Bevezetés 2. A készletezési modellek csoportosítása 4. A készletezési modellek működési mechanizmusa 5. A készletekkel kapcsolatos költségek 9

Bevezetés 2 A készletezési modellek csoportosítása 4 A készletezési modellek működési mechanizmusa 5 Folyamatos készletvizsgálat 6 Periodikus készletvizsgálat 8 A készletekkel kapcsolatos költségek 9 EO modell adott szállítási határidővel 14 Gyakorló feladat 14 Megoldás 15 Folyamatos beszállítás 16 Folyamatos készletvizsgálat 21 A szolgáltatás szintjének mérése 22 Gyakorló feladat 23 Venni vagy gyártatni probléma elemzése (esettanulmány) 25 1

Bevezetés A raktár funkciója, hogy az anyagáramláson belül puffer legyen, mely a teljes termelési folyamatot végigkíséri az alapanyag beérkezésétől a késztermék értékesítéséig. A raktár leggyakoribb funkciói: 1. Időbeli elválasztása illetve hozzáigazítása egyrészt a különböző anyagok beérkezése és a felhasználásuk igénye között; másrészt a termelés és igény között. 2. Mennyiségi kiegyenlítés a különböző dimenziójú anyagáramlások között (pl. a termelés és igény között). 3. Biztonsági funkció, mely az előre nem látható ingadozásokat egyenlíti ki a raktárba, illetve a raktárból történő szállítások során (egy tartalék, vagy biztonsági raktárkészlet). Raktárak elhelyezése az anyagáramlási rendszeren belül több helyen lehetséges. Szinte mindenhol megtalálható a beszállítási-, vagy nyersanyag raktár mely a beszerzés és a termelés között helyezkedik el. Ez egyenlíti ki azt, hogy a beszállítandó alapanyagok vagy félkész termékek vagy alkatrészek egy bizonyos tételben (pl. 1000 db. vagy 20 tonna, stb.) érkeznek (a tételnagyság függ a szállítási költségektől, egységártól, esetleges árengedménytől, stb.), míg ezen áruk felhasználása a termelésben általában folyamatosan történik. Ilyen raktár mind egyedi, mind sorozat mind pedig tömeggyártás esetén létezik. Még az éppen időben (Just in Time) termelési rendszer esetén is nélkülözhetetlen a néhány órás raktárkészlet. Amennyiben a termelés több fokozaton keresztül (pl. előgyártmányok, félkész termékek, szerelési műveletek stb.) történik és a különböző fokozatok között a kapacitások, valamint a megmunkálási idők kiegyenlítése nem sikerül tökéletesen (tehát nem szinkronizált a gyártás), akkor a különböző fokozatok között pufferekbe gyűlnek a műveletközi készletek. A raktárak ilyen elvi elhelyezési lehetőségét az alábbi sematikus ábra mutatja. 2

nyersanyagok, nem saját alkatrészek beszerzés beérkezõ áruk raktára termelés 1. gyártási fokozat 2. gyártási fokozat... N. gyártási fokozat 1. mûveletközi raktár 2. mûveletközi raktár végtermék raktár értékesítés Természetesen a raktárak fizikai megjelenési formája nagyon sokféle lehet. Gyakori eset egy alapanyag és egy külön késztermék raktár, a műveletközi készletek pedig a feldolgozottság fokától függően részben az alapanyag, részben pedig a késztermék raktárban várakoznak a további felhasználásra. Lehet a műveletközi készleteknek az üzemben egy elkülönített sarok, de lehetnek akár a gépek között arra kijelölt helyeken felhalmozva. Nagyobb műveletközi készletek jellemzőek az egyedi és kissorozatgyártásra, míg a nagysorozat és tömeggyártás a 3

vevői igénycsúcsokat az egyenletes termelési ütemet tartva nagyobb késztermékraktárral és így nagyobb végtermékkészlettel oldja meg. Természetesen még van néhány kézenfekvő ok, ami a készletek kialakulását előidézi. Ilyen a termék bonyolultsága, ahol jelentős kockázatot jelent, ha valamelyik alkatrészből kifogyunk. Szintén készletezésre ösztönöz a sorozatnagyságtól függő gazdaságosság, hiszen tudjuk, hogy a nagyobb tervezési kapacitás kihasználása alacsonyabb fajlagos költségeket eredményez, viszont ha az igény ennél kisebb akkor átmenetileg elkerülhetetlen a készletek felhalmozódása. Egy szintén nem lebecsülhető dolog a spekuláció, ami főként az előre nem kiszámítható események alakulásától függően kényszeríthet a készletek felhalmozására. Az általunk ismertetett modellek egyformán alkalmasak arra, hogy akár az általunk vásárolt, akár az általunk gyártott tétel optimális mennyiségét meghatározzuk. A két eset során a képletekben szereplő mennyiségek értelmezése lesz eltérő, de ezeket az adott helyeken részletesen ismertetni fogjuk. A készletezési modellek csoportosítása Egyszerűbb esetben, amikor a termék iránti igény előre meghatározott - szakszóval determinisztikus -, és alkalmasan megválasztott periódusokban (pl. minden héten, hónapban, évben stb.) konstansnak tekinthető, akkor ún. statikus modelleket használunk. Ez azt jelenti, hogy egyetlen periódus segítségével modellezzük a többit. Így elegendő erre az egy periódusra meghatározni az optimális megoldást, és amíg a modell paramétereiben valami változás nem következik be (pl. fel- vagy lemegy a termék ára), addig a kiszámított paraméterek szerint működtetjük a rendszerünket. Szintén gyakori eset, hogy a tervezési rendszerünk véges sok periódusból áll, melyekben csak egyszer adhatunk fel rendelést (pl. minden héten, pénteken rendelünk a következő hétre). Ebben az esetben nem az egyes periódusok optimális paramétereit határozzuk meg, mert ezekre úgysem lesz többé szükség, hanem, az egész tervezési időszak összes periódusára egyszerre határozzuk meg a rendelendő mennyiséget (pl. minden héten rendelünk a következő hétre, és egyszerre egy negyedévet, - ami 12 hét - így 12 rendelést vizsgálunk). Erre a problémára adnak megoldást a dinamikus készletezési modellek. Ezek az algoritmusok viszont az átlagosnál bonyolultabbak, valamint megoldásuk is hosszadalmas megfelelő számítógépes támogatás hiányában, így részletesebb ismertetésüktől eltekintünk. 4

