Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea Csercsik Dávid ITK PPKE Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 1 / 40
1 CSC Core 2 Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték A Nukleólusz 3 Kombinatorikus játékok Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 2 / 40
CSC Core CSC Core P - partíció: Részhalmazok uniója, ami lefedi N-t. Pl: n=6-ra: {1, 3}, {2}, {4, 5, 6} (x, P) - kimenetel (outcome) CSC CSC = (x, P) { x(s) v(s) S P x(s) v(s) S N ] Kiegyensúlyozottság LP {max s λ s v(s) st. λs e S = e N λ s 0} ahol e S {0, 1} N - koaĺıciós indikátorvektor. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 3 / 40
CSC Core II CSC Core IP pv(n) = {max s λ s v(s) st. λs e S = e N λ s {0, 1}} x(n) maxlp maxip = pv(n) v(n) Ha az első egyenlőtlenség igaz akkor a játék kiegyensúlyozott. Ekkor CSC Kapcsolat a szuperadditivitással: Ha van olyan partíció ahol x(n) > v(n) biztos hogy nem szuperadditív a játék (a nagykoaĺıció esetén sérül a tulajdonság) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 4 / 40
CSC Core III CSC Core pl. λ i,j = 1/2 ha i, j {A, B, C} A B C D E V v 1 1 1 0 0 0 2 0 0 0 1 1 1 4 1 1 0 0 0 0 2 0 1 1 0 0 0 2 1 0 1 0 0 0 2 Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 5 / 40
Shapley-érték Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Súlyozott szavazási játék Példa 4 játékos: A, B, C és D. A szavazati súlyaik rendre 5, 3, 3, 1. Csak olyan határozat fogadható el, ahol a támogatók összsúlya legalább 6. Számoljuk ki a szavazási befolyásukat a Banzhaf-index és a Shapley-érték alapján is! Shapley-érték Motiváció A játékosok egyenként, véletlenszerű sorrendben érkeznek. Minden játékos megkapja fizetségképpen a hozzájárulását az adott koaĺıcióhoz. A Shapley érték (φ) a hozzájárulások várható értéke tekintve az összes lehetséges sorrendet, ahol minden sorrend egyaránt valószínű. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 6 / 40
Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Shapley-érték Definíció Minden i N és S 2 N esetén, ahol i S, az i játékos határhozzájárulása az S koaĺıcióhoz m i (S) = v(s {i}) v(s) A Shapley-érték: φ i (v) = S N\{i} S!(n S 1)! m i n! Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 7 / 40
Megoldás Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Shapley-érték ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA A játékosok 4! = 24 féle sorrendben érkezhetnek. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 8 / 40
Megoldás Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Shapley-érték ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA Az A játékos összesen 10-szer volt kritikus. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 9 / 40
Megoldás Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Shapley-érték ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA A B játékos összesen 6-szor volt kritikus. Értelemszerűen a C játékos is ennyiszer. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 10 / 40
Megoldás Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Shapley-érték ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA A D játékos összesen 2-szer volt kritikus. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 11 / 40
Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Megoldás Shapley-érték A = 10 24, B = 6 24, C = 6 24, D = 2 24 A Shapley-érték ebben a példában egybeesett a Bhanzaf-indexszel, de ez merő véletlen. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 12 / 40
Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Súlyozott szavazási játék (régebbi példa) A régebbi példa Az EU tanácstagok Shapley-értéke Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 13 / 40
Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Shapley-érték Súlyozott szavazási játék (régebbi példa) A régebbi példa Az EU tanácstagok Shapley-értéke Ország Súly φ i (v) Németország 4 0.2333 Olaszország 4 0.2333 Franciaország 4 0.2333 Hollandia 2 0.15 Belgium 2 0.15 Luxemburg 1 0 Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 13 / 40
Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban Költségjáték Shapley értéke A Shapley-érték v(s) = c(s) pl taxi költségének szétosztása: A játékosok 3! = 6 féle sorrendben érkezhetnek. c(a) 80 c(b) 56 c(c) 70 c({ab}) 80 c({ac}) 85 c({bc}) 72 c({abc}) 90 Sorrend m A m B m C ABC 80 0 10 ACB 80 5 5 BAC 24 56 10 BCA 18 56 16 CAB 15 5 70 CBA 18 2 70 39.2 20.7 30.2 Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 14 / 40
A Nukleólusz Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Nukleólusz Csődjáték: d 1 = 100, d 2 = 200, d 3 = 300, E = 400 legyen x = [66.66 133.33 200], y = [50 125 225] v(1) 0 v(2) 0 v(3) 100 v({1,2}) 100 v({1,3}) 200 v({2,3}) 300 v({1,2,3}) 400 profit x y e(1) 66 50 e(2) 133 125 e(3) 100 125 e({1,2}) 100 75 e({1,3}) 66 75 e({2,3}) 33 50 θ (x) : [33 66 66 100 100 133] θ (y) : [50 50 75 75 125 125] Nukleólusz: A min legyen max. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 15 / 40
Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Nukleólusz A Nukleólusz II Profit Legyen x R n egy szétosztás, ekkor S koaĺıció profitja (excess) e(s, x) := x(s) v(s). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 16 / 40
Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Nukleólusz A Nukleólusz II Profit Legyen x R n egy szétosztás, ekkor S koaĺıció profitja (excess) e(s, x) := x(s) v(s). Profitvektor Egy adott x R n elosztásvektorhoz, tartozik egy θ(x) R 2n 2 profitvektor, ami a 2 n 2 profitot tartalmazza nem-csökkenő sorrendben (az N-hez és a -hez tartozó triviális profitokat nem tekintjük). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 16 / 40
Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Nukleólusz A Nukleólusz II Profit Legyen x R n egy szétosztás, ekkor S koaĺıció profitja (excess) e(s, x) := x(s) v(s). Profitvektor Egy adott x R n elosztásvektorhoz, tartozik egy θ(x) R 2n 2 profitvektor, ami a 2 n 2 profitot tartalmazza nem-csökkenő sorrendben (az N-hez és a -hez tartozó triviális profitokat nem tekintjük). Nukleolusz A nukleolusz az az x R n + elosztás, ami lexikografikusan maximalizálja θ(x)-et I (N, v) felett, ahol I (N, v) jelöli az elosztások (imputációk) halmazát. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 16 / 40
Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Nukleólusz A Nukleólusz III Definíció Legyen θ (x) azon permutációja a θ(x) vektornak, melyben a vektor elemei növekvő sorrendben követik egymást. Azt mondjuk hogy θ(x) is leximin superior θ(y)-hoz képest (θ(x) θ(y)) ha ( k)(θ (x) i = θ (y) i )( i < k) és (θ (x) k > θ (y) k ) Az (N, V ) játék nukleólusza: NC(N, V ) = {x X (N, V ) : y X (N, V ), e(y) e(x)} Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 17 / 40
Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Nukleólusz IV - példa 2 A Nukleólusz v({1, 2, 3}) = 42, v({1, 2}) = 20, v({1, 3}) = 30, v({2, 3}) = 40, v({i}) = 0 i N x = (14, 14, 14) θ (x) = [ 12, 2, 8, 14, 14, 14] (A legrosszabbul járó koaĺıció {2, 3}) Nézzük pl. y = (4, 24, 14) θ (y) = [ 12, 2, 4, 8, 14, 24] x y z = (4, 14, 24) θ (y) = ( 2, 2, 2, 4, 14, 24) z = NC(N, V ) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 18 / 40
