Halmazelmélet. 1 Halmazelmélet

Átírás

1 Halmazelmélet 1. feladat május 1. (2 pont) idegennyelvi Az A halmaz elemei a 10-nél nem kisebb és a 20-nál nem nagyobb páros számok, a B halmaz elemei a néggyel osztható pozitív számok. Adja meg az A B halmaz elemeit! 2. feladat október 1. (2 pont) Sorolja fel a H halmaz elemeit, ha H = {kétjegyű négyzetszámok}. 3. feladat október 1. (2 pont) Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az A B halmaz elemeit! 4. feladat május 1. (2 pont) Adja meg a 3 8 ; 1 8 nyitott intervallum két különböző elemét! 5. feladat május 1. (2 pont) idegennyelvi Írja fel az A={3;6 ;15;28} halmaz minden olyan részhalmazát, amelynek csak páros számok az elemei! 6. feladat október 1. (2 pont) Adott az A és B halmaz: A=a ;b ;c ; d, B=a ; b ; d ;e ; f Adja meg elemeik felsorolásával az A B és A B halmazokat! 7. feladat május 1. (2 pont) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B={1 ;2 ;3 ;4 ;5;6 ;7; 8;9} és B A={1;2; 4 ;7}. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! 8. feladat október 1. (2 pont) Az A halmaz elemei a ( 5)-nél nagyobb, de 2-nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az A B halmazt! 9. feladat május 1. (2 pont) idegennyelvi Adott az A, a B és a C halmaz az elemeivel: A={1 ;2;3 ;4 ;5}, B={3 ;4 ;5;6 ;7}, C={6 ;7 ;8 ;9 ;10}. Adja meg az A B, B C és A B halmazokat elemeik felsorolásával! 10. feladat május 1. (2 pont) Tekintsük a következő két halmazt: G={1 ;2 ;3 ;4 ;6;12} és H={1;2; 4 ;8 ;16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H G halmazokat! 11. feladat május 1. (2 pont) Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből. Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz érettségi vizsgát? 12. feladat október 2. (2 pont) Legyen az A halmaz a 10-nél kisebb pozitív prímszámok halmaza, B pedig a hattal osztható, harmincnál nem nagyobb pozitív egészek halmaza. Sorolja fel az A, a B és az A B halmazok elemeit! 13. feladat október 2. (2 pont) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B={1 ;2;3 ;4 ;5;6}, A B={1; 4} és A B={2;5} Sorolja fel az A és a B halmaz elemeit! almasi84@gmail.com 1 Halmazelmélet

2 14. feladat május (3 pont) idegennyelvi Döntse el, hogy igazak-e az alábbi állítások minden A és B halmaz esetén! 1. állítás: Ha c ( A B ), akkor c A. 2. állítás: Ha d ( B A ), akkor d B. 3. állítás: Ha e (A \ B), akkor e A. 15. feladat október 2. (3 pont) Az A halmaz elemei a 12 pozitív osztói. A B halmaz elemei a 15-nél kisebb (pozitív) prímszámok. Adja meg elemei felsorolásával az A, a B és az A B halmazt! 16. feladat május 3. (3 pont) idegennyelvi Egy osztály tanulói valamennyien vettek színházjegyet. Kétféle előadásra rendeltek jegyeket: az elsőre 18-at, a másodikra 24-et. 16 tanuló csak a második előadásra rendelt jegyet. a) Hány tanuló rendelt jegyet mindkét előadásra? b) Hány tanuló akart csak az első előadásra elmenni? c) Mennyi az osztály létszáma? 17. feladat október 3. (2 pont) Sorolja fel az A=1 ;10 ;100 halmaz összes kételemű részhalmazát! 18. feladat október 4. (3 pont) Jelölje N a természetes számok halmazát, Z az egész számok halmazát és az üres halmazt! Adja meg az alábbi halmazműveletek eredményét! a) N Z b) Z c) N 19. feladat október 5. (3 pont) Az A halmaz elemei a 28 pozitív osztói, a B halmaz elemei a 49 pozitív osztói. Adja meg az A B és a B A halmazokat elemeik felsorolásával! Megoldását részletezze! 20. feladat május 6. (2 pont) idegennyelvi Két halmazról, A-ról és B-ről tudjuk, hogy A B={x ; y ; z ;u ; v ; w}, A B={z ;u}, B A{v ; w}. Készítsen halmazábrát, és adja meg elemeinek felsorolásával az A B. halmazt! 21. feladat május 6. (2 pont) idegennyelvi Legyenek az A halmaz elemei azok a nem negatív egész számok, amelyekre a 5 x kifejezés értelmezhető. Sorolja fel az A halmaz elemeit! Megoldását részletezze! 22. feladat október 6.(2 pont) Hány kételemű részhalmaza van a {2; 3; 5; 7; 11} halmaznak? 23. feladat május 7. (2 pont) idegennyelvi Adja meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a x kifejezés értelmezhető! 24. feladat május 7. (4 pont) Az A halmaz az 5-re végződő kétjegyű pozitív egészek halmaza, a B halmaz pedig a kilenccel osztható kétjegyű pozitív egészek halmaza. Adja meg elemeik felsorolásával az alábbi halmazokat: A ; B ; A B ; A B 25. feladat október 9. (2 pont) Egy iskola teljes tanulói létszáma 518 fő. Ők alkotják az A halmazt. Az iskola 12. c osztályának 27 tanulója alkotja a B halmazt. Mennyi az A B halmaz számossága? 26. feladat május 9. (4 pont) Az A és a B halmazok a számegyenes intervallumai: A=[ 1,5 ; 12], B=[ 3; 20]. Adja meg az A B és a B A halmazokat! almasi84@gmail.com 2 Halmazelmélet

