DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR

SZILÁGYI BRIGITTA DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright

A differenciálgeometria klasszikus felépítését követõ példatár elsõ részében a görbékhez, második részében a felületekhez kapcsolódó példák szerepelnek. Minden feladatot általában részletes megoldás is követ, összetettebb feladatok megoldásai a szükséges elméleti ismereteket és formulákat is tartalmazzák. A görbékrõl szóló öt, egymásra épülõ, az alkalmazásokban is fontos ismeretek gyakorlását segítõ fejezetre tagolódik. Minden fejezet elején elméleti összefoglalót találunk. A felületelméleti rész elsõ két fejezete a felületek paraméterezését, a felületi normálissal, érintõsíkkal kapcsolatos példákat foglalja magában,tárgyalásra kerülnek az alkalmazás szempontjából fontos felülettípusok. Majd a követõ két fejezet a mélyebb differenciálgeometriai fogalmak (intrinsic geometria) megértését hivatott segíteni. Kulcsszavak: paraméterezés, reguláris görbe, görbület, torzió, reguláris felület, alapforma, Gauss-görbület, Minkowski-görbület

Támogatás: Készült a TÁMOP-4..-8//A/KMR-9-8 számú, a Természettudományos (matematika és fizika) képzés a műszaki és informatikai felsőoktatásban című projekt keretében. Készült: a BME TTK Matematika Intézet gondozásában Szakmai felelős vezető: Ferenczi Miklós Lektorálta: Prok István Az elektronikus kiadást előkészítette: Torma Lídia Boglárka Címlap grafikai terve: Csépány Gergely László, Tóth Norbert ISBN: 978-963-79-449-5 Copyright: CC 6, A CC terminusai: A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható.

Tartalomjegyzék I. Görbék. A görbe és előállításai 4.. Elméleti összefoglaló.............................. 4.. Feladatok.................................... 4. Érintőegyenes és normálsík.. Elméleti összefoglaló................................ Feladatok.................................... 3. Ívhossz és ívhossz szerinti paraméterezés 9 3.. Elméleti összefoglaló.............................. 9 3.. Feladatok.................................... 4. Görbület és torzió 4.. Feladatok.................................... 5. Frenet-apparátus, kísérő triéder 33 5.. Görbe megadása a Frenet-apparátusból..................... 43 I. Felületek 46 6. A felület 47 6.. Feladatok.................................... 47 7. Felületi görbék, érintősík 56 7.. Feladatok.................................... 56 8. Alapmennyiségek, görbületek 59 8.. Első, második alapforma............................ 59 8.. Főgörbületek, szorzat- és összeggörbület.................... 67 9. Felszínszámítás 75

Előszó Ez a feladatgyűjtemény a görbe- és felületelmélet tanulásában kíván segítséget nyújtani, de hasznos lehet azok számára is, akik mérnöki tanulmányaik folyamán találkoznak ezen témakörökkel. A példatár részletes elméleti anyagot nem tartalmaz, viszont rövid összegzéseket igen. A könnyebb memorizálás érdekében, a megoldáshoz szükséges képleteket szinte minden előfordulásukkor kiírtuk. Minden feladatot részletes megoldás követ. Az Olvasó munkája akkor lesz a legeredményesebb, ha ezt a segítséget önellenőrzésre használja. A példatárban szereplő feladatok mindegyike megoldható az egyetemi matematikus alapképzésben helyet kapó differenciálgeometria kurzus elemi differenciálgeometriát tárgyaló fejezeteinek ismeretében, valamint a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetemen a mérnök hallgatók számára szabadon választható differenciálgeometria tárgy elvégzése után. Önálló tanulás esetén a szükséges elmélet elsajátításához Szőkefalvi Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria című tankönyvét (Műszaki Könyvkiadó), vagy Manfredo Do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces könyvét ajánljuk. Ez utóbbi sok érdekes feladatot is tartalmaz, amelyeknek megoldásával az érdeklődő Olvasó is sikerrel próbálkozhat a jelen jegyzetben kidolgozott példák megoldása után. Mind a görbeelmélethez, mind a felületelmélethez tartozik egy-egy interaktív Mathematica notebook( : http://elmemater.bme.hu), amelyekben az elsajátított ismeretek vizualizálódnak. Javasoljuk azonban, hogy ezeket ne csak szemlélődésre, hanem a paraméterek változtatásával önálló kisérletezésre is használja az Olvasó. A jegyzet többnyire a legelterjedtebb jelöléseket használja. A formulákat igyekeztünk többször is feltüntetni. A vektorokat fölül húzott nyíllal jelöljük: v. Elterjedt jelölés még a vastagon szedés, és (inkább kézzel írva) az alá-, illetve föléhúzás: v, v, v. Az e, e, e 3, néhol i, j, k az E 3 -beli ortonormált bázist jelöli. Az első- és második alapmennyiségek jelölésére a Gauss által javasolt E, F, G és L, M, N betűket alkalmaztuk, azzal a különbséggel, hogy a második alapmennyiségeket helyenként l, m, n betűk jelölik. (Ezt a felületi normálistól való könnyebb megkülönböztetés indolkolja.) Ha az Olvasó e példatár feladataihoz hasonlókkal szeretné tudását tovább gyarapítani, akkor V. T. Vodnyev: Differenciálgeometria feladatgyűjteményét forgathatja haszonnal, mely 974-ben jelent meg a Műszaki Könyvkiadónál.

I. rész Görbék 3

. fejezet A görbe és előállításai.. Elméleti összefoglaló. DEFINÍCIÓ Reguláris görbén egy olyan Γ ponthalmazt értünk, amely előállítható egy I intervallumon értelmezett r(t) vektor-függvény helyzetvektorainak végpontjaiként, ahol r(t) egy topologikus (kölcsönösen egyértelmű és mindkét irányban folytonos) leképezés, folytonosan differenciálható és a differenciálhányados vektora sehol sem tűnik el.. TÉTEL Egy t = ϕ(τ) paramétertranszformáció akkor és csak akkor viszi át egy tetszőleges görbe bármely r(t) reguláris előállítását reguláris r(τ) előállításba, ha ϕ(τ) C és dϕ dτ..3 DEFINÍCIÓ Térbeli, derékszögű koordinátarendszerben egy görbe paraméteres egyenlete általánosan r = r(t) = f (t) i + f (t) j + f 3 (t) k alakban írható... Feladatok. FELADAT Írjuk fel annak a P (x,y,z ) középpontú, ρ sugarú körnek egy paraméteres egyenletét, mely az a és b egymásra merőleges, egységvektorok által kifeszített síkban van!. MEGOLDÁS r(t) = r + ρ cost a + ρ sint b, ahol r = (x,y,z ) T.. FELADAT Írjuk fel az.. feladatban szereplő kör implicit egyenletét abban a koordinátarendszerben, melynek origója a P pont, bázisvektorai az a, b, a b vektorok!. MEGOLDÁS Az adott koordinátarendszerben egy origó középpontú, [x, y] síkban fekvő, ρ sugarú kör egyenletét kell felírnunk: x + y = ρ z =. 4

A görbe és előállításai 5.3 FELADAT Mutassuk meg, hogy az r(t) = r + r cosht + r sinht vektorfüggvény hiperbolát állít elő, ha az r és r vektorok linerárisan függetlenek!.3 MEGOLDÁS Legyen a koordinátarendszerünk origója az r vektor végpontja, a bázisvektorok pedig az r és r vektorok (ezek lineárisan függetlenek). Ebben a rendszerben a görbe paraméteres egyenletrendszere: x(t) = cosht y(t) = sinht. Az egyszerűség kedvéért a változókat a továbbiakban elhagyjuk. Emeljük négyzetre a két egyenletet és vonjuk ki őket egymásból. Felhasználva a hiperbolikus függvényekre érvényes cosh t sinh t = azonosságot, kapjuk: x y =. Ez nem más, mint a hiperbola egyenlete, tehát a görbe pontjai egy hiperbolán vannak..4 FELADAT Keressük meg az implicit egyenletét az alább megadott görbének, a Descartes-féle levélnek: r(t) = 3t +t 3 e + 3t +t 3 e.4 MEGOLDÁS Az e és e bázisvektorok által kifeszített rendszerben a görbe paraméteres egyenlete: x = y = 3t +t 3 3t +t 3. Látható, hogy y = tx, amiből x esetén t = y x. Ezt visszahelyettesítve a második egyenletbe, kapjuk a görbe implicit egyenletét: y = 3 xy x 3 + y 3 = x 3 + y 3 3yx. Ha pedig x =, akkor y = is fennáll. Láthatjuk, hogy a (,) pont koordinátái is kielégítik a kapott egyenletet..5 FELADAT Adott az x = t 3 t y = t

