Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logika, bizonítási módszerek. Logikai feladatok, kijelentések. Feltéve, hog a középsõ a kérdésre válaszolt: a középsõ lókötõ, a harmadik lovag.. Aki ellopta az elefántot, mindig hazudik.. Piki.. Lovag plinket, lókötõ plankot mond. 5. Kiss Kata, Szabó Réka, Nag Sára, Varga Eszter. 6. Zoli: villamos, kosárlabda; Bálint: bicikli, kézilabda; Pisti: busz, úszás. Rejtvén: Német.. Logikai mûveletek negáció, konjunkció, diszjunkció. Fehér dobozban: piros, zöld goló. Piros dobozban: fehér, sárga goló. Kék dobozban: sárga, piros goló. Zöld dobozban: kék, fehér goló. Sárga dobozban: zöld, kék goló.. Øp = A négzetnek van olan szöge, amelik nem derékszög. Øq = Van olan háromszög, amelik nem derékszögû. Ør = A szabálos ötszögnek van olan szöge, amelik derékszög. Øs = Nincs olan deltoid, amelik rombusz = Egetlen deltoid sem rombusz. Øt = Minden trapéz paralelogramma. Øu = Nincs homorúszögû háromszög. = Minden háromszög nem homorúszögû. Øw = Van olan háromszög, amel köré nem írható kör. ØA = A nagobb vag egenlõ, mint p. ( ³ p) ØB = A kisebb, mint 5. ØC = Szabálos dobókockával dobhatunk 6-nál nagobbat is. ØD = 9-nek -nál kevesebb osztója van. ØE = Minden másodfokú egenletnek -nál kevesebb göke van.. A= p A p p= p } = ØA = Minden faluban van posta. ØB = Van olan ember, aki nem kékszemû. ØC = Van olan pók, ameliknek 8-nál több szeme van. ØD = A február sose 0 napos. ØE = Van olan szálloda, amelben van olan szoba, ahol nincs telefon. ØF = Minden munkahel olan, hog senki sem dolgozik.
. Mit szoktál mondani akkor, amikor valaki megkérdezi, hog a plink az jelenti, hog igen? 5. a) Piki igazmondó, Niki és Tiki hazug. b) Tiki biztosan igazmondó, Niki hazug, Pikirõl nem tudjuk. 6. a) ØH Ø(ØH) = Ma hétfõ van. b) H Ù F Ø(H Ù F) = Ma nem hétfõ van, vag nem vagok fáradt. = ØH ÚØF c) H ÙØF Ø(H ÙØF) = Ma nem hétfõ van, vag fáradt vagok. = ØH Ú F d) ØH Ù F Ø(ØH Ù F) = Ma hétfõ van, vag nem vagok fáradt. = H ÚØF e) ØH ÙØF Ø(ØH ÙØF) = Ma hétfõ van, vag fáradt vagok. 7. a) M Ú T hétfõn igaz Ø(M Ú T) = Ma nem hétfõ van és tegnap nem vasárnap volt. = ØM ÙØT b) ØM ÚØT csak hétfõn nem igaz Ø(ØM ÚØT) = Ma hétfõ van és tegnap vasárnap volt. = M Ù T c) ØT Ú M minden nap igaz Ø(ØT Ú M) = Tegnap vasárnap volt és ma nincs hétfõ. = T ÙØM d) ØM ÚØT csak hétfõn nem igaz Ø(ØM ÚØT) = Ma hétfõ van és tegnap vasárnap volt. = M Ù T 8. a) Én megek veled vag Ottóval. b) Veled megek, vag Ottóval megek. c) Nem megek veled. d) Te nem még, vag én nem megek. = Nem megek veled. 9. a) A Ù B ÙØC b) (A Ú B) ÙØC c) ØA ÙØB) ÙØC d) (A Ù B) Ú C 0. A, B, D vag A, C, E, tehát csak A-ról mondhatjuk biztosan, hog hazudik.. a) Az ABCD húrnégszög és átlói nem merõlegesek. LEHET IGAZ b) Az ABCD húrnégszög és ADC<) < 90º és a BCD háromszög egenlõ szárú. HAMIS = NEM LEHET IGAZ c) Az átlók nem merõlegesek, az ADC<) < 90º és a BCD háromszög nem egenlõ szárú. BIZTOS IGAZ d) Nem húrnégszög és az átlók merõlegesek és az ADC<) ³ 90º. HAMIS = NEM LEHET IGAZ Rejtvén: A leghátsó kivételével mindenki megszabadulhat a következõ stratégiával: a leghátsó fehéret mond, ha páratlan számú fehér sapkát lát, különben feketét mond.. Logikai mûveletek implikáció, ekvivalencia. a) B A b) ØA ØB c) A B d) A Ú AØB. a) A B b) ØB ØA c) B A d) B A e) ØB ØA (a 00-es kiadásban sajtóhiba van a feladat szövegében: szombat helett vasárnap áll) f) B «A g) A «B
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) Ha az n szám 6-ra végzõdik, akkor -gel osztható. b) Ha az n szám -vel osztható, akkor nem prím. c) Ha az n szám -gel osztható, akkor nem prím és páros. d) Az n szám páros és számjegeinek összege -mal osztható, akkor és csak akkor, ha 6-tal osztható. e) Az n szám -vel osztható akkor és csak akkor, ha -gel osztható és számjegeinek összege -mal osztható. f) Ha n nem páros, de számjegeinek összege osztható -mal, akkor n nem osztható 6-tal.. a) (T Ù O) N b) D «C c) A (B Ú C) d) S Ø(A Ù B) 5. Kati. 6. Gabi csak lán lehet. 7. Igen válasz: van aran, nem válasz: nincs aran. Rejtvén: Van olan eset, amikor kártát kell megfordítani, még akkor is, ha kihasználjuk, hog minden számjegbõl van.. Teljes indukció. n = -re =. T.f. n-re, biz. n + -re: n +... + + = + = nn ( + ) ( n+ )( n+ ) n + ( n+ )( n+ ) nn ( + ) + ( n + ) n + = = =. ( n + )( n + ) ( n+ )( n+ ) n +. a) n = -re 9½8. T.f. n-re, biz. n + -re: 5 n+ n+ + n+ n+ = 50 5 n n+ + n+ n = = 8 5 n n+ + (5 n n+ + n+ n ). b) A feladat helesen: ½6 n + n+ + n. n = -re ½66. T.f. n-re, biz. n + -re: 6 n+ + n+ + n+ = 6 6 n + n+ + n = 6 n + (6 n + n+ + n ). c) A feladat helesen: 7½ 5n+ +5 n n+. n = -re 7½9. T.f. n-re, biz. n + -re: 5(n+)+ +5 n+ n+ = 5n+ + 5 5 n n+ = = 5n+ + 7 5 n n+ ( 5n+ +5 n + n+ ).