3 27. feladat május 11. (3 pont) Egy 10 tagú csoportban mindenki beszéli az angol és a német nyelv valamelyikét. Hatan beszélnek közülük németül, nyolcan angolul. Hányan beszélik mindkét nyelvet? Válaszát indokolja számítással, vagy szemléltesse Venn-diagrammal! 28. feladat február 12.(4 pont) Az A és a B halmazokról a következőket tudjuk: A B=1 ;2, A B=1;2;3 ;4 ;5; 6;7, A B=5 ;7. Adja meg az A és a B halmaz elemeit! 29. feladat május 12. (4 pont) idegennyelvi Tekintsük a következő két halmazt: A={36 pozitív osztói}; B={16-nak azon osztói, amelyek négyzetszámok}. Elemeik felsorolásával adja meg a következő halmazokat: A; B; A B ; A B. 30. feladat október 13. (4+4+4 pont) Egy középiskolába 700 tanuló jár. Közülük 10% sportol rendszeresen a két iskolai szakosztály közül legalább az egyikben. Az atlétika szakosztályban 36 tanuló sportol rendszeresen, és pontosan 22 olyan diák van, aki az atlétika és a kosárlabda szakosztály munkájában is részt vesz. a) Készítsen halmazábrát az iskola tanulóiról a feladat adatainak feltüntetésével! b) Hányan sportolnak a kosárlabda szakosztályban? c) Egy másik iskola sportegyesületében 50 kosaras sportol, közülük 17 atletizál is. Ebben az iskolában véletlenszerűen kiválasztunk egy kosarast. Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott tanuló atletizál is? 31. feladat május 13. (2+4+6 pont) a) Oldja meg a 7+x< 2( x 2) egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! b) Oldja meg az x 2 +x 6 0 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! c) Legyen az A halmaz az első egyenlőtlenség megoldásainak a halmaza, B pedig a második egyenlőtlenség valós megoldásainak halmaza. Adja meg az A B, A B és B A halmazokat! 32. feladat október 13. (2+5+5 pont) Egy közvélemény-kutató intézet azt a feladatot kapta, hogy két alkalommal fél év különbséggel mérje fel a TV-ben látható három filmsorozat nézettségi adatait. Az ábrán látható kérdőíven a válaszoló vagy azt jelölhette be, hogy az A, B és C sorozatok közül melyiket nézi (akár többet is meg lehetett jelölni), vagy azt, hogy egyiket sem nézi. Az első felméréskor kapott 600 kérdőív jelöléseit összesítve megállapították, hogy az A sorozat összesen 90 jelölést kapott, a B sorozat összesen 290-et, a C sorozat pedig összesen 230-at. Érdekes módon olyan válaszadó nem volt, aki pontosan két sorozatot nézett volna, viszont 55-en mindhárom sorozatot bejelölték. a) A válaszolók hány százaléka nézte az A sorozatot? b) Hány válaszoló nem nézte egyik sorozatot sem? A második felmérés után kiválogatták azokat a kérdőíveket, amelyeken valamelyik sorozat meg volt jelölve. Ezeken a három sorozat nézettségére összesen 576 jelölés érkezett. Az adatok feldolgozói minden jelölést megszámoltak, és a végeredményről az itt látható kördiagramot készítették almasi84@gmail.com 3 Halmazelmélet

