10. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "10. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA"

Emília Csonka
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 10. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA 1. Egy vállalatnál 180 férfi és 120 nő dolgozik. A férfiak közül 70-en, a nők közül 30-an hordanak szemüveget. Kiválasztunk véletlenszerűen egy dolgozót. (a) Mi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott dolgozó szemüveges? (b) Mi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott dolgozó nem szemüveges feltéve, hogy férfi? (c) Mi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott dolgozó szemüveges feltéve, hogy nő? Megoldás. Legyen SZ szemüveges, F férfi, N nő. (a) Annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott dolgozó szemüveges, kombinatorikus valószínűséggel P (SZ) szemüvegesek száma összes dolgozó száma Ugyanez a teljes valószínűség tételével ,333. P (SZ) P (SZ F )P (F ) + P (SZ N)P (N) (b) Hogy egy kiválasztott személy nem szemüveges, ha tudjuk róla, hogy férfi, éppen az, hogy a férfiak közül választva egy dolgozót az illető nem szemüveges. F N SZ SZ Ennek valószínűsége a kontingenciatáblázat alapján kombinatorikus valószínűséggel P ,611. Másképpen: A kérdéses valószínűség feltételes valószínűségként P (SZ F ) P (SZF ) P (F ) (c) Ha egy dolgozóról tudjuk, hogy nő, akkor annak a valószínűsége, hogy szemüveges, az nem más, mint annak a valószínűsége, hogy a nők közül véletlenszerűen választva egy dolgozót az illető szemüveges. Kombinatorikus valószínűséggel P ,25. Másképpen, feltételes valószínűséggel P (SZ N) P (SZ N) P (N) Egy óvodás csoportba 15 kisfiú és 25 kislány jár. Megkérdezték a gyermekeket, hogy a csokoládé vagy a vanília fagylaltot kedvelik-e jobban. A fiúk közül 10-en választották a csokoládét, a lányok közül 14-en, a többiek a vanília mellett voksoltak. Véletlenszerűen kiválasztunk egy óvodást a csoportból. (a) Mi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott kisgyermek a vanília fagyit szereti jobban? (b) Mi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott kisgyermek a csoki fagyit szereti jobban feltéve, hogy fiú?

2 (c) Mi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott kisgyermek a vanília fagyit szereti jobban feltéve, hogy lány? Megoldás. Legyen V a vanília fagyit kedveli jobban, F fiú, L lány. F L V V (a) Annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kisgyermek a vanília fagyit szereti jobban, P (V ) a vanília fagyit jobban kedvelők száma összes óvodás száma ,4. (b) Az, hogy egy kiválasztott óvodás a csoki fagyit szereti jobban, ha tudjuk róla, hogy fiú, azt jelenti, hogy a fiúk közül választva egy óvodást az illető a csokoládé fagylaltot preferálja. Ennek valószínűsége P ,667. Más módon, feltételes valószínűséggel P (V F ) P (V F ) P (F ) (c) Az, hogy egy kiválasztott óvodás a vanília fagyit szereti jobban, ha tudjuk róla, hogy lány, az nem más, mint hogy a lányok közül választva egy óvodást a gyermek a vanília fagylaltot kedveli jobban. Ennek valószínűsége P ,44. Más úton, feltételes valószínűségként P (V L) P (V L) P (L) Egy nyugdíjasklubot 45 férfi és 45 nő látogat. Az urak közül 20-an sakkozni, 25-en kártyázni szeretnek jobban, míg a hölgyek közül 30-an játszanak inkább sakkot, 15-en szívesebben kártyáznak. Véletlenszerűen kiválasztunk egy nyugdíjast a klubból. (a) Mi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott idős ember sakkozni szeret jobban? (b) Mi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott idős ember kártyázni szeret jobban feltéve, hogy nő? (c) Mi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott idős ember sakkozni szeret jobban feltéve, hogy férfi? Megoldás. Legyen S sakkozni szeret jobban, K kártyázni szeret jobban, F férfi, N nő. F N S K (a) P (S) sakkot jobban kedvelők száma összes nyugdíjas száma ,556.

