2 p típusú teljes faktoros kísérleti tervek. Kísérlettervezés. Mit akarunk megtudni? mátrix-terv. a változók egyenkénti változtatása. x 3 x 2.

Átírás

1 Kísérlettervezés Mit akarunk megtudni? Y = β + β x + β x β p x p p típusú teljes faktoros kísérleti tervek x 3 x x 3 x 4 x. x a) b) a változók egyenkénti változtatása mátrix-terv

2 . példa Vizsgáljuk a baracklekvár-főzés technológiai paramétereinek hatását a baracklekvár minőségére z cukor mennyisége. és.3 kg/kg, z forralási idő 5 és 3 min Faktorok z z középpont z j variációs intervallum z j.5.5 fölső szint z j max (+).3 3 alsó szint z j min ( ). 5 3 A kísérleti terv: i z z y z ,,5,,5,,5,3,35 z 4

3 i Természetes egységekben A transzformált faktorok y z z x x x Transzformáció (kódolás): x i j = x ji z x j z z ki j j =, ha j k ortogonalitás z x ,,5,,5,,5,3,35 z - + x 5 y x y x 6

4 h j ( y ) ( y ) = j+ j h = = = h = = 58 4 = 6 7 Y β + β x + β x β = p x p y + b j b j b j y x i ji i = x ji i = i y x i N ji y x j 8

5 8 y i x x x x x y x h = y + y = = 3 7 = 4 b = = = = kölcsönhatás! b = 4 = 5 9 Y = β + β x + β x + β x x Yˆ = 5 + 6x + 8x xx 8 6 4

6 A becsült paraméterek szignifikanciájának vizsgálata Ha újra elvégeznénk az egész kísérletsorozatot, ugyanazokat az y értékeket kapnánk? y = Y + ε y ingadozik Y körül Ha az újra elvégzett kísérletsorozatot kiértékelnénk, ugyanazokat a b becsült paraméter-értékeket kapnánk? b j valószínűségi változó, értéke akkor sem, ha β j = Az együttható (b j ) ingadozását jellemző s b szórás y szórásából (s y ) számítható. Ismételt mérések végzése ( s ) a) k-szor ismétlünk a terv minden pontjában, b) a terv centrumában végzünk ismételt méréseket, k c -szer ismétlünk. y meghatározásához A terv centrumában végzett ismételt mérések a hatások szignifikanciájának vizsgálatán kívül a linearitás vizsgálatát is lehetővé teszik.

7 Különböznek-e a b becsült paraméterek szignifikánsan zérustól? s s b j β y y j sb t = j = = x ji N s b j i Nullhipotézis: H : β j = Ha a nullhipotézis helytálló, a hányados t-eloszlású, vagyis P ( t < b s ) = α α j b tα j A nullhipotézist akkor utasítjuk el, ha b j > sb j t α 3 Honnan vegyük s y -et? A terv centrumában (ahol minden faktor szintje ) is végeztek méréseket i Természetes egységekben A transzformált faktorok y z z x x y 3 y m m= = = s 3 ( y m y ) m= y = =.333 4

8 s y s y.333 s = = = =.833 s b b j j =. 89 x N 4 i ji P ( t < b s < ) = α α b tα j ha b j = j szignifikáns, ha b j > s t α b j t 4.3 = = sb j t α = 5 A lineáris modell adekvát voltának vizsgálata (görbeség-ellenőrzés) ( y ) Y E = (centrum-pont) H : H : ( b ) = E( y ) E = Y ( b ) E( y ) E = Y d t = d = y b sd = sy + k N s d ν = N l + kc c 6

9 y 5 Lineáris modell (sík) 4 y d 3 b mért y i mért y i x - - x - 7 d = =.33 s d 333 =. + = 943. s 4 3 d = t = = ν = N l + kc = = t ( ) 4. 3 < t.5/ = Elfogadjuk a nullhipotézist (nem kell másodfokú tag a modellbe). 8