6 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR görbe. Vizsgáljuk meg, hogy az M(, ), N(4, ), P(, ) pontok rajta vannak-e a görbén! Keressük meg, hogy hol metszi a görbe a koordinátatengelyeket! Határozzuk meg a legkisebb ordinátájú pontot a görbén. Írjuk fel a görbe implicit egyenletét!.5 MEGOLDÁS. Első lépésben írjuk fel a görbe implicit egyenletét. Vegyük észre, hogy x = yt, amiből y esetén t = x y. Ezt visszahelyettesítve a második egyenletbe, rendezés után adódik a görbe implicit egyenlete: y 3 + y = x. Ha pedig y =, akkor x = is fennáll. Láthatjuk, hogy a (,) pont koordinátái is kielégítik a kapott egyenletet.. Helyettesítsük be az M, N és P pontok koordinátáit az implicit egyenletbe. Az első két esetben az egyenlet két oldala megegyezik, tehát az M és N pontok rajta vannak a görbén. A harmadik esetben ez nem teljesül, ezért a P pont nem eleme a görbének. 3. A görbe az x tengelyt abban a pontban (azokban a pontokban) metszi, ahol y =. Ebből adódik, hogy x =, vagyis x =. A metszéspont koordinátái (,). Az y tengellyel való metszéspont esetén x = = t 3 t = t(t ), amiből t = vagy t =. Az első esetben y =, a másodikban y =. Tehát két metszéspontot kaptunk, melyek koordinátái (, ) és (,). 4. A legkisebb ordinátájú pontban y minimális. Látható, hogy y = t, tehát t = esetén veszi fel y a minimumát. Ebben az esetben x =. A keresett pont koordinátái: (, )..6 FELADAT Adjuk meg az x + y ax = kör paraméteres előállítását, ha paraméterként a.) a kör tetszőleges P pontját az origóval összekötő egyenes iránytangensét, b.) a kör tetszőleges P pontját a kör középpontjával összekötő egyenes és az x tengely szögét választjuk!.6 MEGOLDÁS a.) Jelöljük k-val a paramétert. A feladat szövege alapján k = y x, amiből y = kx. Helyettesítsük ezt vissza a kör egyenletébe és a kapott kifejezést alakítsuk szorzattá: x + k x ax = x[x( + k ) a] =. Az utóbbi egyenletnek minden x-re teljesülnie kell. Ezért x( + k ) a =, amiből x = a + k y = kx = ak + k.

A görbe és előállításai 7 Érdemes megvizsgálnunk, hogy hogyan futja be a fönti paraméterezés a görbét. Könnyen észrevehető az is, hogy az origó csak k ± határátmenet esetén adódik. b.) Jelöljük a paraméterünket φ-vel. Ekkor érvényes, hogy sinφ = y a a kör paraméteres előállítása: x = a( + cosφ) y = asinφ. és cosφ = x a a. Ebből Ha φ [ π, π ), akkor a fönti paraméterezés egyszer futja be a teljes görbét..7 FELADAT Adjuk meg az analitikus leírását azon síkbeli pontok halmazának, amelyeknek két adott F és F pontoktól mért távolságainak szorzata adott a állandó! (Cassini-féle ovális).7 MEGOLDÁS Oldjuk meg a feladatot Descartes-koordinátarendszerben, F és F pontok koordinátái legyenek rendre ( b, ), (b, ). Tekintsük a Cassini-féle ovális egy tetszőleges P(x, y) pontját. A távolságok szorzatának állandóságát a következőképpen írhatjuk fel: (x + b) + y (x b) + y = a. A fenti egyenlet a Cassini-féle ovális egyenlete. Az egyenletet a következő alakokban szokás megadni: ((x + b) + y )((x b) + y ) = a 4, amiből (x + y + b ) 4b x = a 4. (Lássuk be, hogy a két utóbbi egyenlet ekvivalens egymással!).8 FELADAT Adjuk meg a Cassini-féle ovális egyenletét polárkoordinátákban!.8 MEGOLDÁS Érdemes az (x + y + b ) 4b x = a 4 egyenletből kiindulni. Helyettesítsünk be x = r cosϕ-t és y = r sinϕ-t. A sin x + cos x = azonosság alapján a következő alakot kapjuk: (r + b ) 4b r cos ϕ = a 4. Rendezés után a cos ϕ = cosϕ azonosság felhasználásával kapjuk a végső alakot: r 4 r b cosϕ = a 4 b 4. Megjegyzések:

8 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR a b > esetén a görbének egyetlen zárt ága van, a b = esetén a Bernoulli-féle lemniszkátát kapjuk, a b < esetén két nem összefüggő zárt ágból áll, a b = esetén a két fókuszponttá fajul. a b > esetén a görbe ovális, > b a > esetén négy inflexiós pontja van..9 FELADAT Adott az OA = a átmérőjü kör, O az origó, A az x tengelyen fekszik. C legyen a kör A-beli érintőjének egy tetszőleges pontja. Legyen P a kör és az A-beli érintő C pontját az origóval összekötő egyenes metszéspontja. Mérjünk fel az OC félegyenesre egy OM = PC szakaszt! A C pont mozgatásával M kirajzolja a Dioklész-féle cisszoidot. Írjuk fel a cisszoid egyenletét! a a A M P.. ábra. A Dioklész-féle cisszoid.9 MEGOLDÁS A kör egyenlete (x a) + y = a, a futó OC félegyenes egyenlete legyen y = tx, ahol a t R változót paraméternek választjuk. A félegyenes és a kör metszéspontjaira: (x a) + (tx) = a. Az egyenletet rendezve: Tehát P koordinátái C koordinátái pedig x (( +t ) x a ) =. ( ) a +t, at +t, (a, at).

A görbe és előállításai 9 Mivel OM és PC egy egyenesen fekszenek, ezért az OM szakasz x és y vetületének hossza rendre megegyezik a PC szakasz x és y vetületének hosszával. Ezért M pont koordinátái: ( ( M(t) = a ) ( +t, at )) +t. Az egyenletet egyszerűsítve: M(t) = ) (a t t3, a +t +t. Ezzel megadtuk a t R paraméter függvényében a Dioklész-féle cisszoidot. A t paraméter eliminálásával a görbe implicit egyenletét kapjuk. Fejezzük ki t-t az x koordinátából: t (x a) + x = x t = ± a x. Ezt y-ba behelyettesítve: x t y = ±a a x +t = ±a Ebből az implicit egyenlet alábbi alakját kapjuk: x y = ± a x x. x a x x a x + a x x. További átalakításokkal az implicit egyenletet végül a következő alakra lehet hozni: x 3 + y (x a) =.. FELADAT Adott a koordinátarendszer x tengelyét az origóban, O-ban érintő, a sugarú kör. A kör O-val átellenes pontja C. Legyen E a C-beli érintő egyenes egy tetszőleges pontja, az OE félegyenes messe a kört a D pontban. A D pontból húzzunk az x tengellyel, az E pontból pedig az y tengellyel párhuzamos egyenest, a két egyenes metszéspontját jelölje M. Adjuk meg paraméteresen, majd implicit módon az M pont által kirajzolt görbét, miközben E végigfut a C-beli érintőn! (Agnesi-féle fürt (görbe)). MEGOLDÁS A kör egyenlete: ( x + y a ) ( a ) =. A C-beli érintő egyelete: y = a.

DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR C E a O D M.. ábra. Az Agnesi-féle fürt Válasszuk paraméternek az OE egyenes t meredekségét: y = tx. Az M pont első koordinátája megegyezik az E pont első koordinátájával, a második koordinátája pedig a D pont második koordinátájával. E első koorinátájára könnyen adódik x = a t a fenti egyenletekből. A D pont kielégíti az és az ( x + y a ) ( a = ) y = tx egyenleteket. A kör egyenletébe x = y t -t (t ) helyettesítve: Innen D második koordinátája: y t + y ay + a 4 = a 4 (( y + ) ) t y a =. y = a + = a t +t. t Tehát az Agnesi-féle fürt a t paraméter függvényében: ( ) a t, a t +t. A t paraméter könnyen kifejezhető az x koordinátából: t = a x. egyenlete: y = a3 x + a. Innen a görbe implicit

. fejezet Érintőegyenes és normálsík.. Elméleti összefoglaló Jelölje X, Y és Z az érintő (illetve normális) futó pontjainak koordinátái ( ρ ennek a pontnak a helyvektora). Az x, y és z pedig az érintési pont (illetve normális talppontjának) koordinátái legyenek. Ekkor a különbözőképpen megadott görbék érintőjének és normálisíkjának egyenleteit az alábbi formulák írják le:. A görbe paraméteres alakban van megadva: r = r(t). Az érintő egyenlete: ρ(λ) = r + λ r. A normálsík egyenlete: ( ρ r) r =.. A görbe megadása: x = f (t), y = f (t), z = f 3 (t). Az érintő egyenlete: A normálsík egyenlete: X x ẋ = Y y ẏ = Z z. ż (X x)ẋ + (Y y)ẏ + (Z z)ż =. 3. A síkgörbe megadása: y = ϕ(x). Az érintő egyenlete: Y y = ϕ (x)(x x). A normális egyenlete: X x + (Y y)ϕ (x) =. 4. A görbe implicit egyenlettel van megadva: F(x,y) =. Az érintő egyenlete: (X x)f x + (Y y)f y =,

DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR ahol F x = F(x,y) x, F y = F(x,y) y érintő egyenlete más alakban: a megfelelő paraméter szerinti deriváltakat jelöli. Az X x F y = Y y F x.. TÉTEL Ha az érintési pontban r(t) = r(t) =... = r (k ) (t) =, de r (k) (t), akkor az érintő egyenlete ρ(λ) = r(t) + λ r (k ) (t)... Feladatok. FELADAT Adott az r(t) = acost e + asint e + bt e 3 közönséges csavarvonal (a >, b ). a.) Határozzuk meg a csavarvonal tetszőleges pontjában az érintő és a z = sík szögét! b.) Keressük meg a (, a, πb ) pontban a simulósíkot és írjuk fel a simulókör egyenletét! c.) Legyen b >. A csavarvonal minden pontjában, a binormális irányában mérjük fel a c := a a b + b távolságot! Mi lesz a szakaszok végpontjainak mértani helye?. MEGOLDÁS a.) Az érintő egyenes irányvektora: v(t) = r(t) = asint e + acost e + b e 3. A z = sík normálvektora: A sík és az érintő által bezárt szög: n(t) = e 3. cosϕ = n(t) v(t) n(t) v(t) = b a sin t + a cos t + b = b a + b. b.) A simulósík egyenlete ( R r(t)) r(t) r(t) =, ahol R a simulósík pontjainak helyvektora. A sebesség- és gyorsulásvektor: r(t) = asint e + acost e + b e 3 r(t) = acost e asint e. Tudjuk, hogy a (, a, π b) pontok rajta vannak a simulósíkon. Ezt felhasználva meghatározható a t paraméter értéke: z = bt = π b, ahonnan t = π. Ezt és a megfelelő vektorokat behelyettesítve a simulósík általános egyenletébe kapjuk: a bx + Z π b = (Y tetszőleges).

Érintőegyenes és normálsík 3 c.) Felírva a binormális egyenletét, és véve a c távolságot, látható, hogy a kapott pontok ugyancsak egy csavarvonalon helyezkednek el.. FELADAT Adjuk meg a következő görbék t paraméterű pontjában az érintővektort: a.) r(t) = (t 3) e + (t ) e +t 3 e 3, t =, b.) r(t) = sint e + cost e + cost e 3, t =, c.) r(t) = +t t e + +t t e +t e 3, t =.. MEGOLDÁS a.) A megoldási módszer mindhárom esetben ugyanaz. A megadott görbét a t paraméter szerint kell deriválni, így kapjuk r(t)-t, majd ebben a t = t helyettesítést kell elvégezni. Az görbe érintővektora: b.) c.) Ez a t = paraméterű pontban.3 FELADAT Írjuk fel az r(t) = (t 3) e + (t ) e +t 3 e 3 r(t) = e + t e + 3t e 3. r() = e + 4 e + e 3. r(t) = sint e + cost e + cost e 3 r(t) = cost e sint e + sint cos t e 3 t = r() = e. r(t) = t +t e + +t e +t e 3 ( t ) ( r(t) = +t t ( +t) e + t +t ) t e + t e 3 r() = 4 e e + e 3. r(t) = (t e t ) e cost e + t e 3 csavarvonal érintőjét, és határozzuk meg azokat a pontokat, amelyekben az érintővektor zérus!

4 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR.3 MEGOLDÁS A görbe paraméter szerinti deriváltja az érintővektor: az érintő egyenes egyenlete pedig ebből: r(t) = ( e t ) e + sint e +t e 3, ( t R(λ) = r(t) + λṙ(t) = (t + λ ( + λ)e t ) ) e + (sint cost) e + +t e 3. Jól látható, hogy r = csak a t = választás esetén teljesül..4 FELADAT Írjuk fel az r(t) = t 3 e +t e görbe ( 7, ) ponton átmenő érintőjének az egyenletét!.4 MEGOLDÁS A görbe érintő egyenesének egyenlete r(t) = t 3 e +t e r(t) = 3t e + t e. R(λ) = (3λ +t)t e + (λ +t)t e. A ( 7, ) ponton átmenő érintőhöz tartozó t paraméter meghatározható: (3λ +t)t = 7 (λ +t)t =. A λ = 5 4 és t = a valós megoldás. Tehát a ponton átmenő érintő: R(λ) = (λ + 8) e + (4λ + 4) e..5 FELADAT Az r(t) = (sint t cost) e + (cost +t sint) e + (t + ) e 3 görbe mely pontjaiban párhuzamos az érintő az [y, z] síkkal?.5 MEGOLDÁS x = sint t cost y = cost +t sint z = t + Az r(t) görbe érintővektorai pontosan akkor párhuzamosak az [y, z] síkkal, ha ẋ(t) =. ẋ = cost cost +t sint = t sint t = kπ, k Z pontokban párhuzamos.

Érintőegyenes és normálsík 5.6 FELADAT Az r(t) = t4 4 e + t3 3 e + t e 3 görbe mely pontjaihoz tartozó érintője párhuzamos az x + 3y + z = síkkal?.6 MEGOLDÁS Az érintő párhuzamos az adott síkkal, ha az érintőegyenes irányvektora merőleges a sík normálvektorára. r(t) = t4 4 e + t3 3 e + t e 3 r(t) = t 3 e +t e +t e 3 x + 3y + z =. A második és harmadik egyenlőségekből látszik, hogy a t 3 + 3t + t = megoldásai kellenek. Ezek pedig: t =, t =, t 3 =. Ezen paraméterekhez tartozó pontokban párhuzamos a megadott görbe a síkkal. A keresett pontok tehát P (4, 8 3, ), P ( 4, 3, ), P 3 (,, )..7 FELADAT Mekkora szöget zár be az x = R cost, y = R sint, z = λt csavarvonal t paraméterű pontjához tartozó érintője a csavaronalat tartalmazó henger ugyanezen ponton áthaladó alkotójával?.7 MEGOLDÁS A közönséges csavarvonal előállításából x = Rcost, y = Rsint, z = λt r(t) = Rsint e + Rcost e + λ e 3, továbbá tudjuk, hogy az alkotók irányvektora az e 3 vektor. Így a keresett szög: ( ) ( r(t) e3 λ Θ = arccos = arccos ). r(t) e 3 R + λ.8 FELADAT Az r(t) = acost e +asint e +bt e 3 közönséges csavarvonal mely pontjaiban párhuzamos az érintő a 6x + 3y = 5 síkkal, és mi ezen pontokban az érintők egyenlete?.8 MEGOLDÁS A 6x + 3y + 5 = síknak eleme a p = ( /3,,) helyvektorú pont. Ha az érintővektort ebbe a pontba tolva az érintővektor rajta van a síkon, akkor maga az érintő párhuzamos vele. r(t) = asint e + acost e + b e 3 p + r(t) = ( /3 asint) e + (acost ) e + b e 3 6( /3 asint) + 3(acost ) = 5 cost = sint / = tant t,46364 + kπ, k Z. Ezekben a pontokban az érintő egyenlete (közelítően): R(λ) = (,8944,447λ)a e + (,447 +,8944λ)a e + (,46364 + λ) e 3.

