Tanulmányok A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban Lolbert Tamás, az Állam Számvevőszék számvevője, a Budapest Corvnus Egyetem PhD-hallgatója E-mal: lolbertt@asz.hu A tanulmány célja, hogy áttekntést nyújtson az értékösszeg becslésére használt módszerekről, különös tekntettel a könyvvzsgálatban alkalmazottakra. A könyvvzsgálat azért teknthető különleges területnek, mvel az általánosan használt, első és másodk momentumokra alapozott becslésekhez jól vselkedő eloszlásokra van szükség, és a pénzügy beszámolókban található hbák eloszlása az emprkus vzsgálatok szernt nem lyen. A terület specaltásanak smertetését követően a tanulmány bemutatja a legnkább elterjedt becslés eljárásokat. TÁRGYSZÓ: Mntavétel. Nem egyenlő valószínűséggel történő kválasztás. Pénzügy alkalmazások, pénz- és értékpac.
226 Lolbert Tamás A könyvvzsgálatban a legnkább tpkusnak nevezhető feladat az, hogy egy pénzügy kmutatásról el kell dönten, tartalmaz-e lényeges hbát (materal error). Egy hba lényegessége (materalty) a klasszkus értelmezés szernt abból fakad, hogy matta már érdemben módosulnak a pénzügy kmutatás alapján hozott döntések. A jelen tanulmány, és a legfontosabb gyakorlat alkalmazások szempontjából a lényeges hba mndg a főösszeg (vagy fontosabb részösszegek) kmutatott és valós értékének 1 egy tolerálható mértéket meghaladó eltérését jelent. 2 Mvel a könyvvzsgálat meglehetősen távol áll a statsztka szokásos alkalmazásatól, célszerűnek látszk egy kcst részletesebben foglalkozn az alapfogalmakkal. Lényegesnek teknthetjük a hbát például, ha az eltérés meghaladja az 1 mlló forntot, vagy lényeges a hba, ha az eltérés meghaladja a főösszeg 2 százalékát. Ezt a krtkus összeget (vagy százalékot) más néven lényegesség küszöbnek s hívják. Mvel semmféle megszorítást nem jelent, a továbbakban a lényegesség küszöb mndg a főösszegre vonatkozk, és a főösszeg százalékában (tehát nem abszolút összegben) van megadva. Ez a defnícó a következő példával érzékeltethető legkönnyebben. Tekntsük a számvtel törvényben leírt A típusú mérleg egy egyszerűsített formáját: Eszközök (aktívák) Források (passzívák) A. Befektetett eszközök D. Saját tőke I. Immateráls javak I. Jegyzett tőke II. Tárgy eszközök III. Befektetett pénzügy eszközök VII. Mérleg szernt eredmény B. Forgóeszközök E. Céltartalékok I. Készletek F. Kötelezettségek II. Követelések I. Hátrasorolt kötelezettségek III. Értékpapírok II. Hosszú lejáratú kötelezettségek IV. Pénzeszközök III. Rövd lejáratú kötelezettségek C. Aktív dőbel elhatárolások G. Passzív dőbel elhatárolások Eszközök összesen Források összesen 1 A valós érték kfejezést a tanulmány nem a számvtel törvényben (2000. év C. Tv 3.. (9) 12.) meghatározott értelemben használja. A továbbakban valós érték alatt az audtor által végzett teljes körű ellenőrzés után kapott helyes értéket kell érten. Természetesen ez az érték hpotetkus, hszen teljes körű ellenőrzésre nem kerül sor. 2 A lényegesség az tt leírtnál jóval összetettebb fogalom, azonban tovább dmenzót alapvetően nem a statsztka eszközevel szokás megragadn.
A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 227 Tegyük fel, hogy a mérlegben szereplő eszközök, mnt kmutatás megbízhatóságáról kell véleményt nylvánítan. Tegyük fel továbbá a példa kedvéért, hogy lényegesnek teknthető az Eszközök összértékének 2 százalékos, a Befektetett eszközök értékének 1 százalékos, a Forgóeszközök értékének 5 százalékos, az Aktív dőbel elhatárolások értékének 2 százalékos, és végül a Készletek és a Követelések együttes értékének 10 százalékos eltérése. Az egyes lényegesség küszöböket külön-külön kell vzsgáln. Könnyen látható, hogy a Befektetett eszközök, az Aktív dőbel elhatárolások, lletve a Készletek és a Követelések együttes értékének vzsgálata tszta eset, hszen nem tartalmaznak tovább, lényegesség küszöböket tartalmazó bontásokat. Ezzel szemben a Forgóeszközök, és az Eszközök összesen értékelése ebben az értelemben többlépcsős folyamat. A tanulmány elején csak a tszta esetekkel foglalkozunk, és csak később térünk k rövden az összetett esetek kezelés módjára. A tanulmány célja azon klasszkus (Neyman Pearson-elvet követő) statsztka eszközök smertetése, melyeket az elmúlt 25 évben fejlesztettek k