3 (b) Az, hogy egy kiválasztott idős ember kártyázni szeret jobban, ha tudjuk, hogy nő, az azt jelenti, hogy a nők közül választva egy személyt az illető a kártyázást preferálja. Ennek valószínűsége P ,333. Más módon, feltételes valószínűséggel P (K N) P (KN) P (N) (c) Az, hogy egy kiválasztott nyugdíjas sakkozni szeret jobban, ha tudjuk, hogy férfi, ugyanazt jelenti, mint az, hogy a férfiak közül választva egy nyugdíjast az illető a sakkot kedveli jobban. Ennek valószínűsége P ,444. Másképpen, feltételes valószínűséget használva P (S F ) P (SF ) P (F ) beteg egy gyógyszerkísérletben vett részt. Közülük 70-en a kísérleti gyógyszert, 30-an placebót kaptak. A kezelés során kísérleti gyógyszerrel és 10 placebóval kezelt beteg állapota javult. (a) Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott beteg állapota javult, ha tudjuk, hogy placebót kapott? (b) Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott beteg állapota nem javult, ha tudjuk, hogy kísérleti gyógyszert kapott? (c) Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott beteg placebót kapott, ha tudjuk, hogy az állapota nem javult? Megoldás. Legyen J javult az állapota, GY gyógyszert kap. (a) Kombinatorikus valószínűséggel P GY GY J J javult és placebót kapottak száma placebót kapottak száma Másképpen, feltételes valószínűségként (b) Kombinatorikus valószínűséggel P P (J GY ) P (JGY ) P (GY ) nem javult és gyógyszert kapottak száma gyógyszert kapottak száma Más módon, feltételes valószínűségként P (J GY ) P (JGY ) P (GY ) , ,

4 (c) Naivan P Más úton, feltételes valószínűséggel placebót kapott és nem javultak száma nem javultak száma ,4. P (GY J) P (GY J) P (J) Egy speciális allergiateszt az esetek 93%-ában kimutatja a macskaszőr-allergiát, 0, 9%-ban hamisan jelez allergiát. Egy populációban a macskaszőrre allergiások aránya 0,004. (a) Mi a valószínűsége annak, hogy a vizsgálat eredménye pozitív, ha a vizsgált személy nem allergiás? (b) Mi a valósznsége annak, hogy a vizsgálat eredménye negatív, ha a vizsgált személy nem allergiás? (c) Mi a valósznsége annak, hogy a pozitív vizsgálati eredmény valóban allergiát jelez? Megoldás. Legyen A : allergiás a macskaszőrre, + : a teszt eredménye pozitív, : a teszt eredménye negatív. (a) P (+ A) P (hamisan jelez a teszt) 0,009. (b) P ( A) 1 P (+ A) 1 0,009 0,991. (c) Bayes-tétellel P (A +) P (+ A)P (A) P (+ A)P (A) + P (+ A)P (A) 0,93 0,004 0,93 0, ,009 (1 0,004) 0, A domináns barna hajszínt okozó allél gyakorisága 0,78 a vizsgált populációban, a recesszív jelleg a vörös hajszín. (a) Adja meg az egyes genotípusok gyakoriságát a populációban! (b) Mi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiválasztott ember barna hajú? vörös hajú? És hogy (c) Mi a valószínűsége annak, hogy egy barna hajú anya hajszínét tekintve heterozigóta feltéve, hogy vörös hajú férjétől egy barna hajú gyermeke született? Megoldás. Jelölje A a dominánsns barna hajszínt okozó allélt, a a recesszív vörös hajszínt okozó allélt. (a) A genotípusok gyakorisága P (AA) P (A)P (A) 0,78 0,78 0,6084, P (Aa) 2P (A)P (a) 2 0,78 0,22 0,3432, P (aa) P (a)p (a) 0,22 0,22 0,0484. (b) P (barna hajú) P (AA) + P (Aa) 0, ,3432 0,9516, P (vörös hajú) P (aa) 0,0484.