6 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR.9 FELADAT Mekkora szögben metszi az r(t) = e t cost e + e t sint e + e t e 3 görbe az őt tartalmazó kúp alkotóit? Hogyan változik ez a szög a t paraméter függvényében?.9 MEGOLDÁS Tudjuk, hogy a görbék hajlásszögét a metszéspontbeli érintők szöge definiálja. Az r(t) = e t cost e + e t sint e + e t e 3 görbe az x + y = z egyenletű kúpra illeszkedik, melynek csúcsa az origó, így: A görbe érintővektora: (e t cost) + (e t sint) = e t (cos t + sin t) = e t. e t (cost sint) e + e t (sint + cost) e + e t e 3. Mivel x + y = z összes alkotója átmegy az origón, csak r(t) és r(t) szögét kell kiszámítanunk: ( ) r(t) r(t) Θ = arccos = r(t) r(t) ( ) e t (cos t sint cost + sin t + sint cost + ) = arccos e t cos t + sin t + e t = (cost sint) + (cost + sint) + ( ) =... = arccos,6547. 3 Tehát t-től független, azaz állandó.. FELADAT Az a állandó mely értéke esetén metszi az x = e at cost y = e at sint z = e at egyenletrendszerű görbe az őt tartalmazó forgáskúp alkotóit π 4 = 45 szögben?. MEGOLDÁS Az x = e at cost, y = e at sint, z = e at görbe érintővektora: r(t) = e at ((acost sint) e + (asint + cost) e + a e 3 ). Hasonlóan az előző feladathoz az origó itt is eleme az összes alkotónak. cos π 4 = = r(t) r(t) r(t) r(t) r(t) r(t) = e at (acos t sint cost + asin t + sint cost + a) = ae at r(t) = e at sin t + cos t + = e at r(t) = e at (acost sint) + (asint + cost) + = e at a + a + = ae at e at e at a + a +.

Érintőegyenes és normálsík 7 Megoldva az egyenletet kapjuk, hogy a = és a = 3 esetén metszi egymást 45 -os szögben az alkotó és az érintő.. FELADAT Határozzuk meg a t paraméter függvényében hogy az r(t) = t cos(3lnt) e +t sin(3lnt) e + t e 3 kúpos csavarvonal mekkora szögben metszi az x + y z 4 = körkúp alkotóit!. MEGOLDÁS r(t) = t cos(3lnt) e +t sin(3lnt) e + t e 3 görbe érintője r(t) = [cos(3lnt) t sin(3lnt)3/t] e + [sin(3lnt) +t cos(3lnt)3/t] e + e 3, az adott t paraméterű ponthoz tartozó alkotó irányvektora ugyancsak r(t) = t cos(3lnt) e +t sin(3lnt) e + t e 3. Így a keresett szög az alábbi módon számolható: r(t) r(t) = t cos (3lnt) 3t cos(3lnt)sin(3lnt) +t sin (3lnt)+ + 3t sin(3lnt)cos(3lnt) + 4t = 5t, r(t) = ( cos (3lnt) 6cos(3lnt)sin(3lnt) + 9sin (3lnt) + sin (3lnt)+ r(t) = +6cos(3lnt)sin(3lnt) + 9cos (3lnt) + 4 ) = 4, t cos (3lnt) +t sin (3lnt) + 4t = 5t, ( ) ( ) ( ) r(t) r(t) 5t 5 arccos = arccos = arccos sgn t = r(t) r(t) 7t 7 ( ) 5 = arccos,9374 53,3, 7 ugyanis t >. Tehát a szög t-től független, állandó.. FELADAT Milyen görbén helyezkednek el az alábbi térgörbék érintőinek az [x, y] síkkal vett döféspontjai: a.) r(t) = cost e + sint e + c e 3 b.) r(t) = e t cost e + e t sint e + ce t e 3 c.) r(t) = t e + Bt e +Ct n e 3, ahol c, n, B és C rögzített állandók és n.

8 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR. MEGOLDÁS a.) c különben nincs döféspont. Így az érintőegyenes: r(t) = cost e + sint e + ct e 3 r(t) = sint e + cost e + c e 3 R(λ) = r(t) + λ r(t) = (cost λ sint) e + (sint + λ cost) e + c(t + λ) e 3. A z = síkot ezért c(t + λ) =, λ = t paraméterértéknél döfi át. Tehát az alábbi görbe pontjai a döféspontok: b.) Hasonlóan: q(t) = (cost +t sint) e + (sint t cost) e. r(t) = e t cost e + e t sint e + ce t e 3 r(t) = e t (cost sint) e + e t (sint + cost) e + ce t e 3 R(λ) = [ e t cost + λe t (cost sint) ] e + [ e t sint + λe t (sint + cost) ] e + (λ + )ce t e 3 Tehát: vagyis (λ + )ce t =, λ =, q(t) = e t sint e e t cost e. c.) Itt is ugyanúgy eljárva: r(t) = t e + Bt e +Ct n e 3, ahol n, r(t) = e + Bt e +Cnt n e 3, R(λ) = (t + λ) e + (Bt + Bλ)t e + (Ct n + λcnt n ) e 3. Ebből a döféspontokhoz tartozó λ értékek: Ct n + λcnt n =, t + λn = λ = t/n. Így a keresett görbe: ( q(t) = t t ) ) ( e + (Bt Bt e = t ( ) e + Bt ) e n n n n egy parabola.

3. fejezet Ívhossz és ívhossz szerinti paraméterezés 3.. Elméleti összefoglaló 3. TÉTEL Az r(t) térgörbe t paraméterű P pontjától a t paraméterű P pontjáig tartó ívének előjeles hossza t s = ẋ (t) + ẏ (t) + ż (t)dt. t 3. ÁLLÍTÁS Az y = ϕ(x) egyenletű síkgörbe esetén a görbe ívhossza x s = + (ϕ (x)) dx. x 3.3 DEFINÍCIÓ A görbe pontjait paraméterezhetjük egy rögzített pontjától mért s ívhosszal. Ezt a paramétert a görbe természetes paraméterénk nevezzük. Ha az ívhosszat egy rögzített P ponttól a t paraméterű P(t) pontig mérjük, akkor s = s(t) t függvénye. Belátható, hogy ekkor létezik a t = t(s) inverz függvény is, ezért minden r(t) görbénél végrehajtható az ívhossz szerinti paramétertranszformáció. 3.4 TÉTEL Ívhossz szerint paraméterezett görbe érintővektorának hossza. 9

DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR 3.. Feladatok 3. FELADAT Mutassuk meg, hogy az x = t { t sin y = t, ha t >, ha t = z = folytonos görbének nincs ívhossza a t [, ] végtelenbe nyúló íven! 3. MEGOLDÁS Írjuk fel az egyenletek első deriváltjait: A görbe ívhossza s = ẋ =, ẏ = sin t t cos t, ż =. ẋ ( + ẏ + ż dt = + sin t t cos ) dt. t Mivel a fönti improprius integrál divergens, következik, hogy a görbének valóban nincs ívhossza. 3. FELADAT Számítsuk ki a következő térgörbe ívhosszát, és írjuk fel az ívhosszparaméteres egyenletét: r (t) = (t + 3) e + t e + 3 t 3 e3 t 3. MEGOLDÁS A görbe, és a görbe paraméter szerinti deriváltja: t + 3 r(t) = t r(t) = t. t 3 t 3 A görbe sebessége a sebeségvektorának normája: v(t) = r(t) = +t + t = +t = +t. Az utolsó egyenlőség azért áll fenn, mert t esetben +t = + t. Az ívhossz a sebesség paraméter szerinti integrálja: ζ (t) = t v(τ)dτ = t ( + τ)dτ = t + t.

