Modellezés Modellezés elméleti alapismeretek Kovács Balázs & Szanyi János Kovács Szanyi, 4-6 Mi a modellezés? A MODELL a valós rendszer egyszerűsített, sematikus transzformációja. A modell a valós rendszer! A szimuláció sematikus, nincs minden tulajdonság reprezentálva. Ugyanaz a valós rendszer másképpen van modellezve eltérő célok esetén. Nincs univerzális modell! Egy modellt mindig lehet javítani, de soha lesz az eredeti valós rendszer. A modell jósága csak a probléma ismeretében dönthető el. Ha a célt elérem, akkor a modell jó! Két azonos tudású modell közül az egyszerűbb a jobb! Két féle modellezés létezik: az eredményes és a tanulságos. A modellezés kreatív játék! Modellek fajtái Fizikai modell: kisebb léptékben megépítjük a modellezett tér egyszerűsített mását terepasztal modell Analóg modell: egy már ismert, matematikailag leírt jelenséggel kapcsolatos hasonlóságra épít; az áramlási egyenletek tulajdonképpen ugyanazok, mint a hő, elektromosság vagy mágneses mező áramlási egyenletei Matematikai modell: a felszín alatti vízáramlást leíró egyenletek megoldása (szivárgás alapegyenlete) - analitikus modell: egzakt, matematikai megoldást ad, pontszerű esetben vagy homogén környezeti viszonyok között alkalmazható - numerikus modell: a szivárgás alapegyenletének közelítő, egzakt megoldásai; a numerikus megoldások mind időben, mind térben szakaszolják a lezajló folyamatokat úgy, hogy az egyes szakaszokon belül a számításhoz szükséges paramétereket állandónak tekintik - szemianalitikus modell: az alapegyenletet analitikusan oldja meg, amíg megoldható, majd numerikus számítással folytatja
Numerikus modellek Felszín alatti vizek szivárgásának jellemzőit az alábbi numerikus módszerekkel lehet vizsgálni: - véges differencia módszer - véges elem módszer - perem elem módszer - analitikus elemek módszere Véges differencia módszer: a modellezett teret tetszőleges darabszámú, de azonos eloszlású, egymással érintkező téglatest alakú elemekre bontjuk, a szivárgás alapegyenletét leíró parciális differenciál-egyenletet differencia egyenletté alakítjuk és az egyes elemek közötti vízforgalmat numerikus, iteratív eljárásokkal megoldjuk Véges elem módszer: a modellezett tér tetszőleges csomópontú felosztását teszi lehetővé és az azokat összekötő vonalak által határolt elemekre bontja, melyek oldalukkal ha csomópontjukkal illeszkednek egymáshoz; az egyes elemek mentén a keresett attribútum értékét előre felvett paramétereket tartalmazó függvényekkel közelíti, majd a szomszédos elemek határai mentén valamilyen hibaelv alapján illeszti (lokális approximáció elve) Elemekre bontás Véges differencia háló Véges elem háló Négy rétegből álló rendszer véges differencia elemekre bontása (CHIANG és KINZELBACH, 1999) Egy szennyeződés modellezésénél használt végeselem-háló (VOGT, 1993.) Véges differencia módszer alkalmazásának lépései A modellezett teret tetszőleges számú sort, oszlopot, réteget tartalmazó elemekre bontjuk, egyenletes vagy változó osztású rácsháló segítségével. Szivárgás alapegyenletét leíró differenciálegyenletet differenciaegyenletté alakítjuk. Meghatározzuk az egyes hasábelemek és az azokkal közvetlenül érintkező elemek közötti vízhozamokat a Darcy-törvény és a kontinuitási tétel felhasználásával, Meghatározzuk az egyes elemekbe táplált vagy onnan kivett hozamokat, valamint a rendszer vízmérlegét befolyásoló egyéb objektumok (pl. felszíni vizek és vízadók kommunikációjából eredő hozamok) vízmérlegre gyakorolt hatását. Összegezzük minden egyes elemre a vízmérleg elemeit. A hiányzó elemek pótlására a modell szélein peremfeltételeket alkalmazunk. A vízmérleg alapján felállítjuk a modellezett tér vízforgalmát az adott időlépcsőben leíró lineáris egyenletrendszert, majd numerikus iteratív eljárásokkal megoldjuk. Az egyes elemekre felírt vízmérleg aktívum vagy passzívum alapján meghatározzuk az elemben bekövetkező vízszint (nyílt tükrű rendszer) vagy nyomásszint (zárt tükrű rendszer) változásokat. Nem permanens rendszerben a következő időlépcsőre ismét felírjuk a Darcytörvényen alapuló, elemek közötti vízhozamokat és a számítás fázisait a szükség szerinti időlépcsőkre megismételjük
