Híradástechnika II. laboratóriumi mérések 5. mérés: Diszkrét Fourier Transzformáció (DFT), Gyors Fourier Transzformáció (FFT), számítógépes jelanalízis Összeállította: Kármán József Általános bevezet Az elméleti összefoglaló Dr. Simán István Digitális Jelfeldolgozás és Hesselmann azonos cím könyvébl lett kiemelve.
Ablakfüggvények összefoglalása: Derékszög (négyszögletes) ablak (ablakfüggvény) Ebben az esetben nincsen súlyozás!
Háromszögablak
Hann ablak (Hanning ablak)
Hamming ablak
Blackman ablak
Az ablakfüggvények összehasonlítása
Mérési feladatok: 1. A mérést az FFT_1.m file-ban található programmal hajtjuk végre. A program egy FFT algoritmust tartalmaz. A bemen jelet, és az ablakfüggvényt is ebben definiáljuk. Elször ismerkedjünk meg az FFT környezeti paramétereivel. Ez egy olyan spektrum-analizátor, amely Tf=5ms id alatt N=256 jelmintát vesz (td=tf/n=19,53us mintavételi idközzel), amelybl N=256 spektrummintát számol. A mintavételi frekvencia Fs=1/td=51,2kHz. Az analizátorunk felbontóképessége df=fs/n=200hz. Ez azt jelenti, hogy 200Hz-enként tud spektrumvonalat ábrázolni (0, 200, 400, 600...Hz) egészen fs/2-ig (25,6KHzig), mind a pozitív, mind a negatív frekvenciatartományon, a komplex spektrumkép miatt. Az amplitúdókat logaritmikus db skálán ábrázolja (20xlog(U/Uref). A referenciaszint a 20V-os dinamikatartomány legkisebb lépcsje, 16 bites felbontás esetén (Uref=20V/2^16). A spektrumvonalak magasságát a marker-funkcióval lehet pontosan leolvasni! Elször súlyozás-mentesen veszzük a jelbl a mintákat (derékszög ablakfüggvény alkalmazása). A bemen jelek frekvenciája osztható 200Hz-el, azaz a bemen jel frekvenciái épp olyan pontra esnek, ahol az FFT spektrumvonalat ábrázolni képes. Futtassuk a programot! Látjuk, hogy egy nagy és egy kisebb amplitúdójú jel van a bemeneten! Olvassuk le az értékeket és vessük össze a valóságos amplitúdó-értékekkel! (10V megfelel 90,30831dB-nek, mert 20xlog(10/(20/2^16))) Mi okozza az eltérést? Gondoljunk a komplex spektrum tulajdonságaira! Mekkora korrekciót kell alkalmazni, hogy a pozitív frekvenciatartományon a valóságos amplitúdót olvassam le a spektrumképrl? Adjunk 3V DC-t az x1-nek! Nézzük meg a DC ábrázolását! Itt kell alkalmazni a korrekciót? Az x1 jel esetén a frekvencia 10kHz, k=0, ez esetben a tanultak szerint a négyszögablak sin(x)/x jelleg szelektivitásgörbéjének zérushelyei épp 200Hz-enként az ábrázolható spektrumvonalakra esnek, így azok 0 értéket vesznek fel, a fnyaláb maximuma épp a bejöv jel frekvenciájánál kiadja annak amplitúdóját. Ezt nevezzük vonalas fedésnek. ez csak és kizárólag a négyszög ablaknak a sajátja, más ablakfüggvény ilyen tiszta, valóságh spektrumképet sohasem ad (3.2 és 3.3 ábrák!). Hangoljuk feljebb az x1-et k=0,1-el (ez 200Hz frekvenciaközök esetén 20Hzet jelent). Értékeljük a látottakat! Most ez a szelektivitásgörbe maximuma 10020Hz-re csúszott. Ott nem találunk spektrumvonalat, tehát ez a frekvencia pontosan ezzel az analizátorral nem ábrázolható. A spektrumvonalak pedig a szelektivitásgörbének megfelel értékeket veszik fel. A spektrumban megjelenik a szivárgás (olyan frekvenciák, amelyek a bejöv jelben nincsenek). A szivárgás miatt a kisebb amplitúdójú jelkomponenst már nem is látjuk. A szivárgás azért lép fel, mert ha jól megnézzük, ebben az esetben a kép fels részén ábrázolt idfüggvény minták periodikus meghosszabbítása
(ahogyan azt az FFT látja ), a széleken ugrásokat eredményez, mivel a periodikus jelnek nem egész számú többszöröse esik a mintavételi ablakba (ld. még 3.1 ábra!). Nézzük meg a jelenséget! Válasszunk olyan k-t ahol ez a jelenség jól látszik! 