5 (c) Legyen E barna hajú gyermek. Az anya AA vagy Aa genotípusú, ezek valószínűsége a vizsgált populációban (a priori valószínűség) P (AA) 0,6084, P (Aa) 0,3432. Tudjuk, hogy az anya barna hajú, ezért AA P (anya AA) P (AA barna hajú) P ( {}}{ AA és barna hajú) P (barna hajú) Aa P (anya Aa) P (Aa barna hajú) P ( {}}{ Aa és barna hajú) P (barna hajú) Azt is tudjuk, hogy ez a két esemény teljes eseményrendszert alkot. 0,6084 0,9516 0,639, 0,3432 0,9516 0,361. A kérdés P (anya Aa E). A Bayes-tételt szeretnénk alkalmazni, amihez először az abban szereplő feltételes valószínűségeket számoljuk ki: A Bayes-tétellel anya Aa : anya AA : a a A Aa Aa a aa aa a a A Aa Aa A Aa Aa P (E anya Aa) 1 2, P (E anya AA) 1. P (anya Aa E) P (E anya Aa) P (anya Aa) P (E anya Aa) P (anya Aa) + P (E anya AA) P (anya AA) 1 0, , , , ,9516 0, , ,22. 0, , Hajunk hullámos, ill. egyenes típusát a A, a betűkkel jelzett allélpár határozza meg. A AA és Aa genotípusú egyének haja hullámos, a aa genotípusúaké egyenes. Egy férfiról tudjuk, hogy egyenes a haja, viszont az anyjának és az apjának hullámos. A férfi testvérének feleségéről pedig azt tudjuk, hogy egyenes a hajtípusa. Mi a valószínűsége annak, hogy a testvér, ill. annak gyermeke hullámos hajú? Megoldás. A feladatban szereplő egyenes hajú férfi szüleinek genotípusa Aa, hiszen a fiuk haja csak úgy lehet egyenes, ha mind a két szülőtől a allélt kapott. A szülőkről tudjuk, hogy hullámos hajúak, ebből adódik a fent említett genotípusuk. A a A AA Aa a Aa aa P (testvér hullámos hajú) P (testvér AA vagy Aa genotípusú) 3 4. Legyen most T testvér és H a gyermek hullámos hajú. A teljes valószínűség tételét alkalmazva P (H) P (H T AA) P (T AA) + P (H T Aa) P (T Aa) + P (H T aa) P (T aa)

6 8. Egy vizsgázó a KRESZ-vizsgán 60% eséllyel tudja a választ, egyébként tippel. A tippelés az esetek 25%-ában sikeres. (a) Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kérdésre a vizsgázó tippelni fogja a választ? (b) Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kérdésre a vizsgázó helyes választ ad, ha tudjuk, hogy nem tudja a választ? (c) Mi a valószínűsége annak, hogy a kérdésre jól válaszoló vizsgázó valóban tudta is a helyes választ? Megoldás. Legyen T a vizsgázó tudja a választ, H helyes a válasz. (a) Akkor tippel a vizsgázó, amikor nem tudja a választ, ennek valószínűsége (b) P (H T) P (a tippelés sikeres) 0,25. (c) A kérdés P (T H). Bayes-tételt alkalmazva P (T H) P (T ) 1 0,6 0,4. P (H T ) P (T ) P (H T ) P (T ) + P (H T ) P (T) 1 0,6 1 0,6 + 0,25 0, ,857.

Hasonló dokumentumok

(b) Legyen E: 6-ost dobunk, F: páratlan számot dobunk., de ha mártudjuk azt, hogy akísérletbenpáratlanszámotdobtunk, akkorazösszeslehetőség1, 3,

(b) Legyen E: 6-ost dobunk, F: páratlan számot dobunk., de ha mártudjuk azt, hogy akísérletbenpáratlanszámotdobtunk, akkorazösszeslehetőség1, 3, X. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, VALÓSZÍNŰSÉG A GENETIKÁBAN X.. Feltételes valószínűség. Példák a kockadobásnál. (a) Hogyan változik annak a valószínűsége, hogy 6-os a dobott szám, ha megtudjuk, hogy páros?