és jelenleg s használnak a pénzügy beszámolók megbízhatóságának megítéléséhez. A problémát a statsztka nyelvére lefordítva a következő feladattal állunk szemben: mnta alapján becsüln kell a sokaság értékösszeget, és ezt össze kell vetn a kmutatásban szereplő összeggel. A következőkben tehát tekntsük az Y és X (=1 N) páros sokaságot, ahol Y jelöl az N tételből álló kmutatásban szereplő értékeket, és X ezek valós, de nem smert értékét. Ez alapján a könyvvzsgáló feladata annak eldöntése egy előre adott (például 95 százalékos) bzonyossággal, hogy a teljes könyv szernt érték (Y = Y ) és a valós érték ( X = X ) különbsége hogyan vszonyul a lényegesség küszöbhöz. Amennyben az eltérés nem haladja meg a lényegesség küszöböt, elfogadja a kmutatást, ellenkező esetben elutasítja. 3 A jóhszemű feltevés szernt a könyvvzsgáló mnden általa megvzsgált Y esetén képes X pontos megadására, de mvel megelégszk a részleges bzonyossággal, ezért döntését az összesen N tételből n megvzsgálásával fogja meghozn. A mntába kerülő n tételt az általános sokaság tételektől megkülönböztetendő Y és X ksbetűs változataval (y és x ) jelöljük. Adott tétel könyv szernt és a valós értéke segítségével számíthatjuk a következő két mutatót: 1. d = y x ( D = Y X ), a mnta (sokaság) -edk elemében levő hba vagy eltérés (error vagy devaton), am a mnta esetében 3 A könyvvzsgálat nem csak elfogadó és elutasító véleménnyel végződhet. Ahogyan azt a lényegesség defnícójával kapcsolatos 2. számú lábjegyzet s tartalmazza, a könyvvzsgálat a mntavétel módszereken kívül sok egyéb eljárást s használ, melyek esetleg feleslegessé s tehetk a mntavételt, továbbá a pénzügy kmutatás egyes részere adott lényegesség küszöbök aggregálásával sok esetben nem adható sem egyértelmű elfogadó, sem egyértelmű elutasító vélemény. A m szempontunkból azonban, fgyelembe véve a lényegesség általunk használt leegyszerűsített defnícóját, megengedhető az lyen egyszerűsítés.
228 Lolbert Tamás smert, a sokaság általános elemére pedg nem smert, de létező érték; y x d Y X D 2. t = = ( T = = ), a mnta (sokaság) -edk y y Y Y elemének szennyezettsége, tehát a könyv szernt értékhez vszonyított relatív hbája (tantng). Ha jól megfgyeljük, azonnal ktűnk a leírt modell legnagyobb hbája: ez a módszer nem alkalmas a kfelejtett tételek felderítésére. A továbbakban tehát feltesszük, hogy nncsenek lyen, kfelejtett tételek 4 és csupán a tételek értékelése lehet hbás. 1. A könyvvzsgálatban előforduló populácók főbb statsztka jellemző Ahhoz, hogy megértsük, mért s problematkus a könyvvzsgálatban az értéköszszeg becslése, mndenképpen be kell mutatn a sokaság (populácó) jellegzetességet. Ezzel kapcsolatosan az 1960-as, az 1970-es és az 1980-as években sok tanulmány született, melyek fő eredményet ez a fejezet foglalja össze. Az első szembetűnő jelenség, hogy a tételek túlnyomó része helyes, azaz nem tartalmaz hbát. Ez azzal jár, hogy a megvzsgált mntának csak mnmáls része tartalmaz érdem nformácót a hbákról. Johnson Letch Neter [1981] tanulmányából kderül, hogy az általuk vzsgált adatállományokban a Vevők tételek (a B/II. Követelések egy alcsoportja) hbaarányának medánja 0,024 (a kvartlsek Q 1 =0,004 és Q 3 =0,089), míg a Készletek ellenőrzésekor ugyanezek a mutatók Q 1 =0,073, Q 2 =0,154 és Q 3 =0,399. Ezért például a nagy számok törvénye szernt a vevőállományból vett 500 elemű (tehát nagy) mntánál körülbelül 12 darab tétel nformácótartalma alapján kell az egész sokaságról nylatkozn. A tanulmány szernt a nem nulla hbák (eltérések) eloszlása lényegesen eltér az egyes beszámoló-területeken. Míg a vevők esetén például sznte kzárólag csak túlértékelések (overstatement) szerepelnek, addg a készleteknél az alul- és túlértékelések körülbelül fele-fele arányban fordultak elő. Más tanulmány (Ham Lassel Smelauskas [1985]) ktért a Szállítók tételere s, ahol az alulértékelés (understatement) volt a tpkus. A másodk specaltása ezeknek a sokaságoknak, hogy a nagyobb könyv szernt értékű tételek nagyobb valószínűséggel tartalmaznak hbát, ám a relatív hba (elté- 4 Ezt azért tehetjük fel, mert a könyvvzsgálat során a könyvvzsgáló egyéb módon már megbzonyosodott arról, hogy a szervezet belső eljárása garantálják-e a kmutatások teljes körűségét.
