadamard-operátor, addig kétdimenziós bolyongás vezérlésére sokkal több szimmetrikus éremoperátor áll rendelkezésünkre [31, 32]. Pusztán az érme helyes megválasztásával befolyásolhatjuk a bolyongók viselkedését, erre példa a nemrég felfedezett lokalizáció 5

6 Bevezetés [28], mely Grover-érme használatakor jellemző. A lokalizálódó bolyongó megtalálási valószínűsége az adott pontban aszimptotikusan nem cseng le, hanem egy pozitív konstanshoz tart. A jelenségre analitikus magyarázatot [34], majd bármely más érmére is alkalmazható általános feltételt adtak [30]. Lokalizációra az érmetéren kiterjesztett, 2x2-esnél magasabb dimenziójú érmét használó egydimenziós bolyongás esetén is találták példát [35]. A kvantumos bolyongás vizsgálható Fourier-transzformáció segítségével is [36]. Ha a bolyongás invariáns az eltolásra, akkor ezzel az időfejlődés jelentős mértékben egyszerűsíthető [30], ez fontos támpontot adhat a bolyongások analitikus vizsgálatához Célkitűzés A kutatás célja az, hogy a kvantumos bolyongást több részecskére általánosítsuk, és megvizsgáljuk a több részecske esetén felmerülő új jelenségeket. Különösen nagy szerepet kap a részecskék közötti összefonódás és a részecskék kvantumstatisztikai tulajdonságai, azaz, hogy a bolyongók bozonok, fermionok, vagy megkülönböztethetőek. E dolgozatban a két részecskére általánosított kvantumos bolyongással fogok foglalkozni. Elvárásunk az volt, hogy a kétdimenziós lokalizáció esetén a találkozási valószínűség időben lassabban cseng le, mint a nem lokalizált állapotok esetén, ezt numerikusan és analitikusan is sikerült igazolni. Numerikus eredményeink megmutatták, hogy a két részecske közötti megfelelő összefont kezdőállapot még tovább csökkentheti a találkozási valószínűség időbeli lecsengésének ütemét. E dolgozat célja a találkozási valószínűségnek kétrészecskés kétdimenziós kvantumos bolyongásra való általánosítása, és az ezt befolyásoló paraméterek: lokalizáció, összefonódás, kvantumstatisztikai tulajdonságok vizsgálata Felépítés A dolgozatban a következő tematikát követjük: Először definiáljuk a kétdimenziós egyrészecskés kvantumos bolyongást, a M. Štefaňák és munkatársai által használt [30] formalizmus felhasználásával, majd ezt a definíciót terjesztjük ki kétdimenziós kétrészecskés bolyongásra. A fejezet végén bevezetjük a megtalálási valószínűségek később használt definícióit. Következő fejezetben először bemutatjuk a bolyongás numerikus szimulációjáért felelős programot, később e program segítségével fogjuk a bolyongások ismert és eddig ismeretlen tulajdonságait illusztrálni és numerikusan szimulálni. A fejezetben bemutatjuk az egyrészecskés kétdimenziós bolyongások tipikus viselkedési formáit. Kvantumstatisztikai szerepük szerint csoportosított kétrészecske kezdőállapotok különleges tulajdonságait, majd a különösen jelentős lokalizáció és a kvantummechanikai összefonódás szerepét is be fogjuk mutatni. A 4. fejezetben a kétrészecskés kétdimenziós kvantumos bolyongás korábban ismertetett leírási módját helyezzük át Fourier-térbe, megmutatjuk, hogy így az időfejlődés jelentősen egyszerűsíthető. A találkozási valószínűség definícióját is áthelyezzük Fourier-képbe, majd analitikusan is belátjuk, hogy a lokalizáció szükségszerűen megnöveli a találkozás valószínűségét a nem lokalizált állapotokhoz képest. Végezetül összefoglaljuk a dolgozatban elért eredményeket, és a felmerülő további feladatokat. 6

7 Bevezetés Eredmények Fontosabb saját eredménynek a következőket tekintjük: Módszerek: 1. A kétdimenziós, kétrészecskés diszkrét idejű kvantumos bolyongás formális leírásának módját megadtam. Ezek alapján kiszámíthatóak többek között az egyrészecske megtalálási valószínűsége, a kétrészecskés korrelációk, amely alapján megadható két részecske találkozási valószínűsége is. 2. A kétdimenziós kétrészecskés diszkréti idejű kvantumos bolyongás numerikus szimulációjára C++ nyelven programot és a bolyongás viselkedésének vizsgálatát segítő eljárásokat fejlesztettem. 3. Analitikusan vizsgáltam a kétrészecskés találkozási valószínűség aszimptotikus viselkedését. Megmutattam, hogy az időfejlesztő operátor sajátértékeinek tulajdonságaiból következtethetünk a találkozási valószínűség lecsengésének gyorsaságára. Megállapítások: Kétdimenziós kétrészecskés diszkrét idejű kvantumos bolyongás mellett numerikusan megállapítottam, hogy a bolyongók kvantumstatisztikai tulajdonságainak megfelelően a találkozási valószínűség fermionokra gyorsabban, bozonokra lassabban cseng le, mint megkülönböztethető részecskék esetén. Megállapítottam, hogy általánosított megkülönböztethető (anyonikus) bolyongók esetén a találkozási valószínűség lecsengésének üteme összhangban van az anyonok szimmetrizálásakor használt fázissal; a bozonikus állapotokhoz közelebb eső bolyongók lecsengése lassabb, mint a fermionikus állapotokhoz közelebb eső bolyongóké. A lecsengési ütemek között éles határvonalat találtam. Analitikusan beláttam, hogy Grover-érme használatának esetén a bolyongók közötti bármely mértékű összefonódás lokalizációhoz vezet, mely megnöveli a találkozás valószínűségét. Numerikusan megállapítottam, hogy a részecskék közötti megfelelő összefonódás a pusztán szeparábilis állapotok használata esetén lehetséges mértéken túl képes megnövelni a találkozás valószínűségét. Numerikusan és a 3. módszer segítségével analitikusan megállapítottam, hogy lokalizáció esetén időben nem cseng le a kétrészecskés kvantumos bolyongás találkozási valószínűsége, hanem egy pozitív konstanshoz tart. Analitikusan beláttam, hogy lokalizáció esetén annak a valószínűsége, hogy teljes idő alatt legalább egyszer találkoztak a bolyongók 1. E kutatásról a Kvantumelektronika 2008 szimpóziumon posztert prezentáltunk, melynek összefoglalója a szimpózium absztraktkötetében [37] is megjelent. 7