Megjegyzések Kitüntetett értékek CFF kooperatív játékokban A Nukleólusz A Shapley érték hatékony: ϕ i (v) = v(n) i N A Shapley érték szimmetrikus: ( i, j)(v(s {i}) = v(s {j}))( S N)(i, j / S) ϕ i (v) = ϕ j (v) A nukleólusz kiszámítása nem konstruktív, és nagyon nehéz is lehet (általában megoldatlan probléma, vannak játéktípusok ahol a megoldás ismert - pl csődjáték) Ha a mag nemüres, a nukleólusz mindig a magban van. Ha a játék nem konvex, a Shapley érték a magon kívül is eshet. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 19 / 40
Kombinatorikus játékok Kombinatorikus játékok Egy játékot kombinatorikusnak nevezünk, ha igazak rá az alábbi feltételek Kétszemélyes, szekvenciális A játéknak 3 lehetséges kimenetele lehet (valamelyik játékos győz, vagy döntetlen) Adott egy G = (P, L) irányított gráf. A gráf csúcsai (P) a játék lehetséges pozíciói, míg az élek (L) a lehetséges lépéseknek felelnek meg. Adott továbbá egy p 0 P kezdőállás. Végesfokú: Minden állásból csak véges sok másikba lehetséges lépni. Tetszőleges p 0 kezdőállásból a játék véges sok lépésen belül véget ér, akárhogyan is játszanak. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 20 / 40
Kombinatorikus játékok Sakk A sakk komplexitása Egy átlagos sakkparti 40 lépésig tart, azonban az emberi játékosok hajlamosak feladni, ha az ellenfél döntő fölénybe kerül. Egy mattig játszó gép számára átlagosan 80 lépésig tart egy parti. Egy állásban kb. 30-35 lehetséges lépést tehet az egyik fél, azaz egy lépéspár hozzávetőleg 10 3 változatot jelent. Lehetséges pozíciók száma kb. 10 50 Lehetséges sakkjátszmák száma kb. 10 120 Atomok becsült száma az univerzumban 10 80 Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 21 / 40
Kombinatorikus játékok Go A Go komplexitása Egy mesterek által játszott Go játszma átlagosan 150 lépésig tart és a lehetséges lépések száma egy állásban kb. 250 (19 19-es táblát feltételezve). Lehetséges pozíciók száma kb. 10 170 Lehetséges Go játszmák száma kb. 10 360 Ez azt is megmagyarázza miért nem sikerült eddig olyan programot írni, ami Go-ban meg tudná verni a mesterjátékosokat. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 22 / 40
További definíciók Kombinatorikus játékok Definíció Normál játéknak nevezzük azt a játékot, amelyben az utolsónak lépő játékos nyer. Betli játék esetén éppen fordítva, az nyer aki nem tud lépni. Ha a nyerő pozíciók és lehetséges lépések halmaza, minden játékos számára ugyanazok, akkor a játékot személytelennek hívjuk, egyébként partizán játékról beszélünk. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 23 / 40
Kombinatorikus játékok További definíciók Stratégia Stratégia alatt egy P P függvényt értünk, amely minden P beli helyzethez, amelyik nem nyelő hozzárendeli egy szomszédját (tehát egy olyan pozíciót, ami egy lépésen belül elérhető). Egy stratégiát nyerőnek nevezünk, ha őt követve mindig nyerünk, függetlenül attól, hogy az ellenfelünk mit lép. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 24 / 40
Kombinatorikus játékok Éles kombinatorikus játékok Definíció Élesnek mondunk egy kombinatorikus játékot, ha döntetlen nem lehetséges. Tétel Minden éles kombinatorikus játékban pontosan az egyik játékosnak van nyerő stratégiája. Minden kombinatorikus játékban vagy az egyik játékosnak van nyerő stratégiája, vagy mindkettőnek van nem vesztő stratégiája. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 25 / 40
Kombinatorikus játékok Mérgezett csoki (CHOMP) CHOMP A mérgezett csoki játékban adott egy m n-es tábla csoki, amelynek a bal alsó kockája mérgezett, aki ezt megeszi az veszít. Egy betli típusú játékról van szó, hiszen az utolsónak lépő játékos veszít. Minden játékosnak a saját körében ki kell jelölnie egy még meg nem evett csokikockát és meg kell ennie minden azt és minden attól jobbra és fölfelé lévő kockát is. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 26 / 40