A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 229 rés/könyv szernt érték) nagysága nncs szgnfkáns kapcsolatban a könyv szernt értékkel. Ezen felül, az eltérés szórása a könyv szernt értékkel növekszk. Amenynyben az adott tétel egyes pénzegységet, pontosabban a tétel ezekhez rendelt relatív hbáját tekntjük sokaságnak, akkor a leírtak alapján látható, hogy ennek a sokaságnak jelentős része a 0 körül koncentrálódk. Emellett, például a vevőknél, megfgyelhető egy csomópont az 1 körül s, ugyans a hbák jelentős része 100 százalék túlértékelés (például a már befolyt bevételt nem rendezték számvtelleg). A harmadk fontos probléma, hogy a legtöbb sokaság ferde, továbbá a ferdeség jellemző ránya és mértéke más és más az egyes beszámolóterületeken. A most felsorolt tulajdonságok matt az általánosan használt eloszlások (normáls, exponencáls, gamma, béta stb.) nem alkalmasak a valós és a könyv szernt érték eltérésenek modellezésére. 2. A valós érték pontbecslése Tegyük fel, hogy n elemű egyszerű véletlen (a továbbakban: EV-) mntát vettünk a sokaságból. Ez alapján egyebek mellett a következő módokon becsülhetjük a sokaság értékösszeget. Legegyszerűbb a mntaátlag alapján történő becslés: = x ˆXm N. Ennek a becslésnek nylvánvaló hátránya, hogy nem használja fel a n pénzügy kmutatásban szereplő, a valós értékkel jól korreláló adatokat. x A meglevő nformácót az ˆXd = Y Nd, az ˆXr = Y különbség-, lletve y hányadosbecsléssel, valamnt az előző három valamlyen súlyozott átlagával használhatjuk fel. Végül tételezzük fel, hogy az EV-mnta helyett olyan vsszatevés nélkül mntát vettünk, ahol mnden sokaság elem mntába kerülés valószínűsége egyenesen arányos annak könyv szernt értékével (a továbbakban: PPS-mnta, az angol probablty proportonal to sze rövdítésből). Ilyen mntavétel terv mellett a sokaság értékösszegre adott torzítatlan Horvtz Thompson-becslés ˆX HT =. x y n Y 3. A valós érték ntervallumbecslése Az ntervallumbecslés a mntavétel statsztkában szorosan összefügg a hpotézsvzsgálattal: azt az értéket nevezzük 100 α α 0; 1 ) határnak, százalékos ( [ ]
230 Lolbert Tamás amelyket technka nullhpotézsként vzsgálva a jobboldal próbánál a mnta p- értéke éppen α. Amennyben az ntervallum két határa közül az egyk 0 vagy 100 százalék, egyoldal ntervallumról beszélünk. Az [ α1; α2] határokkal defnált ntervallumbecslés megbízhatóság szntje α2 α 1. Az ellenőrzés gyakorlatban alapvetően az egyoldal ntervallumok terjedtek el, ezért a továbbakban csak a [01 ; α] ntervallummal, más néven a 100 ( 1 α) százalékos felső határral fogunk foglalkozn. A legegyszerűbb módja az ntervallumbecslésnek a pontbecslés mntavétel eloszlását vesz alapul, nevezetesen annak első két (centráls) momentumát, tehát az átlagot és a szórást. A tpkus becslés sztuácókban tehát egy kétoldal ntervallumbecslés a µ ± κ1 α 2 σ képlettel adható meg, ahol κ1 α 2 a pontbecslés standardzált eloszlásának megfelelő kvantls értéke. Azokban az esetekben, amkor egy eloszlás jól vselkedk, a központ határeloszlás tétel alapján ezek a becslések már ksebb mnták esetén s elfogadható eredményekre vezetnek. A korábban leírt főbb statsztka jellemzőkből ktűnk, hogy a könyvvzsgálat tpkus sokasága nem követnek jól vselkedő eloszlást, és Neter Km Graham [1975, 1977] vzsgálata kmutatták, hogy ezeknél a sokaságoknál a hagyományos ntervallumbecslés módszerek valóban jelentősen torzítanak. A torzítás egy része a ferdeségből, másk része a normáls eloszlásétól eltérő lapultságból (csúcsosságból) pontbecslés valós érték adódk, melyeknek az a folyománya, hogy a pontbecslés mntavétel szórása hányados még megközelítőleg sem követ t-eloszlást. (Kaplan [1973a, 1973b].) Mvel a hagyományos módon készített becslések nem adtak kelégítő eredményt az eltérés nagyságára, a statsztka és a könyvvzsgálat határterületén több alternatív következtetés eljárást s kfejlesztettek, ezek egy része nagyban támaszkodk a sokaság aránybecslés módszerere. A sokaság elemeben található hba eloszlását kevert eloszlással 5 modellezzük: a hba p valószínűséggel egy ξ valószínűség változó értéket ( E( ξ) = θ, ξ 0) vesz fel, 1 p valószínűséggel pedg 0. 6 p1 α( m,n) jelöl M/N sokaság arány 1 α megbízhatóságú felső korlátját N elemű sokaság, n elemű mnta, M mnősített sokaság elem és m mnősített mntabel elem esetén (a sokság arány becsléséről bővebben: Lolbert [2004]). A most bemutatandó becslések általános jellemzője, hogy az eltérés felső korlátját akarják megadn. Az alsó korláttal kapcsolatos lehetséges módosításokról a megfelelő helyen külön szólunk. 5 Kevertnek nevezzük egy olyan valószínűség változó eloszlását, amelynek értéket úgy származtatjuk k darab különböző, előre rögzített eloszlásból, hogy a k-adk valószínűség változó értékét pontosan p k valószínűséggel vesz fel. 6 A kevert eloszlás meghatározását fgyelembe véve a sokaságban található hba eloszlását 2 valószínűség változóból kevertük k : egy tetszőleges olyan ξ valószínűség változóból, mely ξ( ω) 0 ω esetén, és egy determnsztkus valószínűség változóból, amely konstans 0 értékű.