8 A kétdimenziós diszkrét kvantumos bolyongás leírása 2. A kétdimenziós diszkrét kvantumos bolyongás leírása Ebben a fejezetben a kétdimenziós kétrészecskés bolyongás leírására alkalmas formalizmust fogjuk bemutatni. A kétdimenziós bolyongás definíciójának két részecskére való kiterjesztéséhez M. Štefaňák és munkatársai által használt [30] formalizmust fogjuk általánosítani a következő módon: először bevezetjük az egyrészecskés kétdimenziós rácson történő bolyongás leírására alkalmas formalizmust, majd ezt terjesztjük ki két részecskére. E dolgozatban főként a szimmetrikus kvantumos bolyongásokat vizsgáltuk, ami azt jelenti, hogy a rács által meghatározott irányok között nincs kitüntetett Kétdimenziós egyrészecskés bolyongás Kétdimenziós egyrészecskés, diszkrét idejű bolyongás esetén a bolyongó Hilbert terét a pozíciótér és az érmetér tenzorszorzata alkotja H = H (Pos) H (Coi n). (1) A pozícióteret a bolyongó rácson elfoglalt pozíciójához (m) rendelt vektorok ( m ) feszítik ki H (Pos) = Span{ m m = {m 1,m 2 } Z 2 }. (2) Egy kétdimenziós bolyongó az m pozícióból négy irányba léphet az időfejlődés során (jobbra, le, fel, balra), az elmozdulás vektorai rendre ( ) ( ) ( ) ( ) e (1) 1 = ; e (2) 0 = ; e (3) 0 = ; e (4) 1 =. (3) Célszerű olyan bázissorendet választani, amely megfeleltethető két egydimenziós bolyongó egymásra merőleges bolyongásának tenzorszorzat alakú bázissorendjének. Az elmozdulás vektoraira teljesül, hogy 4 e (i ) = 0, (4) i=1 ez a szimmetrikus bolyongás egyik feltétele. Minden e (i ) elmozdulás vektorhoz egy e (i ) ket vektor rendelhető, amelyek kifeszítik az érmeteret: Az időfejlődés operátora H (Coi n) = Span( e (i ) i = 1,...,4). (5) U = S(I (Pos) C ). (6) Itt I (Pos) a pozíciótéren (H (Pos) ) ható egységoperátor, C az érmetéren (H (Coi n) ) ható érmeoperátor. Az irodalomban vizsgált három speciális érmeoperátor (9-11) elemei egyenlőek: C (i j ) e (i ) C e (j ) = 1 2, (7) így a bolyongás szimmetrikus. A pozíciótérben történő bolyongásért a lépésoperátor (S) felel: S = m + e (i ) m e (i ) e (i ), (8) m,i mely a bolyongót az m pozícióból az m+e (i ) pozícióba mozgatja, ha az érme az e (i ) állapotban van. 8

9 A kétdimenziós diszkrét kvantumos bolyongás leírása A legyakrabban használt [27, 28, 30] érmeoperátorok C Hadamard = , (9) C Grover = 1 2 C Fourier = i 1 i i 1 i, (10). (11) A Hadamard-érme (9) az 2x2-es Hadamard operátor önmagával vett tenzorszorzataként áll elő, fontos tulajdonsága, hogy nem keveri a bolyongás egymásra merőleges irányait. Így az egyrészecske kétdimenziós bolyongás két független egydimenziós bolyongás összetételeként felfogható. A Grover-érme (10) a Grover-keresés algoritmusának ismert operátora, jellemzője a lokalizáció, melyet több a szakirodalomban megjelent cikk is magyaráz [28, 34, 30]. Ezen operátorok elemei valósak, ezért a hullámfüggvény valós és képzetes részére függetlenül hatnak, ez tükröződik viselkedésükben is. A Fourier-érme (11) a diszkrét Fourier transzformáció ismert operátora. Mindhárom érme szimmetrikus (7). Watabe és munkatársai [32] a Grover-érme (10) egy lehetséges paraméteres általánosítását adták meg: C Watabe (p) = p (1 p)p (1 p)p 1 p (1 p)p 1 + p p (1 p)p (1 p)p p 1 + p (1 p)p 1 p (1 p)p (1 p)p p. (12) Ez az érmeosztály megőrzi a Grover-érmére jellemző lokalizációt és p = 1/2 paraméter esetén megegyezik a Grover-érmével Kiterjesztés két részecskére Két független dinamikájú bolyongó esetét szeretnénk megvizsgálni. Ekkor az összetett rendszer Hilbert terét két kétdimenziós rácson bolyongó egyrészecske Hilbert tér tenzorszorzataként írhatjuk fel: H AB = H A H B, (13) ahol H A és H B rendre az első és a második részecske Hilbert tere (1). Az összetett rendszer időfejlesztő operátora: U AB U A U B, (14) ahol U A és U B rendre az első és második részecske unitér időfejlesztő operátora (6). Az összetett rendszer U AB operátora a két bolyongóra függetlenül (tenzorszorzat alakban) hat. Ezért független dinamikájú bolyongókról beszélhetünk. A bolyongók kezdeti állapota legyen ψ(0) ψ (i,j ) (m, n,0) m, n e (i ), e (j ), (15) m,n,i, j 9

