Fizika 1 Mechanika órai feladatok egoldása 3. hét 3/1. Egy traktor két pótkocsit vontat nyújthatatlan drótkötelekkel. Mekkora erő feszíti a köteleket, ha indításnál a traktor 1 perc alatt gyorsít fel 40 k/h sebességre? A traktor töege 3 t, a pótkocsik töege 2-2 t, a gördülő ellenállási együttható 0,1, g = 9,81 /s 2. Fk2 Fk2 Fk1 Fk1 Ftr 1 tr Jelölje Ftr az út által az traktorra a ozgás irányába kifejtett erőt; Fk1 ill. Fk2 a kötélerőket; Fny, tr, Fny,1 és Fny,2 a talaj által a traktorra, ill. pótkocsikra kifejtett nyoóerőket; Fs, tr, Fs,1 és Fs,2 a gördülési súrlódási erőket. A ozgásegyenletek vektori alakban: traktor: tr atr = tr g + Fny,tr + Ftr + Fk1 + Fs,tr első pótkocsi: 1 a1 = 1 g + Fny,1 + Fk1 + Fk2 + Fs,1 ásodik pótkocsi: 2 a2 = 2 g + Fny,2 + Fk2 + Fs,2 függőleges koponensei (a pozitív irányt felfelé választva): traktor: tr atr,z = tr g + Fny,tr első pótkocsi: 1 a1,z = 1 g + Fny,1 ásodik pótkocsi: 2 a2,z = 2 g + Fny,2 Mivel a testek a felületen ozognak, a függőleges gyorsuláskoponensek nullák ebből tudjuk a nyoóerőket: Fny,tr = tr g, Fny,1 = 1 g, Fny,2 = 2 g. vízszintes koponensei (a haladási irányt választva pozitívnak): traktor: tr atr,x = Ftr Fk1 Fs,tr első pótkocsi: 1 a1,x = Fk1 Fk2 Fs,1 ásodik pótkocsi: 2 a2,x = Fk2 Fs,2 Mivel a kötél nyújthatatlan, ezért a gyorsulások egegyeznek: atr,x = a1,x = a2,x = a; a súrlódási erők nagysága Fs = Fny = g, ezeket behelyettesítve: traktor: tr a = Ftr Fk1 trg első pótkocsi: 1 a = Fk1 Fk2 1g ásodik pótkocsi: 2 a = Fk2 2g Ezekből sorra kiszáolhatók a kérdéses erők, ha iserjük a gyorsulást. Mivel 1 perc alatt gyorsít a traktor 40 k/h sebességre állandó gyorsulással: a = v / t = (40/3,6 0) / 60 0,1852 /s 2, tehát Fk2 = 2(a+ g) = 2000 (0,1852+0,1 9,81) 2332 N, Fk1 = Fk2 + 1(a+ g) = 2332 + 2000 (0,1852+0,1 9,81) 4665 N, Ftr = Fk1 + tr(a+ g) = 4665 + 3000 (0,1852+0,1 9,81) 8163 N. MEGJEGYZÉSEK: A drótkötelek töegét elhanyagoltuk. Ha figyelebe kellene venni a töegüket, akkor ne lenne igaz, hogy a két végükön ébredő erő egegyezik, hane a kötelekre is fel kellene írni ozgásegyenletet és abból tudnánk kiszáolni az erőket. 3 / 1
Vegyük észre, hogy a fenti feladatban a gyorsulás az egyes testek ozgásegyenletéből kifejezve,,,, vagyis az egyes testekre előre- ill. hátrafelé ható erők különbsége arányos a töegükkel (ugyanez igaz kötelekre is). Tekintsük a 3 testet egy rendszernek és adjuk össze a 3 testre felírt ozgásegyenletet: (tr+1+2)a = Ftr Fs,tr Fs,1 Fs,2 Ekkor az F k1, F k2 kötélerők kiesnek, ivel ők a 3 testből álló rendszerben belső erők. A 3 testből álló rendszer gyorsulását a külső erők eredője határozza eg:,,,. 