Az életben azonban ritkán találkozunk mindig pontosan előre tervezhető adatokkal. Így van ez a vevői igényekkel is, amint azt már az előrejelzési módszerek ismertetésénél láttuk. Amennyiben nem tudjuk ezen igényeket jó közelítéssel sem determinisztikusnak tekinteni, mert a véletlenek hatása annyira erős, akkor kénytelenek vagyunk valamely sztochasztikus készletezési modellt segítségül hívni. Egy viszonylag egyszerű sztochasztikus modell ismertetése szerepelni fog a későbbiekben. A készletezési modellek működési mechanizmusa Nagyon sokféle készletezési mechanizmus ismert. Ezekből két jellemző és elterjedt modellt ragadunk ki, melyeket részletesen bemutatunk. 5

Folyamatos készletvizsgálat készletszint s T1 T2 L1 L2 idõ A modell működése teljesen általános esetben a következő: Vizsgálódásunkat a 0. időpillanatban egy valamilyen készletszintről indítjuk el. Ez a készlet az idő előrehaladtával egyre fogy. Az igény természetesen valamilyen sztochasztikus függvény szerint változik, így a fogyás az ábrán látható görbe segítségével illusztrálható. Elérkezvén az s ponthoz, ami egy kritikus készletszintet jelent (tehát mennyiség, így dimenziója db.), feladjuk a rendelést egy mennyiség leszállítására. Miután a rendelés az s pont elérésekor automatikusan bekövetkezik, ezért ezt rendelési pontnak is nevezzük. A rendelés feladásától függetlenül a készlet tovább fogy, míg az L 1 el jelölt szállítási idő múlva megérkezik a megrendelt mennyiség, ami a raktárkészletet újra megemeli. A következő periódusban ugyanez játszódik le. 6

Látjuk, hogy ebben a modellben a készletszint alakulását állandóan figyelemmel követjük, azaz minden darab elfogyását érzékeljük. Ilyen elven működnek a nagy bevásárlóközpontok készletezési rendszerei, ahol a pénztárakban működő vonalkód-leolvasó berendezések az árufajta leolvasása után automatikusan a vásárolt mennyiséggel csökkentik a raktárkészletet, és a beszerzéssel foglalkozó kollégáknak a számítógép azonnal jelzi, ha valamely árucikkből elérték az s rendelési pontot. Egy ilyen rendszer működtetése nem olcsó. Minden árufajtát és azokból a teljes mennyiséget be kell táplálni a számítógépbe, mely az áruk fogyását kíséri figyelemmel. A modell alkalmazása során a következő változók optimális értékét kell meghatároznunk. Azt a bizonyos s rendelési pontot, ami azt mondja meg, hogy mikor rendeljünk, valamint a mennyiséget, ami arra ad választ, hogy mennyit rendeljünk. Emiatt a modell által kapott adatoknak megfelelően, az így alkalmazott rendelési politikát (s,) modellnek is hívjuk. 7

Periodikus készletvizsgálat készletszint S 1 2 1 2 R L R L idõ A modell működése teljesen általános esetben a következő: A raktárunk az adott termékből a maximális szintig fel van töltve, ami azt jelenti, hogy S mennyiség van belőle felhalmozva. Ebből az S mennyiségből a vevői igényeknek megfelelően fogyásnak indul az induló készlet. Egy bizonyos idő eltelte után, amit az ábrán R betűvel jelöltünk, bemegyünk a raktárba és körülnézünk. 8

Megállapítjuk, hogy az eredeti S mennyiségből mennyi hiányzik (mennyi fogyott el), azaz az S - az aktuális készletszint, majd az így megállapított és 1 -el jelölt mennyiséget megrendeljük. Ez a 1 mennyiség az L -el jelölt szállítási idő múlva meg is érkezik, és a raktárkészletet ismét az eredeti szint közelébe emeli. Mint az ábrán látszik, a szállítási idő alatt tovább fogy a készlet, így a kezdeti S szintet csak akkor érnénk el, ha a szállítási idő alatt egyetlen vevő sem jönne (vagy addig bezárjuk a boltot). A következő periódusban ugyanez történik. Az eltérés abból lehet, hogy ugyanazon R idő alatt kevesebb fogy el, mint korábban, így egy 2 vel jelölt mennyiséget rendelünk meg. Az ábrából látszik, hogy itt is előfordulhat, hogy a szállítási idő alatt kifogy a készlet, aminek a kezelése pontosan az előző modellnél ismertetett módon történik. A modellt azért hívjuk periodikus készletezési modellnek, mert az a bizonyos R időköz állandó, (pl. minden pénteken délután megnézzük, hogy ezen a héten mennyi fogyott és úgy rendeljük meg a következő hétre elegendő mennyiséget. Az optimális megoldás során keresett változók itt az S maximális készletszint, valamint az R állandó ellenőrzési időszak. Ezért ezt az algoritmust (R,S) modellnek ismerik. A készletekkel kapcsolatos költségek A készletezési modellek alkalmazása során olyan rendelési politika meghatározása a cél, amivel a készletezéssel kapcsolatos költségek a legalacsonyabbak. Most röviden áttekintjük, hogy mely költségek tartoznak ide: 1. A raktár fix költségei. Ide tartoznak a raktár fizikai meglétével kapcsolatos költségek, úgymint amortizáció, fűtés, világítás, a raktáros(ok) fizetése és közterhei. Általában raktárt nem egy bizonyos termék vagy alkatrész kedvéért építenek, hanem sok különböző anyag megfordul benne, ezért ezeket a költségeket nem számítjuk bele a készletezési költségbe. A raktár megléte stratégiai döntés része volt korábban, így ezeket a költségeket az üzemi általános költségekbe számítjuk, és figyelmen kívül hagyjuk. 2. Rendelési fix költség. Ez a költség akkor keletkezik, amikor egy adott termék vagy anyag esetén feladjuk a megrendelést. Tehát ha rendelünk, akkor ez a költség felmerül, ha nem rendelünk, akkor ez a költség nincs. Viszont fontos dolog, hogy a rendelési költség független a rendelt mennyiségtől, tehát ugyanannyiba kerül egy adott áruból 10 darabot rendelni, mint 1000 darabot. 9