10 A becsült függvény: Yˆ = 5 + 6x + 8x xx ˆ C.5 Y = t C.5 t 7.5 = = 5 + C C t + t = C t 6 C t A variancia (σ ) becslési lehetőségei ( s y ) k-szor ismétlünk a terv minden pontjában A kísérletek száma: N = k p Ellenőrizhető a σ konstans feltétel Nem vizsgálható, hogy a lineáris modell adekvát-e k c -szer ismétlünk a terv centrumában A kísérletek száma: N = p + kc << k p Nem ellenőrizhető a σ konstans feltétel Vizsgálható, hogy a lineáris modell adekvát-e. k-szor a terv minden pontjában, k c -szer a terv centrumában A kísérletek száma: N = k p +k c Ellenőrizhető a σ konstans feltétel Vizsgálható, hogy a lineáris modell adekvát-e Szigorúbb statisztikai próbák, a szabadsági fok nagyobb

11 Mi történik, ha csak a kísérleti terv egy pontját ismételjük? i x x x x x i x ji x ki =, ha j k ortogonalitás? A p terv alapján becsült modell-paraméterek száma (l) legfeljebb p Modell-redukció: a nem szignifikáns tagokat (b j -ket) kihagyjuk a modellből, így p l < Ha a terv minden pontját k-szor hajtjuk végre, a terv sorainak száma N = k A tervpontokban mért y értékek szóródása az illesztett modell körül: ( s ) y regr = N i= ( y Yˆ ) i N l i p ν = N l

12 . példa Vizsgáljuk egy kémiai reaktorban a kitermelést (%) négy faktor függvényében, ha a z hőmérséklet 4 és 6 o C, z reakcióidő és min, z 3 kiindulási komponens koncentrációja 45 és 65 %, z 4 nyomás és 6 bar 3 Faktorok z z z 3 z 4 középpont z j variációs intervallum z j 5 fölső szint z j max (+) alsó szint z j min ( )

13 Természetes egységekben A transzformált faktorok y i z z z 3 z 4 x x x x 3 x 4 % kitermelés, % hõmérséklet -.. reakcióidõ -.. koncentráció -.. nyomás 6

14 Yˆ = b+b x+b x+b3 x3+b4 x4 + +b xx+b3 xx3+b4 xx4 + b3 x x3+b4 x x4 + b34 x3x4 + +b 3 xx x3 +b4 xx x4+b34 xx3 x4+b34 xx3x4+b34 xx x3x4 7 i x x x x 3 x 4 x x x x 3 x x 4 x x 3 x x 4 x 3 x 4 x x x 3 x x x 4 x x 3 x 4 x x 3 x 4 x x x 3 x 4 y

15 Interaction Plot (data means) for Y, % Z Z Point Type 4 Corner 5 Center 6 Corner Z Z Point Type Corner 5 Center Corner Z Z3 Point Type 45 Corner 55 Center 65 Corner Z4 9 b = 78.4; b = 4.93; b = 8.4; b 3 =.57; b 4 =.8; b =.97; b 3 =.9; b 4 =.43; b 3 =.4; b 4 =.33; b 34 =.4; b 3 =.3; b 4 =.46; b 34 =.3; b 34 =.8; b 34 =.3 b b 3 b b együtthatók 3

16 Pareto Chart of the Standardized Effects (response is Y,, Alpha =.5) 4.3 B A AB C ABD F actor A B C D Name Z Z Z3 Z4 AD Term BC BD ABCD AC D CD ABC ACD BCD Standardized Effect Normal Probability Plot of the Standardized Effects (response is Y,, Alpha =.5) B Effect Type Not Significant Significant Percent C A Factor A B C D Name Z Z Z3 Z4 5 AB - Standardized Effect 3 4 Y ˆ = x x +. 53x3-. 97xx 3