3/2. Mekkora lejtővel párhuzaos erő szükséges ahhoz, hogy állandó gyorsulással 2 s alatt nyugali helyzetből indulva felhúzzunk egy 6 kg töegű testet egy 30 -os, 1 agas lejtőn, ha a súrlódási együttható 0,2? A ozgásegyenlet vektori alakban: a = F + g + Fny + Fs F az általunk kifejtett lejtővel párhuzaos húzóerő Az erőket erőleges koponensekre kell bontani, de lejtő esetén ne függőleges és vízszintes, hane lejtőre erőleges és lejtővel párhuzaos koponensekre bontjuk: lejtőre erőleges (kifelé pozitív): a = 0 g cos + Fny + 0 lejtővel párhuzaos (felfelé pozitív): a = F g sin + 0 Fs Mivel a testek a felületen ozognak, a lejtőre erőleges gyorsuláskoponens nulla ebből tudjuk a nyoóerőt: Fny = g cos ; a súrlódási erő nagysága pedig Fs = Fny = g cos, ezt behelyettesítve a lejtővel párhuzaos egyenletbe: a = F g sin g cos. A gyorsulás kiszáolható az időből, kezdősebességből és a egtett útból: a lejtő hossza, azaz a egtett út s = h/sin = 2 ; v0 = 0 s ½ t 2 a = 2s/t 2 = 1 /s 2. A ozgásegyenletből F = (a + gsin + gcos ) = 6 (1 + 10 sin30 + 0,2 10 cos30 ) 46,39 N. MEGJEGYZÉSEK: Általánosan a lejtővel párhuzaosan a pozitív irányt választhatjuk felfelé vagy lefelé is. Azt az irányt célszerű pozitívnak választani, aerre a test ozog; ekkor a súrlódási erő negatív előjelű lesz (fékez), a gravitációs erő g sin koponensének előjele pedig az irányválasztástól függ (pozitív, vagyis gyorsít, ha a test lefelé ozog, ill. negatív, vagyis fékez, ha a test felfelé ozog). Ha a gyorsulás negatívra jön ki, akkor a test lassul. Ha lefelé haladva lassul v=0 -ra, akkor ott a test egáll és a tapadási súrlódási erő iatt ott is arad (ha egyéb erő ne hat rá). Ha felfelé haladva lassul v=0 -ra, akkor a tapadási súrlódási együttható értékétől függ, hogy egy helyben arad vagy elkezd visszacsúszni lefelé. Ha visszacsúszik, akkor a csúszási súrlódási erő iránya egváltozik (ivel azt a sebesség iránya szabja eg). Ha van olyan erő (g -n és Fny -n kívül, pl. egy külső húzó/tolóerő), ainek van a lejtőre erőleges koponense, akkor ódosul a ozgásegyenletnek a lejtőre erőleges koponense és eiatt változik Fny nagysága, és azzal együtt Fs nagysága is. Ha a külső erő belenyoja a testet a lejtőbe, akkor Fny (és Fs) nagysága nő, ha eleeli, akkor csökken. Itt egy látványos bizonyíték arra, hogy a súrlódási erő a nyoóerővel arányos (ebben az esetben a tapadási súrlódási erő a cipő és a fal között): http://www.videoan.gr/106419 3 / 2
3/3. Egy kettős lejtő egyik oldala = 50 -ot, a ásik = 58 -ot zár be a vízszintessel. Két testet összekötünk egy (nyújthatatlan, elhanyagolható töegű) L = 2 hosszú kötéllel. Az 50 -os oldalra tesszük az 1 = 14 dkg-os testet, az 58 -os oldalra az = 10 dkg-os testet, úgy, hogy a kötélnek pont a fele az egyik, fele a ásik oldalon van. A testek és a lejtő közötti csúszási súrlódási együttható 0,12, a tapadási súrlódási együttható 0,15. Mekkora, ilyen irányú a testek gyorsulása, elyik test ér fel a lejtő tetejére és ikor, ha a) a 14 dkg-os testet eglökjük lefelé 1 /s-os sebességgel; b) a 10 dkg-os testet eglökjük lefelé 1 /s-os sebességgel; c) a testeket kezdősebesség nélkül tesszük a lejtőre? 