Váratlan egybeesések Vida Péter

Átírás

1 Tartalomjegyzék Váratlan egybeesések Vida Péter Alapfogalmak Gauss-görbe Galton-deszka Ritka események,egybeesések és előfordulások Beatrice-i templom A valószínűség és a szerencsejátékok Craps-játék A játékos csődje A valószínűségszámítás eredete Alapfogalmak, definíciók A valószínűségszámítás a véletlen matematikája megalapozói közt elsősorban említendő a francia Pierre Fermat (60 665) és Blaise Pascal (6 66), bár néhány ilyen tárgyú mű már az ő működésük előtt is megjelent. A legfontosabb példa a A kockajátékról című könyv, amit Cardanónak (50 576) tulajdonítanak, de a kockajátékról már Claudius római császár is írt egy hosszabb, tréfás értekezést. A matematikának ez az ága a szerencsejátékok elméleteként indult, így a legtöbb korai, véletlenek törvényszerűségeiről szóló műnek hasonló címe volt. Levelezésükben Pascal és Fermat is a kockázáshoz és egyéb játékokhoz kapcsolódó problémákat, feladatokat ( pontosztozkodási probléma ill. de Méré lovag problémája ) tárgyalnak és oldanak meg, és lerakják a klasszikus vagy kombinatorikus valószínűségszámítás alapjait. Klasszikus valószínűségszámítás Várható érték Ha egy kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és a kimeneteleknek azonos a valószínűségük, akkor a kísérlettel kapcsolatos események és ezek valószínűségei együtt ún. klasszikus valószínűségi mezőt alkotnak. Legyen A a kísérlettel kapcsolatos esemény. Ha az A esemény a kísérlet N elemi eseménye közül k különböző elemi esemény összegéből áll, akkor valószínűsége: P A = k N. Az A esemény komplementerének, A-nak a valószínűsége: P A = N k = P(A) N Adott: P A = p. Ha egy kísérlettel egymástól függetlenül n-szer elvégzünk, akkor annak a n valószínűsége, hogy az A esemény pontosan k -szor bekövetkezik: P k= k pk p n k Általánosabban, ha egy x mennyiség (ami lehet egy játékban a nyeremény, vagy bármilyen mérés vagy kísérlet eredménye, vagy valamilyen eljárásnál egy becsült érték) az x x,...x n különböző értékeket veheti fel, és rendre P(x ), P(x )..., P(x n ) annak a valószínűsége, hogy x ezeket felveszi, akkor x várható értékét, amit E x -szel jelölünk, a következőképpen definiáljuk: n E x = P(x i ) x i i= Pl. Kockadobásbál: E x = = = 6 =,5

2 Gauss-eloszlás Valószínűség eloszlások Az X valószínűségi változó normális eloszlást követ vagy rövidebben: normális eloszlású pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye: x m σ f x = σ π e Ahol a két paraméter, σ és m R, és σ > 0. Várható értéke: E X = m Szórása: D X = σ Egy kis érdekesség Galton-deszka Vegyünk egy széles deszkát, és verjünk be mondjuk félcentis szögeket egymástól egyenlő távolságra úgy, hogy minden következő sorban a szögek az előző sorbeliekhez képest középen helyezkedjenek el (lásd ábrát). A kaput, amelyen keresztül a golyók a zár kinyitása után kiesnek, pontosan a felső sor középső szöge fölött kell elhelyezni. Az üveglap megakadályozza, hogy a golyók kiugorjanak, de közben mégis láthatjuk, hogy mi történik. Mindegyik golyó a középső szög tetejére esik. Innen ugyanakkora valószínűséggel pattan balra, mint jobbra. Ha mondjuk balra tért el, akkor ismét egy kapuban találja magát, amelyet alulról a második sor egyik szöge zár le, erről megint egyforma eséllyel haladhat mindkét irányban tovább. Galton-deszka Kérdés: Ha kinyitjuk a kaput, és lepergetjük a golyókat, akkor a függőleges falakkal elválasztott alsó rekeszekben milyen kép alakul ki? Emlékezzünk vissza most a Pascal-háromszögre. Megállapítottuk, hogy egy sorban két szomszédos számot összeadva a következő sornak a két tag között álló elemét kapjuk. Ismeretes, hogy ezzel az eljárással éppen a binomiális együtthatókhoz jutunk. A valószínűsége annak, hogy N kísérletből m siker és N m kudarc forduljon elő, ha p = q =, N m pm q N m = N m N Tudjuk, hogy nagy N-re ez az eredmény megközelíti a Gausseloszlást, emiatt ha kinyitjuk a kaput, és leesnek a golyók, nagyjából a Gauss görbe alakját fogják követni. SZIMULÁCIÓ