17 p-r típusú részfaktortervek x 3 3- i x x x x x i x x x x x 3 x x i x x x x

18 Az illeszthető modell $ Y = b + b x + b x + b 3 x 3 b β β mivel x = x x 3 Mindkét oldalt szorozva x 3 -mal = xx x 3 x=x xx 3=x x3 x=x x3 b β + β3 b β + β3 (keveredési rendszer) x = x x x =x x x x A keveredési rendszer: x =x x3x4 x=x x3x4 x =x 3 xx4 x4=x xx3 xx=x 3x4 xx 3=x x4 x = x4 xx3 A főhatások háromfaktoros interakciókkal keverednek, a kétfaktoros interakciók pedig egymással. 36

19 4 Y ˆ = b +b x +b x +b x b 4 x 4 xx=x 3x4 stb. 5 x5=x x x3 x =x 4 xx3x4x5 x =x x3x4x5 x x=x3 x4x pl. x 4=x x x 5=x x x3 Y ˆ = b +b x +b x +b x + b x b 5 x 5 kísérletek száma? paraméterek száma? 5 3 kísérletek száma? paraméterek száma?

20 3. példa G. E. P. Box, W. G. Hunter, J. S. Hunter: Statistics for Experimenters, J. Wiley, 978; p variable - + water supply town reservoir well raw material on site other 3 temperature low high 4 recycle yes no 5 caustic soda fast slow 6 filter cloth new old 7 holdup time low high 39 Az első terv: filtration time (min) test y

21 Az első terv eredményeinek feldolgozása: l = l = l 3 = l 4 = l 5 = l 6 = l 7 = Filtr.mtw 4 Második (fold-over) terv: filtration time (min) test y

22 A 6 kísérlet eredményeinek feldolgozása: l = -6.7 l = -3.9 l 3 = l 4 =.8 4 l 5 = l 6 =. 6 l 7 = l = l 3 = l 4 = l 5 = l 6 = l 7 = l 4 = Meddig lehet a kísérletek számát csökkenteni? Legalább a főhatásokat becsülnünk kell, p faktorra minimálisan p+ pontból pl. 7 faktorra legalább 8 beállítás ( 7-4 ). Ha a faktorok száma 8 és 5 között van, a minimális beállítások száma 6 44

23 A kísérletek menete Randomizálás Például a kísérleteket nem lehet egyszerre (azonos pillanatban) elvégezni, és nem zárható ki, hogy az idő előrehaladásával a külső körülményekben, az anyagban változások lesznek. Ha a tervgenerálás algoritmusa a végrehajtás sorrendje, akkor a terv első feléhez, a faktor egyik szintje, második feléhez pedig a másik szintje tartozik. Ekkor a szóban forgó faktor főhatásába belekeveredik az időbeli különbség (az idő hatása). A kísérletek sorrendjét véletlenszerűsíthetjük, ez a randomizálás. 45 Az is előfordul, hogy a kísérletekhez felhasználandó nyersanyag egy tételéből nincs annyi, hogy az egész kísérletsorozatra futná, vagy nem végezhetjük az egész sorozatot egy napon ill. egy készüléken. Ha ilyenkor randomizálunk, a tétel (nap, vagy készülék) nem keveredik a faktor hatásába, de a randomizálás miatt a szórás megnő, és elfedheti a lényeges faktorok hatását. Jobb, ha a kísérletsorozatot ilyen esetekben blokkokra osztjuk: egy blokkban azonos körülményeket biztosítunk (azonos nyersanyagtétel, azonos nap, vagy készülék). 46

24 Blokkokra osztás BLOKK i x x x x 3 x x x A variációs intervallum megválasztása A faktorok értelmezési tartományán belül ehhez az intervallumhoz képest kell a faktor beállítási bizonytalanságának elhanyagolhatónak lennie ha túl kicsire választjuk, a faktor hatástalannak mutatkozik ha túl nagyra, a görbe felület leírására a sík nem adekvát 48

25 Ha nagy a szórás, nem észleljük a hatást! 49 5

26 4. példa: 7-4 részfaktorterv+fold-over, centrumponttal A kísérletek célja egy speciális anyag optimális előállítási körülményeinek meghatározása volt. A célfüggvény a kihozatal %, melynek maximális értékét kell elérni. Faktorok : z reakció idő, min; z hőmérséklet, C; z 3 fordulatszám, /min; z 4 katalizátor koncentráció, %; z 5 felesleg, %; z 6 nyomás, bar; z 7 szennyezés koncentráció, %.. 5 Jellemzők z z z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 Alapszint, z j Variációs intervallum, z j 75 3,5 45,5 5,5,5 5,5 5,5 5,5, ,, , 3,5 5