Véges differencia módszer következményei A módszerrel abszolút nyomásszinteket tudunk számítani, csak a nyomásszintek változásait! Ezért szükséges a számításhoz egy kiindulási állapot, egy alaphelyzet, amit a számítás kezdeti feltételének nevezünk. A kezdeti időpontban meg kell adni a nyugalmi nyomásszint eloszlást! A módszer előnyei: a megoldás során megmarad az eredeti differenciálegyenlet összefüggés a számítás részeredményei valós fizikai tartalommal bírnak szemléletes a szabályos elemkiosztás miatt az alapadat-rendszer könnyen feltölthető A módszer hátrányai: a háló lokálisan, csak speciális eljárással sűríthető a változékony településű képződmények határai nehezen követhetők a kapott eredmények az egyes elemekre jellemző átlagértékek lesznek a hidrogeológiai információk pontszerűek ugyanakkor a modellben egy térfogati cella értékeként jelennek meg Differenciálegyenlet differenciaegyenletté alakítása A térbeli differenciálhányadosok differenciahányadosokká alakítása formálisan a differenciáloperátor differenciaoperátorra cserélésével történik, azaz: h h x Az időbeli differenciaképzésnek ugyanakkor van egy sajátossága, amely a modell-számítások numerikus hibáinak előfordulását alapvetően meghatározza. A h(ε) nyomásszintet a h(t) alaphelyzetből az alábbi összefüggéssel kapjuk: h t h( ε ) h( t) + ( ε t) ( ε ) legyen: ω ε ekkor: h( ε ) ( 1 ω) h( t) + ω h( t + t) t t -haω, akkor előrelépéses differenciákról beszélünk (Forward Difference Method) -haω1, akkor hátralépéses differenciákat alkalmazunk (Backward Difference Method) -ha ω,5 akkor középponti differenciákat használunk (Central Difference Method) Cellák vízmérlege véges differenciák segítségével I. ahol t a kezdeti időpont és S a tárolási tényező A sorszámú véges differencia elem felé Q i hozamok szivárognak a szomszédos 4 elemből. A vizsgált elemből a források vagy nyelők által kitermelt vagy betáplált vízmennyiség Q. A vízmérleg megváltozása t idő alatt: 4 t Q i i Ez a vízmérleg változás indukálja a h nyomásszint megváltozását a jelű elemben, ( h ( t + t) h ( t ) S y azaz t Q + Q + Q + Q + Q ) ) ( 1 3 4
Cellák vízmérlege véges differenciák segítségével II. Darcy törvényt felhasználva: h1 ) h ) h ) h ) h3 ) h ) T1 + y T + T3 + y y h4 ) h ) ( h ( t + t) h ( t) ) S y + y T4 t ahol T i a kiszemelt és a szomszédos elem transzmisszivitásai alapján számított mértékadó transzmisszivitás értéke. A T i átlagérték meghatározására különböző módszerek terjedtek el. A sorba kötött ellenállások elvének figyelembevételével: y + y1 + T1 ; T ; y y1 T 3 és T 4 hasonlóképpen + + T T1 T T Ti + T Ti T De lehet számtani átlaggal: Ti vagy mértani átlaggal: Ti T + T i Források, nyelők Vízzáró határ esetén egyedül csak a mértani átlaggal számított mértékadó transzmisszivitás ad a vízzáró felöl zérus hozamot. Ezért olyan programok esetén, melyek ezzel számolnak bevezetnek egy további paramétert, arra vonatkozóan, hogy a cella aktív vagy inaktív. Értelemszerűen az inaktív cellákból lép víz se be se ki. Folyó: olyan cellákkal reprezentáljuk, ahol az oldalfalak vízzáróak, csak a fenéken keresztül van vízátadás, a kolmatált zónán keresztül Drén: hasonló felépítésű mint a folyó típusú cella, csak a vízadó megcsapolására képes ha a fenékszintjénél nagyobb a vízadó vízszintje Kutak: negatív a termelő, pozitív az injektáló, ha egy cellába több kút esik, akkor összegezni kell a hozamokat Maradó beszivárgás: az időegység alatt leszivárgó vízmennyiséget jelöli. Peremfeltételek Ahhoz, hogy a vízmérleget minden egyes elemre ki lehessen számolni a számításba bevont térrész szélein peremfeltételekre van szükség. A peremfeltételek három csoportba sorolhatók: Dirichlet-típusú peremfeltétel a peremi helyzetű cellában a vízmérleget módosító hozamot vesz figyelembe, ha a cella vízforgalmát a cella előírt nyomás szintjén keresztül szabályozza. A nyomásszint lehet időben állandó vagy előírt módon változó (fix nyomású perem). Hátránya, hogy depresszió a peremen alakulhat ki. Neumann-típusú peremfeltétel alkalmazásakor a vízmérleget egy adott, állandó hozammal korrigáljuk (fix hozamú perem). Ha vízzáró a határ, akkora perem felől érkező Q i hozamot zérusnak adjuk meg. A megoldás hibája, hogy függetlenül az aktuális vízföldtani helyzettől a meghatározott vízmennyiséggel a vízmérleg módosul. Féligáteresztő típusú a perem, ha a cellák vízmérlegének módosulása, azaz a peremi hozam időben állandó, ha az aktuális hidrodinamikai helyzettől függő nagyságú. Az ilyen peremek egyesítik a Dirichlet és a Neumann típusú peremek előnyeit. Legismertebb képviselője az ún. általános nyomásszintű határ, amit angol nevének rövidítéséből GHB (General Head Boundary)-peremnek is hívnak. A GHB peremen van egy előírt vagy mértékadó h m nyomásszint, melyet a határon a megközelítőleg tartani szándékozunk. A peremi cellában - a szomszédos elemekkel való vízforgalom következtében - azonban változna a vízmérleg és ennek következtében a nyomás- vagy vízszint h értékkel változna. A változás korrekciójára a GHB peremen a h értékkel arányos vízmennyiséget táplálunk be.