3 A Beatrice-i templom Sztori: Ritka események,egybeesések és előfordulások A Life Magazine írta, hogy 950. március -én egy Beatrice-i templom (Nebraska állam) kórusának mind a tizenöt tagja elkésett az esti 7 óra 0 perces próbáról. A lelkész, a felesége és a lányuk azért, mert az asszony nem vasalta ki időben a kislány ruháját; egy másik kislány be akarta fejezni a mértanleckéjét; a harmadiknak nem indult be az autója; a negyediknél ugyanez volt a helyzet; ketten meg akarták várni egy nagyon izgalmas rádióműsor végét; egy mama és a lánya azért késtek, mert a lányt nehezen lehetett felkelteni a szundikálásból stb. Az okok meglehetősen mindennaposak, mindenesetre tíz különböző és teljesen független dolog miatt késett a tizenöt ember. És nagy szerencse, hogy egyikük sem érkezett meg 7 óra 0-ra, mert 7 óra 5- kor a templom felrobbant. A kórustagok, a Life jelentése szerint, azon tűnődtek, hogy a késésükben az isteni gondviselés játszott-e szerepet. Mekkora ennek a valószínűsége? Tíz különböző független ok egyszerre jelentkezett, ezért Ez valamivel kisebb, mint 0 6, tehát feltételezésünket elfogadva azt állíthatjuk, hogy körülbelül egy az egymillióhoz volt annak az esélye, hogy a tíz késési ok egyszerre forduljon elő. Megj.: Ha mind a tizenöt kórustagnak külön, független, véletlen indoka lett volna a 5 - el becsülhetjük, ami körülbelül egy az egymilliárdhoz. 0 az esély, hogy mindenki pontatlan. késésre, akkor a valószínűséget Az esethez nagyon nehéz lenne egy jól közelítő matematikai modellt találni, a szóban forgó valószínűségek nagyságrendjét azonban durván meg tudjuk becsülni. Fogadjuk el, hogy az egyes késési okok átlagosan minden negyedik próbánál fordulnak elő. Nehezen hihető, hogy ezek a lelkiismeretes és gondos emberek ennél gyakrabban elkésnének Az önkényesen vett egy ember valószínűséggel késik kiindulásból könnyen kiszámíthatjuk annak a valószínűségét is, hogy egy adott estén az egyik meghatározott kórustag késik, de a többi tizennégy pontos. Ennek értéke ami körülbelül 0,00. 5-ször ilyen valószínű, hogy valamelyikük (de csak az egyikük) késik; hiszen annak a 5 egymást kizáró esetnek a valószínűségeit kell összegezni, hogy az - es számú kórustag az egyetlen elkéső, illetve a -es számú, illetve... végül, hogy a 5-ös számú. Ugyanebből kiindulva 5 azaz kb. 0,99 annak a valószínűsége, hogy egy estén legalább az egyikük elkésik. Lehet, hogy ezt a feltételezést, amelyet néhány bekezdéssel ezelőtt az egy késési ok valószínűségére tettem,valaki nem találja jogosnak. Ebben az esetben egy másik modellt kell felállítani, és néhány valószínűséget abból kiszámítani. Világos, hogy reálisabb elképzelésekkel indulhatunk, ha a próbákról rendelkezésünkre állnak a jelenléti ívek. Kórustag Kórustag Kórustag Kórustag Kórustag Kórustag Kórustag Kórustag Kórustag Kórustag Kórustag Kórustag Kórustag Kórustag Kórustag Esély Igen Igen Igen Igen Igen Igen Igen Igen Igen Igen Nem Nem Nem Nem Nem : Igen Igen Igen Igen Igen Igen Igen Igen Igen Igen Igen Igen Igen Igen Igen : A valószínűség és a szerencsejátékok Érdekes kérdés persze ezeken felül, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy a templom felrobban?