27 Az. blokk: 7-4 részfaktorterv, 3 ismétlés a centrumpontban: x 4 = xx 5 xx3 x = x 6 = xx3 ; ; ; x = 7 xx x3 i x x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 y, % blokk , , , , , , , , ,7 + 5, ,7 53 A. blokk: fold-over (3 centrumponttal) i x x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 y, % blokk , , , , , , , , + 49, ,6 + 5, 54

28 Fractional Factorial Fit: y, % versus time; Temp;... Estimated Effects and Coefficients for y, (coded units) Term Effect Coef SE Coef T P Constant 49,78,43 3,4, Block,455,66,,835 time 5,738 7,5369,43 3,, Temp 3,63,68,43 47,9, ford.szá -,6 -,3,43 -,47,66 kat.konc -,6638 -,339,43 -,37,9 felesleg 4,5937,969,43 9,48, Nyomás -,8887 -,4444,43 -,83,6 sz.konc -,6437 -,39,43 -,33,4 time*temp -,566 -,83,43 -,7,95 time*ford.szá -,3838 -,99,43 -,79,464 time*kat.konc -,83 -,46,43 -,7,873 time*felesleg,6,86,43,33,753 time*nyomás,7337,3669,43,5,9 time*sz.konc -,36 -,8,43 -,7,943 Temp*kat.konc,463,3,43,88,49 Ct Pt,77,4639,66,58 A blokk nem szignifikáns szignifikáns A centrumbeli mérések átlagának eltérése a Constant -tól nem szignifikáns, tehát a lineáris modell adekvát. 55 A felesleget (x 5 ill. z 5 ) nem lehet tovább növelni, így azt a fölső szintjén rögzítették ( x5 = +). Az illesztett lineáris függvény: Yˆ = 49,8+ 7,54x +,6x +, 3x5 = 5,58+ 7,54x +, 6x ( + ) 5, 58 49,8 +,3 = A célfüggvény maximumát (optimum) az x és x független változók terében keressük tovább. 56

29 Box és Wilson módszere az optimum megközelítésére x L R M N x 57 grad f f f f = δ x + δ x + K+ x x x p δ x p ahol δ x j a j-edik koordinátatengely irányába mutató egységvektor. Y ˆ b +b x +b x +b x + + = 3 3 b p x p Yˆ x Yˆ = b, x Yˆ = b, K, x p = b p. 58

30 A gradiens-függvény: gradyˆ = b δ x + bδ x + K+ b p δ x p A gradiens irányában úgy haladhatunk, ha az x tengely mentén b, az x tengely mentén b nagyságú stb. lépést teszünk. Az x j koordinátában az egységnyi lépés a z j eredeti fizikai skálán z j. 59 A gradiens: 3 g A tervpontokra illesztett modell: x b Yˆ = b +b x+b x - b - 3 x n tervpontok g lépésterv 6

31 5. példa: a 4. példa folytatása; lépésterv a gradiens mentén A tervpontokra illesztett egyenlet: Y ˆ = 5,58+ 7,54x +, 6x j 3 z j 75 min 3,5 C z j 5 min,5 C b j 7,54,6 b z 37,7 min 9,3 C j j lépés,5 min,9 C b b,6 = 7,54 =,54 6 x , , , 3 Temp, C , ,58 tervpontok lépésterv time, min x

32 sorszám x x time, min Temp, C y, % tervcentrum 75, 3,5 Yˆ = 5,58,5,77 77,5 34,4,,54 8, 36,4 3,5,3 8,5 38,3 83,8, 3,8 85, 4, 4,5 3,85 87,5 4, 94, 3, 4,6 9, 44, 6 3,5 5,39 9,5 46, 97,6 4, 6,6 95, 47,9 7 4,5 6,93 97,5 49,8 93, példa: az 5. példa folytatása; terv az optimum közelében sorszám time, min Temp., C x x y, % , , , , , , ,84 64