Ilyen költségek, pl. a beszerzés adminisztratív költségei, úgymint fax, levél, telefon költségek, a megrendelést feldolgozók bére és járulékaik stb. Amennyiben saját gyártású cikkről van szó, akkor az adott termék gyártására szükséges átállás költségei tartoznak ide. 3. Változó rendelési költségek. Ide számítjuk a rendelt mennyiségtől (általában lineárisan) függő költségeket. Valamely árucikk esetén ez, pl. a termék ára, saját gyártású termék vagy alkatrész esetén a proporcionális költségek ( hiszen ezek egyenesen arányosak a mennyiséggel) tartoznak ide. 4. Tényleges készletezési költségek. Itt elsősorban a lekötött tőke költségeit vesszük figyelembe. Ez az a kamat, amit a bankban kapnánk, ha pénzünk nem az adott árumennyiségben lenne lekötve. Ezt növelhetik még olyan proporcionális és az adott termékhez egyértelműen hozzárendelhető költségek, mint pl. hűtés, fűtés, forgatás, karbantartás stb. de ilyen a biztosítás, az eltűnés, megromlás vagy az áru egyéb károsodása, vagy annak elkerülése érdekében felmerülő költségek. 5. Hiányköltségek. A modellek működési mechanizmusa során ismertetett jelenségről van szó, amikor a készlet az új szállítmány beérkezése előtt elfogy. Ekkor a ki nem elégített igény veszteséget jelent. Ezt a költségfajtát meglehetősen nehéz precízen összegyűjteni, ezért gyakran nem a hiányköltséget adják meg, hanem azt az úgynevezett késedelmi időt, ameddig a raktár nem képes szállítani azaz üres. Ebből az időtartamból (pl. 1 nap, két nap, egy hét, stb.) azután kiszámítható egy implicit (közvetett) hiányköltség. Ezt úgy értelmezhetjük, hogy ennyi napnyi késedelmi idő egyenértékű azzal a veszteséggel, amit a ki nem elégített vevői igény okoz. Természetesen minél rövidebb késedelmi időt kívánok megengedni, annál nagyobb lesz a közvetett hiányköltség. Amennyiben fel sem merülhet, hogy valakit ne tudjak kiszolgálni, akkor a hiányköltség végtelen nagynak tekintett. Az egyszerű készletgazdálkodási modell (EO = Economic Order uantity) A modellben alkalmazott jelölések: az igény egy meghatározott termelési időszakra [darab/időszak], A rendelési költség [Ft/rendelés], v beszerzési költség [Ft/darab], r készlettartási ráta [Ft/Ft/időszak], b hiányráta [Ft/Ft/időszak], 10

L utánrendelési idő [nap/rendelés], rendelt mennyiség [db], I készletszint [db]. Ez a modell a következő költségfajtákat veszi figyelembe: 1. Rendelési költség, 2. Beszerzési költség, 3. Készletezési költség. A modell a következő feltételekre alapul: - az igény állandó, - L=0 (azaz a rendelt mennyiség azonnal beérkezik), - A rendelt mennyiség egy tételben érkezik (nem több napon keresztül részletekben), - Minden igényt kielégítünk (azaz nem lehet hiány), - A rendelési költség (A) független a rendelt mennyiségtől, - A készlettartási költség arányos a beszerzési költséggel. Ez a modell a folyamatos készletezési mechanizmus determinisztikus esetre, amikor a vevők igényei pontosan ismertek. Működési elve az alábbi ábrán jól követhető. készletszint s T L T L idő 11