1 = 0,14 kg, 50 ; 2 = 0,10 kg; 58 ; = 0,12; t = 0,15; v0 = 1 /s. Az előző feladat intájára tudjuk, hogy Fny1 = 1 g cos ill. Fny2 = 2 g cos ; Fk a kötélerő. Pozitív iránynak a kezdősebesség irányát vesszük fel. a) 1 aa = 1 g sin Fk 1 g cos 2 aa = 2 g sin + Fk 2 g cos a = (1gsin 1gcos 2gsin 2gcos ) / (1+2) 0,2201 /s 2 Tehát a kezdősebesség irányában gyorsulnak is a testek: v = v0 + aat = 1 + 0,2201t ; s = v0 t + ½ aat 2 1 t + ½ 0,2201 t 2 A kötél felének egfelelő utat, azaz 1 -t kell egtennie a 10 dkg-os testnek, hogy felérjen: s = L/2 = 1 = v0ta + ½aata 2 1 ta+½ 0,2201 ta 2 ta 0,9090 s alatt ér fel a 10 dkg-os test. b) 1 ab = 1 g sin + Fk 1 g cos 2 ab = 2 g sin Fk 2 g cos b = ( 1gsin 1gcos + 2gsin 2gcos ) / (1+2) 1,650 /s 2 Tehát a testek ost lassulnak: v = v0 + abt = 1 1,650t t* 1/1,650 0,6061 s alatt egállnak, ezalatt s* = v0 t* + ½ bt* 2 1 t* ½ 1,650 t* 2 1 0,6061 ½ 1,650 0,6061 2 0,3030 -t tesznek eg, vagyis ne ér fel a 14 dkg-os test, hane az a) részben kiszáolt gyorsulással indulnak el a testek ebből a helyzetből (zérus kezdősebességgel), és a 10 dkg-os test fog felérkezni s = ½ a t 2 ½ 0,2201 t 2 = L/2 + s* 1,303 t 3,441 s alatt (összesen 4,047 s alatt). c) Ne tudjuk, egindulnak-e a testek egyáltalán, és ha igen, errefelé; vagyis ne tudjuk, tapadási vagy csúszási súrlódást kell-e figyelebe vennünk, illetve ilyen irányba vegyük fel őket. Megoldhatjuk úgy a feladatot, hogy tetszőlegesen kiválasztjuk az egyik irányt, felírjuk annak egfelelő előjelekkel az egyenleteket, és ha pozitív gyorsulást kapunk, akkor azzal száolunk tovább; de ha negatívra jön ki a gyorsulás, akkor fel kell írni az egyenleteket a ásik iránynak egfelelő előjelekkel és újra egoldani. Mivel ez elég sok száolás, tájékozódásként száoljuk ki a gravitációs erő lejtővel párhuzaos koponensét az egyes testekre, és vegyük azt az irányt pozitívnak, aerre ezek alapján (vagyis a súrlódás elhanyagolásával) indulnának. 1 g sin 1,072 N > 2 g sin 0,8480 N, tehát a 14 dkg-os test indulna lefelé. Ha ne lenne súrlódás, a két erő különbsége, azaz 1 g sin 2 g sin 0,2244 N gyorsítaná a testeket. 3 / 3
Kérdés, hogy a tapadási súrlódási erő tudja-e ezt ellensúlyozni. Ft,ax,1 = t 1gcos 0,1350 N; Ft,ax,2 = t 2gcos 0,0795 N, Ft,ax,1 + Ft,ax,2 0,2145 N Ft,ax,1 + Ft,ax,2 < 1gsin 2gsin, tehát a testek elkezdenek csúszni. Hasonlóan a fentiekhez (ost v0 = 0): t MEGJEGYZÉS: / ), 3,01 s kell ahhoz, hogy a 10 dkg-os test felérjen. Ha Ft,ax,1 + Ft,ax,2 > 1gsin 2gsin lenne, akkor Ft,1 Ft,ax,1 és Ft,2 Ft,ax,2 és Ft,1 + Ft,2 = 1gsin 2gsin. Két test esetén a helyzet bonyolult, de egyetlen test esetén Ft értéke eghatározható. 