4 c) Számítsa ki, hogy az egyes sorozatok nézettségére hány jelölés érkezett! 33. feladat május 15. (2+10 pont) idegennyelvi Egy atlétika szakosztályban a 100 m-es síkfutók, a 200 m-es síkfutók és a váltófutók összesen 29 fős csoportjával egy atlétaedző foglalkozik. Mindegyik versenyző legalább egy versenyszámra készül. A 100 m-es síkfutók tizenöten vannak; hét versenyző viszont csak 100 méterre edz, négy versenyző csak 200 méterre, hét versenyző csak váltófutásra. a) Készítsen a feladatnak megfelelő halmazábrát! Azt is tudjuk, hogy bármelyik két futószámnak pontosan ugyanannyi közös tagja van. b) Mennyi ez a szám? 34. feladat május 16. ( pont) Egy középiskolába 620 tanuló jár. Az iskola diákbizottsága az iskolanapra három kiadványt jelentetett meg: I. Diákok Hangja II. Iskolaélet III. Miénk a suli! Később felmérték, hogy ezeknek a kiadványoknak milyen volt az olvasottsága az iskola tanulóinak körében. A Diákok Hangját a tanulók 25%-a, az Iskolaéletet 40%- a, a Miénk a suli! c. kiadványt pedig 45%-a olvasta. Az első két kiadványt a tanulók 10%-a, az első és harmadik kiadványt 20%-a, a másodikat és harmadikat 25%-a, mindhármat pedig 5%-a olvasta. a) Hányan olvasták mindhárom kiadványt? A halmazábra az egyes kiadványokat elolvasott tanulók létszámát szemlélteti. Írja be a halmazábra mindegyik tartományába az oda tartozó tanulók számát! b) Az iskola tanulóinak hány százaléka olvasta legalább az egyik kiadványt? Az iskola 12. évfolyamára 126 tanuló jár, közöttük kétszer annyi látogatta az iskolanap rendezvényeit, mint aki nem látogatta. Az Iskolaélet című kiadványt a rendezvényeket látogatók harmada, a nem látogatóknak pedig a fele olvasta. Egy újságíró megkérdez két, találomra kiválasztott diákot az évfolyamról, hogy olvastáke az Iskolaéletet. c) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a két megkérdezett diák közül az egyik látogatta az iskolanap rendezvényeit, a másik nem, viszont mindketten olvasták az Iskolaéletet? 35. feladat május 16. (8+3+6pont) Tekintsük a következő halmazokat: A = {a 100-nál nem nagyobb pozitív egész számok}; B = {a 300-nál nem nagyobb 3-mal osztható pozitív egész számok}; C = {a 400-nál nem nagyobb 4-gyel osztható pozitív egész számok}. a) Töltse ki a táblázatot a minta alapján, majd a táblázat alapján írja be az 52, 78, 124, 216 számokat a halmazábra megfelelő tartományába! b) Határozza meg az A B C halmaz elemszámát! almasi84@gmail.com 4 Halmazelmélet