10 A kétdimenziós diszkrét kvantumos bolyongás leírása ahol m, n m A n B, (16) e (i ), e (j ) e (i ) A e (j ) B (17) és ψ (i,j ) (m, n,0) a valószínűségi amplitudója annak, hogy a bolyongókat rendre az m és n pozícióban detektáljuk, rendre e (i ) és e (j ) érmeállapot mellett, a t = 0 időpillanatban. A bolyongók t lépés utáni állapotát az időfejlesztő operátor (U AB ) ismételt alkalmazásával érjük el ψ(t) ψ (i,j ) (m, n, t) m, n e (i ), e (j ) = U t AB ψ(0). (18) m,n,i, j Annak a valószínűsége, hogy a bolyongókat t időpillanatban rendre m,n pozícióban detektáljuk p(m, n, t) ahol bevezettük a 4 i,j =1 m, n e (i ), e (j ) ψ(t) 2 = ψ(m, n, t) 4 i,j =1 ψ (1,1) (m, n, t) ψ (1,2) (m, n, t) ψ (1,3) (m, n, t) ψ (1,4) (m, n, t) ψ (2,1) (m, n, t) ψ (2,2) (m, n, t). ψ (4,4) (mn, t) ψ (i,j ) (m, n, t) 2 = ψ(m, n, t) 2, (19), (20) 16 komponensű oszlopvektort. Ennek a segítségével az időfejlődést a következő alakban is felírhatjuk ψ (i 1) 4+j (m, n, t) = C l AB ψ(m e(i ), n e (j ), t 1), (i, j = 1,...,4), (21) ahol (i 1) 4 + j = l és C l AB a C AB = C A C B (22) két bolyongóra függetlenül ható 16 sorból és oszlopból álló négyzetes érmemátrix l. sorának elemeiből álló sorvektor, és ψ x (m, n, t) pedig a (20) összefüggésben definiált oszlopvektor x. eleme. E dolgozatban olyan bolyongásokkal foglalkozunk, melyekre C A C B. A fent bevezetett jelöléseket használva az adott t időpillanatban történő találkozás valószínűsége p Meet (t) ψ(m, m, t) 2. (23) m Legyen q Meet (t) annak a valószínűsége, hogy a bolyongók a t időpillanatban találkoznak először; és jelöljük P Meet (t) -vel annak a valószínűségét, hogy a t időpillanatig a bolyongók legalább egyszer találkoztak: P Meet (t) t q Meet (τ) = 1 τ=1 t (1 p Meet (τ)) (24) A fenti valószínűségek meghatározásához fontos definiálni a mérés módját: képezzük egyforma kezdőállapotú bolyongók sokaságát, vegyünk ki egy bolyongót a sokaságból, fejlesszük t ideig, végezzük el a megfelelő mérést, majd dobjuk el a mért rendszert. E mérési utasítás [3], esetén kapjuk a fenti kifejezéseket. τ=1 10

11 Numerikus eredmények 3. Numerikus eredmények A kvantumos bolyongást, mint kvantummechanikai rendszert sokszor igen bonyolult analitikusan vizsgálni: a hullámfüggvény időfejlődését három-négy lépésnél tovább analitikusan követni már nagyon körülményes, viszont sok kvantumos tulajdonság látványosan csak később jelentkezik. Ezért mindenképpen fontos, hogy rendelkezésünkre álljon olyan eszköz, mely segítségével gyorsan, tetszőleges kezdeti állapot meghatározott lépésig tartó időfejlődésének eredményét megkaphatjuk. E célra szimulációs programot és a bolyongás vizsgálatát segítő eljárásokat fejlesztettünk ki. Megjegyezzük, hogy a bolyongás szimulációjának a rendszer méretével exponenciálisan növekvő erőforrásigénye van, a mai asztali számítógépekkel ezért a szimulációt egy rácspontból induló bolyongó esetén lépésig lehet folytatni, egy 20 lépéses szimuláció lefuttatása a mai számítógépeken átlagosan 4-6 percig tart Szimulációs program A bolyongás szimulációjára egy C++ programozási nyelven írt programot fejlesztettünk. A program a (21) összefüggés alapján szimulálja a bolyongás időfejlődését. A program írásakor elsődleges cél volt, hogy minnél rugalmasabban használható legyen. Ezért a program szabadon skálázható, a szimulált rács méretét és így az elérhető lépések számát csak a programot futtató számítógép (virtuális) memóriájának mérete határozza meg. Természetes követelmény volt a dupla pontosság használata, így csökkentve a kerekítési hibák jelentőségét. Fontos szempont volt a paraméterezhetőség, mely lehetőséget teremt a dedikált (felügyelet nélküli) futtatásra, így felparaméterezett kezdőállapotok sokaságát lehet vizsgálni. A rendszer vizsgálatához szükséges fizikai mennyiségeket és műveleteket mind megvalósítottuk: Köztük az egyik legfontosabb a rendszer sűrűségoperátora A sűrűségoperátorok alrendszerre vett részleges nyomai ρ = ψ(t) ψ(t). (25) ρ A = tr B (ρ), (26) ρ A(Coi n) = tr A(Pos) (ρ A ), (27) ρ (Coi n) = tr (Pos) (ρ), (28) melyek az egyrészecske tulajdonságok vizsgálatához és az összefonódás mértékének meghatározásához nélkülözhetetlenek. A használt összefonódási mérték egy tetszőleges skálafaktortól eltekintve a konkurrencia [38] (angolul: concurrence) C = 1 Tr(ρ 2 A ), (29) melyet a program képes meghatározott alterekre kiszámolni. A program képes a teljes rendszer hullámfüggvényét szimmetrizálni (32) és antiszimmetrizálni (33) is, mely megkönnyíti a bozonikus és fermionikus bolyongások vizsgálatát. Az általunk vizsgált érmeoperátorokat: Hadamard (9), Grover (10), általánosított-paraméteres Grover (12) és Fourier (11) természetesen megvalósítottuk. A program képes vonalmenti helykorrelációt számolni, és a kétféle vizsgált találkozási valószínűséget (23, 24) meghatározni. Az optimálisabb gépidő kihasználás érdekében az időfejlődést egy meghatározott (egyre növekvő) altérre lehet vonatkoztatni, mely így jelentősen felgyorsítja a szimulációt. A programot a felmerülő újabb igényeknek és ötleteknek megfelelően fokozatosan bővítjük. 11