3/4. (DRS 3.8) Az ábrán látható elrendezésben a csigák és a kötél töege elhanyagolható, a kötél nyújthatatlan, a csigák súrlódásentesek. Mekkora az egyes töegek gyorsulása és az egyes köteleket feszítő erő, ha 1 = 0,6 kg és = 0,8 kg? 1 Mivel a kötél és a csiga töege elhanyagolható és a csiga súrlódásentes, ezért a csigákon átvetett kötélben az F k1 kötélerő nagysága a kötél entén állandó; az töeget a ozgócsigához rögzítő kötélben lévő erő nagysága pedig F k2. Kötéllel összekötött testek esetén az egyes erők előjelét ne a függőlegesen felvett z tengelyhez szokás viszonyítani, hane a kötél entén szokás felvenni egy pozitív irányt. Tételezzük fel, hogy 1 fog lefelé gyorsulni. Ezzel a feltételezéssel a ozgásegyenletek: 1 a1 = 1 g Fk1 2 a2 = Fk2 2g A két test gyorsulása ost ne egyenlő. Látható, hogy ha az A pontot fixnek képzeljük el, ai körül a csiga elfordul, akkor aíg az O pont l-nyit eelkedik, addig a B pont 2 l-nyit eelkedik. Másrészt, ivel a kötél hossza állandó, a csiga eelkedésekor áttevődik l -nyi a jobb oldali álló kötélrészről a túloldalra. (A csiga pereén futó kötél hossza változatlan, így a csiga érete ne száít.) Mivel a2 = a1/2. Az Fk1 és Fk2 kötélerőkre felírjuk a ozgócsiga ozgásegyenletét: cs acs = 2 Fk1 Fk2, aiből Fk2 = 2 Fk1, ivel cs = 0. Ezeket behelyettesítve 1 a1 = 1 g Fk1 2 a1/2 = 2 Fk1 2g aiből g 2,50 /s (pozitív, tehát tényleg lefelé gyorsul), 2 l ozgó B álló O álló A l a2 = 1,25 /s 2 (tényleg felfelé), Fk1 = 1 (g a1) = 4,5 N Fk2 = 2 Fk1 = 2 (g+a2) = 9,0 N 3 / 4
Gyakorló feladatok a zárthelyire: 3/5. (DRS 3.3, volt Bevezető fizikán) Csigán átvetett nyújthatatlan kötél egyik végén 1 = 2 kg, ásik végén 2 = 1 kg töegű test lóg. A kötél súrlódásentesen ozoghat. Írjuk fel az egyes testek ozgásegyenleteit! Határozzuk eg a kötélben fellépő feszítőerőt, és az egyes testek gyorsulását! (A csiga töege elhanyagolható.) Itt ost látszik, hogy 1 fog lefelé gyorsulni: Fk 1 Fk Ebből 1 a = 1g Fk 2 a = Fk 2g 3,2 / és 2g 1 g 13,08 3/6. (DRS 3.11) Vízszintes súrlódásentes felületen 1 = 3 kg töegű test, kötéllel hozzákötve = 7 kg töegű test, kötéllel hozzákötve 3 = 10 kg töegű test, és azt húzzuk F = 100 N erővel vízszintesen. A kötelek nyújthatatlanok, a töegük elhanyagolható. Mekkora a testek gyorsulása és ekkorák a kötélerők? 1 3 F 3/7. (DRS 3.5) Vízszintes asztalon = 2 kg töegű test, az asztal szélén lévő csigán átvetett kötéllel hozzákötve 1 = 0,5 kg töegű test lóg függőlegesen. Mekkora a kötéllel egyáshoz kötött testek gyorsulása és a kötelet feszítő erő, ha az töegű test a) a vízszintes felületen súrlódás nélkül csúszhat; b) és a vízszintes felület közötti súrlódási együttható = 0,2? 1 3/8. (DRS 3.12, volt Bevezető fizikán) Mennyivel nyúlik eg a két test közé iktatott rugó, aikor az összekapcsolt rendszer egyenletesen gyorsuló ozgásban van? Mindháro test töege = 1 kg, a súrlódási együttható = 0,2, a rugóállandó k = 4 N/c, a csiga, a rugó és a kötelek töege elhanyagolható, a csiga súrlódásentes, a kötelek nyújthatatlanok. 3 / 5
