A kúpszeleekről - V. A kúpszeleekről szóló munkánk III. részének 10. ábrájá kiegészíve láhajuk az 1. ábrán. Mos ez alapján dolgozva állíunk fel összefüggéseke a kúpszeleek Dandelin - gömbös / körös vizsgálaának folyaásakén. 1. ábra Forrása: hp://hafendorn.uni-lueneburg.de/mahe-lehram/mahe-lehram.hm Szinusz - éellel az OAA háromszögben: AA' ( ) ( ) = AA' = OA ; OA innen OA ( ) = - vel: ( )
( ) ( β ) AA' =. Bevezeve az AA' = a jelölés is, az előzővel kapjuk, hogy ( ) a =. ( ) ( 1 ) Azonos áalakíásokkal: ( ) cos cos = = = ( β ) cos cosβ cosβ cos cos β =, β a =, innen: a =. ( ) Hasonlóképpen az OAS háromszögből: OS 180 + β + β = = β ( ) ( ), innen:
3 OS = ( + β). ( 3 ) Azonos áalakíással: cosβ cos 1+ ( + β) cos cos cos β + β β = = = = cos 1 +, ezzel: OS = cos 1 +. ( 4 ) Továbbá az 1. ábra szerin: OS m y 1. = + ( 5 ) Hasonlóan az OAS háromszögből: AS =, innen: AS = β. ( 6 ) A III. részből udjuk B A megválozao jelöléssel, hogy a e e AF1 = A' F = = a e = a 1 = a ( 1 ε) ; a mos a III. rész ( i ) egyenleével: e ε = a cosβ cos, ( 7 ) ( 8 ) így ( 76 ) és ( 8 ) - cal:
4 cosβ AF1 = A' F = a 1. cos ( 9 ) Mos ( ) és ( 9 ) - cel: cosβ cosβ AF cos 1 = A' F = a 1 =, cos β cosβ AF cos 1 = A' F =. β ( 10 ) Majd az 1. ábra alapján: e = AS AF ( 11 ) 1 1 ; mos ( 6 ), ( 10 ), ( 11 ) - gyel: cosβ cosβ cos = = = cos = β e1 AS AF1 cosβ cos 1 cosβ = = g g = β β cos β cosβ cosβ cosβ = 1 1 g = = β cos g cos β cos cosβ cos β = 1 = 1 = β cos cosβ = 1,
5 e 1 = 1. ( 1 ) Ismé az 1. ábra alapján: e = A' S A' F. ( 13 ) Ehhez az OA S háromszögből: A' S =, OS ( ) innen: A' S = OS ; ( β ) felhasználva ( 4 ) - e is: g cos g A' S cos 1 = + = 1 + ; ( β ) ( β ) ehhez részleszámíás: cos cos cos = = = ( β ) cos cosβ cosβ cos cos β = =, cosβ cos β ezzel: 1+ A' S = 1 + =, g β
6 1+ A' S =. β ( 14 ) Mos ( 10 ), ( 13 ), ( 14 ) - gyel: 1+ cosβ e cos = A' S A' F = = β 1 cosβ 1 cosβ = 1+ 1 g = g cos g + = β β β cos cosβ = 1 1 + = g + = cos = + 1, e = 1 +. ( 15 ) Megin az 1. ábrával is: F1 F = e1 + e = e ; ( 16 ) ezuán ( 1 ), ( 15 ) és ( 16 ) - al:
7 e = + 1+ = + 1+ = β β =, e =. ( 17 ) Majd ( 1 ), ( 15 ) és ( 17 ) - el: e e 1 = e 1, β = e 1. + ( 18 ) Ismé az 1. ábra alapján: r g g ; β = r = e1 β ( 19 ) e1 mos ( 1 ) és ( 19 ) - cel: r = e1 = = 1, β
8 r = 1. ( 0 ) Megin az 1. ábra alapján: R r = R = r + a g. a ( 1 ) Ezuán ( ), ( 0 ) és ( 1 ) - gyel: R = + = + = β = 1 +, R = 1 +. β Megin az 1. ábra szerin: r r g = x =. x ( ) ( 3 ) Mos ( 0 ) és ( 3 ) - mal: r 1 x = = 1, g g g = β
9 x =. Hasonlóan: r r = m =. m Mos ( 0 ) és ( 5 ) - el: r 1 1 cos m = = 1 1 g = g = β β =, cos m =. cos Majd megin az 1. ábráról: e1 e1 cos β = y1 =. y cosβ 1 ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) Mos ( 1 ) és ( 7 ) - el: e1 1 1 cosβ y1 = = 1 1 cos cos g = cos g = β β β β β β = 1 1, g = β β β β
10 y1 = 1. β ( 8 ) Megin az 1. ábráról: R R = y =. y ( 9 ) Mos ( ) és ( 9 ) - cel: y R 1 = = 1 1, g + = + β β β β β innen: y = 1 +. β β ( 30 ) Egy ellenőrzés: ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ), ( 8 ) - cal:? cos 1+ = + 1 ; g cos g β β β? B = J B = cos 1 +, J = + 1. cos g β β A bonyolulabb jobb oldal J - azonos áalakíásoknak vejük alá:
11 β J = + 1 cos g = β β β 1 β = + = 1+ = cos cos β + cos = = cos cos β = 1 + cos β + cos 1 cos + = = = cos cos cos β 1 1 cos cos β + cos = = = cos cos cos β g 1 1 cos g g + g β β β β = cos = cos = cos = cos = cos 1 + = B, ehá B = J mia az ellenőrzés helyes eredményekre ual. Mos foglaljuk össze az eddigieke! Az a feladao űzük magunk elé, hogy a (,, β ) ermészees paraméerekkel kifejezzük az 1. ábra szerini geomeriai adaoka. Ezeke az alábbi áblázaba foglaljuk. Ado: (,, β ). Kerese: ( a, e 1, e, e, r, R, x, m, y 1, y ).