12 Numerikus eredmények 3.2. Egyrészecske jellemzők A kétdimenziós egyrészecskés rácson történő kvantumos bolyongások tulajdonságait elsőként Mackay és munkatársai [27] vizsgálták. Később új eredmények is születtek a témában [28, 29, 30]. Az implementált érmék (9-10) szakirodalomból jól ismert [27, 28, 29, 30], tipikus viselkedését egyrészecskés kétdimenziós bolyongás esetén a ψ(t = 0) A = 1 2 ( 0 A e (1) A + i 0 A e (2) A i 0 A e (3) A 0 A e (4) A ) (30) egyrészecske kezdőállapotból reprodukáltuk, a reprodukció eredményét a 2-4. ábra mutatja. Az ábrákon megfigyelhető a különböző érmék tipikus viselkedése. A Hadamard-érme (9) által vezérelt bolyongás két egydimenziós bolyongás összetételeként állítható elő (2. ábra), térben teljesen szétterjed az időfejlődés során. A Fourier-érme (11) által vezérelt bolyongás térben kevésbé terjed szét (3. ábra), mint a Hadamard, de nem mutat olyan erős lokalizációt, mint a Grover-érme által vezérelt bolyongás. A Grover-érme és az általánosított Grover-érme (Watabe) által vezérelt bolyongás tipikusan erős lokalizációt mutat (4-5. ábra). 2. ábra. Hadamard-érme (9) által vezérelt, a (30) kezdőállapotból indított bolyongó megtalálási valószínűsége 20 lépés után. Ez utóbbi lokalizáció Grover-érme esetén minden kezdőállapotra igaz, kivéve a következő, jól definiált kezdőállapotot: ψ Ri ng (t = 0) A = 1 2 ( 0 A e (1) A 0 A e (2) A 0 A e (3) A + 0 A e (4) A ) (31) melyre a Grover-bolyongás gyűrűszerű eloszlást eredményez (6. ábra). Vegyük észre, hogy az előző (30) kezdőállapotra a (31) állapot merőleges. Itt fontos megjegyezni, hogy a Fourier-érme (11) használata esetén is találhatók gyűrűszerű eloszlást adó kezdőállapotok. Ezen állapotok egy egész alteret alkotnak. A lokalizáció jelenségére (4. ábra) magyarázatot adtak a Fourier térben ható időfejlesztő operátor spektrumának vizsgálatával [30]. Később, a 4. fejezetben e módszer segítségével fogjuk elemezni a találkozás valószínűségét (23, 24). 12

13 Numerikus eredmények 3. ábra. Fourier-érme (11) által vezérelt, a (30) kezdőállapotból indított bolyongó megtalálási valószínűsége 20 lépés után. 4. ábra. Grover-érme (10) által vezérelt bolyongó (30) kezdőállapotból indított megtalálási valószínűsége 20 lépés után. Látható, hogy a bolyongás lokalizációt mutat A kétrészecske állapot kvantumstatisztikájának szerepe a találkozási valószínűségben Omar és munkatársai megmutatták [23], hogy a kétrészecskés egydimenziós kvantumos bolyongásban a részecskék kezdőállapotának kvantumstatisztikai szerepe szerint a bolyongók távolságnégyzetének várható értéke bozonikus kezdőállapotra alacsonyabb, fermionikusra magasabb, mint azokban az esetekben, amikor a részecskék megkülönböztethetők. A (23) kifejezésben definiált találkozási valószínűség a bolyongók térbeli szétterjedése miatt időben lecseng. A kétdimenziós, kétrészecskés bolyongás vizsgálatakor azt vártuk, hogy a részecskék kezdőállapotának kvantumstatisztikai szerepe szerint - azaz, hogy bozonikus, fer- 13

14 Numerikus eredmények 5. ábra. Általánosított Grover-érme (Watabe) (12) által vezérelt bolyongás megtalálási valószínűsége 20 lépés után p = 0 paraméter esetén, a (30) kifejezésben definiált kezdőállapotra, melyre a bolyongás lokalizációt mutat. 6. ábra. Grover-érme (10) által vezérelt bolyongás megtalálási valószínűsége 20 lépés után, a (31) kifejezésben definiált kezdőállapotra, melyre az eloszlás gyűrűszerű. mionikus vagy megkülönböztethető kezdőállapotból indítjuk a rendszert - a találkozási valószínűség a kizárási elvnek megfelelően más lecsengést mutat majd. Ezt a feltevésünket numerikus szimulációink az elvárásainknak megfelelően alátámasztották. A kvantummechanika szerint a megkülönböztethetetlen részecskék hullámfüggvénye a részecskék felcserélésére nézve vagy szimmetrikus (bozonok), vagy antiszimmetrikus (fermionok). Egy tetszőleges ψ(t) kétrészecskés állapot a következő módon szimmetrizálható vagy 14

15 Numerikus eredmények antiszimmetrizálható: ψ Bos (t) = ψ(t) + Swap( ψ(t) ) ψ(t) + Swap( ψ(t) ) 2, (32) ψ Fer m (t) = ψ(t) Swap( ψ(t) ) ψ(t) Swap( ψ(t) ) 2. (33) ahol Swap() a részecskéket (részecskékhez tartozó kvantumszámokat) felcserélő operátor. A szimmetrizálás műveletét általánosítva anyonikus, általánosított megkülönböztethető hullámfüggvényt állíthatunk elő: ψ Anyon (t) = ψ(t) + eiφ Swap( ψ(t) ) ψ(t) + e iφ Swap( ψ(t) ) 2. (34) A szimulált kétrészecske megkülönböztethető (szeparábilis) kezdőállapota legyen: ψ S (t = 0) = [ 1 ( 0 A e (1) A + i 0 A e (2) A i 0 A e (3) A 0 A e (4) ) ] A 2 ( 0 B e (1) ) B. (35) A ψ S (0) kezdőállapotból indított megkülönböztethető, szimmetrizált és antiszimmetrizált bolyongásokra numerikusan kiszámítottuk a találkozási valószínűség (23) időbeli változását (7, 8. ábra). 7. ábra. Megkülönböztethető (kör) és megkülönböztehetetlen szimmetrizált, azaz bozonikus (négyzet) (35) kezdőállapotból indított bolyongók találkozási valószínűsége az idő (t) függvényében. (Hadamard-érme (9) mellett.) Látható, hogy a bolyongók kétrészecske állapota a kizárási elv szerint viselkedik: a fermionikus (antiszimmetrizált) kezdőállapotú bolyongók találkozási valószínűsége gyorsabban, a bozonikus (szimmetrizált) kezdőállapotú bolyongók találkozási valószínűsége pedig lassabban cseng le időben a megkülönböztethető bolyongókéhoz képest. Könnyen belátható [26], hogy az általunk használt tenzorszorzat alakú időfejlesztő operátor (14), és az azonos érmeoperátorok (C A C B ) miatt az időfejlődés folyamán a bolyongás hullámfüggvénye megőrzi bozonikus vagy fermionikus állapotát, ha a kezdőállapot bozonikus, illetve fermionikus volt, ám az általános anyonikus szimmetriáját már nem feltétlenül. A bozonikus illetve fermionikus bolyongások más megközelítése [25] szerint az időfejlesztő operátor (14) 15