F 1 F 1 F 2 F 2 F 3 F 3 F4 Kötélerők: egy-egy kötélszakasz két végén azonos nagyságú az erő, ert a kötelek töege elhanyagolható. F 1 = F 2, ert a rugó töege elhanyagolható (ha lenne töege, a két kötélerő különbsége gyorsítaná a rugót). Ez a kötélerő lesz arányos a rugó egnyúlásával: F 1 = F 2 = F r = k l. F 3 = F 4, ert a csiga töege elhanyagolható és súrlódásentes. A ozgásegyenletek (F 1 helyett is F 2 -t, F 4 helyett is F 3 -at írva): a lógó testre a = g F 3 a középső testre a = F 3 F 2 F s = F 3 F 2 g a bal oldali testre a = F 2 F s = F 2 g, Ezekből 10 2 /s 2. A rugó egnyúlását F 2 -ből száoljuk, azt pedig a bal oldali test egyenletéből kapjuk eg: F 2 = a + g = 1 (2+0,2 10) = 4 N l = F 2 / k = 1 c. F 4 3/9. Vízszintes asztallapon kiskocsi ozog. A kiskocsit egy csigán átvetett kötélre akasztott súly ozgatja. = 100 g esetén a kiskocsi 3 s alatt, = 200 g esetén a kiskocsi 1 s alatt teszi eg az 1 -es utat nyugali helyzetből kiindulva. Mekkora a kocsi töege, és ekkora a súrlódási együttható? g = 10 /s 2 A ozgásegyenletek: Ma Fk Mg M(a+ g) = (g a) a g Fk 1 = 0,1 kg esetén a1 = 2s / t1 2 = 2 1 / 3 2 = 2/9 /s 2 : 2 = 0,2 kg esetén a2 = 2s / t2 2 = 2 1 / 1 2 = 2 /s 2 : M = 0,35 kg, = 0,257 M M(2/9+10 ) = 0,1(10 2/9) M(2+10 ) = 0,2(10 2) 3/10. = 20 hajlásszögű lejtőre = 0,5 kg töegű testet helyezünk. A test és a lejtő közötti csúszási súrlódási együttható = 0,2, a tapadási súrlódási együttható t = 0,4. a) Mekkora súrlódási erő hat a testre? b) értékét növelve ilyen krit szögnél csúszik eg a test? Mekkora súrlódási erő hat rá onnantól? 3 / 6
a) A test ozgásegyenlete: a = g sin Ft Ha a test tapad a lejtőn, akkor a = 0 Ft = g sin = 0,5 10 sin20 1,710 N tapadási súrlódási erő kell hasson a testre. Ellenőrizni kell, hogy ez kisebb-e, int a tapadási súrlódási erő axiális lehetséges értéke, ai Ft,ax = t g cos = 0,4 0,5 10 cos20 1,879 N. = 20 hajlásszögű lejtőn tehát a test ég tényleg ne csúszik eg, ert ax. 1,879 N tapadási súrlódási erő léphetne fel a test és a lejtő között, de csak 1,710 N erő gyorsítja, ezért a test és a lejtő között fellépő tapadási súrlódási erő F t = 1,710 N. b) Határesetben F t eléri F t,ax értékét, vagyis a = g sin krit Ft,ax = g sin krit t g cos krit = 0 sin krit = t cos krit t = 0,4 = tg krit krit = 21,80. A lejtő hajlásszögét tovább növelve a csúszó testet F s = g cos = 0,2 0,5 10 cos csúszási súrlódási erő fékezi. ( krit esetén ez 0,9285 N.) 3/11. Egy kaionos a következőt esélte a 2013. árcius 14-i kalandjairól az M1-es autópályáról. a) Egyszercsak egy 7 -os eelkedő aljához érkezett, ai úgy el volt jegesedve, hogy a súrlódás egészen zérusra csökkent. Szerencsére viszont a szél éppen hátulról fújt és nagyon erős volt, így a eglazult ponyváját vitorlaként kifeszítette és úgy jutott fel az eelkedőn. A szél állandó erővel vízszintesen fújt, és őt állandó, v = 18 k/h sebességgel vitte fel a lejtőn. Mekkora erőt fejtett ki a szél a kaionra? A kaion töege M = 20 t. b) A dob teteje után a túloldalon 5 -os