1 a =. e1 = 1. e 1. g = g + β e =. r = 1. R = 1+. β β β x =. m =. cos y1 = 1. y = 1 +. β β β β ( Ö ) Figyeljük meg a képleek egyfaja szimmeriájá! Egy felünee mennyiséggel nem foglalkozunk még: u - val. Ez azonban már az I. részben is előkerül, ahogy az mindjár világos lesz. Ehhez írjuk fel a képleé! Az 1. ábra alapján: u = ( e e) ; ( 31 )
13 Mos ( 18 / ) és ( 31 ) - gyel: u = ( e e) = e 1+ e β = = e + e e = e, u = e. ( 3 ) Az I. rész ( F1 40* ) képleében ez a mennyiség az e jelölés kapa, a veülei ellipszis excenriciásá jelölve. A ( 3 ) képle ehá a meszei és a veülei i ellipszisek excenriciásai közi összefüggés írja le. Még felírjuk a kisengely kifejezésé, a ( ) és ( 8 ) képleekkel is: e b = a e = a a = a ε = cosβ = 1, cos cosβ b = 1. cos ( 33 ) Számpélda, az 1. ábra adaaival Ado mennyiségek : = 46 mm, = 8, β = 56. Számío mennyiségek : ε = 0,6333 ; a = 81, mm ; b = 31,4 mm ; e = 51,4 mm ; e = 11, mm ; e = 40,3 mm ; r = 16,5 mm ; R = 59, 7 mm ; 1 x = 31,1 mm ; u = 1,1 mm. m = 35, mm ; y = 0,0 mm ; y = 7,0 mm ; 1
14 Megjegyezzük, hogy a számío és az ábráról lemérheő eredmények álalában jól egyeznek. A b adao ermészeesen nem ellenőrizheük, hiszen az az 1. ábrán nem szerepel. A legnagyobb elérés R - nél apaszalunk, ahol azonban már korábban észreveük, hogy a Q érinési ponban a sugár nem igazán merőleges az érinőre, vagyis szerkeszési ponalanság áll fenn már a számíógéppel készíe ábránál is. Ez alán szabad szemmel is lászik. Megállapíjuk, hogy képleeink jól működnek. Már az I. részben is belemenünk a fókuszok helyének / helyzeének kérdésébe; mos ez a émá folyajuk: elkészíjük a fókuszok helyzeé bemuaó. ábrá.. ábra
15 A. ábrán a jelölések érelme: ~ F 1, F : a veülei ellipszis fókuszai; ~ F 1 *, F * : a meszei ellipszis fókuszainak veülee. A. ábrához emlékezeőül: e' = u = e, e ' = e, e ' > e'. β > ( 34 ) Számszerűen: e* = 1,3 mm > e = 1,1 mm. Ez megfelel az I. rész ( F1 43) képleének és a. ábrának is. Uószó Úgy űnik, hogy legalábbis egyelőre végezünk a kúpszeleekkel kapcsolaos mondandónk kifejésével. Minhogy igen nagy a szakirodalma e émakörnek, meg sem kísérelük az feldolgozni. Inkább sajáos, ízlésünknek megfelelő módon próbálunk ehhez hozzászólni. Reméljük, hogy a némiképp unorodox megközelíés egyes olvasók számára érde - kes, anulságos, felhasználásra is alkalmas lehe. Sződlige, 01. auguszus 3. Összeállíoa: Galgóczi Gyula mérnökanár