16 Numerikus eredmények 8. ábra. Megkülönböztethető (kör) és megkülönböztethetetlen antiszimmetrikus, azaz fermionikus (négyzet) (35) kezdőállapotból indított bolyongók találkozási valószínűsége az idő (t) függvényében. (Hadamard-érme (9) mellett.) tartalmazhatja lépésenként a (32) és (33) szerint történő szimmetrizációt és antiszimmetrizációt. Ekkor az időfejlődés operátora már nem feltétlenül írható fel (14) tenzorszorzat alakban. A két megközelítés az első mérésig megegyező időfejlődést mutat, viszont ha egy bolyongást többször mérünk, akkor már különbség léphet fel. Anyonikus bolyongások vizsgálatakor numerikus szimulációink során megfigyeltük, hogy a kétféle megközelítés már az első méréskor más eredményre vezet. Anyonikus bolyongásokat is vizsgáltunk numerikusan, (35) kezdőállapotból indítva, (34) szerint φ függvényében szimmetrizálva. Azt találtuk, hogy a bozonikus állapothoz közelebb eső anyonikus állapotok találkozási valószínűségének lecsengése lassabb, mint a fermionikus állapotokhoz közelebb eső állapotoké. A φ paraméter és az idő függvényében a találkozási valószínűséget vizsgálva ez a lecsengésbeli különbség inflexiós vonalakat eredményez (φ = 90 és φ = 270) (9. ábra). Ezt a jelenséget minden általunk vizsgált érménél megtaláltuk. A Grover-érmére (10) jellemző lokalizáció (4. ábra) szintén fontos szerepet játszik a találkozási valószínűség időbeli alakulásában. A (30) összefüggésben definiált ψ(t = 0) A kezdőállapotból szeparábilis kétrészecske kezdőállapotot írhatunk fel: ψ(t = 0) AB = ψ(t = 0) A ψ(t = 0) B. (36) Ennek mintájára a (31) összefüggésben definiált ψ Ri ng (t = 0) Grover-érmére gyűrűszerű (6. ábra) eloszlást adó kezdőállapot: ψ Ri ng (t = 0) AB = ψ Ri ng (t = 0) A ψ Ri ng (t = 0) B (37) alakú szeparábilis kétrészecske kezdőállapottá terjeszthető ki. Ha e kezdőállapotokra vizsgáljuk a megtalálási valószínűséget, akkor azt tapasztaljuk, hogy a gyűrűszerű eloszlást adó kezdőállapot esetén találkozási valószínűsége (23) időben lecseng, viszont a lokalizált eloszlást adó kezdőállapot esetén a találkozási valószínűsége időben nem cseng le. E viselkedést láthatjuk a 10. ábrán. A jelenség magyarázatát a Fourier-módszer segítségével adjuk meg a 4. fejezetben. 16

17 Numerikus eredmények 9. ábra. Hadamard-érme (9) vezérelt bolyongók találkozási valószínűsége 20 lépéses bolyongás alatt, (35) kezdőállapotból indítva, (34) szerint φ függvényében a kezdőllapotot szimmetrizálva. Látható, hogy φ = 90 és φ = 270 értékek görbéje infelexiós görbe φ paraméter terében. 10. ábra. Lokalizálódó (kör) és gyűrűszerű (négyzet) Grover-bolyongók (10) megtalálási valószínűsége (23). Figyeljük meg, hogy a lokalizáció miatt a találkozási valószínűség aszimptotikusan nem cseng le, míg a gyűrűszerű, nem lokalizálódó állapotra a megtalálási valószínűség lecseng. 17

18 Numerikus eredmények 3.4. Az összefonódás szerepe A szeparábilis többrészecske állapotok a kvantummechanika különleges esetei. Többnyire a többrészecske állapot valamilyen fokú összefonódást mutat. A fent definiált (35) ψ S (t) állapot szeparábilis, ám szimmetrizált (32) és antiszimmetrizált (33) változatai már összefonódottak. A látottak (7, 8. ábra) és más szimulációk alapján arra a következtetésre jutottunk, hogy megfelelően összefont (tehát nem tetszőlegesen összefonódott) kezdőállapot akár meg is növelheti a találkozás valószínűségét. Fontos megjegyezni, hogy (14) alakú időfejlesztő operátor megőrzi az összefonódást. Tenzorszorzat alakja miatt viszont nem tudja az összefonódottságot növelni, illetve a szeparábilis kezdőállapotokat összefonni. Grover-érmét (10) használva tegyük fel, hogy a kezdőállapot ψ(t = 0) AB ψ(t = 0) A ψ(t = 0) B. (38) Ez az kezdőállapot definíció szerint összefonódott. Vizsgáljuk meg, hogy a bolyongás tetszőleges összefonódott kezdeti állapotra mutat-e lokalizációt (4. ábra). Határozzuk meg az egyik részecske sűrűségoperátorát ˆρ(t) A = Tr B ( ˆρ(t)AB ), (39) ahol ˆρ(t) AB = ψ AB AB ψ. (40) Majd diagonalizáljuk ˆρ(t) A operátort. Az összefonódás miatt az egyrészecske állapot nem lehet tiszta állapot. Ezért a sűrűségoperátorát diagonális alakba írva több zérustól különbüző elem lesz a főátlóban. Az ezekhez tartozó ortonormált vektorok lineárisan függetlenek, így egy ψ Ri ng -et bázisvektorként tartalmazó bázis szerint kifejtve más elemeket is kell hogy tartalmazzanak. Mivel ψ Ri ng az egyetlen gyűrűszerű állapot, ezért megjelenik a lokalizáció. Ezzel beláttuk, hogy az összefonódott (38) alakú kétrészecske kezdőállapot Grover-érmére (10) az időfejlődés folyamán szükségszerűen lokalizációt mutat. Példának tekintsük a Grover-érme (10) gyűrűszerű kezdőállapotát (31). Ennek analógiájára a megfelelő kétrészecske egységvektorok segítségével állítsunk elő m = n = 0 pontból induló kétrészecskés bolyongást. ψ Ent (t = 0) = 1 [( 0 A e (1) ) ( A 0 B e (1) ) B 2 ( 0 A e (2) ) ( A 0 B e (2) ) B ( 0 A e (3) A ) ( 0 B e (3) B ) + + ( 0 A e (4) A ) ( 0 B e (4) B )], (41) Beláthatjuk, hogy a ψ Ent (t = 0) állapot összefonódott (38). A fenti bizonyítás értelmében a bolyongás lokalizálódik. A lokalizáció megjelenését a numerikusan előállított 11. ábrán illusztráljuk. Tehát az így előállt lokalizáció megnövelheti a találkozás valószínűségét (10. ábra). A bolyongók kezdő állapotának összefonódása a klasszikusan lehetséges határokon túl növelheti a találkozás valószínűségét. Megfelelő kezdőállapot választásával a találkozási valószínűség (24) véges lépésszám alatt eléri az 1-et. Vegyük φ AB ( β ) = cosβ ( ψloc A ψ Loc B ) + sinβ ( φent AB ) (42) kezdőállapotot, ahol φ Ent AB = 1 2 [ 4 i=1 ) ( ) ( 0 ] A e (i ) A 0 B e (i ) B. (43) Numerikus szimuláció során φ Ent AB állapotban magasabb találkozási valószínűséget (24) értünk el (12. ábra). 18