5 c) Számítsa ki annak valószínűségét, hogy az A halmazból egy elemet véletlenszerűen kiválasztva a kiválasztott szám nem eleme sem a B, sem a C halmaznak! 36. feladat május 18. (3+8+6 pont) idegennyelvi Egy érettségi előtt álló 32 fős osztály a ballagásra készül. A ballagási meghívó színéről szavazáson döntöttek, melyen minden tanuló részt vett. A szavazólapon három szín (sárga, fehér, bordó) szerepelt, ezek közül mindenki egyet vagy kettőt jelölhetett meg. A két színt választók közül a sárgát és a fehéret 4-en, a fehéret és a bordót 3-an választották. A sárgát és a bordót együtt senki nem jelölte meg. A szavazatok összeszámolása után kiderült, hogy mindegyik szín ugyanannyi szavazatot kapott. a) Mennyi annak valószínűsége, hogy az osztályból egy diákot véletlenszerűen kiválasztva, az illető csak egy színt jelölt meg a szavazólapon? b) Hány olyan diák volt, aki csak a fehér színt jelölte meg a szavazólapon? Az egyik tizenegyedikes diáknak 7 barátja van a ballagók között: 5 fiú és 2 lány. Ez a diák három barátjától egy-egy szál rózsával kíván elbúcsúzni. Úgy szeretné kiosztani a három szál rózsát barátai között, hogy fiú és lány is kapjon, és minden kiválasztott egyet-egyet. c) Hányféleképpen választhatja ki a fenti feltételek teljesítésével hét barátja közül azt a hármat, akinek ad virágot? 37. feladat május 18. (3+8+6 pont) A biológiaérettségi egyik tesztkérdésénél a megadott öt válaszlehetőség közül a két jót kell megjelölni. a) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy az öt lehetőség közül kettőt véletlenszerűen kiválasztva a két jó választ találjuk el! Nóri, Judit és Gergő egy 58 kérdésből álló biológiateszttel mérik fel tudásukat az érettségi előtt. A kitöltés után, a helyes válaszokat megnézve az derült ki, hogy Nóri 32, Judit 38 kérdést válaszolt meg helyesen, és 21 olyan kérdés volt, amelyre mindketten jó választ adtak. Megállapították azt is, hogy 11 kérdésre mindhárman helyesen válaszoltak, és Gergő helyesen megoldott feladatai közül 17-et Nóri is, 19-et Judit is jól oldott meg. Volt viszont 4 olyan kérdés, amelyet egyikük sem tudott jól megválaszolni. b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy kérdést véletlenszerűen kiválasztva, arra Gergő helyes választ adott! Válaszát három tizedesjegyre kerekítve adja meg! Nóri a biológia és a kémia szóbeli érettségire készül. Biológiából 28, kémiából 30 tételt kell megtanulnia. Az első napra mindkét tárgyból 3-3 tételt szeretne kiválasztani, majd a kiválasztott tételeket sorba állítani úgy, hogy a két tantárgy tételei felváltva kövessék egymást. c) Számítsa ki, hányféleképpen állíthatja össze Nóri az első napra szóló tanulási programját! 38. feladat május 18. (6+5+6 pont) Egy 20 fős társaság tagjait az április havi szabadidős tevékenységeikről kérdezték. Mindenki három eldöntendő kérdésre válaszolt (igennel vagy nemmel). I. Volt-e moziban? II. Olvasott-e szépirodalmi könyvet? III. Volt-e koncerten? A válaszokból kiderült, hogy tizenketten voltak moziban, kilencen olvastak szépirodalmi könyvet, és négy fő járt koncerten. Öten voltak, akik moziban jártak és szépirodalmi könyvet is olvastak, négyen pedig moziban és koncerten is jártak. Hárman mindhárom kérdésre igennel válaszoltak. a) Hány olyan tagja van a társaságnak, aki mindhárom kérdésre nemmel válaszolt? almasi84@gmail.com 5 Halmazelmélet

6 A társaság 20 tagja közül véletlenszerűen kiválasztunk kettőt. b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy legalább az egyikük volt moziban április folyamán! Attól a kilenc személytől, akik olvastak áprilisban szépirodalmi könyvet, azt is megkérdezték, hogy hány könyvet olvastak el a hónapban. A válaszok (pozitív egész számok) elemzése után kiderült, hogy a kilenc szám (egyetlen) módusza 1, mediánja 16 2, átlaga terjedelme pedig 2. 9 c) Adja meg ezt a kilenc számot! almasi84@gmail.com 6 Halmazelmélet