*. IGAZ ( ) a háromszögek száma -mal növelhetõ. n = 6, 7, 8-ra:. 5, 6, 7 (= 5 ), 8 kifizethetõ, utána hármasával bármi. 5. Pisti tévedett. -rõl indulva a darabok száma minden lépésben -vel nõ, íg csak páratlan lehet. 6. -rõl indulva a darabok száma minden lépésben -mal vag 5-tel nõ. a) 00 = + 00 = + 667 elérhetõ. b) 00 = + 0 + 99 = + 5 + 66. c),, 5, 8 kivételével minden szám lehet: (,, 6, 7 lehet) 9 (= + + 5), 0 (= + ), (= + 5)-rõl indulva hármasával minden elérhetõ. 7. a) A tagok szimmetrikusak a középsõre nézve: a n = n +(n + ) +... + (n ) +... + (n ) + (n ) = (n ). Teljes indukció második lépése: (n ) +n +n +n + n = n n + +8n = (n +). b) n n + +... + ( ) n = ( ) ( ) 8. Becsléssel: nn ( + ), nn ( + ) + + ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( ) ( + )( + n n n n ) n n =. n n n n + +... + n = n. n n Teljes indukcióval: n = : ³. T.f. n-re, biz. n + -re: +... + + + + + = nn ( + ) + n n n n n + n + = n + n + + = n +. n 9. Egenesek száma:... n nn ( + ) Síkrészek száma: 7... + = (sejtés) = ( + + +... + n) +. Az n + -edik egenes az elõzõ n egenest n pontban metszi, ezek n + részre osztják az egenest, és mindegik egenesdarab kettévág eg-eg síkrészt, íg a síkrészek száma n + -gel nõ. 5
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE * 0. Körök száma:... n. nn ( ) Síkrészek száma: 8... + = + ( + +... + ( n )) sejtés. T.f.h. n körre igaz. Az n + -edik kör n pontban metszi az elõzõ n kört, ez n ív a körön, amelek kettévágnak eg síkrészt, íg n-nel nõ a síkrészek száma. Kiszínezhetõ. körre igaz. T.f.h. n körre igaz. Rajzoljuk be az n + -edik kört, és minden, a körön belüli síkrészt színezzük az ellenkezõjére. Ezzel az új határvonalak jók lesznek, a régiek nem változnak. A háromszögek esete abban különbözik, hog két háromszögnek maimum 6 metszéspontja lehet. *. n = -re igaz: T.f.h. létezik ilen konve n-szög. Ennek eg tompaszögét levágva konve n + szöget kapunk. -nál több hegesszög nem lehet. T.f.h. van, ezek összege 80º-nál kisebb. A konve n-szög szögösszege (n ) 80º. A megmaradt n db szög összege (n ) 80º-nál nagobb kellene legen, ami nem lehet. *. n = -re igaz. T.f.h. minden n+ -nél nem nagobb tömeg,,..., n tömegekkel kimérhetõ. Adott eg n+ -nél nagobb, de n+ -nél nem nagobb tömeg. n+ -bõl n+ -t levéve n+ marad, íg eg n+ -et használunk, ami marad, a n+ -nél nem nagobb, tehát,,..., n tömegekkel kimérhetõ. Rejtvén: A szemüveg akkor párásodik be, ha hidegrõl melegre meg be. 6
Számsorozatok. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik tagja: n, a sorozat elsõ n tagjának összege: n(n + ).. a) n n( n + ) b) c) (n )(n n +). A bizonításokat például teljes indukcióval lehet elvégezni.. a) Érdemes a n -t átalakítani íg: b) Az a n -t itt íg érdemes felírni: n n n n an =... ( + )... ( )... n a n = + + + + + n + n + + +....... n 5. A sejtés általánosan íg írható fel: n + n + +... + n + n = n + n + +n + n + +... + n +n. Az összegzés után a bizonítás közvetlenül adódik.. Példák rekurzív sorozatokra. a), b), c) teljes indukcióval könnû igazolni.. =. Az eges ferde vonalak mentén adódó összegek a következõk:,,,, 5, 8,,,, 55, 89,... Az általános sejtés tehát az lehet, hog az n-edik sorban álló számok öszege f n. A sejtés teljes indukcióval igazolható. = +. ábra. A sorozat tulajdonságait teljes indukcióval igazolhatjuk. A szemléltetést az. ábrán lehet elvégezni. = 5. A sorozat tulajdonságait teljes indukcióval igazolhatjuk, a sorozat tagjainak szemléltetését a. ábrán végezhetjük el.. ábra 7