A raktár éppen a feltöltés pillanata után látható. A begyűjtött mennyiség T idő alatt egyenletes ütemben fogy rátával. T idő múlva elfogy a készlet, ekkor feladjuk a rendelést szintén mennyiségről, ami azonnal be is érkezik (képzeljük úgy, hogy a szállítónk a szomszédos telken van). Az áru beérkezése után a készlet újra eléri a szintet (hiszen ennyit rendeltünk), és a folyamat mindaddig ugyanígy folytatódik, amíg valamely paraméter meg nem változik. Alapfeltételünk az volt, hogy a szállítási idő nulla. Így egyetlen változó optimális értékét kell meghatározni, a értékét. Végül is hány darabot rendeljünk? Erre a kérdésre a költségek elemzése ad választ. Az optimális rendelési mennyiséget a teljes költség minimalizálásával kapjuk. A teljes költség a már említett három féle költségből áll. Rendelési költség = A (a / hányados adja meg hogy hányszor kell rendelni, pl. egy évben, amíg a vevői igényt ki nem elégítjük). Ha az igény valamiből ezerkétszáz darab egy évben és egyszerre száz darabot rendelünk, akkor tizenkét rendelésből tudjuk a vevői igényeket kielégíteni. Ez egyben azt is jelenti, hogy minden hónapban egyszer rendelünk, tehát egy rendelési periódus a T = egy hónap. Beszerzési költség = v (ezt mindenképp ki kell fizetnünk, hiszen a vevők által igényelt 1200 db árut be kell szerezni). Készletezési költség = I átlag vr (a periódus átlagos készletszintje megszorozva a készletezési költséggel). Említettük, hogy a készletezési költség jellemzően az áruban lekötött tőke értéke. Ez nem más, mint a vr szorzat, ami azt jelenti, hogy egy darab termék egy éven át történő raktározása, mennyibe kerül nekem. Illetve, ha mondjuk bankba tenném azt az összeget, akkor mekkora hozamot értem volna el. Ez a pénz gyakorlatilag elveszett, hiszen a cég pénze a készletben volt lekötve. Az átlagos készletszint ebben az egyszerű esetben nem más, mint a maximális készletszint () fele, ami az ábrán látható háromszögből egyértelműen kiolvasható. Így ez a költség, vr. 2 A teljes költség tehát: TK ( ) = A + vr + v. 2 Az optimális értéket a szélsőérték keresés szabályai szerint a függvény deriválása és nullával TK( ) vr történő egyenlővé tétele után kapjuk: = A + = 0 2 2 12

Ebből az következik, hogy: A = vr. 2 2A A keresett optimális rendelési tétel: opt = (az optimális értékeket általában -al vr jelöljük). Ebből látszik a készletgazdálkodás egyensúlyi elve: optimális rendelési tétel esetén, a készletezési és a rendelési költségek egyensúlyban vannak. 2A A periódusidő: T opt = =. vr Az optimális rendelési politika teljes költsége: TK( ) opt = v + A + vr = v + 2Avr. 2 Az alábbi ábrán látható egyszerű számítás kiindulási adatai a következők: = 3600 db/év; A = 300 Ft; v = 100 Ft/db; r = 0,34 Ft/Ft/év; A grafikonon látható a két egymás ellen ható költségfajta, melyek együttes figyelembe vétele adja az optimális (legalacsonyabb) összköltséget. EO Költségek 25000 20000 15000 10000 5000 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Készl.K. Beszerz.K. ÖsszK. Az ábrán csak a rendelési és a készletezési költség szerepel, illetve a kettő összege. A beszerzési költség nincs berajzolva. Ennek az oka, hogy a beszerzési költség az optimális mennyiség meghatározásában nem játszik szerepet, hiszen az igényelt mennyiséget mindenképpen be kell szerezni. 13

Abban az esetben, ha a vételár [v()], függ a rendelt mennyiségtől, tehát árengedmény jár a nagyobb mennyiség után, akkor már ezt a tagot is figyelembe kell venni. Matematikailag is belátható, mert a TK() egyenlet deriválásakor már nem esik ki az egyenletből, hiszen mint tól függő tag bennmarad. EO modell adott szállítási határidővel Amennyiben a szállítási időre vonatkozó feltételt feloldjuk, azaz L 0, akkor modellünk azzal egészül ki, hogy az a bizonyos s rendelési készletszintet is meg kell határozni. Ez ebben az esetben nagyon egyszerű, hiszen az L szállítási idő alatt elfogyó mennyiséggel korábban kell az új rendelést leadni. Képletben: s = L. Megtörténhet, hogy a szállítási idő nagyobb, mint a periódusidő (azaz s > T, pl. kéthetente kell az optimális mennyiséget megrendelni, de a szállítási idő a megrendeléstől számítva három hét). Ebben az esetben a rendelés egy periódussal korábbi időszakra nyúlik át. A megoldás ugyanaz, mint korábban, azzal a különbséggel, hogy a szállítási időből levonjuk a periódusidő egész számú többszörösét, mindaddig, amíg a maradék (L ) már kisebb lesz, mint a periódusidő (T). Erre a maradék időre (L ) ugyanúgy számítjuk ki a rendelési szint (s) értékét, mint az előbbi esetben. Ha a szállítási idő (L) 3 hét, míg a periódusidő (T ) csak kettő, akkor L = L mt = 3 12 = 1 hét. Vagyis az első hét végén kell rendelni, s = L készletszintnél. Gyakorló feladat Egy üzem az egyik beszállítója által gyártott speciális csavart használ a gyártmányaihoz. A csavarok iránti igény átlagosan 3.000 db havonta. A rendelés és szállítás költsége együttesen 5.000 Ft rendelési tételenként. A csavar beszerzési ára 960 Ft/db, a vállalatnál alkalmazott készlettartási ráta 34 % egy évre. Az üzem havonta átlagosan harminc munkanapot dolgozik. 1. Mekkora az optimális rendelési tételnagyság, vagyis (hány db ot kell egyszerre megrendelni? 2. Mekkora az optimális rendelési politika teljes (éves) költsége? 3. Mekkora az utánrendelési készletszint, ha a szállítási idő 7 nap, vagy 15 nap? 14