A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 231 3.1. Egy EV-mntán alapuló becslés Ez a becslés feltételez, hogy: a hba túlértékelésből fakad ( Y X, a zaz D 0 ); a kmutatott tételek mnd poztívak ( Y > 0 ); a tételben levő hba maxmáls értéke legfeljebb a tétel értéke (Y D, azaz X 0 ). Mndezeket fgyelembe véve felírható a következő két relácó: E( ξ) = θ Y max, (mvel ξ mnden D realzácójára D Y Y max ), lletve D E(D = ) = pθ py N amből egyszerű átalakítással a sokaság hba összértékére kapjuk a D NpY max felső korlátot. Amennyben n elemű mntát veszünk a sokaságból, amelyben m hbás tételt találtunk, a becslésre fennáll a 1 α,ev 1 α ( ) max, ˆD = Np m,n Y /1/ relácó, tehát becslésünk legalább 100 1 α százalékban megbízható. max Pr( D D ˆ 1 α,ev ) Pr(NpY max D ˆ 1 α,ev ) = 1 α ( ) Fgyeljük meg, hogy ez a becslés nem használja fel a mntában megfgyelt eltérések nagyságát, csupán a mnta hbás tételenek arányát, ezért elvleg jelentős pontosságjavulást lehet elérn egyrészről rétegzett mntavétellel, másrészről a maxmáls hbanagyságra tett feltevés módosításával. A gyakorlatban ennek ellenére ezt a módszert rtkán használják, alapvetően azért, mert sznte kvétel nélkül PPS-elvű (ezen belül s MUS monetary unt samplng pénzegység alapú) mntavételt alkalmaznak. 7 3.2. A PPS-mntán alapuló becslések A beszámolók audtálásakor az egész vlágon széles körben használt, gyakorlatban előforduló becslés eljárások legfontosabb közös jellemzője a MUS-, vagy DUS- 7 Vegyük azonban észre, hogy a PPS-mntavétel a rétegzett mntavétel specáls határeseteként értelmezhető.
232 Lolbert Tamás mntavétel (monetary unt samplng vagy dollar unt samplng, a hazánkban elterjedt termnológa szernt pénzegység alapú mntavétel). A MUS a könyvvzsgáló gyakorlatban olyannyra elterjedt és elfogadott módszer lett, hogy sznte mást nem s használnak, és általában fgyelmen kívül hagyják a módszer meglevő korlátjat, előfeltevéset, így sokszor azokra a következtetésekre s alkalmazzák, amkre alkalmatlan. A MUS valójában csak annyt jelent, hogy a mntát az eredet sokaság pénzegységeből alkotott mesterséges sokaságból veszk, majd megvzsgálják azokat az eredet tételeket, amelyekből pénzegységet választottak. 8 Könnyen bzonyítható, hogy ez a kválasztás módszer az eredet sokaságra nézve egy PPS-mntát eredményez. MUSmntavétel esetén a hpotetkus sokaság tételszáma (elemszáma) Y (az eredet sokaság értékösszeg), a tételek (sokaság elemek) könyv szernt értéke pedg defnícó szernt a hpotetkus sokaság mnden egyes elemére 1. A mnta elemszámához (n) képest Y gyakorlatlag végtelennek teknthető (pár száztól több-mlló/mllárdg terjedhet), ezért mndegy, hogy vsszatevéssel vagy vsszatevés nélkül veszünk-e mntát. Ennek a mntaválasztás megközelítésnek a könyvvzsgálatban való alkalmazására tett első utalás még 1961-ből, van Heerden holland nyelvű ckkéből (van Herden [1961]) származk, de a könyvvzsgáló szakma szélesebb köre csak 1963-ban smerte meg, Kenneth W. Strngertől (Strnger [1963]). Az általa akkor még csak nagy vonalakban leírt MUS-módszer egyk legsmertebb becslés eljárását Strnger-féle felső határnak (Strnger bound) hívják. A hetvenes években több alternatív módszert s kfejlesztettek, melyek legtöbbje azonban továbbra s magán hordozza a később bemutatandó Strnger-féle becslés gyengeséget: a becslések torzítatlansága analtkusan nem gazolható, a szmulácók alapján pedg a becslések jó része túlságosan konzervatív, azaz a névleges szntnél jóval magasabb a megbízhatóságuk, és így jóval ksebb a pontosságuk (túlságosan széles az ntervallum). A MUS-mntát használó módszerek általában (így az tt leírásra kerülő Strnger-, cella- és multnomáls módszerek s) az úgynevezett CAV- (combned attrbutes-varables samplng) elven alapulnak. A CAV-becslések dszkrétté teszk az eredet eloszlást olyan módon, hogy az eltéréseket nagyságuk alapján ntervallumokba (kategórákba) sorolják, és helyettesítk őket az ntervallum egyk (jellemzően a legnagyobb) értékével. A MUS-mnta kválasztásának technka lebonyolítása A pénzegységalapú mntavételt technkalag többféleképpen lehet elvégezn, melyből a következő módszereket érdemes kemeln. 1. Az elmélet szempontjából legegyszerűbb esetben a pénzegységekből ún. korlátozás nélkül mntát, azaz EV-mntát veszünk. Ebben 8 A MUS a statsztkában smert kumulált értékösszegek módszere egy alkalmazásának s teknthető.