. Számtani sorozatok. + 6 + 9 +... + 999 = + = 668.. A feltételbõl a = és d = adódik. Íg azt a legkisebb pozitív egész n-et keressük, amelre + ( n ) n 000. Az eredmén: n =.. Elég igazolni, hog az a + c =b és egenlõségek ekvivalensek. b+ c + a+ b = a+ c. a) a = 7, d =. b) Két megoldás van: a =, d =, 59 a =, d =. c) A kitûzött feladat hibás. A heles feladat: a + a 7 =, a + a 7 =. Ennek két megoldása van: a = 7, d =, 67 a =, d = 9. 5 5 5. Nem. Indirekt bizonítást alkalmazva arra az ellentmondásra jutunk, hog racionális szám. 6. 7. 5050. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. 50,5 másodperc alatt esik le a test 0 m magasról. 9. + ( + +... + ) = = 56. 0. Az egenlõtlenséget kielégítõ egész koordinátájú pontok száma.. Mértani sorozatok. a = 6, q =... q =. 0. 8
5. a) a =, q = b) A feladatban hiba van, a heles feladat: a 7 a = 6, a 5 a = 7. Az egetlen megoldás: a =, q = (a q = eset nem ad jó megoldást). c) Két megoldás van: a = 5, q =, a = 5, q =. 6. 7. A helesen kitöltött táblázat: 7 5 08 6 9 8 6 7 6 8 8. Két megoldás van:, 8, ;,, (A második megoldás esetében a számtani sorozat differenciája 0, a mértani sorozat hánadosa.) 9. A számtani sorozat elsõ tagja, különbsége 5. 5. Kamatszámítás, törlesztõrészletek kiszámítása 0. Jelölje p az + = számot (ez az eghavi kamat kiszámításához szükséges), akkor 00 00 a havi törlesztõ részlet: p 5000 p 57 Ft.. Feltesszük, hog havonta egenlõ részletekben törlesztjük a kölcsönt, ekkor a szükséges 0 havi összeg a q = + = jelölés felhasználásával: 00 00 Tehát a kölcsönt felvehetjük. q 50000 q 0 0 76 Ft. 9
Térgeometria. Térelemek SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. 5 rész. a) 5 vag 8 rész. b) 9, 0 vag rész.. a) a b) c) a. a 5. 90º; 0º a 6. 5,6º; 90º 7. a; 5a; 9,º; 8,º *9. Igaz. A sík és a tér felosztása n. n+ véges; n végtelen tartomán.. 5. 5. n nn ( ) = n n n n n = ( + ) ( )( ) 8 6. 550 *7. n n + 0
. Testek osztálozása, szabálos testek. Igen. Pl. ilen eg térbeli kereszt.. Legkevesebb 6, legfeljebb 0.. tetraéder kocka oktaéder dodekaéder ikozaéder. 5. a ; a; 0 6 cm a 6. 8,6 cm; 6, cm *7. *8. a 6 a. A terület fogalma, a sokszögek területe. a. cm; 5,8º; 5,6º. 7,8 cm;,7 cm; 6,68º. 7-szerese. 5. része. 7 6. A súlvonal a megfelelõ egenes. 7. 7,05 cm. 8 9. területegség. * 0. Igen. Az oldalai lehetnek: és 6, vag és. *. b) n =, vag 6 esetén.
5. A kör és részeinek területe. ; 9 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE.. Igen.. 6,8 km-rel 5. a),09 cm b) cm c),9 cm 6. 0,56 m 7. a) 5,5 cm b) 5,8 cm c) 5,7 cm d),5 cm 8. a) b) 0. Egenlõk.. 5, cm. 6,77 cm *. 6,88 cm 6. A térfogat fogalma, a hasáb és henger térfogata. 8 féle. A ma = 6 (; ; 6). A min = 66 (; ; ).. Élei: 6 ; 8 ; 0 ; V = 960 ; A = 75; 5º; 6,9º. Élei: cm; 6 cm; 8 cm. A = 08 cm. Élei: 0 cm; 5 cm; 0 cm. V = 000 cm 5. a) A = 686,6 cm ; V = 866 cm b) A =, cm ; V = cm c) A = 79,6 cm ; V = 596, cm d) A = 58,8 cm ; V = 68, cm 6. a) V = 785, cm ; A = 7, cm b) V = 0000 cm ; A = 68, cm c) V = 790,9 cm ; A = 5080,99 cm 7.,6% 8. V =,76 cm ; A = 58,7 cm V = 58,9 cm ; A = 9,57 cm 9. V = 68, cm ; A = 08, cm V = 005, cm ; A = 65,5 cm 0. V = 88,5 cm ; V = 7,5 cm A = 0,9 cm ; A = 500, cm *. A = cm ; V = 6 cm *. féle.