Megoldás Először gyűjtsük össze az ismert adatokat. Ezek az alábbiak: Igény: = 3.000 [db/hó], Beszerzési ár: v = 960 [Ft/db], Rendelési költség: A = 5.000 [Ft], Készlettartási ráta: r = 0,34 [Ft/Ft/év]. 1. kérdés megválaszolása: Az optimális rendelési mennyiség: 2 A 25000Ft 3000db / hó 25000Ft 3000db / hó 12hó / év = = = = 1050db v r 960Ft / db 0,34% / év 960Ft / db 0,34% / év Fontos! A dimenziók helytelen használata a legnagyobb hibaforrás a készletgazdálkodási modellekben. Ebben a feladatban a készletezési ráta éves szinten van megadva, míg az igény hónapokban. Tehát az igényt szorozzuk meg tizenkettővel, hogy az is éves színtű legyen (így [éves]=3000 [db/hó]12 [hó/év] = 36.000 [db/év]). 2. kérdés megválaszolása: Az összköltség meghatározásához számítsuk ki a költségeket tagonként: 36000[ db / év] Rendelési költség: K (rendelési) = A = 5000[ Ft] = 171.428,58[ Ft] 1050[ db] Készletezési költség: K (készletezési) = 1050[ db] vr = 960[ Ft / db]0,34[% / év] = 171.360[ Ft] 2 2 Beszerzési költség: K (beszerzési) = v = 36000[ db / év]960[ Ft / db] = 34.560.000[ Ft] A készletezési politika teljes (éves) költsége: TK( ) = K (rendelési) + K (készletezési) + K (beszerzési) = 171.428,58 [Ft] + 171.360 [Ft] + 34.560.000 [Ft] = 34.902.788,58 [Ft] Megjegyzés: a rendelési és készletezési költség elvileg egyenlő kell legyen. Az eltérés oka a kerekítés, mert a pontos értéke 1050,21 db-ra adódik. 15

3. kérdés megválaszolása: Először számítsuk ki a periódus időtartamát (T ): 1050[ db] T = = = 0,35[ hó] = 0,35[ hó]30[ nap / hó] = 10,5[ ] 3000[ db / hó] nap Ezután megvizsgáljuk, hogy a szállítási idő beleesik-e a periódusba, vagy túlnyúlik-e rajta. Példánkban T > L (T=10,5 nap, L=7 nap), így s = L (azaz a rendelés feladásától számítva már csak a szállítási idő alatti igényeket kell fedeznie a maradék készletnek). Az egy napra 3000[db/hó] számított igény = [db/nap] = = 100[ db / nap] 30[nap/hó] s = L = 100[ db / nap]7[ nap] = 700[ db] Feladatunk végeredménye: rendelésenként 1050 db-ot rendelünk akkor, amikor még 700 db van a raktárunk polcain. Abban az esetben, ha a szállítási idő 15 nap a megoldás hasonló. Nézzük meg, hányszor fér bele a periódusidő a szállítási időbe. L = L-mT = 15[nap] 110,5 [nap] = 4,5 [nap]. Ez alapján a rendelési készletszint: s = L = 100 [db/nap] 4,5 [db] = 450 [db]. Az eredményt értelmezve ez azt jelenti, hogy 450 db csavar található még raktárunk polcain, amikor a következő rendelést feladjuk. Ez viszont nem abban a periódusban fog megérkezni, amelyben a rendelést feladtuk, hanem a rákövetkező periódus végére. Folyamatos beszállítás Sokszor előfordul, hogy a szállító nem képes a megrendelt tételt egyszerre leszállítani, (pl. nincs megfelelő méretű járműve), vagy a tételnagyság maga akkora, hogy nem is lehet egyszerre leszállítani. Ilyenkor a megrendelt mennyiség folyamatosan érkezik be, valamilyen P rátával (P darab/nap, pl. rendeltünk 500 darabot, és naponta 100-at szállítanak le). Eközben a beszállított P mennyiség egy része azonnal felhasználásra kerül, míg másik része a raktárba vándorol. Mikor a megrendelt mennyiség leszállításra került, a folyamat már csak a felhasználásból áll majd. Ez az alábbi ábrán jól látható. T 1 idő alatt leszállításra kerül a teljes mennyiség, de a raktárba csak P- kerül, hiszen a beérkező P mennyiségből mennyiség azonnal felhasználásra kerül. Így a maximális készletszint csak I max lesz, ahol I max <. 16

T 1 idő letelte után, már csak a felhalmozott készlet fogy a további T 2 idő alatt. A teljes periódus e két részből tevődik össze, vagyis T = T 1 + T 2. készletszint Imax Imax L2 s L1 P- P T1 T2 - P- idő Nézzük az alapvető összefüggéseket: A rendelt mennyiség: = T 1 P T 1 = P P A maximális raktárkészlet: I max = T 1( P ) = ( P ) = = 1 P P P Korábban már láttuk, hogy az átlagos készletszint (ami után a készletezési költséget számítjuk) a maximális szint fele, így I = max I átl = 1 2 2 P 17

A teljes költség vizsgálata ugyanúgy történik, mint az előbbi esetben. Egyedüli különbség a készletezési költségek fenti kiszámításában van. TK ( ) = A + I átl vr + v = A + vr + v 1 2 P A matematikai megoldás ugyanaz, mint az előbb. Szélsőérték számítással meghatározzuk optimális értékét. TK( ) vr = A 1 = 0 2 + 2 P A = 1 vr 2 P Az optimális rendelési tétel: 2A opt = vr 1 P Látjuk, hogy a megoldás elve ugyanaz, mint korábban; a készletezési költség és a rendelési költség közötti egyensúlyt keressük. Az is látható, hogy a rendelési költség nem változik, de a készlet most kisebb lesz, mint azonnali szállítás esetén. Ez viszont azt sejteti, hogy a rendelési tétel folyamatos beszállítás esetén nagyobb lesz, mint azonnali szállításkor. Az alábbi példa megerősíti ezt a sejtést. Folytassuk az előbbi példát! 4. Mekkora lenne az optimális rendelési mennyiség, ha a beszállító folyamatosan, napi 400 db ot szállít? 5. Mekkora az utánrendelési készletszint, ha a szállítási idő 7, 10, illetve 15 nap? Az adatok tehát a következők: Igény: Szállítás: Beszerzési ár: Rendelési költség: Készlettartási ráta: = 3000 [db/hó] = 100 [db/nap], P = 400 [db/nap], v = 960 [Ft/db], A = 5000 [Ft], r = 0,34 [%/év]. 18

