2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 1/22 Megbízható optimalizálás matematikai feladatok megoldásában Csendes Tibor
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 2/22 Pakolási feladatok középkori japán fatáblán Egy japán sangaku az Edo korszakból (1603 1867) körpakolási feladatokkal. Ilyen sangakukat találhatunk buddhista templomokban és sintóista szentélyekben, valószínűleg meditációs célra valók.
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 3/22 Sangaku egy japán sziklán
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 4/22 Bolyai Farkas javaslatai optimális fatelepítésre.
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 5/22 A körpakolási feladat két ekvivalens megfogalmazása Helyezzünk el adott n darab egybevágó kört átlapolás nélkül, maximális sugárral az egységnégyzetben. Helyezzünk el adott n számú pontot az egységnégyzetben úgy, hogy a köztük lévő minimális távolság maximális legyen. max min (x i x j ) 2 + (y i y j ) 2, 1 i =j n ahol 0 x i, y i 1, i = 1, 2,...,n.
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 6/22 Naiv intervallum aritmetika [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d] [a, b] [c, d] = [a d, b c] [a, b] [c, d] = [min(ac, ad, bc, bd), max(ac, ad, bc, bd)] [a, b]/[c, d] = [a, b] [1/d, 1/c] ha 0 / [c, d] Példa: az f(x) = x 2 x függvény befoglaló függvénye a [0, 1] intervallumon az [ 1, 1] intervallumot adja, míg az értékkészlet itt [ 0.25, 0.0].
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 7/22 Körpakolási feladatok megoldása 28-30 kör esetén n = 28 n = 29 n = 30 A satírozott körök kis mértékben mozgathatók az optimalitás megtartása mellett (a globális minimumpontok halmaza pozitív mértékű). Két kör érintkezését az összekötő vonalak jelzik.
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 8/22 Körpakolási feladatok megoldása részletei Hardver: PC, Pentium IV 1800 MHz, 1 GB RAM. Szoftver: Linux, GNU C/C++, C XSC Toolbox, PROFIL/BIAS. A sugár értékére kapott korlátok: F 28 = [0.2305354936426673, 0.2305354936426743], w 7 10 15, F 29 = [0.2268829007442089, 0.2268829007442240], w 2 10 14, F 30 = [0.2245029645310881, 0.2245029645310903], w 2 10 15. A teljes futási idők: 53, 50, illetve 21 óra. A feladatok megoldásához kb. egy millió részintervallum kellett. A verifikált eljárás az optimális pakolás helyében való bizonytalanságot több mint 711, 764, illetve 872 nagyságrenddel csökkentette.
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 9/22 Egy vegyipari hálózattervezési feladat F 1 x 1 x 3 A S 1 A S 3 P 1 x 4 P 2 S 4 S 2 F 2 x 2 C P C 3 A feladat a fenti szeparátor-hálózatra annak eldöntése, hogy az x i [0.0, 1.0], (i = 1, 2, 3, 4) megosztók minimális költséget adó értéke mellett van-e anyagáram ciklus.