7. A gúla és a kúp térfogata. a) 76,9 cm ;,78 cm b) 6,6 cm ; 87, cm c) 08,09 cm ; 656,7 cm d) 500 cm ; 80,77 cm. a) 57,08 cm ; 0, cm b) 0,59 cm ; 0,59 cm c) 0,59 cm ; 0,59 cm. 58,9 cm. 678, cm 5. 78,55 cm 6. 65,5 cm 7.,6 cm ;,. cm 8. 66,6. cm ; 7, cm 9. 0,6 cm ; 5,78 cm *. A= a; V = *. a = r esetén. a 8 8. A csonka gúla és a csonka kúp. a) 6,69 cm b) 8,58 cm ; 70, cm c) 8,76º. a) 5,9 cm ; 75,96 cm b) 8,9 cm ; 88,5 cm. a) 57,75 cm ; 9,8 cm b) 5,9 dm ; 58,58 dm c) 07,9 dm ; 57,58 dm. 97,9 cm ; 9,8 cm 5. V =,. cm ; V =,. cm A = 7,7 cm ; A = 66,5 cm 6. A = 60 cm ; a = 5,º 7 7 7. π dm ; π dm 8. a) 8,9 cm; 6, cm b),85 cm; 8,5 cm 9. 57,87 dm 0. 90, dm
9. A gömb térfogata és felszíne SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) 5 575 80 cm ; 5 05 cm b) 50 cm ; 507 cm. 97 m. 0 cm π r. ; rész 6 5. 7. 7, N 8.,6 dm ; 6,6 dm *9. * 0. 5 5 r π V = h ( r h) π R 8 *. 68 08 cm ; 0 06 cm 0. Egmásba írt testek. 0 cm. 6,7 cm. a) 0 cm; cm; cm b) 60 cm ; 55,6 cm. 6 cm 5. 0 6. 0,% 7. r =,07 cm; A = 89,6 cm ; igaz 8. 8 7,57 cm ; 68, cm *9. 9,% 0. A A V = ; = 8 V., cm. 5 m 9 (m a kúp magassága)
Valószínûségszámítás, statisztika. Geometriai valószínûség. 0,9.. 0,5.. = 8,» 7.. 0,5. 5. 5 = 6. 6. p = = 6. 7. 0,. +, p =. 8. 5 b 5, b ³ 0, ½b½³. p = 6 0. 5
9. 0 <. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE + ( ) p =. Rejtvén: A valószínûség, mert a három pont meghatároz eg síkot.. Várható érték. Tornádóra fogadva a nereség várható értéke: 0,. Villámra fogadva a nereség várható értéke: 0. Szélvészre fogadva a nereség várható értéke: 0,. Tehát Villámra érdemes fogadni.. 80 Ft.. 6 60 8 6 5 6 6 0 0 5 + + =..» 0,75. 5. Páros: -mal osztható: 0 0 5-tel osztható: 50 0 0 8 0 =. 0 =. 0 =. Tehát -mal oszthatóra érdemes tippelni. 6. 500 50 6 5 5 5 + 5 5 5 + 5 5 =. 5 7. 00 Ft helett 00 Ft-tal számolva: 00 = 0, = 00 (Ft).. Statisztika. Magarország minden tekintetben utolsó. Nugati nelveket tekintve Szlovénia vezet, Csehország a második. Valamel idegen nelveknél számít, hog az ország korábban más országokkal egütt alkotott eg államot. 6
. d) Budapesten szállodát.. a) Többség az iskolában tanórán találkozott az internettel. b) Egütt nem 00%. c) Mit jelent a megismerkedni? Lehet, hog megismerkedett vele, de nem szokott internetezni! 5. a) b),68»,7 6. Zöldek, mert bár az adatok uganazok, az õ grafikonjuk szemre erõteljesebb növekedést mutat. 7. Péter javított, ezért az tengelen az egség nagobb legen. Péter rontott, ezért az tengelen az egség kisebb legen. 8. b),5. c) 6,8. d) Ahol az 50%-ot eléri: 500 999 osztálközepe: 750 ezer. 0. a) a 00 = 59. b) Az egmás utáni tagok távolsága felezõdik: 9; 99; 59; 79; 69; 7;.... a) Az átlag -mal nõ, a szórás nem változik. b) Az átlag és a szorzás is az 5-szöröse lesz.. Ha a legnagobb 5 lenne, a terjedelem miatt a legkisebb 7. Középen a medián miatt 8, 8 vag 7, 9 áll. Ezen szám összege 8, a többi összege 6 8 = 6 kellene legen, de az nem lehet, mert egik sem kisebb 7-nél. A legnagobb szám lehet a legkisebb 6, középen 7, 9 vag 8, 8 közül csak 8, 8 lehet, mert a 8 módusz, íg a számok: 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8,.. c) Iskolai végzettség, testvérek száma. = 99 0 + + 7 + +..., 00 a 00 7
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Gondolkodási módszerek összefoglalás. Halmazok, kijelentések, esemének. ((Z \ H) \ E) È (H Ç E) = (Z Ç _ H Ç _ E) È (H Ç E) (p Z ÙØp H ÙØp E ) Ú (p H Ù p E ) (E Z E H E E ) + (E H E E ) = (E Z _ E H _ E E ) + (E H E E ) görög saláta, tiramisu. a) Nem igaz. b) Nem igaz. c) Nem igaz. d) Nem igaz.. Április 0 napos. A halmazábrán láthatóan eddig nap volt felsorolva, íg a hiánzó szám a 0 = 7. a) N napos: 5. b) E _ nem esõs:. c) E S N = E S N 7: nem esõs, nem szeles és nem napos. d) S È E: szeles vag esõs: 0. e) E S = E S nem esõs és nem szeles: 0. f) N Ç (S È E) napos és (szeles vag esõs):.. a) Minden -vel és 5-tel osztható természetes szám osztható 0-zel. Van olan -mal osztható szám, amel 0-zel is osztható. Ha eg szám osztható 0-zel, akkor osztható -vel és 5-tel is. b) Van egenlõ szárú derékszögû háromszög. Nincs olan egenlõ szárú háromszög, amelnek pont eg 60º-os szöge van. Ha eg háromszögnek pont eg 60º-os szöge van, akkor nem lehet egenlõ szárú.. Kombinatorika, valószínûség. 5 0 8 60 85 8 89 600 = =.. a) 6! b) 5!! c)! 7! 8