2. Hozzuk létre a maximális mintavételi hiba esetét (hullámosság) x1 bemen jellel (k=0,5 10kHz-tl felfelé, azaz f=10100hz). Ekkor két egyforma spektrumvonalat látunk a fnyalábban, és ezek leolvasott értéke maximálisan eltér a vonalas fedés által mutatott valóságos amplitúdótól. Ha két azonos magasságú vonalat látunk, akkor a görbe szimmetriájából következleg biztosak lehetünk abban, hogy a bejöv jel frekvenciája épp a két spektrumvonal frekvenciájának számtani közepe. Határozzuk meg a hiba nagyságát és vessük össze a táblázatban megadott értékkel! Vigyázat! a mintavételi hiba meghatározásakor a szelektivitásgörbe maximumától való távolságot értjük db-ben. Ez a leolvasási hiba. Ebbe nem kalkuláljuk bele a leolvasás után szükséges korrekciós tényezt (derékszög ablak esetében 6,02dB)! A szelektivitásgörbe tanulmányozásakor láthatjuk, hogy az els melléknyaláb k=1,5-re van a maximumtól, azaz a bejöv jel frekvenciájától, mivel mindig erre esik a görbe maximuma. Így ebben az esetben a két azonos magasságú fnyaláb komponens mellett közvetlenül helyezkedik el az els melléknyaláb, amelynek lokális maximumára esik a spektrumvonal (a bemen jel frekvenciájától k=0,5-re találhatók a fnyaláb, majd még egy k=1-ra a melléknyaláb vonalai, azaz frekvenciában felfelé 10100+(1,5x200)=10400Hz). Az értékét csak le kell olvasni. Határozzuk meg az els fnyaláb nagyságát, és vessük össze a táblázat értékével! Nézzük meg, hogy a melléknyalábok milyen lassan csökkennek! Rossz a távolszelektivitás! A Négyszögablak tehát nem minden esetben jó választás! k=0,1 értékenként hangoljuk el az x1 bemen jelet 10kHz-rl, felfelé, és a maximális spektrumvonal csökkenését követve határozzuk meg a szelektivitásgörbe fnyalábjának pontjait ilyen lépésekben! Rajzosan, vagy táblázatosan rögzítsük az eredményt! Vessük össze a leírással! 3. A mintavételi ablak szélein elálló ugrások hatását különféle ablakfüggvényekkel lehet csökkenteni. Az ablakfüggvények hatására javul a szelektivitás, a fnyaláb viszont kiszélesedik. Ez a maximális mintavételi hibát csökkenti, azaz a leolvasott maximális spektrumvonal közelebb kerül a tényleges amplitúdó értékéhez, de a frekvencia leolvasását megnehezíti. A 6.3 táblázatban felsorolt ablakfüggvények alakját és a hozzájuk tartozó szelektivitásgörbéket a wintool paranccsal nézzük meg, és dokumentáljuk! Length: 256, de jól látható a fnyaláb környezete 2, 4... 32, 64 értékek esetén. Ahol az ablakfüggvény külön paramétert is kér, ott a táblázat értékeit kell megadni. Ne zavarjon senkit az Length-tl függ eltolódás a db skálán! Ezt az eltolódást az FFT során külön osztással tudjuk korrigálni.
4. Az FFT-1.m programban válasszunk ki különböz ablakfüggvényeket (pl. Háromszög, Hann, Hamming, Blackman, Flat top), és vizsgáljuk meg az ablakozott idfüggvény mintákat (fels ábra), és az ablakfüggvény spektrumképre gyakorolt hatását! Nézzük meg, hogy hogyan szélesedik ki a fnyaláb (már nem csak két vonalat tartalmaz maximálisan, mint derékszög esetben), és hogyan javul a szelektivitás (kisebb els melléknyaláb, gyorsabb melléknyaláb csökkenés). Nézzük meg, hogy a kis amplitúdójú jel hogyan tnik el a spektrumképben k=0,1 esetben (x1 frekvenciája10020hz)! Már nem nyeli el a szivárgás! Hozzunk létre k=0 esetet x1 jelre (f=10000hz)! Különböz ablakfüggvények esetében nézzük meg, hogy mit látunk a vonalas fedés helyett. Elemezzük a kiszélesedett fnyalábot! A legnagyobb spektrumvonal a bejöv jel frekvenciájára esik, de az amplitúdó leolvasásakor további korrekciós tényezt kell alkalmazni. Nézzük meg, hogy mekkora korrekciós tényezket kell alkalmazni, és vessük össze a leírás szelektivitásgörbéinek megadásánál alkalmazott értékekkel (6.28-6.31 ábrák)! Vigyázat! Ez a korrekció nem számolandó bele a mintavételi hibába! Hozzuk létre a k=0,5 esetét, azaz a maximális mintavételi hiba esetét. Ekkor a bejöv jel tényleges frekvenciája két ábrázolható spektrumvonal közé esik (pl. x1 fbe=10100 Hz). A különböz ablakfüggvények esetén nézzük meg, hogy mekkora a maximális mintavételi hiba! Vessük össze a 6.3 táblázat értékeivel! Szemrevételezéssel minsítsük a távolszelektivitást! A legnagyobb melléknyalábot a szelektivitásgörbe sajátossága alapján lehet meghatározni. Háromszög ablak esetében k=3-nál (pl. 10kHz bemen jel esetén 10,6kHz-nél), Hann ablak esetén k=2,5-nél (pl. 10,1kHz bemen jel esetén 10,6kHz-nél), Blackman és Hamming ablakok esetén pedig k=3,5-nél találjuk az els melléknyalábot. Határozzuk meg a nagyságukat és vessük össze a 6.3 táblázat értkeivel! 5. Ha maradt még id, opcionálisan megoldható a következ feladat. Írja át az FFT_1.m programot úgy, hogy 512 mintát vegyen a spektrum-analizátor, változatlan mintavételi frekvenciával! Ne feledje módosítani a megjelenítés frekvenciaskáláját is!