4. kérdés megválaszolása: Az optimális rendelési tételnagyság folyamatos beszállítás esetére érvényes képletbe behelyettesítve: 2A 25000300012 opt = = = 1212[ db] 100 vr 1 9600,34 1 P 400 Az egyszerűség kedvéért most elhagytuk a számok mellől a dimenziókat, hogy a számítás kevésbé tűnjön kuszának. Sejtésünk tehát beigazolódott, valóban megnőtt a rendelt mennyiség, az egyszerre történő beérkezéshez képest. 5. kérdés megválaszolása: 1212[ db] Először számítsuk ki a periódusidőt: T = = = 12,12[ nap] db 100 nap Ez az idő két részperiódusra bontható, a szállítás és felhasználás együttes szakaszára, ami alatt 1212[ db /] a raktár feltöltődik a maximális készletszintre: T 1 = = = 3,03[ nap] P 400[ db / nap] Ezután már csak fogy az eddig felhalmozott készlet, melynek időtartama: T 2 = T T1 = 12,12[ nap] 3,03[ nap] = 9,09[ nap] Ha megnézzük a grafikonon a rendelési szint egyenesét, láthatjuk, hogy kétszer metszi a készlet alakulását jelző háromszöget. Egyszer, amikor még áramlik be a rendelt tétel, tehát a raktár töltődési szakaszában, vagyis T 1 részperiódusban, egyszer pedig a tiszta fogyási szakaszában, azaz a T 2 részperiódusban. Vizsgáljuk meg, hogy a szállítási idő (L=7 nap), melyik részperiódusba esik. L < T 2, és mivel a szállítási idő alatt itt is csak akkora készlet kell, hogy ezalatt ne fogyjon el, s = L = 100 [db/nap] 7 [nap] = 700 [db], vagyis ugyanakkor fogunk rendelni, mint az előző esetben. Amennyiben a szállítási idő nagyobb, mint T 2, akkor azt kell kiszámítani, hogy hány db csavar érkezett be a raktárba, amikor az új rendelést postázni kell. L=10 nap T 2 < L mert 9,09 < 10. Így s = (P - )(T - L) = (400-100)(12,12-10) = 636 [db] 19

L=15 nap Ebben az esetben megint túlnyúlunk a perióduson. A megoldás során először kiszámítjuk az L = L mt = 15 [nap] 112,12 [nap] = 2,88 nap időt, mert ennyivel nyúlunk be az előző periódusba. Ekkor megint megvizsgáljuk, hogy a T 1 vagy a T 2 részperiódusba esik-e a keresett érték, és az előbbi megoldás szerint számítjuk ki s értékét. Példánkban L < T 2, így s = L = 100 [db/nap] 2,88 [nap] = 288 [db] Összefoglalva: Folyamatos beszállítás esetén, egyszerre 1212 db ot rendelünk, ami 3,03 nap alatt érkezik be a raktárunkba, és a felgyülemlett készlet 9,09 nap alatt fogy el teljesen. Az egész periódus összesen 12,12 naponként ismétlődik. Amennyiben a szállítási idő 7 nap, akkor a rendelési szint a fogyó periódusban (T 2 ) észlelt 700 db os készletszint. Ha a szállítási idő 10 nap, akkor még a beszállítási szakaszban (T 1 ) feladjuk a következő rendelést, amint a raktárkészlet 636 db os szintet eléri (bár ekkor még javában folyik a beszállítás, hiszen a maximális készlet 1212 (1-100/400) = 909 db lesz). Amennyiben a szállítási idő 15 nap, akkor megint a fogyó szakaszban (T 2 ) adjuk le a rendelést 288 db os készletszintnél, de a szállítmány csak a következő periódus végére érkezik be. A szállítási időről tehát látható, hogy bármekkora is, nem befolyásolja a tételnagyságot, csak a rendelés időpontját. Így az összköltség szempontjából is lényegtelen, hogy mennyi a tényleges szállítási idő. 20

Folyamatos készletvizsgálat Ha az igények nem determinisztikusan, hanem véletlenszerűen változnak, akkor valamely sztochasztikus modellt kell alkalmazni. Ezt a modellt az alábbi ábrán láthatjuk. készletszint s ss T1 L T2 L idõ Az optimális megoldáshoz sajnos csak bonyolult számítások után jutnánk el, aminek oka az, hogy az igény bizonytalanságai miatt minden periódusban ugyanígy valószínűségi változó a visszamaradó készlet. Ez viszont azt okozza, hogy a készletezési költség nem a már megismert Kkészlet = v r összefüggéssel számítható. Ezért, az egyszerűség kedvéért csak 2 a szállítási idő (L) alatti igényre koncentrálunk, illetve az ott fellépő, előre nem látható igénycsúcsot próbáljuk meg kivédeni. Már megismertük, hogy ennél a modellnél két kérdésre kell válaszolnunk: 1. Mennyit rendeljünk, azaz =? 2. Mikor rendeljünk, azaz s =? 21