. a) 9 980 b) =. = 05, 8 08 5. Ugananni: 6. Páros: páros vag páros és páratlan. Páratlan: páratlan vag páratlan és páros. (Szimmetria elv.) 6. többszöröseinek száma + 7 többszöröseinek száma 7 többszöröseinek száma = 8 = 00 + 5 = 8. Íg a keresett valószínûség: = 0, 95. 00 50! 7. Komplementer: mind különbözõ 5!. 9 8. 0 70 = =, 7 9. a) b) 6 0. 6 0 9 5 = 6 50 5 5 + = =0,9658 6. 0,6 0,8 +0,6 0, 0, +0, 0, 0,65 = 0,606. P(két fej) = + =. 5 8 P(szabálos érme, feltéve, hog két fejet dobunk) = 8 = = 0,. 8 5 5 9
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Algebra és számelmélet összefoglalás. Számok és mûveletek... Igen, a négzete is irracionális.. Pl.:,.... km. 5. 96%-át. 6. 7%-os a haszon. 7.» 77%,» 9%. 8. 0 tanuló.. Számelmélet, oszthatóság. 8 5 7 0.. A számjegek összege, nem lehet prím.. Nincs. p és p + közül az egik páros, p = -re nem igaz.. Igen, 00 = 7, minden prímténezõ kisebb 5-nél. 5. a) Pl.: 988 = 00000 b) Pl.: 988 = 6 6. 7-es, 8-as, 9-es. 7. 805. *8. n = 5 és n =.. Hatván, gök, logaritmus. 5.. 5 nullára végzõdik.. a) 8 éves, 70 kg-os tanuló esetén 7 00 m. b) 89 60 kg.. a) 5 = b) 5 c) 0 =
5. a) 9 5 = 5 b) 6. a) Az elsõ a nagobb. b) Az elsõ a nagobb. 7. a) ; a > b) 6; b ³ 0; b ¹ ; b ¹ 6 0 *8. A kifejezés = n. ( ) 9. a) b) 6 c) 6 0. a) 8 5 5 7 9 5 5 9 = 9< 9 = 7 b) c) log 5 log7 7 5 7 7 5 7 log75 log log9 = < 7 7 5 7 log7 = < = < = < = < 9 = 7 5 log = = log 0, 5 < log7 = < log5 5 = < log 8= 6 7. a) = 0 b) 5 5 = = =, 5 8 c) =. Mûveletek racionális kifejezésekkel. a) a(a ) b) b (5b + )(5b ) c) 7(c +). Pl. d ½(d ) + (d ) +(d ). a) 000 b) 6 6 7 = ( 7). a) b) c) ( 9) b 8 ( + ) 5. Egenletek, egenlõtlenségek. 7,5 liter 0%-os és,5 liter 80%-os.. 5.. 90 km.. 50. 5. 80 km. 6. Legkésõbb órakor. 7. a) n = 8; 9; ; 5 b) n = 0; ; ; ; ; 5; 6 c) 7 < n <
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. m széles, m hosszú. 9. I. 0 órát, óránként 0 db. II. 6 óra; óránként 5 db. 0. 0 -ért vette. *. p= ; p= ; p= *. p = 0 5. b) = 6,5; =,5 c) =. a) = 7 b) = c) = ; = 0 * 5. n = 6. a) < vag > b) 5 < < vag < 7. a) π π π 8π = + k k b) = + kπ; + lπ ; k, l Z ; Z 9 5 5 c) π π = + lπ ; l Z d) = kπ; = + lπ ; k, l Z 8. a) π 7π 5 kπ + + kπ; b) lπ + π + lπ ; l Z 6. Egenletrendszerek. a) Kb. 65 Ft liter üdítõ ára. b) Ft-nak adódik liter ára. Az ár nem arános az üdítõ menniségével.. 8 piros; kék.. 9 polc; könv.. a) 77-szerese. b) 98,7%-kal kisebb. 5. a) = ; = b) = ; = ; 5 5 c) = 0; = ; = 0; = 7 6. a) = ; = 9; = ; Î R\{0} b) = ; = c) = ; = 5; = ; = 5; = ; = 5; = ; = 5; 5 = 5; 5 = ; 6 = 5; 6 = ; 7 = 5; 7 = ; 8 = 5; 8 = = ; =
Függvének összefoglalás. A függvén fogalma, grafikonja, egszerû tulajdonságai. a) = sin p p p p b) c) =lg 0, 0 d) e) =tg p p p p 9 f) A függvén görbéje nem rajzolható meg pontosan, két szakasz mentén mindenütt sûrûn elhelezkedõ pontokból áll.. a) injektív; b) egik sem; c) egik sem; d) szürjektív; e) bijektív; f) injektív.. Mûveletek függvénekkel. a) f f: R R, ; b) f g: R R, ; c) g f: R R, ; d) g g: R R,.. f f: R R, ; f f f: R R, ; + + f f... f: R R,, az fn-szer szerepel. + n
. a) f : R R, ; b) g : R \ { } R \ { }, ; + c) h : [0; ] [0; ], ; d) k : [0; ] [ ; 0], ; SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Függvéntulajdonságok. a) b) c) 8 6 =( +) ( ) 6 6. a) b) c) 6 5 6 5 6 5 5 5 6 7 8 5 Zérushel: =. Zérushel: = 7. Zérushel: =.. a) b) c) A kitûzött feladatban hiba van. A heles függvén: log, 5 6 log Î [; + [ 5 5 6 log Minimumhel = 0, mini- Minimumhel =, mini- A függvénnek minimumum értéke: ; maimum- mum érték: ; maimum- ma nincs (alulról nem helek: =, =, hel: = 5, maimum ér- korlátos), maimumhemaimum értéke: 5. ték: 6. le =, a maimum érték:.