Ívhossz és ívhossz szerinti paraméterezés Megjegyzés: Az integrálási változó azért τ, mert az integrálás határa és az integrálási változó lehet azonos, és most az integrálás határát jelöljük t-vel. Így ζ (t) az integrálás felső határának függvénye. Most rátérhetünk az ívhossz szerinti paraméterezés megoldására. Ehhez ζ -el kell paramétertranszformációt végrehajtani: ζ = t + t t = ± + ζ. Mivel t [, ], ezért a + előjelet kell választani. Az átparaméterezéshez az ívhosszfüggvény inverzével kell transzformálni: ζ : t t + t = s 3 ζ : s + + ζ = t. Így az átparaméterezett görbe: + + s + 3 ( ) r(s) = + + s = ( ) 3/ + + s 4 3 + + s + s + s ( + s). + s 3s

4. fejezet Görbület és torzió 4. TÉTEL Tekintsünk az r(s) kétszer folytonosan deriválható természetes paraméterezésű görbén egy P pontot, továbbá három, nem kollineáris P (s ), P (s ) és P 3 (s 3 ) pontot, melyek mindegyike P (s )-hoz tart. Ezek minden helyzetben egy síkot határoznak meg. A P, P, P 3 pontokon átmenő síkok sorozata egy, a sorozattól független, a görbe és a P pont által meghatározott határsíkhoz tart, melyet a P -beli r (s ) és r (s ) feszít ki. Ezt nevezzük a P ponthoz tartozó simulósíknak. 4. ÁLLÍTÁS A simulósík egyenlete vegyes szorzattal kifejezve: ( R r(s )) r (s ) r (s ) =, ahol R a simulósík pontjainak helyvektora. A görbület a κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3, a görbületi sugár az R(t) = κ(t), a torzió pedig a τ(t) = ( r(t) r(t) r... (t)) r(t) r(t) képlettel számolható tetszőleges paraméterezés esetén. 4.. Feladatok 4. FELADAT Határozzuk meg az r(t) = t e +t e +t 3 e 3 görbe görbületét és torzióját a t = paraméterű pontban!

Görbület és torzió 3 4. MEGOLDÁS Számoljuk ki a r(t), r(t) és... r vektorokat: A t = helyen a deriváltak: A görbület és a torzió t = -ban: r(t) = t e +t e +t 3 e 3 r(t) = e + t e + 3t e 3 r(t) = e + 6t e 3... r (t) = 6 e 3. r() = e r(t) = e... r (t) = 6 e 3. κ() = r() r() τ() = 4. FELADAT Határozzuk meg az r() 3 =... ( r(), r(), r () ) r() r() = 3. r(t) = e t cost e + e t sint e + e t e 3 kúpos csavarvonal kísérő triéderét, görbületét és torzióját! 4. MEGOLDÁS b(t) = r(t) = e t cost e + e t sint e + e t e 3 r(t) = e t (cost sint) e + e t (cost + sint) e + e t e 3 r(t) = e t sint e + e t cost e + e t e 3... r (t) = e t (sint + cost) e + e t (cost sint) e + e t e 3. A kísérő triéder: r(t) t(t) = r(t) = r(t) = (cost sint) e 3e t + (cost + sint) e + e 3 3 3 3 r(t) r(t) r(t) r(t) = 6 (sint cost) e + 6 ( sint cost) e + n(t) = b(t) t(t) = ( sint cost) e + ( sint + cost) e. A görbület- és a torziófüggvény: κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3 = τ(t) = ( r(t) r(t) r... (t)) r(t) 3e t r(t) = 3e t. 3 e 3

4 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR 4.3 FELADAT Határozzuk meg a r(t) = t e + 6t e + 3t 3 e 3 görbe a.) görbületét és a görbület szélsőértékeit, b.) torzióját és a torzió maximumát, c.) írjuk fel a simulósík, a normálsík és a retifikáló sík egyenletét, a t = paraméterű pontban! 4.3 MEGOLDÁS r(t) = t e + 6t e + 3t 3 e 3 r(t) = t e + 6 e + 9t e 3 r(t) = 4 t 3 e + 8t e 3... r (t) = t 4 e + 8 e 3. A görbének két ága van, amelyek az origóra vonatkozóan középpontosan szimmetrikusan helyezkednek el, hiszen r( t) = r(t). Az alábbiakban a ± jel utal a t > illetve a t < paraméterértékekhez tartozó ágakra. Hasonlóan számolva, mint az előző feladatban: t(t) = + 9t 4 e + 6t + 9t 4 e + 9t4 + 9t 4 e 3 ( 9t 4 b(t) = ± + 9t 4 e + 6t + 9t 4 e + ) + 9t 4 e 3 ( 6t n(t) = ± + 9t 4 e + ) 9t4 + 9t 4 e + 6t + 9t 4 e 3. Így a görbület és a torzió: κ(t) = t 3 ( + 9t 4 ) τ(t) = t3 ( + 9t 4 ). A görbület lehetséges szélsőértékhelyeit a dκ(t) dt = 36t ( 5t 4 ) (+9t 4 ) 3 = egyenletből kapjuk. A második deriváltak helyettesítési értékét is figyelembe véve t = minimumhely, t = ± ( ) 4 ( 5 maximumhely, ahol a görbület: κ() = illetve κ ± ( ) ) 4 5 = 3 5 ( 54 ) 4.

Görbület és torzió 5 ( ) ( A τ(t) = κ(t) egyenlőség miatt a torzió minimuma: τ ) 4 5 maximuma: τ ( ( ) ) 4 5 pontjának helyvektora): = 3 5 ( 5 ) 4 4, illetve = 5 3 ( 54 ) 4. A simulósík egyenlete t = -ben ( R a sík változó = ( R r()) ( r() r()) = 8x + 7y 4z 576. Egyszerűsítve: A normálsík egyenlete: 9x + 6y z = 48. = ( R r()) r() = x + 6y + 9z 59. A rektifikáló sík egyenlete: = ( R r()) r() ( r() r()) 6x 7y + 6z + =. 4.4 FELADAT Határozzuk meg a kör tetszőleges pontjához tartozó görbületi középpontot! 4.4 MEGOLDÁS Elég az origó középpontú, R sugarú kört nézni: x + y = R. r(t) r(t) = r(t) = r(t) = r(t) = Rcost Rsint R sint Rcost R cost R sint, t [,π) κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3 i j k R sint R cost R cost R sint r(t) r(t) = r(t) = = i j + k (R sin t + R cos t) = (R ) = R R sin t + R cos t = R R

6 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR Görbületi középpont: κ = R R 3 = görbületi sugár: r = R R t(t) = R g(t) = R sint Rcost n(t) = Rcost Rsint + R = cost sint cost sint sint cost. = 4.5 FELADAT Keressük meg az xy = hiperbola legkisebb sugarú simulókörét. 4.5 MEGOLDÁS A simulókör sugarának meghatározásához szükségünk van a görbületre. A görbület meghatározásához tekintsük a hiperbola paraméteres egyenletrendszerét! Egy lehetséges választás: t r(t) =, t R \ {}. t. A szükséges deriváltak: r(t) = t r(t) = t 3. A görbület: κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3 alapján számolható. Ehhez kiszámítjuk az alábbi mennyiségeket: r(t) r(t) i j k = t = i + j + k t 3 = t 3 t 3 ( ) r(t) r(t) = t 3 = t 3

Görbület és torzió 7 Így: κ(t) = r(t) = + +t t 4 = 4 t. t 3 A görbületi sugár szélsőértéke: f (t) = = +t 4 (+t 4 ) t 6 t 3 t 6 ( +t 4 ) 3 = ( +t R(t) = 4 ) 3 t 3. R(t) = f (t) = ( +t4 ) 3 t 3 t 3 ( +t 4 ) 3 3 ( +t4 ) 4t 3 t 3 ( +t 4 ) 3 6t 4t 6 = g(t) = ( +t 4 ) t 6 ( +t 4 ) 3 6t = 6t ( +t 4 ) (t 4 ( +t 4 )) = Mivel szorzatuk akkor nulla, ha valamely tényezője nulla, így a következő eseteket kapjuk: t =, ami ellentmondás +t 4 = t 4 =, ami ugyancsak ellentmondás t 4 t 4 = t 4 = t 4 = t = ±. Elegendő t > esetet vizsgálni, a t < esetben a göbületi sugár ugyanakkora: t = R = ( + ) 3 = t t < t = < t < t = < t f (t) + - + f (t) helyi maximum helyi minimum Írjuk fel a simulókör egyenletét! Főnormális vektor: n(t) = b(t) t(t) r(t) t(t) = = t [, [ t r(t) +t 4 t,]t =, ] T, +t 4 +t 4 r(t) b(t) = r(t) = t3 r(t) r(t) t 3 =

8 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR n(t) = Simulókör középpontja: t g(t) = r(t) + R n(t) = Ha t =, akkor t i j k = t +t 4 + Ha t =, akkor a középpont koorinátái A körök egyenletei tehát: t +t 4 ( 3 +t 4) g() = g( ) = +t 4 t +t 4 t =.. (x ) + (y ) = (x + ) + (y + ) = t +t 4 t +t 4 = +. +t 4 t +t 4 = t + +t4 t t + +t4. 4.6 FELADAT Határozzuk meg az y = sinx simulókörét a ( π, ) pontban! 4.6 MEGOLDÁS Az előző feladat menete szerint: t r(t) = sint r(t) = cost r(t) = sint