Az első kérdésre a válasz egyszerű. Az egyszerűsített modellünkben a mennyiséget ugyanúgy határozzuk meg, hogy az igény várható értékét determinisztikusnak tekintjük, 2A mintha ez a tényleges igény lenne. Vagyis az EO modell szerint: =. vr A második kérdésnél már nem kerülhető el annak vizsgálata, hogy az igény várható értéke alapján nem tudjuk a raktár szállítóképességét garantálni. Amennyiben az igény meghaladja a várható értéket, akkor azonnal hiány keletkezik. Ezt csak úgy tudjuk elkerülni, hogy a megnövekedett igényt egy ún. biztonsági készlettel próbáljuk meg kompenzálni. Vagyis a rendelési készletszint két részből áll: 1. A szállítási igény alatti várható igény. 2. Biztonsági készlet. s = utánrendelés alatti átlagos igény + biztonsági készlet s = u L + ss = u L + zσ ul Mekkora legyen a biztonsági készlet? Ez több dologtól is függ. Egyrészt meghatározza az igény várható értékének szórása. Minél nagyobb a szórás, annál nagyobb biztonsági készlettel lehet ezt kompenzálni. Másrészt a szolgáltatás biztonsága, vagyis minél kisebb valószínűséggel szeretnénk megengedni, hogy hiány lehessen, annál nagyobb biztonsági készletet kell tartanunk. Az előbbit (szórást) nem tudjuk befolyásolni, az tőlünk függetlenül alakul ki, a szolgáltatás színvonalát viszont igen. A szolgáltatás szintjének mérése 1. A hiány gyakorisága: P{ u > s} = f ( u) du 1 p P{ u > s} (1 p) s Adott p esetén s, vagy adott s esetén p kiszámítható a standard normális eloszlás táblázatának segítségével. 2. A hiány nagysága: s ( u s) f ( u) du 1 p s ( u s) f ( u) du (1 p) a hiány nagysága normális eloszlás esetén egy standard normális eloszlás táblázathoz hasonló, a készletgazdálkodásban alkalmazott G z {0,1} táblázatból számítható: 22

s σ L ( u s) f ( u) du = σ L Gz{ 0, 1} Gz{ 0,1} (1 p) Gyakorló feladat Egy üzem az egyik beszállítója által gyártott speciális csavart használ a gyártmányaihoz. A csavarok iránti igény átlagosan 3000 db havonta. A rendelés és szállítás költsége együttesen 5000 Ft rendelési tételenként. A csavar beszerzési ára 960 Ft/db, a vállalatnál alkalmazott készlettartási ráta 34 % egy évre. A havi igény szórása 300 darab. Feltételezzük, hogy az igény normális eloszlású valószínűségi változó. Az üzemvezetés a termelés biztonsága érdekében úgy határozta meg a készletgazdálkodási rendszer biztonságát, hogy hiány átlagosan három évente egyszer lehet. Kiindulási adatok = 3000 darab/hó, v = 960 Ft/db, A = 5000 Ft, r = 0,34 Ft/Ft/év σ = 300 darab, hiány három évente egyszer Megoldás: a. Mekkora az optimális rendelési tételnagyság? 2A 25000300012 = = = 1050darab EO vr 9600,34 b. Mekkora az utánrendelési készletszint, ha az utánrendelési idő 7 nap? T EO = = = 10, 5 EO T EO 1050 100 nap L µ L = L = 100 7 = 700darab 7 σ L = 300 = 144, 9darab 30 300012 A három év alatt összesen 3 = 3 = 102, 86 alkalommal rendelünk. EO 1050 23

Ha háromévente egyszer lehet hiány, akkor ez azt jelenti, hogy a három évben a hiány 1 valószínűsége: p = = 0, 00972. 102,86 Ehhez a valószínűséghez a standard normális eloszlás táblázatából a z = 2,34 érték tartozik. Ezt figyelembe véve a biztonsági készlet nagysága: ss z σ = 2,34 144,9 339. = L A rendelési készletszint tehát: s = µ + ss = 700 + 339 = 1039. L c. A teljes költség számítása: TK {, p} = v + A + + SS vr = 2 300012 1050 = 3000 12960 + 5000 + + 339 9600, 34 = 1050 2 =35013,438 eft. d. Hogyan alakul a biztonsági készlet és az utánrendelési készletszint, ha a vezetés az összes igény 97% - át akarja raktárról kielégíteni? Vigyázzunk arra, hogy az összes igény 97 % - a azt jelenti, hogy akár az összes rendelési periódusban lehet hiány, de legfeljebb 3 % - nyi. Az előző pontban az összes rendelési periódusból csak egyetlenegyben keletkezhetett hiány, viszont akkor bármekkora. Mivel ez egészen más kiindulási feltételt jelent, ezért a megoldása is másképpen történik. Fel kell használni, a már említett G z {0,1} függvényt: 1050 Gz{ 0,1} = (1 p) = (1 0,97) = 0,2174 σl 144,9 A G z {0,1} táblázatból kikeresve, a fenti értékre z = 0,44 adódik. Ezt figyelembe véve ebben az esetben a biztonsági készlet: ss = zσ L = 0,44144,9 = 63,7 64 darab. Mindezek alapján a rendelési készletszint: s = µ L + ss = 700 + 64 = 764 darab. 24