A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 233 az esetben akár az s előfordulhat, hogy mnden n alkalommal ugyanazt a tételt kell megvzsgálnunk, és ematt a korlátozás nélkül MUSmntavétel sokak számára nem elfogadható. Ennek ellenére ezt a mntavétel technkát tekntjük alapértelmezésnek a továbbakban, számtalan jó tulajdonsága matt. 2. A tételek valamlyen előre rögzített sorrendben kumulált sorozatának egy véletlenszerűen kválasztott pontjáról elndulva n alkalommal felmérünk Y/n nagyságú lépésközt. Ez a manuáls gyakorlatban legnkább elterjedt módszer, a szsztematkus kválasztás módszerekre jellemző egyszerűségének köszönhetően. A könnyebb megértés kedvéért tekntsük az 1. ábrát. 1. ábra. Tételek a MUS-mntában A pénzügy kmutatás tételenek kumulált összértéke 1. tétel 2. tétel 3. tétel 12. tétel Az 1. ábrán a felső beosztás ntervalluma jelzk az egyes tételeket. Az első nyíl mutatja a véletlenszerűen kválasztott pontot, a két szomszédos nyíl között távolság pedg a lépésközt. Vegyük észre, hogy az 1. ábrán a 4. és az 5. nyíl ugyanazt a tételt jelöl meg. Az lyen tételeket nevezk lépésköz felett, vagy nagy értékű tételeknek (HVI hgh value tems). A MUS egyes változata a nagy értékű tételeket más és más módon kezelk, de jelen tanulmány szempontjából ez nem lényeg kérdés. 2. ábra. Cellák a MUS-mntában A pénzügy kmutatás tételenek kumulált összértéke 1. tétel 2. tétel 3. tétel 12. tétel 1. cella 2. cella 3. Az úgynevezett cella-módszerben a 2. pontban leírttal szemben a tételek kumulált sorozatát n darab, Y/n hosszúságú ntervallumra ( cel-
234 Lolbert Tamás lára ) osztjuk, és mnden egyes ntervallumon belül véletlenszerűen kválasztott 1-1 pont (az ábrán továbbra s nyíllal jelölve) határozza meg a mntaelemeket. A módszerhez külön kértékelő formula s tartozk, amnek részleteről külön alpontban fogunk írn. A három mntavétel terv a tételek rögzített sorrendje esetén nem egyenértékű. Vegyük észre, hogy sem a 2., sem a 3. terv nem képes produkáln mnden olyan mntát, amt az 1. módszer eredményezhet: sem a 2., sem a 3. mntavétel terv nem tud például olyan mntát eredményezn, amben mnd a 6. mnd a 7. tétel szerepel. Hasonló módon a 2. terv sem képes mnden olyan mntát produkáln, amt a 3. tud. Könnyen látható azonban, hogy a tételek mntavétel előtt megkeverésével (véletlenszerű permutálásával) ez a különbség megszűnk. Nehéz analtkusan átlátn, hogy a mntavétel terveknek ez a különbsége pontosan mlyen hatást gyakorol egy adott kértékelő formulára, és ezzel kapcsolatosan az általam smert rodalom sem nyújtott kellő mértékű elgazítást. Tovább problémát okoz ezeknél a mntavétel terveknél annak eldöntése, hogy a mntába választott különböző pénzegységek mlyen mértékű hbát tartalmaznak. Ezzel kapcsolatosan két felfogás létezk. Az uralkodó, de dőben később megközelítés (tantng-elv) szernt a pénzegység hbája az őt tartalmazó fzka tétel szenynyezettségével egyezk meg, tehát bárhonnét vesszük k az adott tételből a mntaelemet, a hba ugyanaz. A másk megközelítés (my-dollar-rght-or-wrong) az adott fzka tétel hbáját a tétel elejétől (egyes alkalmazásokban a végétől) kezd számoln, tehát attól függően, hogy honnét származk a mntaelem, a hbája 1, 0, vagy pedg egy tört (pont a határon van, és az eredet tételben szereplő hba nem egész szám forntban nézve). Ha tehát a példa kedvéért egy tétel 25 százalékos szennyezettségű, és 20 pénzegységből áll, akkor a tantng-elv szernt mnden egyes pénzegység 25 százalékos szennyezettségű. Ezzel szemben a másk megközelítésben az első 25 százalékot (az első 5 egységet) 100 százalékosan szennyezettnek, a továbbakat vszont teljesen szennyezettségmentesnek tekntk. 9 Ezt a helyzetet a 3. ábra szemléltet. Érdekes módon a tantng megközelítés annak ellenére, hogy ksmntás tulajdonsága jobbak, aszmptotkusan alulmarad a my-dollar-rght-or-wrong megközelítéssel szemben (lásd például Pap van Zuljen [2000]). A továbbakban m a tantng megközelítést fogjuk alkalmazn. A mntaválasztás módok és a hbák különböző értékelése között eltérések jobb megértésére egy leegyszerűsített példán kövessük végg alkalmazásukat. 9 A my-dollar-rght-or-wrong megközelítés gyakorlatlag nem más, mnt a sokaság aránybecslés közvetlen alkalmazása a pénzegységek mesterséges populácójára.