19 Numerikus eredmények 11. ábra. (41) kezdőállapotból indított kétrészecskés Grover-bolyongás (10) egyrészecskére vonatkoztatott megtalálási valószínűsége, mely lokalizációt mutat. 12. ábra. (42) kezdőállapotból indított, Grover-érme (10) által vezérelt bolyongás találkozási valószínűsége (24) 20 lépés után, a β paraméter függvényében. Az találkozási valószínűség β növekedésvel növekszik nagyobb annál mint ami pusztán (szeparábilis) lokalizációval (β = 0) (4. ábra) lehetséges lenne. 19

20 A bolyongás leírása Fourier-képben 4. A bolyongás leírása Fourier-képben A Fourier-transzformáció a fizikában igen nagy jelentőséggel bír, a kvantummechanikában sok pozíció reprezentációban megoldhatatlannak tűnő problémát egyszerűsít, ha impulzus reprezentációban kezdjük megoldani. Az általam vizsgált bolyongások a pozíciótérben való eltolásra invariánsak, ezért a Fourier transzformáció használata kívánatos. Ebben a fejezetben a Fourier-képre áttérve belátjuk, hogy a lokalizáció (4. ábra) miatt a találkozási valószínűség (23) konstanshoz tart az időfejlődés során Áttérés Fourier-képre A fentebb bevezetett (21) kifejezés jobb oldalán található C l AB sorvektorok függetlenek az m,n pozícióvektoroktól, azaz a bolyongás invariáns a rácson való eltolásra, ezért a (21) időfejlődés jelentősen egyszerűsíthető részleges Fourier-transzformáció segítségével: ψ(k, l, t) m,nψ(m, n, t)e i (m k+n l), (44) ahol k = {k 1,...,k 4 }, l = {l 1,...,l 4 } K 4, K = ( π,π] (45) A (44) összefüggésben definiált Fourier-transzformáció csak a pozíciótéren hat. Az időfejlődés Fourier-képben ψ(k, l, t) = Ũ (k, l) ψ(k, l, t 1) = ( Ũ (k, l) )t ψ(k, l,0), (46) ahol bevezettük a Fourier-kép időfejlődés operátorát: Ũ D(k, l)c AB, (47) ahol ( D(k, l) diag e i (e(1) k+e(1) l),e i (e(1) k+e(2) l),...,e i (e(4) k+e(4) l) ) (48) a Fourier-térben érvényes lépésoperátor, mely tartalmazza az elmozdulás vektorait (e (i ) ). Látható, hogy a Fourier-tér beli időfejlődés érmeoperátora az eddig is használt érmeoperátor (C AB ). Ennek az oka az, hogy a (részleges) Fourier-transzformációt csak a bolyongók pozícióterén végeztük el. A (46) differencia egyenletet az Ũ (k, l) mátrix formális diagonalizálásával oldom meg. A mátrix unitaritása miatt a sajátértékek λ j (k, l) = exp(iω j (k, l)) (49) alakúak, a hozzájuk tartozó 16 dimenziós sajátvektorokat v j (k, l)-vel jelöltük. Ezeket a jelöléseket használva felírhatjuk a bolyongók Fourier-tér beli hullámfüggvényének projektorfelbontását: ψ(k, l, t) = j λ t j (k, l)( ψ(k, l,0), v j (k, l) ) v j (k, l) (50) ahol (,) a 16 elemű vektorok terén képzett skalárszorzatot jelent. Ezek után inverz Fourier-transzformáció segítségével visszakaphatók az eredeti hullámfüggvény dkdl ψ(m, n, t) = K 4 (2π) ψ(k, 4 l, t)e i (m k+n l) (51) pozíció-tér beli valószínűségi amplitudói. 20

21 A bolyongás leírása Fourier-képben 4.2. Találkozási valószínűség Fourier-képben A találkozás szempontjából csak azokat az eseteket vizsgáltuk, ahol a bolyongók az m = n = 0 pontból indultak a t = 0 időpillanatban. Ekkor a kezdőállapot Fourier-transzformáltja (44) ψ(m, n,0) = δ m,0 δ n,0 ψ, ψ ψ(0, 0,0) (52) ψ(k, l,0) = ψ (53) lesz, ami megyegyezik a kezdeti érmeállapottal, hiszen a ψ ψ(0, 0, 0) 16 komponensű vektor pontosan az érmeállapotokon való kifejtési együtthatóknak felel meg. A bolyongók adott időpillanatban (t) történő találkozási valószínűsége(23) kifejezhető: p Meet (t) = ψ(m, m, t) 2 = m m 16 j =1 I j (m, t) 2, (54) ahol dkdl I j (m, t) = K 4 (2π) 4 e i m (k+l) e iω j (k,l)t ( ψ, v j (k, l) ) v j (k, l). (55) 4.3. A lokalizáció hatása a találkozási valószínűségre Grover-érme esetén A Grover-érmét (10) a (22) módon kiterjesztettük két bolyongóra, majd a (47) összefüggés alapján meghatároztuk a Fourier-térben ható időfejlesztő Ũ (G G) operátort. Az operátor sajátértékeit(49)a következő módon határoztuk meg: Az (14) összefügés érvényes marad Fourier-térben is, azaz Ũ (G G) is tenzorszorzat alakú, vagyis a két bolyongóra külön-külön úgy hat, mint egyrészecskés bolyongás esetén, azaz a bolyongók dinamikája független. A tenzorszorzat képzés kommutál a sajátértékképzéssel, így a 16x16 -os Ũ (G G) operátor sajátértékeinek meghatározása visszavezethető egy 4x4 -es Ũ (G) A egy részecskére ható operátor sajétértékeinek meghatározására. Ezek alapján Ũ (G G) sajátértékei a következőknek bizonyultak: λ (G G) 1 (k, l) = 1 λ (G G) 2 (k, l) = 1 λ (G G) 3 (k, l) = 1 λ (G G) 4 (k, l) = 1 λ (G G) 5 (k, l) = λ (G) 3 (k) λ (G G) 6 (k, l) = λ (G) 4 (k) λ (G G). 16 (k, l) = λ (G) 4 (k) λ(g) 4 (l). (56) Štefaňák és munkatársai [30] belátták, hogy a lokalizáció feltétele az, hogy legyen konstans az Ũ sajátértékei között és az ehhez tartozó sajátvektor a kezdőállapotra ne legyen merőleges, így a járuléka a projektorfelbontásban (50) nem 0. Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor az (55) integrál a stacionárius fázis módszerét alkalmazva az m = 0 helyen mindig pozitív konstans (M ) járulékot ad. Ez a konstans időfüggetlen, tehát a többi pozícióhoz (m 0) tartozó I j (m, t) időfüggése esetén az (54) kifejezés a t határesetben is legalább ehhez a M 0 konstanshoz tart: p Meet (t) t M. (57) 21