4 Craps-játék A craps igen alkalmas hazárdjátékokkal kapcsolatos valószínűségek kiszámításának bemutatására; ugyanis lényegesen bonyolultabb, mint a fej vagy írás, és így néhány érdemlegesebb problémát is felvet, ugyanakkor nem olyan bonyolult (mint például a bridzs), hogy a számítások unalmassá váljanak. A craps továbbá egy tiszta szerencsejáték, amely semmiféle hozzáértést sem igényel, és dönteni is csak azzal kapcsolatban kell, hogy valaki beszáll-e a játékba, illetve abbahagyja-e. A craps -ben a játékos két kockával dob. Ha az összeg 7 vagy, akkor rögtön nyert. Ha, vagy, akkor vesztett. Ha előszörre, 5, 6, 8, 9 vagy 0 jött ki, akkor addig dob a kockákkal, amíg meg nem ismétlődik az eredeti összeg (azaz eléri a pontját ), ekkor nyer, vagy amíg 7-et nem dob (ez a craps"), ekkor veszít. Az első dobás után a játék vagy azonnali nyeréssel vagy azonnali vesztéssel véget ér, vagy pedig tovább folytatódik. Ennek a három esetnek a valószínűsége rendre: Véget ér: Nyer: Folytatódik: = = = Ha az első dobás, 5, 6, 8, 9 vagy 0, tehát a játék folytatódik, akkor a játékos abban az esetben nyer, ha sikerül a pontját elérnie, azaz az első dobását megismételnie, mielőtt egy 7- essel kiesne. Ha a 7 előbb következik be, mint ahogy az első dobás megismétlődik, akkor vesztett. Az első dobás eredménye után annak a menetnek a végéig a játékos számára csak két kritikus szám létezik; ez az eredmény és a 7. Összeg Hányféleképpen jöhet ki Milyen esélyei vannak a nyerésre, hogy elérje a pontját, még mielőtt 7-et dobna? Számoljunk kicsit! Legyen A = "Elérem a pontomat", B = "7 et dobok és vesztek", C = "Más eredmény jön ki, újra dobok" És legyen P A = a, P B = b, P C = c = a b. Mi a valószínűsége annak, hogy az A kimenetel előbb következik be, mint a B? Ez az alábbi egymást kizáró módokon történhet: Az. kísérlet eredménye A, ennek valószínűsége a. Az. kísérlet eredménye C, a.-é A, a valószínűség c a. Az. és. kísérlet eredménye C, a.-é A, a valószínűség c a. Stb. Így annak a valószínűsége, hogy A előbb következik be, mint B, a + ac + ac + = a + c + c + c +, aminek az értéke: a = a c a+b Miért nem kell aggódnunk amiatt, hogy A és B sem következik be, és a C esemény ismétlődik a végtelenségig? Most már ki tudjuk számítani annak a valószínűségét, hogy a játékos eléri a pontját, mielőtt 7-et dobna. Ha -et vagy 0 -et kell elérnie, akkor, mint láttuk, erre az esélye, a 7-es dobásé pedig 6 6. Tehát annak a valószínűsége, hogy előbb dob -et mint 7-et: = = 0,. 9 6 Hasonlóan, annak a valószínűsége, hogy előbb sikerül az 5-ös, illetve a 9-es, mint a 7-es, = 0,00; 0 azé pedig, hogy a 6-os, illetve a 8-as megelőzi a 7-est, 5 = 0,5. A és a 0 nehezen elérhető pontok (p = 0,), ha összevetjük a középnehéz 5-tel vagy 9-cel (p = 0,00) és a viszonylag könnyen elérhető 6 tal vagy 8 cal (p = 0,5). Ezeknek az adatoknak az ismeretében most már könnyen meghatározhatjuk, mennyi a játékos nyerési valószínűsége az első dobás előtt. Két egymást kizáró módon nyerhet vagy az első dobással, vagy pedig az első dobás pontjá -t megismételve. Az első lehetőség, mint korábban láttuk, 8 6 valószínűséggel következik be. Ehhez hozzá kell adnunk annak a valószínűségét, hogy a játékos egy későbbi dobással eléri a pontját. A teljes nyerési valószínűség ennek megfelelően: = 95 = 0,99 Az