10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal.
Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás: Vegyük észre, hogy egy invertálható felső trianguláris mátrix főátlójában csupa 0-tól különböző elem van, különben a determinánsa 0 lenne. Ha az inverzét elemi bázistranszformációval számítjuk, akkor először kiválasztva a főátló első, majd második, stb. elemét, a főátló alatt minden elem 0 marad (ld.: a példát). Ugyanakkor ha elemi bázistranszformációk során minden generáló elemet a főátlóból választunk ki, akkor az indexek nem fognak összekeveredni, így nincs szükség sor- és oszlopcserékre. Tehát az inverz a táblázatban szereplő felső trianguláris mátrix lesz.
Gondolkodnivalók Mátrix inverze Például: v 1 v v 3 e 1 1 3 e 0 1 1 e 3 0 0 1 e 1 v v 3 v 1 1 3 e 0 1 1 e 3 0 0 1 tehát e 1 e x 3 v 1 1 1 v 0 1 1 e 3 0 0 1 1 3 0 1 1 0 0 1 1 = e 1 e e 3 v 1 1 1 v 0 1 1 v 3 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1.,
Az előző előadáson csak az AX = B alakú mátrixegyenletekről volt szó, CSAK azokra működik az az elemi bázistranszformációs megoldás. A transzponálás segítségével visszavezethető egy XA = B típusú mátrixegyenlet egy AX = B típusúra: (XA) T = B T A T X T = B T. Azonban fontos megjegyezni, hogy ekkor az elemi bázitranszformációval kapott mátrixot transzponlálni kell, ahhoz hogy megkapjuk X -et. Gondolkodnivalók Mátrix inverze. Gondolkodnivaló Hogyan oldanánk meg XA = B típusú mátrixegyenleteket? Oldjuk meg a következőt: ( ) 3 3 0 X = 1 0. 1 3 4 9
Gondolkodnivalók Mátrix inverze A feladatban szereplő példa: ( 0 X 1 3 ) 3 = 3 1 0 4 9. Transzponáljuk: ( 1 0 3 ) ( X T 3 1 4 = 3 0 9 ). x 1 x b 1 b b 3 e 1 1 3 1 4 e 0 3 3 0 9 x 1 b 1 b b 3 x 3 1 4 e 6 1 3 1 b 1 b b 3 x 1 0 3 x 1 1 7
Gondolkodnivalók Mátrix inverze b 1 b b 3 x 1 0 3 x 1 1 7 Nem kaptunk ellentmondást, és nem maradt szabad ismeretlen, így pontosan egy megoldás van. Mivel x 1 és x fordított sorrendben szerepel a táblázatban, úgy kapjuk meg X T -at, ha megcseréljük a táblázat sorait: ( X T 1 7 = 1 0 3 ). Az X T mátrixot transzponálva megkapjuk X -et: 1 X = 1 0. 7 3 A megoldásunk helyességét célszerű ellenőrizni.
Sajátérték, sajátvektor Definíció Az A n n-es mátrixnak sajátértéke a λ valós szám, ha van olyan v R n nem-zérusvektor, melyre A v T = λv T. Definíció Az A n n-es mátrixnak sajátvektora a v R n nem-zérusvektor, ha van olyan λ R valós szám, melyre A v T = λv T. Megjegyzés A definíciókban azért szerepel v T, mert R n elemeit sorvektorokként írjuk, de itt jobbról szorzunk a vektorral egy mátrixot, amit csak akkor tudunk elvégezni, ha oszlopvektorként szerepel.
Mátrix sajátértéke, sajátvektora Példa ( ) 1 Az A = mátrixnak sajátértéke a 3, és sajátvektora az (1, ), mert ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 1 = = ( 3). 6
Sajátértékek meghatározása Az Ax T = λx T feltétel valójában egy homogén lineáris egyenletrendszerre vezet, ugyanis Ax T = λx T (A λe)x T = 0. Azt kell vizsgálni, hogy ennek a homogén lineáris egyenletrendszernek milyen feltételek mellett van nemtriviális megoldása (ugyanis definíció szerint x nem-zérusvektor). Ha A n n-es mátrix, akkor a fenti egyenletrendszer megoldásakor n r db szabad változó marad (ahol r az A λe mátrix rangja). Mivel homogén lineáris egyenletrendszernek pontosan akkor van nemtriviális megoldása, ha van szabad változója, így ez akkor teljesül, ha A λe rangja kisebb, mint n, vagyis ha az A λe mátrix determinánsa 0. Tétel Az A mátrixnak λ pontosan akkor sajátértéke, ha az A λe mátrix determinánsa 0.