22 A bolyongás leírása Fourier-képben 13. ábra. Grover (10)(négyzet) és Hadamard (9)(kör) érmével vezérelt bolyongók t pillanatban történő találkozási valószínűsége. A bolyongók a (41) kifejezésben definiált ψ Ent (t = 0) kezdőállapotból indultak, melyre a Grover-bolyongás lokalizálódik. Látható, hogy a lokalizáció miatt a Grover-bolyongás nem 0-hoz, hanem egy pozitív konstanshoz (M ) tart, míg a Hadamardbolyongás találkozási valószínűsége 0-hoz tart. A lokalizálódó bolyongás találkozási valószínűségét szemlélteti a 13. ábra. Figyeljük meg az ábrán, hogy míg a Grover-érme esetén a találkozási valószínűség konstanshoz tart, a Hadamard (9) érme által vezérelt bolyongás találkozási valószínűsége időben lecseng, 0-hoz tart. A (24) összefüggésben definiált találkozási valószínűség, azaz, hogy a bolyongók a t időpillanatig legalább egyszer találkoztak, az előbbiek alapján: [ P Meet (t) = 1 t τ=1 ] (1 p Meet (τ)) 1. t (58) Azaz lokalizáció esetén a elegendő idő eltelte után biztos, hogy a részecskék legalább egyszer találkoztak az időfejlődés során. Az általánosított, paraméteres Grover-érmeosztályt (12) Watabe és munkatársai [32] úgy alkották, hogy a bolyongás szintén mutasson erős lokalizációt. A 4x4 -es Ũ (W at abe) A (p) Fouriertérben ható időfejlesztő operátor vizsgálatakor azt tapasztaltuk, hogy az érmeosztály sajátértékei között ennek megfelelően mindig szerepelnek ugyanazok a konstans sajátértékek ( 1 és +1), a p paraméter értékétől függetlenül. Emiatt lokalizáció esetén az általánosított Groverérmeosztályban tetszőleges p paraméter esetén is a teljes időre vett találkozás valószínűsége (24) 1 lesz. Numerikusan számított ábránkon (14. ábra) megfigyelhető, hogy a találkozási valószínűség nem cseng le a lokalizáló (41) kifejezésben definiált ψ Ent (t = 0) kezdőállapotból indított p paraméterű általánosított Grover-bolyongásban paramétertől függetlenül, ám a pozitív konstans (M ), melyhez a találkozási valószínűség (23) aszimptotikusan tart, már függ p-től. 22

23 A bolyongás leírása Fourier-képben 14. ábra. Általánosított, paraméteres (p), (41) kifejezésben definiált ψ Ent (t = 0) kezdőállapotból indított Grover-bolyongás (12) találkozási valószínűsége az idő függvényében. Látható, hogy p paramétertől függetlenül a bolyongás lokalizációja miatt a találkozási valószínűség nem cseng le, hanem egy pozitív konstanshoz tart, viszont ez a konstans már függ p értékétől. Figyeljük meg, hogy a legalacsonyabb konstans a Grover-érméhez (10), azaz p = 1/2 értékhez tartozik! 23

24 Összefoglalás 5. Összefoglalás A dolgozatban bevezettük a kétdimenziós kétrészecskés kvantumos bolyongás definícióját, majd a bolyongás leírásának módját Fourier-térben. A különböző típusú bolyongások viselkedésének szimulációjára programot fejlesztettünk. Beláttuk, hogy a kvantumstatisztikai tulajdonságok megváltoztatják a találkozás valószínűségét (23). Megmutattuk, hogy az összefonódás Grover-érme használata esetén szükségszerűen lokalizációval is jár, ezzel növelve a találkozás valószínűségét (23), valamint, hogy megfelelően összefont kezdőállapotot választva még tovább növelhető a találkozás valószínűség, mint ami szeparábilis kezdőállapotot választva lehetséges lenne. Beláttuk, hogy a lokalizáció szükségszerűen megváltoztatja a találkozás valószínűségének (23) aszimptotikus viselkedését, az ugyanis az időfejlődés során egy pozitív konstanshoz tart. Emiatt annak a valószínűsége, hogy a bolyongók legalább egyszer találkoztak, lokalizáció esetén aszimptotikusan mindig eléri az 1-et. Jövőbeli céljaink között van az érmeoperátorok tulajdonságainak behatóbb vizsgálata, a találkozási valószínűség aszimptotikus viselkedésének további elemzése, bozon, fermion és anyon részecskés bolyongások elméletének vizsgálata, az időfejlesztő operátor további kiterjesztése. További érdekes kérdések lehetnek: kvantuminformatikai algoritmusok létrehozása többrészecskés bolyongással, a kétdimenziós kvantumos bolyongás lehetséges fizikai megvalósításainak kidolgozása és a kvantumos bolyongás felhasználása klasszikus komplex rendszerek hatékony szimulációjára. Köszönetnyilvánítás Itt szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Kiss Tamásnak a téma felvetéséért és vezetéséért, továbbá Kálmán Orsolyának és Gábris Aurélnak a dolgozat kritikus átolvasásáért. 24