eredmény A játékos csődje Az eredmény nagyon érdekes. A legtöbb Craps-játékos dobó szeret lenni, feltehetőleg, mert szerencsésnek érzi magát, és élvezi a játékos aktív szerepét. Az esélye mindamellett nem éri el az igazságos játékra jellemző értéket. Hosszú távon a dobójátékos a tétjeinek körülbelül, százalékát veszíti el, amivel kicsit rosszabbul jár, mintha Monte Carlóban a ruletten párosra vagy páratlanra tenne (itt a bank várható haszna,5 százalék), majdnem kétszer olyan jól jár, mintha a ruletten egyes számokra tenne (,7 százalékos bankhaszon), és durván négyszer előnyösebb helyzetbe kerül, mintha egy olyan ruletten tenne párosra vagy páratlanra, ahol a keréken két nulla van. Tekintsünk egy játékost, nevezzük J-nek, aki a B bank ellen játszik. Minden egyes menet tétje egy dollár, és feltesszük, hogy a játék igazságos, vagyis a játékos nyerési esélye bármely fordulóban 50 százalék. A tárgyalást megkönnyíti, és a probléma lényegét nem érinti, ha feltesszük, hogy a játékban egy fix összeg forog, mondjuk T dollár. Ebből a játék kezdetén d dollár a J játékosé, D dollár a B banké, d + D = T. Feltesszük, hogy a játék addig folytatódik, amíg a két résztvevő valamelyike, a játékos vagy a bank, tönkremegy. Tehát a játék addig tart, amíg a játékos tőkéje nullára nem csökken, vagy el nem éri T-t, azaz bankot nem robbant.

5 Meg akarjuk határozni a játékos csődjének, illetve a bankrobbantásnak a valószínűségét. Jelöljük C-vel (utalva a csőd szóra) annak a valószínűségét, hogy a játékos végül is tönkremegy; és a C d jelölést használjuk abban az esetben, ha fel akarjuk hívni a figyelmet, hogy ez az esély függ a kezdeti tőkétől. Tehát például C d+ azon feltétel mellett jelenti a tönkremenés valószínűségét, ha a játékosnak eggyel több, mint d dollárja volt. Tudjuk, hogy az első játszma előtt a játékos csődbe jutásának a valószínűsége C d. Számítsuk ki ugyanezt a C d valószínűséget más módon is, és így egy olyan kifejezést kell kapnunk, amely megegyezik C d-vel. Gondoljunk az első kísérlet két lehetséges kimenetelére. valószínűséggel az első kísérlet után a játékosnak d + dollárja lesz, és így a tönkremenési valószínűsége C d+ -re módosul. Azonban ugyancsak annak a valószínűsége, hogy a tőkéje d dollárra csökken, és ekkor C d, adódik a tönkremenési valószínűségre. A tönkremenési valószínűség várható értéke: C d+ + C d Ugyanekkor, a kísérletek elvégzése előtt, C dvárható értékét másképpen is kiszámíthatjuk; biztosak vagyunk benne, hogy a játékos tőkéje most d, tehát C d várható értéke: C d = C d Tehát: C d = C d+ + C d Tudjuk, hogy d = 0 esetén a játékos tönkrement, tehát C 0 =. És azt is tudjuk, hogy ha a tőkéje eléri T-t, akkor bankot robbantott, és többé nem fenyegeti a megsemmisülés veszélye, vagyis: C T = 0. A kezdeti feltételeket egy egyszerű C d = A + Bd alakú lineáris kifejezés elégíti ki, ahol A és B konstansok. Innen: Illetve: C 0 =, azaz A = C T = 0, azaz 0 = + B T B = T Így a megoldás: C d = d T = D d + D Ugyanígy, a jelölések megfelelő módosításával, azt kapjuk, hogy a bank tönkremenési esélye: D T = d d + D Tehát gyakorlatilag biztos, hogy a játékos vagy tönkremegy, vagy bankot robbant, azaz a bank megy tönkre. Felhasznált irodalom Warren Weaver : Szerencse kisasszony (96) Szimuláció: Wikipédia: Köszönöm a figyelmet! 5