Definíció Az A xe polinomot az A mátrix karakterisztikus polinomjának nevezzük. Tétel A λ valós szám pontosan akkor sajátértéke az A mátrixnak, ha λ gyöke A karakterisztikus polinomjának. Példa Határozzuk meg a ( 3 1 0 ) mátrix sajátértékeit. A mátrix karakterisztikus polinomja: 3 x 1 x = x 3x +. Az x 3x + = 0 egyenlet megoldásai: 1,. Tehát a mátrix sajátértékei: 1,.
Példa Határozzuk meg a ( 3 1 4 0 ) mátrix sajátértékeit. Karakterisztikus polinom: 3 x 1 4 x = x 3x + 4. Az x 3x + 4 = 0 egyenlet megoldásánál a diszkrimináns negatív (D = ( 3) 4 1 4 = 5), így az x 3x + 4 polinomnak nincs valós gyöke, azaz a mátrixnak nincs valós sajátértéke.
Sajátaltér meghatározása Tétel Mátrix adott sajátértékhez tartozó sajátvektorai alteret alkotnak. Ezen altér neve: az adott sajátértékhez tartozó sajátaltér. Tétel Az A mátrix λ sajátértékéhez tartozó sajátalterének egy bázisa éppen az (A λe)x T = 0 homogén lineáris egyenletrendszer egy fundamentális rendszere. Példa Adjuk meg az A = 5 5 0 3 1 0 0 mátrix sajátértékéhez tartozó sajátalterét.
Az (A E)x T = 0 homogén lineáris egyenletrendszer: 0 5 5 0 1 1 0 x 1 x x 3 = 5x + 5x 3 x + x 3 x x 3 = 0 0 0. Azaz 5x + 5x 3 = 0 x + x 3 = 0 x x 3 = 0. Ennek az egyenletrendszernek egy megoldása: x 1, x 3 szabad változó, és x = x 3. Így a sajátaltér egy bázisa: (1, 0, 0), (0, 1, 1).
Ellenőrzés: 5 5 0 3 1 0 0 5 5 0 3 1 0 0 1 0 0 0 1 1 = = 0 0 0 = = 1 0 0, 0 1 1.
Definíció Kvadratikus alakok Kvadratikus alaknak hívjuk a homogén másodfokú többhatározatlanú polinomokat. Példa A következő polinomok: x 1, x 1 x 1 x + x, x 1 + x 3 x 1 x 3 kvadratikus alakok, hiszen bennük minden tag pontosan másodfokú, de az x 1 x, x 1 x x 3 nem kvadratikus alakok.
Kvadratikus alak mátrixa Bármely kvadratikus alak a következőképpen írható: xax T = n n a ij x i x j, i=1 j=1 azonban ha i j, akkor a fenti felírásban a ij x i x j és a ji x j x i is szerepel. Természetes feltenni, hogy a ij = a ji, vagyis a ij és a ji éppen az x i x j szorzat együtthatójának a fele. Ha ezt a feltevést tesszük, akkor a kvadratikus alak mátrixa: a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n A =...... a 1n a n... a nn szimmetrikus mátrix.
Példa Az 5x1 3x 1x + 4x 1 x 3 x + 3x x 3 4x3 kvadratikus alak mátrixa: 5 3 3 3, 3 4 vagyis a mátrix főátlójába kerülnek a négyzetes tagok együtthatói, a többi elem pedig a megfelelelő vegyes tag együtthatójának a fele lesz: például az 1. sor 3. eleme éppen az x 1 x 3 együtthatójának, a 4-nek a fele, de ugyanúgy kerül az 1. oszlop 3. elemébe is. Az xax T a kvadratikus alakot adja vissza: 5 3 x 1 (x 1 x x 3 ) 3 3 x = 3 4 x 3 = 5x1 3x 1x + 4x 1 x 3 x + 3x x 3 4x3.