25 Hivatkozások Hivatkozások [1] P. Révész, Random walk in random and non-random environments, World Scientific, Singapore (1990) [2] Y. Aharonov, L. Davidovich, and N. Zagury, Quantum random walks, Phys. Rev. A. 48, 1687 (1992) [3] M. Štefaňák, I. Jex, T Kiss, Recurrence and Pólya number of quantum walks, Phys. Rev. Lett. 100, (2008) [4] M. Santha, Quantum walk based search algorithms, arxiv:quant-ph/ v1 [5] Julia Kempe, Quantum Random Walks Hit Exponentially Faster, arxiv:quantph/ v1 [6] Andrew M. Childs, Richard Cleve, Enrico Deotto, Edward Farhi, Sam Gutmann, Daniel A. Spielman, Exponential algorithmic speedup by quantum walk, arxiv:quant-ph/ v2 [7] N. Shenvi, J. Kempe, K. B. Whaley, Quantum random-walk search algorithm, Phys. Rev. A. 67, (2003) [8] D. Bouwmeester, I. Marzoli, G. P. Karman, W. Schleich, J. P. Woerdman, Optical Galton board, Phys. Rev. A 61, (1999) [9] Mark Hillery, Janos Bergou, Edgar Feldman, Quantum walks based on an interferometric analogy, Phys. Rev. A 68, (2003) [10] Edgar Feldman, Mark Hillery, Scattering theory and discrete-time quantum walks, Phys. Lett. A. 324, 4, (2004) [11] Jozef Košík, Vladimír Bužek, Scattering model for quantum random walks on a hypercube, Phys. Rev. A 71, (2005) [12] P. K. Pathak, G. S. Agarwal, Quantum random walk of two photons in separable and entangled states, Phys. Rev. A 75, (2007) [13] Zhi Zhao, Jiangfeng Du, Hui Li, Tao Yang, Zeng-Bing Chen, Jian-Wei Pan, Implement Quantum Random Walks with Linear Optics Elements, arxiv:quant-ph/ v1 [14] Peter L. Knight, Eugenio Roldán, J. E. Sipe, Quantum walk on the line as an interference phenomenon, Phys. Rev. A 68, (2003) [15] Peter L. Knight, Eugenio Roldán, J. E. Sipe, Optical cavity implementations of the quantum walk, Optics Communications 227, 1-3, (2003) [16] E. Roldán, J.C. Soriano, Optical implementability of the two-dimensional Quantum Walk, J. Mod. Opt. 52, 2649 (2008) [17] C. M. Chandrashekar Implementing the one-dimensional quantum (Hadamard) walk using a Bose-Einstein condensate Phys. Rev. A 74, (2006) [18] W.D. Phillips et al., Realization of a quantum random walk with ultracold atoms, American Physical Society, March Meeting 2004, #S (2004) [19] B. C. Travaglione and G. J. Milburn, Implementing the quantum random walk, Phys. Rev. A 65, (2002) 25

26 Hivatkozások [20] W. Dür1, R. Raussendorf, V. M. Kendon, and H.-J. Briegel, Quantum walks in optical lattices, Phys. Rev. A 66, (2002) [21] K. Eckert, J. Mompart, G. Birkl and M. Lewenstein, One- and two-dimensional quantum walks in arrays of optical traps, Phys. Rev. A 72, (2005) [22] Olaf Mandel, Markus Greiner, Artur Widera, Tim Rom, Theodor W. Hänsch, and Immanuel Bloch, Coherent Transport of Neutral Atoms in Spin-Dependent Optical Lattice Potentials, Phys. Rev. Lett. 91, (2003) [23] Y. Omar, N. Paunković, L. Sheridan, S. Bose, Quantum walk on a line with two entangled particles, Phys. Rev. A 74, (2006) [24] L. Sheridan, N. Paunković, Y. Omar, S. Bose, Discrete Time Quantum Walk on a Line with two Particles, I. J. of Quant. Inf. 4, 573 (2006) [25] M. Štefaňák, T. Kiss, I. Jex and B. Mohring, The meeting problem in the quantum walk, J. Phys. A: Math. Gen. 39, (2006) [26] Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Quantum Mechanics (volume two), p [27] Troy D. Mackay, Stephen D. Bartlett, Leigh T. Stephenson, Barry C. Sanders, Quantum walks in higher dimensions, J. Phys. A: Math. Gen. 35, 2745 (2002) [28] Ben Tregenna, Will Flanagan, Rik Maile and Viv Kendon, Controlling discete quantum walks: coins and initial states, New J. Phys. 5, 83 (2003) [29] I. Carneiro, M. Loo, X. Xu, M. Girerd, V. Kendon, P. L. Knight, Entanglement in coined quantum walks on regular graphs, New J. Phys. 7, 135 (2005) [30] M. Štefaňák, T. Kiss, I. Jex, Recurrence properties of unbiased coined quantum walks on infinite d-dimensional lattices, Phys. Rev. A. 78, (2008) [31] Y. Baryshnikov, W. Brady, A. Bressler, R. Pemantle Two-dimensional quantum random walk, arxiv:math.co/ v1 [32] K. Watabe, N. Kobayashi, M. Katori Limit distributions of two-dimensional quantum walks Phys. Rew. A 77, (2008) [33] A. C. Oliveira and R. Portugal, Decoherence in two-dimensional quantum walks, Phys. Rev. A 74, (2006) [34] N. Inui, Y. Konishi, and N. Konno, Localization of two-dimensional quantum walks, Phys. Rev. A 69, (2004) [35] N. Inui, N. Konno, Localization of multi-state quantum walk in one dimension, Physica A 353, (2003) [36] Todd A. Brun, Hilary A. Carteret, and Andris Ambainis Quantum walks driven by many coins, Phys. Rev. A 67, (2003) [37] B. Kollár, T. Kiss, M. Štefaňák, I. Jex, Két részecskés kvantumos bolyongás, Kvantumelektronika 2008, P-30, (2008) [38] P. Rungta, V. Buzek, Carlton M. Caves, M. Hillery, G. J. Milburn, Universal state inversion and concurrence in arbitrary dimensions, Phys Rev A., 64, (2001) 26