A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 235 3. ábra. A pénzegységek szennyezettsége Szennyezettség 1,00 Szennyezettség 1,00 0,75 0,75 0,50 0,50 0,25 0,25 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 pénzegység pénzegység Tantng megközelítés My-dollar-rght-or-wrong megközelítés Először tekntsük a következő elszámolást, 10 amt egy külföld kküldetésből hazatért kolléga nyújtott be. Külföld kküldetés elszámolása 1. táblázat Sorszám Megnevezés Könyv szernt érték (Y ) Valós érték (X ) (a pror smeretlen) Megjegyzés Relatív hba (százalék) euró 1 Taxszámla a Ferhegy repülőtérre 23 0 Kapott BKV bérletet, így nem jogosult elszámoln 2 Repülőjegy oda-vssza 512 512 0 3 Tax a szállásg 72 72 0 4 Szállás 5 napra félpanzóval. 432 324 Elírás 25 5 Hely tömegközlekedés, het bérlet 84 84 0 6 Étterm ebéd 1. nap 15 15 0 7 Étterm ebéd 2. nap 15 15 0 8 Étterm ebéd 3. nap 15 15 0 9 Étterm ebéd 4. nap 15 15 0 10 Étterm ebéd 5. nap 15 15 0 11 Telefonköltség 43 43 0 12 Tax a repülőtérre 68 68 0 13 Tax a Ferhegy repülőtérről 35 0 Lásd. 1. tételnél 100 Összesen 1344 1178 12 100 10 Mndössze 13 tétel esetén a valós alkalmazásokban természetesen nncs mntavétel, hanem teljes körű tételes ellenőrzést alkalmaznak.
236 Lolbert Tamás A tételek közül szúrópróbaszerűen kválaszt a pénzügyes 6 tételt. Ehhez először el kell készíten a tételek kumulált sorozatát. Tételek kumulált sorozata 2. táblázat Sorszám Könyv szernt érték Kumulált könyv szernt érték (euró) 1 23 23 2 512 535 3 72 607 4 432 1039 5 84 1123 6 15 1138 7 15 1153 8 15 1168 9 15 1183 10 15 1198 11 43 1241 12 68 1309 13 35 1344 1. Az első mntavétel módszer alkalmazásához 6 elemű EV-mntát veszünk az 1, 2, 1344 számokból. Legyenek ezek a 17, 52, 364, 836, 1293 és 1317. Ezt felhasználva a mntánk az 1., 2., 2., 8., 12. és 13. tételekből áll. Látható, hogy a 2. tétel kétszer szerepel a mntában. 2. A másodk mntavétel módszerhez két értéket kell meghatározn: a lépésközt és a kezdőpontot. A lépésköz Y/n, azaz 1344/6=224, a kezdőpont pedg az 1, 2, 1344 számokból választott 1 elemű EVmnta, am ez esetben legyen mondjuk 3. A mntába eső pénzegységek a 3, 3+224=227, 3+224+224=451, 675, 899, 1123. Fzka tételekre lefordítva ez az 1., 2., 2., 4., 4., 5. tétel. A 2. és a 4. tétel HVI, ezért mndenképpen a mntába kellett kerülnük. A 2. tétel nagysága a lépésköz kétszeresét s meghaladja, ezért mndenképpen kétszer kerül a mntába. A 4. tétel bzonyos kezdőpontok esetén egyszer, bzonyos kezdőpontok esetén kétszer kerül a mntába. 3. A cellamódszerhez először meg kell határozn a cellákat. A cellák nagysága megegyezk a lépésközzel, így a cellahatárok 1 224,
A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 237 225 448, 449 672, 673 896, 897 1120, 1121 1344. Ezek után 6 elemű vsszatevéses mntát veszünk az 1 224 ntervallumból, legyen ez 27, 143, 53, 197, 81, 152. A kválasztott pénzegységek az 1+27 1=27, 225+143 1=367, 449+53 1=501, 673+197 1=869, 897+81 1=977, 1121+152 1=1272. Az ezekhez tartozó tételek sorszáma rendre 2, 2, 2, 4, 4, 12. A cellamódszerben a szerencsétlen véletlenek matt egy tétel annyszor kerülhet a mntába, ahány cellával van metszéspontja. Ezeket az smétléseket a cellamódszer egy fejlettebb megvalósítása kszűr, de ennek smertetése túllép a tanulmány keretet. A két hbamérés megközelítés között különbséget a másodk módszerrel választott mntán mutatjuk meg, konkrétan a 4. elszámolt tétel esetén. Emlékezzünk, hogy ez a tétel kétszer került a mntába. A 4. tétel a 608. pénzegységtől az 1039. pénzegységg tartott. 1. Az első felfogás, a tantng-elv szernt a mntába került 432 euróból 75 százalékny helyes, 25 százalékny hbás, mndkét esetben (324/432=0,75=75 százalék). 2. A hbát a tétel elejétől felmérő my-dollar-rght-or-wrongfelfogás szernt a hbás pénzegységek a 608-tól 715-g tartanak ((1039-608)*0.25+608=715). Így a mntába került első pénzegység (675) hbája 100 százalék (mert 675<715), míg a másodk pénzegység (899) hbája 0 százalék (hszen 899>715). 3. A hbát a tétel végétől felmérő my-dollar-rght-or-wrongfelfogás szernt a 931-től 1039-g található pénzegységek a hbásak. Így a mntába került mndkét pénzegység 0 százalék hbát tartalmaz. Az EV-becslés alkalmazása a mesterséges sokaságra Az EV-mntán alapuló /1/ becslést alkalmazva a MUS mesterséges sokaságára a következőt kapjuk (Y darab tétel, a tételek könyv szernt értéke pedg defnícó szernt 1): ( ( )) Pr D Yp1 α m,n 1 α. Mvel az eredet becslésnél Y NY, ezért a MUS-mntán alapuló max 1 α,mus 1 α ( ) ˆD = Yp m,n /2/