Kanonikus alakra hozás Definíció Az olyan kvadratikus alakokat, melyekben nincs vegyes tag, kanonikus alakú kvadratikus alakoknak nevezzük. Példa Kanonikus alak: x 1 + x x 3 vagy x 1. Egy kvadratikus alak kanonikus alakra hozható a mátrixának felhasználásával is, ha kinullázzuk a kvadratikus alak mátrixának sorait és oszlopait is. Eltérés a Gauss-eliminációhoz képest, hogy itt az oszlopokat és a SOROKAT IS ki kell nullázni, és mindenképpen a mátrix főátlójába eső elemmel.
Megengedett lépés A kvadratikus alak mátrixán a következő átalakítás végezhető: a mátrix i. sorának c-szeresét hozzáadjuk a mátrix j. sorához, majd ezután a mátrix i. oszlopának c-szeresét hozzáadjuk a mátrix j. oszlopához. Példa Hozzuk kanonikus alakra az kvadratikus alakot. x 1 x 1 x + 4x 1 x 3 + x x x 3 + x 3 A kvadratikus alak mátrixa: 1 1 1 1. 1 1
Először a főátló első elemével nullázzuk ki az oszlopát, majd a sorát. 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1. 1 1 0 1 3 0 1 3 A következő lépésben a főátló második eleme segítségével nullázzuk ki az oszlopát és a sorát: 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0. 0 0 4 0 0 4 Tehát a kvadratikus alak (egyik) kanonikus alakja y 1 + y 4y 3. Megjegyzés A kanonikus alakra hozás során a változók száma csökkenhet. Például az x1 + x 1x + x kvadratikus alak (egyik) kanonikus alakja y1.
Egy trükk Mi van akkor, ha egy kvadratikus alak mátrixának a főátlójában nincs alkalmas nem-0 elem, amivel ki lehetne nullázni az oszlopát / sorát? Ekkor végre kell hajtani egy speciális átalakítást a mátrixon: keresni kell egy olyan sort, melyben a főátlóban lévő elem 0, viszont van 0-tól különböző elem a sorban, majd ezt a nem-0 elemet be kell vinni a főátlóba a következő példában leírt módon. Példa Határozzuk meg a x 1 + x x 3 kvadratikus alak kanonikus alakját. A mátrixa: 1 0 0 0 0 1 0 1 0. Látható, hogy nincs alkalmas "nullázó elem" a főátló. helyén.
A következőképpen állíthatunk elő "nullázó elemet": adjuk hozzá a 3. sor felét a. sorhoz, és a 3. oszlop felét is a. oszlophoz: 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1. 0 1 0 0 1 0 0 1 0 Most már van megfelelő "nullázó elem": 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 Így az (egyik) kanonikus alak: y 1 + y y 3. 1 0 0 0 1 0 0 0 1.
Tehetetlenségi tétel FONTOS: a kanonikus alak nem egyértelműen meghatározott, valójában a változók "összekeveredhetnek", illetve az együtthatóik is megváltozhatnak (kivéve az előjelüket). Tehetetlenségi tétel Kvadratikus alak kanonikus alakjában a pozitív, illetve negatív együtthatójú négyzetes tagok száma meghatározott. Megjegyzés Ha egy kvadratikus alak (egyik) kanonikus alakja például x 1 + x, akkor nem lehet egy másik kanonikus alakja y 1 y + y 3. Vagyis a kvadratikus alak kanonikus alakjaiban szereplő pozitív, illetve negatív indexek száma a kvadratikus alak egy jellemzője.