Kombinatorikus játékok Mérgezett csoki (CHOMP) CHOMP A mérgezett csoki játékban adott egy m n-es tábla csoki, amelynek a bal alsó kockája mérgezett, aki ezt megeszi az veszít. Egy betli típusú játékról van szó, hiszen az utolsónak lépő játékos veszít. Minden játékosnak a saját körében ki kell jelölnie egy még meg nem evett csokikockát és meg kell ennie minden azt és minden attól jobbra és fölfelé lévő kockát is. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 26 / 40
Kombinatorikus játékok Mérgezett csoki (CHOMP) CHOMP A mérgezett csoki játékban adott egy m n-es tábla csoki, amelynek a bal alsó kockája mérgezett, aki ezt megeszi az veszít. Egy betli típusú játékról van szó, hiszen az utolsónak lépő játékos veszít. Minden játékosnak a saját körében ki kell jelölnie egy még meg nem evett csokikockát és meg kell ennie minden azt és minden attól jobbra és fölfelé lévő kockát is. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 26 / 40
Kombinatorikus játékok Mérgezett csoki (CHOMP) Tétel Tetszőleges m n-es mérgezett csoki játékban a kezdőnek van nyerő stratégiája. Feladatok Találjuk ki mi a 2 n-es és az n n-es mérgezett csoki játékban a nyerő kezdőlépés! Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 27 / 40
Kombinatorikus játékok Partizán játékok Hex A Hexet két játékos játsza (kék,piros). A játékosok a saját körükben kiszínezhetnek egyet a tábla még üresen álló hatszög alakú mezői közül. Az a játékos nyer, aki egy folytonos hidat tud létrehozni a két saját színű oldala között. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 28 / 40
Kombinatorikus játékok Partizán játékok Tétel Egy teljesen kiszínezett Hex-táblán mindig van valamelyik színből híd (= a Hex éles kombinatorikus játék). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 29 / 40
Kombinatorikus játékok Partizán játékok Tétel Egy teljesen kiszínezett Hex-táblán mindig van valamelyik színből híd (= a Hex éles kombinatorikus játék). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 29 / 40
Kombinatorikus játékok Partizán játékok Tétel Egy teljesen kiszínezett Hex-táblán mindig van valamelyik színből híd (= a Hex éles kombinatorikus játék). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 29 / 40
Partizán játékok Kombinatorikus játékok Tétel A Hexben mindig a kezdő játékosnak van nyerő stratégiája. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 30 / 40
Partizán játékok Kombinatorikus játékok Tétel A Hexben mindig a kezdő játékosnak van nyerő stratégiája. Bizonyítás: Hasonló a véges táblán játszott amőbához, ahol a kezdőnek mindig van nem-vesztő stratégiája. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 30 / 40
Kombinatorikus játékok Angyal probléma Conway (1996) Egy angyal és az ördög játszanak egy végtelen sakktáblán. Az ördög a saját körében megehet egy mezőt, ide az angyal már nem léphet. Az angyal a saját körében k mezőt repülhet tetszőleges irányban (a már megevett mezőket is átrepülheti, ha tudja). Ha csak olyan mezőre tud lépni, amit az ördög már megevett, akkor az ördög nyer. Ha végtelenségig el tud szökni az ördög elől, akkor az angyal nyer. Kérdés létezik-e olyan k érték, amire az angyal nyer? (ilyenkor azt mondjuk az angyal erőssége k) Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 31 / 40
Angyal probléma Kombinatorikus játékok Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 32 / 40