238 Lolbert Tamás becslés jóval pontosabb (kevésbé konzervatív, szűkebb az ntervallum) az EV-mntán alapuló becslésnél. Mndazonáltal ez a becslés sem vesz fgyelembe, hogy nem mnden hbás tétel 100 százalékg hbás, így ez a becslés s túlságosan óvatosnak teknthető. Az eddg leírt két elem módszernek mnden hbájuk ellenére megvolt az a jó tulajdonsága, hogy a megbízhatóságuk analtkusan gazolható. A most bemutatandó becslésekre ez már sajnos nem, vagy csak korlátozottan lesz gaz. Ezeknél a kapcsolódó rodalom sznte kvétel nélkül szmulácókkal gyekszk a megbízhatóságról, lletve a torzítás mértékéről meggyőződn. A Strnger-féle felső határ (Strnger bound) Melőtt leírnánk a Strnger-becslést részleteben, tekntsük meg a 4. ábrát. 4. ábra. A könyv szernt érték szennyezettsége 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 4. ábrán látható ks négyzet magassága 0,1 Ft, szélessége 1 Ft, tehát a rács egy oszlopa jelent a sokaság egy elemét. Az eredet sokaságot az alsó, vastagabb vonalkák defnálják, tehát az eredet sokaság könyv szernt értéke rendre 6, 4, 3, 2, 6 stb. Mvel ez esetben feltételezzük, hogy a valós érték nem negatív, de legfeljebb a könyv szernt érték, ezért egy adott tétel valós értékét úgy ábrázoljuk, hogy befeketítjük a könyv szernt érték szennyezettség mértékének megfelelő hányadát. Ez alapján például a másodk tétel könyv szernt értéke 4, valós értéke 3,6; a 10. tétel pedg nem ér semmt a valóságban. A jelenséget vzuálsan megközelítve, a pénzügy kmutatásban található összes hbák becslése ugyanaz a probléma, mntha a Szahara egy szabályos téglalap alakú részén található felszín vzek össztérfogatára akarnánk úgy felső becslést adn, hogy véletlenszerűen kválasztott GPS-koordnátáknál smerjük a vízmélységet (ez a legtöbb helyen tpkusan 0 lesz).
A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 239 A korábban leírt /2/ becslést felírhatjuk a következű alakban s: ( ) 10 01 ( ) 01 ( ) ˆD = Yp m,n =, Yp m,n =, Yp m,n. 1 α,mus 1 α 1 α 1 α = 1 A 4. ábrában ez azt jelent, hogy külön számoltunk mnden 10 fllérre felső korlátot, amket aztán összeadtunk. Ha pontosítan szeretnénk a becslést, az első ntuícó ebből a képletből kndulva azt sugallhatja, hogy nézzük meg, hány mntába került tételben van legalább 1, 2, 100 fllér hba (ez nylván egy monoton csökkenő sorozat lesz, ugyans ha a>b, akkor a legalább b hbát tartalmazó tételek halmaza tartalmazn fogja a legalább a hbát tartalmazó tételek halmazát. A két halmaz különbsége a pontosan b+1, b+2, b+3 a mennységű hbát tartalmazó tételek unója). Ezután külön-külön adjunk felső becslést az adott kategóra (tehát például legalább 2 fllér hba stb.) sokaság arányára, és ezeket a kategórák nagyságával (ebben az esetben Y/100) súlyozva adjuk össze. Amnt nemsokára látn fogjuk, ez egy, a Strngerféle felső határhoz nagyon hasonló felső határt fog megadn. A gondolatmenetben azonban egy súlyos hba van: nem gaz ugyans, hogy Pr ( ξ x) = 1 α és Pr ( η y ) = 1 α relácókból következne Pr ( ξ + η x + y) = 1 α relácó, csupán P r( ξ + η< x+ y ) [ 1 2α; 1] állítható. A Strnger-féle felső határ egy rendezett mntás statsztka: a nagyság szernt csökkenő szennyezettségeket rögzített (csak a mntamérettől függő), a helyezésüknek megfelelő súlyokkal átlagoljuk, majd ezt az átlagot megszorozzuk a teljes sokaság könyv szernt értékével. Képlettel: ˆD 1 α = 1 α( 0 ) 1+ n,st Y 1 α( ) 1 α( 1 ) p,n p,n p,n t, /3/ = 1 ahol t a mntában található -edk legnagyobb szennyezettséget jelent. Ezt képletet átalakítva kapjuk: 10 n ˆD 1 α,st = Y p 1 α( 0,n) 1+ p1 α(,n) p1 α( 1,n) t = = 1 n = 0 ( ) ( ) = Y t t p,n, + 1 1 α /4/ ahol t lletve t 1 0. 0 = 1 n+ = A 4. ábrán 100, 70, 50, 20, 10 és 0 százalékos szennyezettségeket látunk, tehát ez a képlet rendre felső becslést ad a legalább 100, 70, 50, 20, 10 százalékos hbák arányára, ezeket 100-70, 70-50, 50-20, 20-10, 10-0 százalékos súlyokkal súlyozza, majd