lejtővel folytatódott az út, ai szélárnyékban volt, egszűnt a szél ereje; viszont nagyon havas volt, így a kaionra g = 0,12 gördülési súrlódási együtthatóval ost ár gördülési ellenállási erő hatott (az üzeanyaga ár elfogyott, ne tudott otorral enni, csak gurult). Ekkor kapta eg a kaionos a BM-től az ss-t, és azt rögtön el is olvasta, ai 30 s-ig tartott. Mekkora lett a sebessége és ekkora utat tett eg ezalatt a 30 s alatt? (A kaion a lejtő tetejéről v = 18 k/h sebességről indult, aikor elkezdte olvasni az ss-t.) Fsin7 Fcos7 7 F F ny Mgsin7 7 Mgcos7 F s Mgcos5 F ny 5 Mgsin5 7 Mg a) A kaion az eelkedőn állandó sebességgel halad, tehát a gyorsulása zérus. A lejtővel párhuzaos koponensek Mg sin7 F cos7 = 0 F = Mg tg7 24557 N b) A kaiont a lejtőn az Mg lejtővel párhuzaos koponensének és a súrlódási erőnek az eredője gyorsítja: Ma = Mgsin5 F s F s = g F ny = g Mgcos5, ivel a lejtőre erőleges koponensből látjuk, hogy F ny = Mgcos5. Tehát a = g ( sin5 g cos5 ) = 0,324 /s 2, a kaion lassulni fog: v = v 0 + a t = (18/3,6) 0,324 t = 5 0,324 t és egáll t = 5/0,324 15,44 s alatt. Így tehát a egtett út s = v 0 t + ½at 2 = 5 15,44 ½ 0,324 15,44 2 38,6 [ = v 0 2 /(2a) ] Mg 3 / 7 5
3/12. Az ábra szerint elhanyagolható töegű nyújthatatlan kötéllel egyáshoz kötünk egy M, 1 és töegű testet és 38 -os hajlásszögű lejtőre tesszük. A lejtő tetején egy ideális (súrlódásentes, elhanyagolható töegű) csiga van. Az 1 és töegű testek és a lejtő közötti csúszási súrlódási együttható = 0,08. a) Mekkora a testek gyorsulása és ekkorák a kötélerők? b) Ha az M töegű testet eltávolítjuk, ekkora erővel kell húzni a kötelet, hogy az 1 és töegű testek gyorsulása ne változzon? c) Hányszorosára nő a testek gyorsulása, ha az M töeg kétszeresére nő? (a kötelet ne húzzuk) 1 M M = 7 kg 1 = 5 kg = 3 kg = 0,08 g = 10 /s 2 38 F ny1 F k1 1 F ny2 F k2 F s2 g F k2 F s1 1 g F k1 M Mg 38 a) Az 1 -re ill. -re a lejtő által kifejtett nyoóerő F ny1 = 1 g cos38 ill. F ny2 = g cos38, a súrlódási erők F s1 = F ny1 = 1 g cos38 ill. F s2 = F ny2 = g cos38. Tegyük fel, hogy az M töeg lefelé gyorsul (ert súrlódási erők nélkül jobbra Mg = 70 N, balra ( 1 + )g sin38 49,25 N hat a csigánál), így a lejtővel párhuzaosan M a = Mg F k1 1 a = F k1 F k2 1 g sin38 F s1 = F k1 F k2 1 g sin38 1 g cos38 a = F k2 g sin38 F s2 = F k2 g sin38 g cos38 ) ) Ezekből g 1,047 /s 2 A gyorsulásra pozitív érték jött ki, tehát tényleg ebbe az irányba gyorsulnak a testek. [Ha azzal a feltételezéssel írtuk volna fel az egyenleteket, hogy az M töeg felfelé gyorsul, akkor a = 1,72 /s 2 jönne ki.] A kötélerők: ) g 23,50 N; ) ) g 62,67 N. b) Ha 1 és arad és a gyorsulásuk változatlan, akkor a kötélerők is változatlanok. Ez azt jelenti, hogy a kötelet a fent kiszáolt F k1 62,67 N nagyságú erővel kell húzni. Megjegyzés: Azért ne Mg = 70 N nagyságú erővel, ert az az erő ahhoz volt szükséges, hogy indháro testet gyorsítsa, de ost kisebb az össztöeg. Az Mg F k1 7,33 N erő agát az M töegű testet gyorsítja, így lesz annak is 7,33/7 1,047 /s 2 nagyságú gyorsulása. 3 / 8