d) = sin½½ p p p p p p p p Minimumhelek: és = π = π, a minimum értéke:, maimumhelek: és = π = π, a maimum értéke:, az = 0 helen heli minimuma van a függvénnek, a minimum értéke 0. e) Minimumhel = 0, a minimum értéke: 0, π π maimumhelek =, =, a maimum értéke.. A függvén zérushele: = 0, minimumhele =, a minimum értéke:, maimumhele =, a maimum értéke:. p p p p 5. a) Az egetlen valós gök: =. b) Az egetlen valós gök: =. c) A két valós gök: = és =. 6. a) A kitûzött feladatban hiba van. A heles feladat: log log, >, ¹. A megoldás: <. b) A megoldás: < <. π π c) A megoldások a következõ intervallumok: + kπ < < + kπ, k Z. 7. a) Eg valós göke van: =. b) Két valós göke van: = 0, =. c) A két valós gök: = és =. 8. Nem periodikus, indirekt úton lehet bizonítani. 5
Geometria összefoglalás. Alapvetõ fogalmak. a) hamis; b) igaz. a) AB cm; b) igaz SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A szögek nagsága: º, 57º, 7º, 87º, 0º.. A hajó az északi iránnal +05º-ot bezáró, közelítõleg délnugati iránban halad. a 5. Jelölje a park hosszabbik oldalának hosszát a, a rövidebbikét b. Ha akkor a köz- b, a refogott alakzat négzet, ha akkor az ösvének és a park határa eg hatszöget fog b >, közre. 6. Legfeljebb pontot kaphatunk íg. Nincs mindig megfelelõ pont. 7. A metszéspontok száma 0. 8. a) 8 térrész; b) 5 térrész; c) 6 térrész; d) 9 térrész.. Geometriai transzformációk. Két megfelelõ négzet van, csúcsaik rendre (6; 0), 0; 6), ( 6; 0), (0; 6), illetve (8; 8), ( 8; 8), ( 8; -8), (8; 8).. a) A közös rész eg oldalú szabálos háromszög. K = cm, T = cm 9» 0,77 cm. 68 b) Az egesítés eg konkáv hétszög. K = 0 cm, T = cm, 087 cm. 9 7. a) A'( ; 0), B'(; 6), C'(6; ) b) A'( 0; ), B'( ; ), C'(0; 6) cm 8. A nagítás 80-szoros, a kép és a vászon távolsága,95 m.. Vektorok. Szögfüggvének. h»,9 m.. d» 8,5 m.. a» 5,5º.. a) sina = 0,6; tga = ctga = ;. 6
b) cosa = 0,8; tga = ctga = ;. c) sina» 0,909; cosa» 0,99; ctga» 0,76. d) tga = 5+»,6; sina» 0,909; cosa» 0,99. 5. Az osztópontok helvektorai rendre a B csúcstól a C csúcs felé haladva: 5b + c b + c b + c b + c b + 5c,,,,. 6 6 a b b c c a a b c 6. fab = +, fbc = +, fca = +, s ABC = + +. a+ c b + d + a+ b + c + d a+ c b + d a b c d 7. a) b), c) = + + + Az átlók felezõpontjait összekötõ szakasz felezõpontja azonos a középvonalak metszéspontjával. 9. = 6. Nevezetes síkidomok tulajdonságai. a) a = 0º; b» 7,5 cm; c» 7,05 cm. b) a»,97 cm; a»,º; g»,69º. c) c» 8,88 cm; a» 6,9º; b» 7,8º. d) a» 59,6º; b» 8,05º; g» 9,59º.. A befogók: a» 8,6 cm; b» 8,6 cm. A hegesszögek: a» 65,9º; b»,08º; 68 T = cm, 087 cm. 9. a) a» 75,5º; T» 7557,8 m. b) A maimális területû játéktér oldalai 9,6 m és 7,9 m, területe T» 8779, m. 5. a) a = 50º; b = 60º; g = 70º. b) a»,06 cm; b»,6 cm; c»,76 cm; T»,99 cm. c) T a»,5 cm ; T b»,6 cm ; T c»,6 cm. 6. A belsõ szögfelezõk által meghatározott négszög szögei valamelik körüljárási iránban: 87,5º; 5º; 9,5º; 65º. Ha eg konve négszög belsõ szögfelezõi közrefognak eg négszöget, akkor az mindig húrnégszög. 7. a) Az oldalfelezõ pontok által meghatározott négszög téglalap, íg az eredeti négszög átlói merõlegesek egmásra. b) Az oldalfelezõ pontok által meghatározott négszög rombusz, íg az eredeti négszög átlói egenlõ hosszúak. 7
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. a) n = 9; b) n (a sokszög oldalszáma) lehetséges értékei:, 5, 6, 7, 8. 9. A sokszög oldalainak száma: n = k +. 0. A legkisebb szög 7º-os, a legnagobb 7º-os. 5. Koordinátageometria. a) A'(; 0), B'(8; ), C'( 6; ) b) c) S ; 8 97 8 60 89 d) K ABC = ( 5 + 58 + ), 6 e) T ABC = 86. Az érintõ egenlete: + =.. A csúcsok koordinátái (0; 0), (0; ), (; 0), a háromszög területe 6 egség.. A H ( ; 5) harmadoló pontra illeszkedõ érintõk egenlete = és 8 5 = 5, a H ( ; 7) harmadoló pontra illeszkedõ érintõk egenlete pedig = + 6 + 9 + 7 7 és = 6 + 9 7. 7 6 5. A súlpontok halmaza az = + egenletû egenes kivéve a ; pontot, 9 9 uganis ekkor nem jön létre háromszög. 6. a) a = ; a = b) a = 7. T = 9 8. A két érintõ hajlásszöge»,06. 9. a= ; T =. 0. a) b) c) 8 7 6 5 5 5 5 5 5 5 8