Görbület és torzió 9 r(t) r(t) κ(t) = r(t) 3 r(t) r(t) i j k = cost sint = r(t) r(t) = ( sint) = sint r(t) = κ(t) = R(t) = + cos t sint ( + cos t) 3 ( + cos t) 3 sint r(t) t(t) = r(t) = + cos t cost n(t) = + cos t sint cost Görbületi középpont a ( π, ) pontban, ami a t = π paraméterű pont π π ( π ) g = + =. A simulókör ekkor: ( x π ) + y =. 4.7 FELADAT Határozzuk meg a következő görbe görbületét és torzióját egy tetszőleges, t paraméterű pontjában! r(t) = e t e + e t e + t e 3 4.7 MEGOLDÁS r(t) = e t e + e t e + t e 3 r(t) = e t e e t e + e 3 r(t) = e t e + e t e... r (t) = e t e e t e

3 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR κ(t) = r(t) r(t) 4 + e r(t) 3 = t + e t (e t + e t ) 3 = e t τ(t) = ( r(t) r(t) r... (t)) r(t) r(t) = ( + e t ) = 8cosh t. 4cosh t = 8cosh t 4.8 FELADAT Határozzuk meg a következő görbe görbületét és torzióját egy tetszőleges, t paraméterű pontjában! r(t) = a(3t t 3 ) e + 3at e + a(3t +t 3 ) e 3 4.8 MEGOLDÁS r(t) = a(3t t 3 ) e + 3at e + a(3t +t 3 ) e 3 r(t) = 3a( t ) e + 6at e + 3a( +t ) e 3 r(t) = 6at e + 6a e + 6at e 3... r (t) = 6a e + 6a e 3 κ(t) = 3a( +t ) τ(t) = 3a( +t ). 4.9 FELADAT Határozzuk meg a következő görbe görbületét és torzióját egy tetszőleges, t paraméterű pontjában! r(t) = cosht e + sinht e +t e 3 4.9 MEGOLDÁS r(t) = cosht e + sinht e +t e 3 r(t) = sinht e + cosht e + e 3 r(t) = cosht e + sinht e... r (t) = sinht e + cosht e κ(t) = cosh t τ(t) = cosh t. Megjegyzés: Természetesen az előbbi három feladat végeredményéből nem következik, hogy tetszőleges görbe görbület- és torziófüggvénye megegyezik. Ennek igazolására álljon itt a következő feladat:

Görbület és torzió 3 4. FELADAT Határozzuk meg az r(t) = cos t e + cost sint e + sint e 3, t [, π) Viviani-féle görbe görbületét a t = π pontban! Van-e a görbének olyan pontja, amelyben a görbület? Határozzuk meg a görbe torzióját egy tetszőleges t paraméterű pontjában! Keressük meg azokat a pontokat, ahol a torzió zérus! 4. MEGOLDÁS r(t) = cos t e + cost sint e + sint e 3 r(t) = cost sint e + (cos t sin t) e + cost e 3 r(t) = ( cos t + sin t) e 4cost sint e sint e 3... r (t) = 8cost sint e + ( 4cos t + 4sin t) e cost e 3 κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3 = 3 + 3cos(t) (3 + cos(t)) 3/. A görbület a t = π pontban: κ ( ) π = 5. A görbület akkor lehetne, ha a 3 + 3cost =. Ez semmilyen t-re nem teljesül, tehát a göbület minden t-re pozitív. A torzió: τ(t) = ( r(t) r(t) r... (t)) r(t) r(t) = A torzió, ha cost =, vagyis a t = π és a t = 3π cost 3 + 3cost. paraméterű pontokban. 4. FELADAT Határozzuk meg a közönséges csavarvonal tetszőleges pontjában a görbületi középpont koordinátáit. Mi lesz a görbületi középpontok mértani helye? Milyen feltétel(ek) mellett illeszkedik ez a tartó hengerre? 4. MEGOLDÁS A z tengelyű csavarvonal egy lehetséges paraméterezése: acost r(t) = asint bt, t R, ahol a a tartóhenger sugara, b pedig a menetemelkedést jellemző állandó (m = πb). A szükséges mennyiségek: a sint r(t) = acost b r(t) = a cost a sint

3 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR r(t) r(t) = κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3 i j k a sint a cost b a cost a sint = ab sint ab cost a r(t) r(t) = a b sin t + a b cos t + a 4 = a b + a 4 = a a + b r(t) = a sin t + a cos t + b = a + b. Ezek ismeretében a görbület: κ = a a + b (a + b ) a + b = a a + b. Vegyük észre, hogy a görbület a paramétertől független, állandó. A görbületi középpont számításához szükséges mennyiségek: a sint t(t) = a + b acost b r(t) b(t) = r(t) r(t) r(t) = a a + b ab sint ab cost a = bsint a +b bcost a +b a a +b n(t) = b(t) t(t) = i j k bsint a +b asint a +b bcost a +b acost a +b a a +b b a +b = cost sint. Így a görbületi középpont: g(t) = r(t) + κ n(t) = acost asint bt + a + b a cost sint = b a cost b a sint bt Ez is csavarvonal, amelynek tartóhengere b a sugarú és menetemelkedése πb, ami azonos az eredeti csavarvonaléval. A két tartóhenger pontsan akkor esik egybe, ha a = b teljesül..

5. fejezet Frenet-apparátus, kísérő triéder Már az előző fejezetben megismerkedhettünk a Frenet-féle hároméllel, de míg a 4. fejezetben a görbület és a torzió, vagy éppen a simulókör számítása volt az elsődleges cél, addig az 5. fejezet a kísérő triéderrel kapcsolatos feladatokat tartalmazza. Természetesen a témakör jellegéből fakad, hogy a két fejezet között átfedést tapasztalunk. Egy tetszőleges mozgást sok esetben előnyös a pályához olyan, a pályához rögzített koordinátrednszerben leírni, amelyet három, egymásra kölcsönösen merőleges egységvektor alkot. Ezek lehetnek a t érintő-, n normális-, és b binormális vektor. Amelyek ívhossz szerinti paraméterezés esetén az s = s paraméterű pontban t(s ) = d r(s ) ds n(s ) = d r(s ) ds b(s ) = t(s ) n(s ) alakot öltenek. Tetszőleges paraméter esetén kiszámításuk egy t = t paraméterű pontban a formulák alapján történhet. r(t t(t ) = ) r(t ) r(t b(t ) = ) r(t ) r(t ) r(t ) n(t ) = b(t ) t(t ) 5. FELADAT Határozzuk meg az r(t) = ( t ) e + (t + ) e 3 + ( t 3 t ) e 3 görbe t = paraméterű pontjához tartozó kísérő triédere élegyeneseinek és síkjainak az egyenletét. 5. MEGOLDÁS A görbe, első, és második deriváltja: t r(t) = t + r(t) = t t 3 t 33 3t r(t) =. 6t

34 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR A t = -ben a fenti függvények értékei: r(t ) = 3 r(t ) = r(t ) =. 6 Az érintő egységvektort ezek után könnyen ki tudjuk számolni: r(t t(t ) = ) r(t ) =. 3 Megemlítjük, hogy a kísérő triéder érintő egységvektorát igen gyakran csak érintő vektorként emlegetik. Bár az érintő vektor korábbi, normálatlan alakját tekintve ez pontatlan, különösebb zavart azonban nem okoz. A binormális vektorhoz ki kell számolni r r t -t, és a normáját: 6 3 r r t = 4 = 4 így már számolható b(t ): r r = 4(9 + 6 + ) = 4 6, t r b(t ) = r 3 t = r r t 4. 6 A normális vektor a fenti kettő keresztszorzatából számolható: 8 ( ) 7 n(t ) = b(t ) t(t ) = 3 6 = 6 3 8. 6 3 ( 8) A triéder síkjait azon meggondolások alapján számolhatjuk ki, hogy minden pontjuk a kísérő triéder megfelelő élére merőleges, és illeszkedik a görbe adott r(t ) helyvektorú pontjára. A simulósíkot t és n feszíti ki, ezért b-re merőleges, azaz minden x pontja kielégíti a következő egyenletet: x b x = b r(t ), ahol x = y. z