Kvadratikus alakok osztályozása (értékkészletük szerint) Definíció Egy n változós q kvadratikus alakot pozitív definitnek nevezünk, ha bármely x 1,..., x n esetén q(x 1,..., x n ) 0, és q(x 1,..., x n ) = 0 csak akkor, ha x 1 =... = x n = 0, pozitív szemidefinitnek nevezünk, ha bármely x 1,..., x n esetén q(x 1,..., x n ) 0, és van olyan (x 1,..., x n ) 0, melyre q(x 1,..., x n ) = 0, negatív definitnek nevezünk, ha bármely x 1,..., x n esetén q(x 1,..., x n ) 0, és q(x 1,..., x n ) = 0 csak akkor, ha x 1 =... = x n = 0, negatív szemidefinitnek nevezünk, ha bármely x 1,..., x n esetén q(x 1,..., x n ) 0, és van olyan (x 1,..., x n ) 0, melyre q(x 1,..., x n ) = 0, indefinitnek nevezünk, ha felvesz pozitív és negatív értékeket is.
Példa A q = x1 + x kétváltozós kvadratikus alak pozitív definit, hiszen x1 + x 0, és x 1 + x = 0 x 1 = x = 0. Az q = x1 + x 1x + x kétváltozós kvadratikus alak pozitív szemidefinit, hiszen x1 + x 1x + x = (x 1 + x ) 0, ugyanakkor (x 1 + x ) = 0 teljesül, ha x 1 = x pl: q( 1, 1) = 0. A q = x1 3x 1x + x kétváltozós kvadratikus alak indefinit, hiszen q(1, 0) = 1 > 0 és q(1, 1) = 1 < 0.
Kvadratikus alakok osztályozása (kanonikus alakjuk szerint) Egy n változós kvadratikus alak pontosan akkor pozitív definit, ha kanonikus alakjában n db pozitív együtthatójú változó van, pozitív szemidefinit, ha kanonikus alakjában csak pozitív együtthatójú változó van, de n-nél kevesebb, negatív definit, ha kanonikus alakjában n db negatív együtthatójú változó van, negatív szemidefinit, ha kanonikus alakjában csak negatív együtthatójú változó van, de n-nél kevesebb, indefinit, ha kanonikus alakjában van pozitív és negatív együtthatójú változó is.
Példa Határozzuk meg az x1 + x 1x 3 + x + x x 3 + x3 osztályát. kvadratikus alak A kvadratikus alak mátrixát diagonális alakra hozzuk: 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0. Így a kanonikus alak: y1 + y. A kanonikus alakban csak pozitív együtthatók vannak, azonban a változószáma csökkent (3-ról -re), ezért pozitív szemidefinit a kvadratikus alak. Ellenőrzésképpen: ha x 1 = 1, x = 1, x 3 = 1, akkor a kvadratikus alak értéke tényleg 0.
Pozitív definit kvadratikus alakok A pozitív definit kvadratikus alakok máshogy is jellemezhetők. Először szükség van a főminor fogalmára: Definíció: Négyzetes mátrix k. főminorán az első k sor, illetve első k oszlop kiválasztásával adódó aldeterminánsát értjük. Példa 1 1 1 3 0 0 0 mátrix főminorai: 1, 1 1 1 3 =, és a teljes determináns, aminek értéke 4 (vegyük észre, hogy n n-es mátrix esetén az 1. főminor mindig a mátrix bal felső eleme, az n. főminor mindig éppen a mátrix determinánsa).
Pozitív definit kvadratikus alakok Tétel Egy kvadratikus alak pontosan akkor pozitív definit, ha minden főminora pozitív (azaz nem lehet 0 sem). Példa x 1 3 x 1x + 4x 1 x 3 + 3x + x x 3 + 40x 3 kvadratikus alak pozitív definit, hiszen mátrixa: 1 3 1 3 3, 40 melynek főminorai pozitívak:, 3 1 9, 350 3 148 9.
Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez tartozó sajátaltér egy bázisát. A = 4 3 4 1 α 5 6 α.
Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak. Gondolkodnivaló Vegyük észre, hogy egy q kvadratikus alak pontosan akkor negatív definit, ha q pozitív definit. Ezt felhasználva adjuk meg a negatív definit kvadratikus alakok jellemzését a mátrixuk főminorai segítségével.