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 10/22 A vegyipari hálózattervezési feladat eredményei A valós függvény-kiértékelésre támaszkodó sztochasztikus, klaszterező algoritmus által adott eredmény: f(x ) x 1 x 2 x 3 x 4 NFE CPU 62.550111 0.00296602 0.99875609 0.75149047 1.0000000 56 067 8.73 62.791640 0.01029729 0.99757082 0.84846761 1.0000000 27 232 4.45 62.851381 0.02461725 0.99482994 0.64821641 1.0000000 61 190 9.45 62.855458 0.00166749 0.99553307 0.86046189 1.0000000 51 263 8.13 62.836668 0.05248426 0.99983809 0.81663978 1.0000000 38 757 6.10 átlag 47 486.3 7.470
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 11/22 A vegyipari hálózattervezési feladat eredményei 2. Az intervallumos optimalizálási eljárás 35 683 függvényhívás és 3 perc számítógépidő árán talált megoldást 10 000 memóriaegységre (egy ilyen egység egy részintervallumot tárolt) támaszkodva: F(X ) = [62.49, 62.69], X = [0.00000000000,0.00097656250],[0.99804687500,0.99902343750], [0.71875000000, 0.72070312500],[0.99804687500, 1.00000000000]
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 12/22 A kellemetlen gyár telepítési feladat eredménye
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 13/22 Káosz ellenőrzés Hénon differencia-egyenlet rendszerekben Tekintsük a H(x, y) = (1 + y ax 2, bx) Hénon transzformációt az a = 1.4 és b = 0.3 értékekkel. A feladat olyan jellegű relációk ellenőrzése a teljes Q 0 Q 1 kiindulási halmazra, mint: H 7 (Q 0 Q 1 ) R 2 \ E, H 7 (a d) O 2, H 7 (b c) O 1, ahol E, O 1 és O 2 adott halmazok, és a, b, c, d a Q 0 és Q 1 paralelogrammák megfelelő oldalai.
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 14/22 A kezdő intervallum és a 3 feltétel ellenőrzése a Q 0 Q 1 b c d
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 15/22 Az Hénon leképezés 7. iteráltja kaotikussága H 7 (b) E 2 O 1 y 0.1 H 7 (c) E 1 H 7 (d) 1.0 x H 7 (a) O 2
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 16/22 A fékezett, kényszererős inga is kaotikus x mg sinx m mg
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 17/22 Az igazolt áthaladás x P(Q 0 ) 1 x 2π Q 1 Q 0 Q 1
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 18/22 E.M. Wright 50 éves sejtése egy késleltetett differenciálegyenletről z (t) = αz(t 1) (1 + z(t)), megoldása α [1.5, π/2] esetén is nullához tart.
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 19/22 A megoldás befoglalása a y y síkon. y y
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 20/22 M 1.8 1.6 1.4 M log ( m α + 1) M α (e m 1) 1.2 1 Computer Aided part 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 4 6 8 10 Theoretical part m y (upper) (inc,1) y (upper) (dec,n) y (lower) (inc,1) y (upper) (dec,1) y (lower) (dec,1) y (lower) (inc,n)
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 21/22 Kapcsolódó közlemények T. Csendes: Optimization methods for process network synthesis a case study, In: Christer Carlsson and Inger Eriksson (eds.): Global & multiple criteria optimization and information systems quality. Abo Academy, Turku, 1998, 113-132 M.C. Markót and T. Csendes: A new verified optimization technique for the packing circles in a unit square problems. SIAM J. on Optimization 16(2005) 193-219 M.Cs. Markót and T. Csendes: A reliable area reduction technique for solving circle packing problems. Computing 77 (2006) 147-162 T. Csendes, B.M. Garay, and B. Bánhelyi: A verified optimization technique to locate chaotic regions of Hénon systems. J. of Global Optimization 35(2006) 145-160 B. Bánhelyi, T. Csendes, and B.M. Garay: Optimization and the Miranda approach in detecting horseshoe-type chaos by computer. Int. J. Bifurcation and Chaos 17(2007) 735-748 T. Csendes, B. Bánhelyi, and L. Hatvani: Towards a computer-assisted proof for chaos in a forced damped pendulum equation. J. Computational and Applied Mathematics 199(2007) 378-383 P.G. Szabó, M.Cs. Markót, T. Csendes, E. Specht, L.G. Casado, and I. García: New Approaches to Circle Packing in a Square With Program Codes. Springer, Berlin, 2007
2007. június 8. XXVII. Magyar Operációkutatási Konferencia, Balatonőszöd 22/22 Társszerzők Bánhelyi Balázs, Csallner András Erik, Garay Barna, Hatvani László, Krisztin Tibor, Markót Mihály Csaba, Arnold Neumaier Röst Gergely és Szabó Péter Gábor