Venni vagy gyártatni probléma elemzése (esettanulmány) Egy gyártóüzem vezetése azt fontolgatja, hogy egy kritikus alkatrészt, amelyet korábban egyik alvállalkozója gyártott, esetleg a saját gyártóüzemében is elõ tudná állítani. Az alkatrész iránti várható igény évi 3200 darab. Az üzem évente átlagosan 250 napot dolgozik. Az üzem gazdasági vezetõi 14%-ban határozták meg a tõke értékét akkor, ha azt üzemen belül használják fel. Az elmúlt évben 60.000 eft volt a készletek finanszírozási igénye. További 2.400 eft -ot költöttek a készletekkel összefüggõ adókra, biztosításra. A készletek károsodásával, lopással kapcsolatos költség közelítõleg 900 eft volt. Végezetül 1.500 eft -ot költöttek a raktározással kapcsolatos általános költségekre (fûtés, világítás, adminisztráció, stb.). A beszerzési osztály információi szerint átlagosan két órát tart egy rendelés elkészítése, függetlenül a rendelt mennyiség nagyságától. A beszerzési osztályon dolgozók becsült óraköltsége az egyéb járulékos terheket is figyelembe véve 2.800 Ft. Emellett, a tavalyi idõszakban a feladott 125 rendeléshez 237,5 eft egyéb telefon, papír, postai költség is társult. Az alvállalkozótól való rendelés esetén egy hét a rendelés feladása és az alkatrészek beérkezése között eltelt idõ. Statisztikai vizsgálatok azt mutatják, hogy ezen egy hét alatt az alkatrész iránti igény várható értéke 64 darab, szórása pedig 10 darab. Az üzemvezetés azt tartja elfogadhatónak, ha évente egy alkalomnál többször alkatrészhiány nem keletkezik. Jelenleg az üzem 1.800 Ft -ért vásárolja az alkatrészt az alvállalkozótól. Az utóbbi hónapokban azonban az üzemben felesleges kapacitás keletkezett ezért az üzemvezetés úgy gondolja, hogy talán olcsóbban beszerezhetõ az alkatrész, ha helyben gyártják. Az elõrejelzések azt mutatják, hogy várhatóan lesz elegendõ kapacitás az alkatrész gyártására. Közelítõleg öt hónapnyi szabad kapacitása van az üzemnek és az alkatrészbõl a rendelkezésre álló technológiával így 1000 darab gyártható le havonta. Megfelelõ termelésprogramozással biztosítható, hogy 2 hetes átfutással a rendelt mennyiség mindig legyártható. A kétheti utánrendelési idõ alatt az alkatrész iránti igény várható értéke 128 db, a szórása pedig 14,14 db. Egy darab legyártásának költsége elõreláthatólag 1.700 Ft. 25

Az üzemvezetés fõ aggodalma az, hogy a gyakori rendelések esetén a berendezések átállítása jelentõs veszteséggel jár. Úgy becsülik, hogy egy átállítás egy teljes nyolc órás műszakot vesz igénybe, és az óránként elvesztett termelés értéke 5.000 Ft. A problémára adott válasz során a következõ kérdésekre térjen ki: 1.) A készlettartási költségek elemzése és a jelenlegi készlettartási ráta. 2.) A rendelési költségek elemzése, és a jelenlegi rendelési költség tételenként. 3.) Saját gyártás esetén az átállási költségek elemzése. 4.) Az optimális rendelési tételnagyság mind alvállalkozói, mind pedig helyi gyártás esetén. 5.) Az éves összes költség mind alvállalkozói, mind pedig helyi gyártás esetén. 6.) Tegyen javaslatot arra vonatkozóan, hogy az üzem továbbra is alvállalkozóval gyártasson-e vagy pedig helyben készítse-e a kérdéses alkatrészt. Mutassa ki a javaslatához tartozó költségmegtakarítást. 26

Mindkét esetre érvényes alapadatok: Éves igény (): 3200 darab/év (normális eloszlást követ). Éves munkanapok száma 250. A készlettartási ráta (r): - tõke értéke 14% : 0.14 - adók, biztosítások: 2.400/60.000 = 0.04 - károsodás, lopás: 900/60.000 = 0.015 - egyéb általános ktg.: 1.500/60.000 = 0.025 Összesen: 0,22 Évente egyszer lehet hiány a.) A teljes költség számítása külsõ szállítótól történõ vásárlás esetén Erre az esetre érvényes további adatok: Beszerzési költség (v): 1800 Ft/db Utánrendelési idõ (L): 1 hét Igény az utánrendelési idõ alatt ( L ): 64 darab Az igény szórása az utánrendelési idõ alatt (σ L ): 10 darab Rendelési költség (A): - kétórányi munka költsége: 22.800 = 5.600 Ft - telefon, papír, posta ktg. 237.500/125 = 1.900 Ft Összesen: 7.500 Ft Az optimális rendelési tételnagyság: 2A 2 7.500 3.200 = = = 348,15db. 348darab Külső vr 1.800 0,22 A biztonsági készletszint és utánrendelési készletszint számítása: T Külső = = = 27, 18 Külső 348 250 3.200 nap 27

Külső 348 z = 1,23 P{ u > s} = 1 P{ u > s} = = = 0, 1087 3.200 Külső ss = zσ L = 1,2310 = 12,3 13 darab s = µ L + zσ L = 64 + 1,2310 = 76,3 77 darab A teljes költség számítása (ezer forintban számolva): TK Külső {, ss} = v + A + + ss v r = Külső Külső 3.200 348 = 3.200 1,8 + 7,5 + 13 1,8 0,22 = 5.903eFt. 348 + 2 b.) A teljes költség számítása belsõ gyártás esetén Erre az esetre érvényes további adatok: Gyártási költség (v): 1.700 Ft/db Utánrendelési idõ (L): 2 hét Igény az utánrendelési idõ alatt ( L ): 128 darab Az igény szórása az utánrendelési idõ alatt (σ L ): 210 = 14.14 darab Átállási költség (A): 85.000=40.000 Ft Termelési ráta (P): 1.000 db/hó Az optimális rendelési tételnagyság: 2A 2 40.000 3.200 = = = 966,12db. 966darab Belső P 12 1.000 vr 1 1.700 0,22 1 3.200 A biztonsági készletszint és utánrendelési készletszint számítása: 28

T Belső = = = 75, 47 Belső 966 250 3.200 nap Belső 966 z = 0,52 P{ u > s} = 1 P{ u > s} = = = 0, 3019 3.200 Belső ss = zσ L = 0,5214,14 = 7,35 8 darab s = µ L + zσ L = 128 + 0,5214,14 = 135,35 136 darab A teljes költség számítása (ezer forintban számolva): TK Belső P {, ss} = v + A + + ss v r = Belső P Belső 3.200 966 121.000 3.200 = 3.2001,7 + 40 + 8 1,70,22 = 5.707,97eFt. 966 + 2 121.000 A belsõ gyártás 195 eft. -al olcsóbb megoldás lenne. 29