Középszintû érettségi gakorló feladatsorok. Feladatsor I. rész. Az osztást elvégezve: : 7 = 0,857..., ezután a maradék újra lesz, íg ismétlõdnek a számjegek. A szakaszos tizedestört szakasza 6 jegbõl áll. ( pont) A 005 maradékot ad 6-tal osztva, íg a tizedesvesszõ utáni 005-ödik számjeg az. ( pont). A pálca és az árnéka által meghatározott derékszögû háromszög hasonló a toron és az árnéka által meghatározott derékszögû háromszöghöz. ( pont) Íg a toron magassága: m = 5 = = Tehát a toron 0 m magas. ( pont) 075 5 0.,. Ránézésre adódik a * = megoldás, hiszen =. ( pont) 5 5 Azonban az egenletnek van más megoldása is. Átrendezve a * + * 0 = 0 egenlethez 0 jutunk, melnek a megoldóképlet alapján két megoldása van: * = és * =. Ezek valóban megoldásai az eredeti egenletnek, hiszen * ¹ 0. Tehát a * helére írható számok 0 halmaza { ; ( pont) }. Természetesen a pont akkor is jár, ha rögtön a másodfokú egenlet megoldásával kezd és kapja meg a * = megoldást is.). Az. lámpának megfelelõ sávban haladó jármûvek csak az 5. sávban haladókat akadálozzák, íg az. lámpa csak azért piros, hog az 5. lámpa zöld lehessen. ( pont) Ekkor a. és. lámpa szintén piros kell legen, viszont a. és a 6. lehet zöld. ( pont) 5. A hatvánozás azonosságait alkalmazva: z = (a) b = b a b = ( ) b a b a b = (a) b a b. ( pont) Ebbõl = a. ( pont) 6. Ha mindegik szám uganannival nõ (vag csökken), az átlaguk is annival nõ (vag csökken), íg az elsõ lépés után lesz. ( pont) Mivel mindegik számot megszoroztuk -gel, az átlaguk is -szeres lett, azaz 88. Ezután mindegik számot csökkentettük 0-zel, az átlaguk is 0-zel csökkent, íg végül 78 lett. ( pont) (Számolhattunk volna végig az öt szám összegével, de mivel a számok száma nem változott, mindegikkel uganazt csináltuk, ezért a fenti megoldás is megfelelõ.) 7. A tank 0,7 részének és = 05, részének különbsége, azaz a 0,5 része 8 liter. ( pont) 8 Ekkor a tank = 0 liter. Tehát az autó tankja 0 literes. ( pont) 05, 9
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. A körök helzete miatt mindkét kör sugara cm. Az ABC és az ABD háromszögek egenlõ oldalúak, íg a CAD<) = CBD<) = 0º. ( pont) A teljes szög 60º, és a körív hossza arános a középponti szöggel, ezért a vastag vonallal jelzett út a cm sugarú kör kerületének része, azaz 00 5 ( pont) p = p, cm. 9. Mivel minden lehetõség egformán valószínû, klasszikus valószínûségi modellrõl van szó, amikor a valószínûség a kedvezõ és az összes eset számának hánadosa. A 6 =8 versenzõ versenzõ közül az elsõ három helezettet a sorrend figelembe vétele nélkül 8 féleképpen választhatjuk ki, enni az összes eset. ( pont) Kedvezõ, ha mind a három dobogós eg iskolából jött, 6 iskola van, ezért ez 6 féleképpen lehetséges. ( pont) 6 Tehát a keresett valószínûség: = 0, 007. ( pont) 8 6 Megjegzés: Uganerre az eredménre jutunk, ha a kedvezõ és az összes eset számolásánál is figelembe vesszük a sorrendet, ekkor a valószínûséget a következõképpen írhatjuk fel: 6!. 8 7 6 0. Az uszoda hosszának 90-szerese km, íg az uszoda hossza 000 : 90 =,. m. ( pont) A kerülete 000 : 5 = 0 m, két szomszédos oldalának összege a kerület fele: 60 m, íg a medence szélessége 60,. = 6,6. m. ( pont) A területe 6,6.,.» 888,9 m. Tehát a medence területe közelítõleg 889 m. ( pont). A négzetre emelést elvégezve a következõt kapjuk: 0 8n +6 + 0 n +8 +. ( pont) Ebben két darab -es és eg darab -es számjeg szerepel, azaz a számjegek összege. ( pont). Mivel mindegik háromjegû számot uganakkora eséllel választhatjuk, klasszikus valószínûségi modellról van szó. Háromjegû szám 999 99 = 900 darab van, enni az összes lehetõség. ( pont) Ahhoz, hog log N egész szám legen, N a valamel egész kitevõs hatvána kell legen. A hatvánok közül a háromjegûek: 8, 56, 5. ( pont) Tehát a keresett valószínûség: 900 =. 00 ( pont). Feladatsor II. rész /A. a) Ha a kiírt ár, 0% engedmén után 0,9 lesz. ( pont) A 900 forintos áru 0% haszonnal, 900 = 080 Ft. ( pont) 080 Ezek egenlõségébõl = = 00 Ft. Tehát a kereskedõnek 00 Ft-os árat kell 09, kiírni. ( pont) 0