Frenet-apparátus, kísérő triéder 35 Ekkor a fenti egyenlet koorinátás alakban: 3x 4y z =. A normálsíkot n és b feszíti ki, így t-re merőleges: Koordinátás alakban: t x = t r(t ). x + y + z = 3. A retifikáló síkot t és b feszíti ki, n-re merőleges. Egyenlete vektoros, majd koordinátás alakban: n x = n r(t ), 7x 8y + z = 4. 5. FELADAT Határozzuk meg a következő görbe görbületét, torzióját, kísérő triéderét a t = illetve a t = π pontban r(t) = (t sint) e + ( cost) e + sint e 3! 5. MEGOLDÁS r(t) = (t sint) e + ( cost) e + sint e 3 r(t) = ( cost) e + sint e + cost e 3 r(t) = sint e + cost e sint e 3... r (t) = cost e sint e cost e 3 t = r() = e 3 r() = e... r () = e e 3 érintő egységvektor: binormális egységvektor: r() t() = r() = e 3 r() b() = r() r() r() = e

36 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR főnormális egységvektor: n() = b() t() = e görbület: torzió: κ() = r() r() r() 3 = r() τ() = r() r... () r() r() =. t = π érintő egységvektor: ( r π ) = e + e ( r π ) = e e 3...( π ) r = e ( π ) r( t = π ) r( π ) = e + e binormális egységvektor: főnormális egységvektor: ( π ) r( b = π ) r( π ) r( π ) r( π ) = ( π ) ( π ) ( π ) n = b t = 3 3 3 3 e + 3 e 3 e 3 6 6 6 6 e 6 e 3 e 3 görbület: torzió: ( π ) κ = r( π ) r( π ) 6 r( π = ) 3 4 ( π ) r( τ = π ) r( π )... r ( π ) r( π ) r( π = ) 3.

Frenet-apparátus, kísérő triéder 37 5.3 FELADAT Határozzuk meg a következő görbe görbületét, torzióját, kísérő triéderét a t = paraméterű pontban! r(t) = t e + lnt e +t e 3, (t > ) 5.3 MEGOLDÁS r(t) = t e + lnt e +t e 3 r(t) = e + t e + t e 3 r(t) = t e + e 3... r (t) = t 3 e Esetünkben t = érintő egységvektor: binormális egységvektor: r() = e + e + e 3 r() = e + e 3... r () = e t() = r() r() = 3 e + 3 e + 3 e 3 r() b() = r() r() r() = 3 e 3 e 3 e 3 főnormális egységvektor: n() = b() t() = 3 e 3 e + 3 e 3 görbület: torzió: κ() = r() r() r() 3 = 9 r() τ() = r() r... () r() r() = 9.

38 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR 5.4 FELADAT Határozzuk meg a r(t) = t e + lnt e t e 3, t I = (, ) görbének azokat a pontjait, melyekben a binormális párhuzamos az x y + 8z + = síkkal. 5.4 MEGOLDÁS A görbe, első és második deriváltja: /t r(t) = lnt t, r(t) = /t /t t, r(t) = 4/t 3 /t. Amennyiben a binormális párhuzamos az x y + 8z + = síkkal, akkor merőleges a sík N = normálvektorára. A t paraméterű pontban a binormális párhuzamos r(t) r(t) vektorral: b(t) r(t) r(t) = 8 /t /t /t 8/t 4/t 6/t = λ b(t), /t 4 4/t 4 /t 4 ahol λ zérustól különböző valós szám. Kell tehát, hogy b(t) N = teljesüljön: λ b(t) N = t + 6 t 8 t 4 = t 3 3t + 4 = (t + )(t 4t + 4) = (t + )(t ) =. A fenti egyenletnek két különböző gyöke van, t = és t =, de / I miatt csak a t = gyök ad megoldást. Tehát egyetlen, a feladat feltételét teljesítő pont van, és ez az r() helyvektorú P(, ln, 4) pont. 5.5 FELADAT Bizonyítsuk be, hogy az r(t) = t e + sint e cost e 3 görbe főnormálisa minden t esetén párhuzamos az [y,z] síkkal! 5.5 MEGOLDÁS r(t) = t e + sint e cost e 3 r(t) = e + cost e + sint e 3 r(t) = sint e + cost e 3

Frenet-apparátus, kísérő triéder 39 A főnormális vektort a kifejtési tétel alapján számolva: n(t) = b(t) t(t) = r(t) r(t) r(t) r(t) r(t) r(t) = amiből következik az állítás, hiszen e vektor együtthatója. 5.6 FELADAT Határozzuk meg a ϕ(t) függvény alakját úgy, hogy az x = t, y = sint, z = ϕ(t) r( r r) + r( r r) r r r = sint e + cost e 3, görbe főnormálisa a t paraméter minden értéke mellett párhuzamos az [y,z] síkkal! 5.6 MEGOLDÁS r(t) = t e + sint e ϕ(t) e 3 r(t) = e + cost e + ϕ(t) e 3 r(t) = sint e + ϕ(t) e 3 Az 5.5 példának megfelelően kifejtve a főnormális vektort (C konstans): n(t) = r( r r) + r( r r) r r r = C { [ r(t) [cost sint ϕ(t) ϕ(t)] + r(t) + cos t + ( ϕ(t)) ]}. Mivel r párhuzamos az [y,z] síkkal, de r nem, ezért r együtthatójának -nak kell lennie, ami csak úgy lehetséges, ha ϕ(t) = ±cost. cost sint = ϕ(t) ϕ(t), 5.7 FELADAT Határozzuk meg a z = x + y, y = x görbe normálsíkját! 5.7 MEGOLDÁS Paraméterezzük a görbét az x = t változóval: r(t) = t e +t e + t e 3. Így a görbe t paraméterű pontjához tartozó normálsík egyenlete: ( R r(t), r(t) ) = (x t) + (y t) + (z t ) 4t =. 5.8 FELADAT Bizonyítsuk be, hogy az r(t) = acost e + asinα sint e + acosα sint e 3 görbe normálsíkjára illeszkedik az x =, y tan α + z = egyenes!

4 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR 5.8 MEGOLDÁS r(t) = acost e + asinα sint e + acosα sint e 3 r(t) = asint e + asinα cost e + acosα cost e 3. A normálsík egyenlete: ( R r(t), r(t) ) = xasint + yasinα cost + zacosα cost =. Ha cosα, akkor átalakítva a normálsík egyenletét a következőt kapjuk: xsint + (ytanα + z)cost =. Behelyettesítve az x =, ytanα + z = egyenes pontjait azonosságot kapunk, tehát az egyenes valóban a normálsíkban van. 5.9 FELADAT Igazoljuk, hogy az r(t) = t e +t e +t 3 e 3 görbének a (,, ) pontbeli kísérő triédere egybeesik a koordináta-egységvektorokkal! 5.9 MEGOLDÁS A 4. példában már kiszámoltuk a megoldáshoz szükséges deriváltakat: r(t) = t e +t e +t 3 e 3 r(t) = e + t e + 3t e 3 r(t) = e + 6t e 3. Vegyük észre, hogy az origó éppen t = paraméterértékhez tartozik, így a kísérő triédert alkotó érintő-, binormális- és normális egységvektor: Ami igazolja állításunkat. 5. FELADAT Határozzuk meg az r() t() = r() = e e = e r() b() = r() r() r() = e e e e = e 3 n() = b() t() = e. r(t) = e t cost e + e t sint e + e t e 3 kúpos csavarvonal kísérő triéderét, görbületét és torzióját!

Frenet-apparátus, kísérő triéder 4 5. MEGOLDÁS A kísérő triéder: b(t) = r(t) = e t cost e + e t sint e + e t e 3 r(t) = e t (cost sint) e + e t (cost + sint) e + e t e 3 r(t) = e t sint e + e t cost e + e t e 3... r (t) = e t (sint + cost) e + e t (cost sint) e + e t e 3. r(t) t(t) = r(t) = r(t) = (cost sint) e 3e t + (cost + sint) e + e 3 3 3 3 r(t) r(t) r(t) r(t) = 6 (sint cost) e + 6 ( sint cost) e + n(t) = b(t) t(t) = ( sint cost) e + ( sint + cost) e. A görbület- és a torziófüggvény: κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3 = τ(t) = ( r(t) r(t) r... (t)) r(t) 3e t r(t) = 3e t. 5. FELADAT Határozzuk meg a r(t) = t e + 6t e + 3t 3 e 3 görbe 3 e 3 a.) görbületét és a görbület szélsőértékeit, b.) torzióját és a torzió maximumát, c.) írjuk fel a simulósík, a normálsík és a retifikáló sík egyenletét, a t = paraméterű pontban! 5. MEGOLDÁS r(t) = t e + 6t e + 3t 3 e 3 r(t) = t e + 6 e + 9t e 3 r(t) = 4 t 3 e + 8t e 3... r (t) = t 4 e + 8 e 3. A görbének két ága van, amelyek az origóra vonatkozóan középpontosan szimmetrikusan helyezkednek el, hiszen r( t) = r(t). Az alábbiakban a ± jel utal a t > illetve a t <