[Az F k1 1 g sin38 F s1 g sin38 F s2 8,38 N erő gyorsítja az 1 + töegeket (8,38/8 1,047/s 2 ), az F k1 1 g sin38 F s1 F k2 5,24 N az 1 töeget (5,24/5 1,047/s 2 ) és az F k2 g sin38 F s2 3,14 N az töeget (3,14/3 1,047/s 2 ).] c) A gyorsulás ne kétszeresére nő, ert ugyan Mg értéke kétszeresére nő, de az 1 és testekre ható ellentétes irányú erők változatlanok. Az a) pontban felírt egyenletekbe M = 14 kg-ot behelyettesítve a* 3,896 /s 2, ez ~3,7-szerese az előző gyorsulásnak. 3/13. A kettős lejtő 30 hajlásszögű oldalán 1 = 2 kg töegű, a 45 hajlásszögű oldalán = 1 kg töegű test fekszik, a két test össze van kötve egy csigán átvetett kötéllel. A súrlódás elhanyagolható. Mekkora a testek gyorsulása? 30 1 2 45 3/14. Mennyivel nyúlik eg a rugó? 1 = 2 kg, = 3 kg, 3 = 5 kg, 1 = 0,2, 2 = 0,06, k = 0,5 N/c. A kötelek súlytalanok és nyújthatatlanok, a csiga súlytalan és súrlódásentes, a lejtő ne tud elozdulni. 30 1 3 1 2 3/15. hajlásszögű lejtőre kötéllel összekötött két testet teszünk. A lejtő és az 1 töegű test közötti csúszási súrlódási együttható 1, az töegű testé pedig 2. Mi a feltétele annak, hogy a két test között a kötél feszes legyen? Mekkora a kötélerő? 1 1 2 1 a = 1 g sin 1 1 g cos F k a = g sin 2 g cos + F k és ) A kötél feszes, ha F k 0, azaz ha 2 1 (az egyenlőség esetén feszes kötéllel kell letenni) VAGY: gyorsabb egoldás, ha a ozgásegyenleteket felírjuk a kötélerő nélkül, és azt ondjuk, hogy ha az alsó test gyorsulása legalább akkora, int a felső test gyorsulása, akkor a kötél feszes arad. 1 a 1 = 1 g sin 1 1 g cos a 1 a 2 : sin 1 cos sin 2 cos 2 1 a 1 = (sin 1 cos ) g, hasonlóan a 2 = (sin 2 cos ) g 3 / 9
Ne zh-nak való feladat: a) Bizonyítsuk be: ha a testre ható erő indig erőleges a test sebességére, akkor a test sebességének nagysága ne változik. b) Bizonyítsuk be: ha a testre ható erő indig egyező irányú a test sebességével, akkor a test sebességének iránya ne változik. Írjuk fel a test gyorsulását úgy, hogy deriváljuk a test sebességvektorát: + ( erőleges -re ) a) Ha az erő, azaz a gyorsulás erőleges a test sebességére, akkor az irányú koponense zérus kell legyen, tehát 0, b) Ha az erő, azaz a gyorsulás egy irányú a sebességgel, vagyis az arra erőleges koponense zérus, akkor 0, vagyis a) ásként: nézzük eg, it ad, ha deriváljuk a sebességvektor önagával vett skaláris szorzatát: 2 2 2. Ha v és F erőlegesek, akkor a skaláris szorzatuk zérus, tehát 0 ; de tudjuk, hogy, vagyis a sebesség nagyságának négyzete állandó, azaz a sebesség nagysága állandó. És egy cseles csigás feladat: 1 A kötél nyújthatatlan, a kötél és a csigák töege elhanyagolható, a csigák súrlódásentesek. Határozzuk eg az 1 és az töeg gyorsulását és a kötélerőt! 3 / 10