33 Fractional Factorial Fit: y, % versus time; Temp Estimated Effects and Coefficients for y, (coded units) Term Effect Coef SE Coef T P Constant 89,78,488 3,7, time 4,5,58,488 4,9,39 Temp 3,665,83,488 4,38,48 time*temp -6,375-3,87,488-7,6,7 Ct Pt 5,486,6398 8,57,3 Szignifikáns a centrumbeli mérések átlagának eltérése a Constant -tól, tehát a lineáris modell nem megfelelő. Másodfokú modell illesztésére alkalmas terv szükséges! 65 Másodfokú kísérleti tervek A centrum-ponti kísérletekből csak azt látjuk, hogy valamelyik faktorra nem jó a lineáris függvény. A másodfokú modell paraméterei nem becsülhetők a p és p-r tervek eredményeiből. A p kétszintes tervek kiegészíthetők háromszintesekké: 3 p. Minőségi faktorok kettőnél több szinten csak varianciaanalízissel vizsgálhatók, mert szintjeik nem értelmezhetők intervallum-skálán. 66

34 3 terv: x i x x x Két faktorra a 3 kísérleti terv ' x N = x x = x x N ji ji ji ji j i= ' ' ' ' i x x x x x x x x x /3 /3 / /3 /3 / /3 /3 / /3 /3 / /3 -/3 -/ /3 -/3 -/ /3 /3 -/ /3 /3 -/ /3 -/3 4/9 68

35 3 3 másodfokú terv: 69 A 3 p tervben az elvégzendő kísérletek száma a faktorok p számával rohamosan, a becsülhető együtthatók l száma pedig kevésbé nő: p p l

36 Kompozíciós tervek magja egy p típusú teljes faktoros kísérleti terv (p 5 esetén részfaktorterv), p csillagpont a centrumtól α távolságra és k c centrumbeli kísérlet. N= p +p+k c Az α értékének megválasztása szerint a terv lehet ortogonális vagy forgatható. Ortogonális terv és k c = esetére: A faktor szám, p A terv magja α Kompozíciós terv három faktorra i * i * i * i i 3 kétszintes terv g centrumpont * csillagpontok α távolságra g * i * i i * i 7

37 Box-Behnken terv 3 faktorra a terv centruma példa: a terv módosítása kompozíciós tervvé blokk time Temp. y 8 4 8, 4 9, , , , , , ,6 8 4,4 45 9, ,99 85,8 9 5,7 9, , ,36 terv Csillagpontok és centrumpont 74

38 Effect Estimates; Var.:y; R-sqr=,984; Adj:,9659 (kompozit) factors, Blocks, Runs; MS Residual=, DV: y Effect Std.Err. t(5) p Mean/Interc. 94,9, ,98, blokk(),36,434596,539,6698 ()time (L) 3,367,537 6,3,559 time (Q) -4,5968,595-7,735,58 ()Temp.(L) 3,734,537 6,9766,93 Temp.(Q) -6,5363,595 -,9835,9 L by L -6,375,7574-8,469,377 A blokk nem szignifikáns 75 Regr. Coefficients; Var.:y; R-sqr=,984; Adj:,9659 (kompozit) factors, Blocks, Runs; MS Residual=, DV: y Regressn Std.Err. t(5) p Mean/Interc. -374,46 74,7-3,64,38 blokk(),,73,539,6698 ()time (L) 3,55,6,39, time (Q) -,,3-7,735,58 ()Temp.(L) 44, 3,579,53,58 Temp.(Q) -,3,9 -,9835,9 L by L -,6,75-8,469,377 76

39 Fitted Surface; Variable: y factors, Blocks, Runs; MS Residual=, DV: y Fitted Surface; Variable: y factors, Blocks, Runs; MS Residual=, DV: y Maximum: 9,5 min; 45,8 C; 95,6% 48 Temp time