Kombinatorikus játékok Naív stratégiák Tétel (Berlekamp) Ha az angyal erőssége 1, akkor az ördög nyer. Az angyal egy 32 33-as táblán elfogható. Definíció Feleltessük meg a mezőket egy (x, y) koordinátarendszer rácspontjainak. Bolondnak nevezünk egy angyalt, ha mindig úgy lép, hogy az y koordinátája növekedjen. Tétel (Conway) Az ördög tetszőlegesen erős bolondot elkap. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 33 / 40
Kombinatorikus játékok Naív stratégiák II. Tétel (Conway) A bolond akkor is veszít ha nem szigorúan csak monoton halad az y tengely mentén (azaz ha soha nem csökkenti az y koordinátáját). Definíció Fejvesztett bolondnak nevezzük azt az angyalt, amely minden lépésével távolodik a kezdőponttól. Tétel (Conway) Az ördög tetszőlegesen erős fejvesztett bolondot elkap. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 34 / 40
Kombinatorikus játékok Angyal probléma megoldása Tétel (Máthé tőle függetlenül Kloster) Ha az angyal erőssége legalább 2, akkor az angyal nyer. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 35 / 40
Nim típusú játékok Kombinatorikus játékok Nim A nimben adott k-kupac kavics, ezek méretei n 1, n 2,..., n k. A soron következő játékos pontosan az egyik kupacból vehet kavicsot, onnan viszont bármennyit (de legalább egyet). Az veszít, aki nem tud lépni. Feladat Bizonyítsuk be, hogy ha hozzáveszünk a meglévő kupacokhoz két további egyforma méretű kupacot, akkor a játék lényegében nem változik, ugyanannak a játékosnak lesz nyerő stratégiája. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 36 / 40
Nim pl Kombinatorikus játékok Sizes of heaps Moves A B C 3 4 5 Bob takes 2 from A 1 4 5 Alice takes 3 from C 1 4 2 Bob takes 1 from B 1 3 2 Alice takes 1 from B 1 2 2 Bob takes entire A heap, leaving two 2s. 0 2 2 Alice takes 1 from B 0 1 2 Bob takes 1 from C leaving two 1s. 0 1 1 Alice takes 1 from B 0 0 1 Bob takes entire C heap and wins. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 37 / 40
Kombinatorikus játékok Nim típusú játékok Pénzforgató játék A pénzforgató játékban adott n pénzérme, mindegyik fejjel vagy írással felfelé. A két játékos közül a soron következő átfordíthat egy fejet írásra, és ezen kívül még egy ettől balra lévő érmét átfordíthat az ellenkezőjére (akár fejről írásra, akár írásról fejre). Az veszít, aki nem tud lépni (vagyis amikor mindegyik érme írással felfelé néz). Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 38 / 40
Kombinatorikus játékok Nim típusú játékok Pénzforgató játék A pénzforgató játékban adott n pénzérme, mindegyik fejjel vagy írással felfelé. A két játékos közül a soron következő átfordíthat egy fejet írásra, és ezen kívül még egy ettől balra lévő érmét átfordíthat az ellenkezőjére (akár fejről írásra, akár írásról fejre). Az veszít, aki nem tud lépni (vagyis amikor mindegyik érme írással felfelé néz). Feladat Bizonyítsuk be, hogy a pénzforgató játék valójában ekvivalens a Nimmel: ha balról az i. érme fej, az egy i méretű kupacnak felel meg. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 38 / 40
Kombinatorikus játékok Nim-összeg Nim-összeg Az a és b számok Nim-összegét a b-vel jelöljük és a következőt értjük alatta: feĺırjuk az a és b számokat 2-es számrendszerben, majd az azonos helyiértéken szereplő számjegyeket átvitel nélkül, modulo 2 összeadjuk. Pl. 1101 = 13 101010 = 42 100111 = 39 Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 39 / 40
Kombinatorikus játékok Nim-összeg Tulajdonságok A Nim-összeg asszociatív és kommutatív valamint teljesülnek a következő összefüggések: a b = c-ből következik a c = b és b c = a (1) a x = 0 egyenlet egyetlen megoldása az x = 0 (2) Tétel [Bouton, 1901] Az n 1, n 2,..., n k méretű kupacokkal játszott Nim játékban a nem soron lévő játékosnak pontosan akkor van nyerő stratégiája, ha n 1 n 2 n k = 0. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 5. ea 40 / 40