b) A háromszori csökkenés után az ár: 00 0,9 0,9 0,9 = 00 0,79 = 87,8 Ft. ( pont) Ez az eredeti ár 0,9 0,9 0,9 = 0,79 része, azaz 7,9%-a. ( pont) ( 5 ) 5 5 = =. a) Átalakítva az egenletet: 0. a jelöléssel az egenlet: a a = 0, a megoldóképlet alapján a = és a =. ( pont) Ebbõl = 5 = és = ( ) 5 =. Az egenlet megoldásai tehát a és a. ( pont) b) A második egenlet -szerese: 6 +6 =. Íg =. ( pont) Az elsõ egenletbõl + =, amibõl =. ( pont) Az = egenletbe behelettesítve: ( ) =, azaz + = 0, másképp ( ) = 0, aminek eg megoldása az =. ( pont) Ekkor = =. Tehát az egenletrendszer megoldása = és =. ( pont) 5. a) Mivel E és F harmadolópontok, DE = EF = FC, íg az ADE, AEF, AFC háromszögek területe egenlõ, hiszen magasságuk uganaz. Hasonlóképpen G, H harmadolópontok, íg AG = GH = HB, az ACG, GCH, HCB háromszögek területe egenlõ, mert magasságuk uganaz. Tehát igazságos az osztozkodás, ha mindegik testvér eg-eg darabot kap az ABC és az ACD háromszögbõl is. (5 pont) b) A három testvér eg-eg darabot kap az ABC háromszögbõl, az ACG háromszöget gerek kaphatja, a GCH háromszöget ezután már csak gerek, ekkor a HCB háromszög egértelmûen a harmadiké, ez = 6 lehetõség. ( pont) Uganíg az ADC háromszögben levõ háromszögeket is 6-féleképpen oszthatják el. ( pont) Mivel mindegik testvérnek mindkét nag háromszögbõl kell kapni eget-eget, a lehetõségek száma: = 9. Tehát 9-féleképpen osztozhatnak igazságosan az örökségen. ( pont) 6. a) A számtani sorozat tagjai: a, a + d, a +d,..., a 50 = a +9d, a 5, a 5 + d, a 5 +d,..., a 00 = a 5 +9d. ( pont) Íg az elsõ 50 és a következõ 50 tag különbsége: 50 (a 5 a ) = 500. ( pont) Mivel a 5 = a +50d, íg d =. ( pont) Az elsõ 50 tag összege: 50 a + 9 = 00, amibõl a = 0,5. Tehát a sorozat elsõ tagja: 0,5. ( pont) b) Könnebb dolgunk van, ha a répában maradt lé aránát számoljuk. Az elsõ nomás után a répában levõ lé része marad benne, a második után a s.í.t., az n-edik nomás után a része marad benne, ennek kell -nál kisebbnek lenni: n, n <. ( pont) lg Mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát véve: n lg < lg, amibõl n >, mert lg
SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE lg < 0. Ebbõl n >,8. Tehát legalább nomás szükséges, hog a répában levõ lének legalább részét kinomjuk. (Erre az eredménre logaritmus nélkül, próbálgatással is eljuthatunk.) ( pont) Megjegzés: Természetesen uganerre az eredménre juthatunk, ha a répából kinomott lét számoljuk, az n-edik nomás után ez: + + + + n n =... >.. Feladatsor II. rész / B 7. a) A lánok számát L-lel, a fiúkét F-fel jelölve a lánok pontjainak összege 8L, a fiúké 8L+ 7F 7F, íg az osztálátlag: = 80. ( pont) L+ F Ebbõl L = F, azaz a lánok száma -szorosa a fiúk számának. ( pont) Uganerre az eredménre jutunk, ha meggondoljuk, hog a fiúk átlagpontszáma 9-cel kevesebb, a lánoké -mal több, mint az osztálátlag. Íg az osztállétszám F, aminek F a része, vagis a 75%-a. Tehát a lánok száma 75%-a az osztállétszámnak. ( pont) b) Ha valaki minden kérdésre helesen válaszolt, 5 5 = 5 pontot szerzett, ezért 7 pontot nem lehet szerezni, András biztosan tévedett. ( pont) A következõ legmagasabb pontszám úg lehetséges, ha valaki kérdésre jó választ adott, -et üresen hagott, ez 5 + = pontot jelent. Tehát Bence biztosan tévedett, míg Csaba mondhatott igazat. ( pont) A következõ legmagasabb pontszám úg lehetséges, ha valaki kérdésre jó választ adott, -re rosszat, ez 0 pontot ér. A következõ lehetséges pontszám jó válasz és üres esetén lehet, ez 5 + = = 7. Ezért Dénes Biztosan tévedett. ( pont) jó, üres, rossz válasz 6 pont, jó, rossz válasz 5 pont, ezért Endre mondhatott igazat. ( pont) 8. A Földön levõ vizek 5,7 + 5, + 0,7 = 97,9%-a sós víz. (Másképp: 00,7 = = 97,9%). Íg a sós víz térfogata 0,979 87,5 0 5» 50 0 5 m =,5 0 8 m, a maradék édesvíz térfogata 7,5 0 5 m. (5 pont) A sós víz tömege: 05,5 0 8 = 97,5 0 8»,97 0 kg. Az édesvíz tömege: 000 7,5 0 5» 0,08 0 kg. Tehát a Földön levõ víz tömege:,5 0 kg. ( pont) A feladat megoldásából láthatjuk, hog a Földön levõ víz tömege nagobb, mint a levegõé.
9. a) A toron alapjánál = 0, ez akkor lehet, ha = azaz = 6,5 m. A toron szélessége ennek kétszerese, azaz 5 m. ( pont) 6 5,, 5, 75 b) A. szinten = 5,75, íg 5, 75 = 9 ln, amibõl = 6, 5 e 9 6, 5» 7,5 m. Ez a toron szélességének fele, íg a. szinten a toron szélessége: 5,0 m» 5 m. (5 pont) c) A toronból a horizonthoz vezetõ szakasz a gömböt érinti, íg a következõ ábrát rajzolhatjuk, ahol a kör a földgömb középpontján átmenõ síkmetszete, HT a kör érintõje, OH a sugara, OT pedig a Föld sugaránál a terasz magasságával nagobb. Íg a Pitagorasz-tétel alapján: HT = 67076 6,7 0 = 0,580 0 0,5769 0 = 5 0 8, amibõl HT = 5,96 0 m» 60 0 m. Tehát a. szinten levõ teraszról 60 km-re lehet ellátni. (9 pont)