4 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR paraméterértékekhez tartozó ágakra. Hasonlóan számolva, mint az előző feladatban: t(t) = + 9t 4 e + 6t + 9t 4 e + 9t4 + 9t 4 e 3 ( 9t 4 b(t) = ± + 9t 4 e + 6t + 9t 4 e + ) + 9t 4 e 3 ( 6t n(t) = ± + 9t 4 e + ) 9t4 + 9t 4 e + 6t + 9t 4 e 3. Így a görbület és a torzió: κ(t) = t 3 ( + 9t 4 ) τ(t) = t3 ( + 9t 4 ). A görbület lehetséges szélsőértékhelyeit a dκ(t) dt = 36t ( 5t 4 ) (+9t 4 ) 3 = egyenletből kapjuk. A második deriváltak helyettesítési értékét is figyelembe véve t = minimumhely, t = ± ( ) 4 ( 5 maximumhely, ahol a görbület: κ() = illetve κ ± ( ) ) 4 5 = 3 5 ( 54 ) 4. ( ) ( A τ(t) = κ(t) egyenlőség miatt a torzió minimuma: τ ) 4 5 = 3 5 ( 5 ) 4 4, illetve ( maximuma: τ ( ) ) 4 5 = 3 5 ( 5 ) 4 4. A simulósík egyenlete t = -ben ( R a sík változó pontjának helyvektora): = ( R r()) ( r() r()) = 8x + 7y 4z 576. Egyszerűsítve: A normálsík egyenlete: 9x + 6y z = 48. A rektifikáló sík egyenlete: = ( R r()) r() = x + 6y + 9z 59. ( R r()) r() ( r() r()) = 6x 7y + 6z + =.

Frenet-apparátus, kísérő triéder 43 5.. Görbe megadása a Frenet-apparátusból 5. FELADAT Mutassuk meg, hogy a kör természetes egyenletrendszere: κ = r = konstans, τ = = konstans! 5. MEGOLDÁS Számítsuk ki egy r sugarú kör görbületét és torzióját! r(t) = r cost e + r sint e r(t) = r sint e + r cost e r(t) = r cost e r sint e... r (t) = r sint e r cost e κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3 = r τ(t) = ( r(t) r(t) r... (t)) r(t) r(t) =. A görbeelmélet alaptétele szerint κ(t) és τ(t) függvények irányítástartó izometriától (egybevágóságtól) eltekintve egyértelműen meghatározzák a görbéket, ezért a κ(t) = r és τ(t) = függvények a kört határozzák meg. 5.3 FELADAT Határozzuk meg azt a síkgörbét, amelynek természetes egyenlete: κ(s) = a a + s! A kezdeti feltételek s = -ban legyenek: α() =, x() =, y() = a. 5.3 MEGOLDÁS Legyen r(s) = (x(s), y(s)) a görbe ívhossz szerint paraméterezett alakja. Legyen t(s) = (t x (s), t y (s)) az érintő egységvektor. Síkgörbe esetén ekkor n(s) = ( t y (s), t y (s)) (vagy ennek ellentettje) lesz a főnormális egységvektor. A Frenet-formulákból tudjuk, hogy d t(s) ds = κ(s) n(s). Így az alábbi differenciálegyenletrendszerhez jutunk: t x = κ(s)t y, t y = κ(s)t x. κ(s)-et behelyettesítve és megoldva az egyenleteket az alábbi függvényeket kapjuk: t x (s) = c a + c s s + a, t y (s) = c s c a s + a.

44 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR Határozzuk meg a c és c konstansokat! Tudva, hogy a görbület κ(s) = dα(s) ds, kifejezhető belőle az α(s) irányszög: a ( s ) α(s) = s + a ds = arctan + α. a Behelyettesítve az s = és α() = kezdeti feltételt, α =, vagyis az érintővektor s = - ban: t() = (, ), ami azt jelenti, hogy c = és c =. A görbe paraméteres egyenletét az érintővektor komponenseinek s szerinti integrálásával és az x() =, y() = a feltételek figyelembevételével kapjuk: x(s) = s a ) (s s + a ds = alog + s + a aloga, y(s) = s s s + a ds = s + a a. A kapott paraméterezésű görbe egy láncgörbét határoz meg. s = asinh x a paramétertranszformációval áttérhetünk x szerinti paraméterezésre, és ekkor a megszokott y = acosh x a alakot nyerjük. 5.4 FELADAT Határozzuk meg azt a síkgörbét, amelynek természetes egyenletét a: κ(s) = s a függvény definiálja! A kezdeti feltételek s = -ban: α() =, x() =, y() =. 5.4 MEGOLDÁS Legyen r(s) = (x(s), y(s)) a görbe ívhossz szerint paraméterezett alakja. Legyen t(s) = (t x (s), t y (s)) az érintő egységvektor. Síkgörbe esetén ekkor n(s) = ( t y (s), t y (s)) (vagy ennek ellentettje) lesz a főnormális egységvektor. A Frenet-formulák felhasználásával az előző feladathoz hasonlóan járunk el. Így az alábbi differenciálegyenletrendszerhez juttunk: t x = κ(s)t y, t y = κ(s)t x. κ(s) = s a behelyettesítésével ennek megoldása: t x (s) = c cos s a + c sin s a, t y (s) = c sin s a c cos s a. Határozzuk meg a c és c konstansokat! Az α(s) irányszögre felírhatjuk, hogy: α(s) = s s ds = a a + α.

Frenet-apparátus, kísérő triéder 45 Behelyettesítve s = és α() = kezdeti feltételt α = -t kapunk, vagyis az érintővektor s = -ban: t() = (, ). Ebből azonnal adódik, hogy c = és c =. A görbe paraméteres egyenletét az érintővektor komponenseinek s szerinti integrálásával és az x() =, y() = kezdeti feltétellel kapjuk: x(s) = y(s) = cos s a ds, sin s a ds. A kapott integrálok elemi függvényekkel nem írhatók le, csak függvénysor összegeként adhatók meg. Az így nyert görbe a klotoid.

II. rész Felületek 46

6. fejezet A felület 6.. Feladatok 6. FELADAT Tekintsük a gömb alábbi, Gauss-féle (kétparaméteres) megadását: r(u,v) = acosucosv e + acosusinv e + asinu e 3. Írjuk fel a paramétervonalak egyenletrendszerét! 6. MEGOLDÁS Az u-paramétervonalak meghatározásakor u-t konstansnak tekintjük. Ekkor x = acosucosv = Acosv y = acosusinv = Asinv z = asinu = B, ahol bevezettük az A és B konstansokat. Vegyük észre, hogy x + y = A, vagyis a paramétervonalak a z = síkkal párhuzamos síkú körök (szélességi körök). A v-paramétervonalak esetén v konstans. Ekkor x = acosucosv = Acosu y = acosusinv = Bcosu z = asinu = C sinu. A paramétervonalak ebben az esetben is körök (hosszúsági körök). 6. FELADAT Tekintsük a ferde körhenger alábbi, Gauss-féle (kétparaméteres) megadását: r(u,v) = (cosu + v) e + (sinu 3v) e + 4v e 3. Írjuk fel a paramétervonalak egyenletrendszerét! 47

48 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR 6. MEGOLDÁS x = cosu + v y = sinu 3v z = 4v. Az u-paramétervonalak: Tehát az u-paramétervonalak egyenesek. A v-paramétervonalak: x = A + v y = B 3v z = 4v. x = cosu +C y = sinu + D z = E. Vegyük észre, hogy cos u+sin u = (x C) +(y D) =, vagyis a v-paramétervonalak körök. (A, B, C, D és E konstansok.) 6.3 FELADAT Tekintsük az elliptikus kúp alábbi, Gauss-féle (kétparaméteres) megadását: r(u,v) = (acosu e + bsinu e )v + 3( v) e 3. Írjuk fel a paramétervonalak egyenletrendszerét! 6.3 MEGOLDÁS Az u-paramétervonalak: Tehát az u-paramétervonalak egyenesek. A v-paramétervonalak: x = avcosu y = bvsinu z = 3( v). x = Av y = Bv z = C 3v. x = Dcosu y = E sinu z = F.