Modell adatrendszer hibái Észlelt (mért) érték Aktuális mérési érték A paraméter becsült értéke a modell-elemben Átlagérték Aktuális becslési érték Mérõmûszer pontatlansága Átlagos becslési érték Modell-eredmény Aktuális mérési hiba Mérési hiba szórása Átlagos modell-eredmény Aktuális modell-eredmény A hibák átöröklődésének sémája Mehra, 1978 és McLaughlin, 1978 nyomán (SACHER, 1983) Numerikus hibák I. Numerikus megoldás közelítő megoldás hibával terhelt! Iterációs módszer esetén megadjuk, hogy mekkora az a küszöb érték, mely elérése után a megoldást már elég pontosnak tekintjük (konvergencia kritérium) Másodsorban megszabjuk, hogy mekkora legyen a maximális iterációszám. A konvergencia kritériumot magunk választjuk meg a modellben a nyomásszintnek megadott hossz mértékegységében. Nyomásszint hiba gradiens hiba (egyenletesen megoszló nyomásszint hiba esetén a legkisebb elemeknél a legnagyobb, mert I Dh/Dy ) Gradiens hiba szorozva a szivárgó keresztmetszettel kapjuk a vízmérleg hibát. Törekedni kell, hogy a vízmérleg hiba mindig elhanyagolható legyen a forrásoknyelők által kitermelt vagy eltávolított vízmennyiséghez képest, ezek 1%-át ne haladja meg! Numerikus hibák II. Megoldás instabil ha a közelítő megoldás konvergál a valódi megoldáshoz Numerikus instabilitás Numerikus oszcilláció numerikus instabilitás numerikus oszcilláció Nyomásszint Nyomásszint Idö Idö a, b, alálövés fölélövés numerikus diszperzió Koncentráció Numerikus megoldás Koncentráció Numerikus megoldás Valódi megoldás Valódi megoldás Hely Hely
Numerikus hibák kiküszöbölése Az instabilitás leküzdéséhez a legfontosabb gyakorlatban előforduló okokat kell ismernünk, ezek: - a konvergencia- vagy más néven stabilitási-kritériumnak megfelelő időlépcső alkalmazása, - irreális modelladat-rendszer azon belül is mértékegység hibák, helyiérték hibák, egymást kizáró paraméterek használata A megoldás alapvetően akkor válik divergenssé, ha lehetőség van az anyagmérleg számításakor arra, hogy egy adott elemből több anyag (víz vagy szennyezőanyag) távozzék, mint amennyit abban az elemben az időlépcső elején tároltunk. Az időlépcső csökkentése ilyen hibák esetén előbb-utóbb stabilitást eredményez. A lényeg, bármi áron stabil megoldáshoz jutni Bizonyított, hogy transzport számítások során a numerikus oszcilláció annál nagyobb minél nagyobb a advektív transzport folyamat jelentősége a diszperzív transzportnál. a, b, C C Pe Pe8 Pe16 Pe3 Co1 Co8 Co8 Co16 Co3 v x A végeselem módszer numerikus hibái a SICK1 programrendszeren: a koncentráció-eloszlás t1 s elteltével, harang alakú kiindulási koncentráció-impulzus, állandó szivárgási sebesség esetén (a, különböző Peclet-számok, b, különböző Courant-számok esetén) (KÖNIG, 1993) v x Numerikus hibák csökkentése Az egyes paraméterek megváltoztatásának hatása a modellnél fellépő numerikus hibákra Paraméter változtatás Előre- vagy hátralépéses differenciák alkalmazása Középponti differenciák alkalmazása Cella- vagy elemméret csökkentése Numerikus hibára való hajlam instabilitás oszcilláció diszperzió alálövésfölélövés nő csökken csökken nő nő nő nő nő Időlépcső növelése nő nő szivárgási sebesség, transzmisszivitás növelése Források és nyelők hozamának növelése nő nő nő nő nő nő változik változik Tárolási tényező növelése csökken csökken Diszperzió-állandó, diszperzivitás növelése nő nő csökken csökken Modellezési munkafolyamat Földtani és vízföldtani ismeretek összegyûjtése és rendszerezése A modellezési koncepció (munkahipotézis) felállítása Modelladatrendszer felállítása Numerikus számítások elvégzése Munkahipotézis vagy adatrendszer módosítása Eredmények értékelése Modell felhasználása a vizsgálandó probléma megoldására