240 Lolbert Tamás ezt a súlyozott összeget (átlagos hbamértéket) kvetít a teljes sokaságra, Y-ra. Ha ebben a formában nézzük tehát a Strnger-féle felső határt, azonnal látszk, hogy ebben az esetben s az ntervallumokba esés valószínűségének felső határát becsültük meg, és elkövettük azt a már említett hbát, hogy ezeket az értékeket mechankusan összeadtuk. Természetesen ez még nem jelent azt, hogy a Strnger-becslés nem lenne jó, de ezzel a megközelítéssel jósága nem bzonyítható. Amkor az eredet képlet megjelent, még nem állt olyan számítástechnka háttér rendelkezésre, mellyel gyorsan meghatározható lett volna ( ) m,n értéke tetszőleges N, m, n és megbízhatóság sznt esetén. Mvel nagyobb sokaságokra a hpergeometra eloszlás közelíthető bnomálssal, lletve alacsony hbaarányok mellett a bnomáls eloszlás közelíthető a könnyen kezelhető Posson-eloszlással, ezért λ1 kezdetben a ( ) α( m) p1 α m,n érték helyett a közelítő értéket használták, ahol n m a Posson-eloszlás paraméterére vonatkozó 100 1 α százalékos felső λ1 α ( ) ( ) határ m megfgyelt hba mellett. Ennek a közelítésnek megvolt az az előnye, hogy a rendezett mntás statsztka súlyat táblázatba lehetett gyűjten a mntamérettől függetlenül, hszen az kemelhető volt a képletből: Y ˆD = 0 + n st P P t, n =1 ahol Y n a lépésköz (tt vesszük fgyelembe a mntaméretet), P pedg a táblázatból kolvasható -edk úgynevezett Posson-faktor, tehát P = λ( ) λ( 1). (Az rodalom nem teljesen következetes, egyes szerzők λ ( ) -t nevezk Posson-faktornak.) Valószínűleg egyébként éppen ezért a könnyű kezelhetőségért terjedt el ebben a formájában a képlet, és nem a másk, p1 α( m,n ) szernt csoportosított formában. Noha ma már bármely korszerű személy számítógép azonnal k tudná számoln a hpergeometra faktorokat s, a Posson-közelítéssel való számolás még mndg nagyon elterjedt a könyvvzsgálók között. Mvel a Strnger-sejtés (tehát hogy a becslőfüggvény legalább 100 ( 1 α) százalékban megbízható) általános feltételek mellett mndezdág nem került gazolásra, és ellenpéldát sem skerült konstruáln, számos szmulácót végeztek és publkáltak a témában. A szmulácók erős emprkus bzonyítékot szolgáltattak arra, hogy a becslés megbízhatósága jóval meghaladja a névleges 100 ( 1 α) százalékot (például az általánosan használt 95 százaléknál az esetek 98-99 százalékában haladta meg a becsült felső határ a valós értéket). Függetlenül azonban attól, hogy mekkora a becslés megbízhatósága, fennáll a Dˆ 1 α,st D ˆ 1 α,mus relácó mnden olyan esetben, amkor a szennyezettségek 0 és 1 közé esnek, ugyans: p 1 α
A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 241 n ( ) ( ) ( ) ( ) Dˆ = Y t t p,n Y t t p m,n = D ˆ, 1 α,st + 1 1 α + 1 1 α 1 α,mus = 0 = 0 mvel t 0 = 1 és m az a legksebb egész szám, amelyre t m 0 (a szennyezettségek monoton csökkenek és nem negatívak). Egyenlőség áll fenn, ha a szennyezettségek csak 0 vagy 1 értéket vehetnek fel. Ennek alapján kjelenthető, hogy amennyben legalább 100 ( 1 α) százalékban megbízható az EV-mntán alapuló becslés, akkor a pontossága jobb, mnt a MUS-mntán alapuló becslésnek. Ha a Strnger-féle felső határ /4/ alatt alakjából (lletve az alakhoz kapcsolódó ntuícóból) közelítünk, akkor a szumma első tagja vesz számba a mntában ugyan nem található, de feltételezhetően meglevő szennyezettséget. Az eredet képletben ez t0 = 1, azonban számos területen a gyakorlat tapasztalatok szernt jóval ksebb az elképzelhető legnagyobb hba. Amennyben tehát bztos nformácóval rendelkezünk az elképzelhető legnagyobb hba nagyságáról (például korább ellenőrzések alapján, vagy az ntézményrendszer smeretében), akkor ezt az értéket t 0 helyébe állítva jelentősen élesíthetünk a becslésünkön (az így kapott becslés neve: generalzed Strnger bound, tehát általánosított Strnger-féle felső határ). A legfontosabb könyvvzsgálat szoftverekben s állítható ez az érték, általában BPP (basc precson prcng) a neve. Az elnevezés onnét származk, hogy nagyságrendleg általában ez a paraméter befolyásolja legnkább a becslésünket, és nem a mntából származó szenynyezettségek. Noha a Strnger-sejtést teljes egészében eddg nem gazolták, több fontos részeredmény született. Az első, úttörőnek teknthető írás Bckel [1992] tanulmánya. A szerző bzonyítja, hogy ha: ξ folytonos valószínűség változó, akkor ( ) n ( ) n+1 P D D ˆ 1 α,st 1 α, lletve ha ξ legfeljebb 2 értéket vehet fel, akkor ( ˆ,st ) P D D 1 α 1 α, ( ) tehát a becslés legalább 100 1 α százalékban megbízható. A ckk tovább fontos eredménye, hogy a becsült felső korlátot fel tudja írn ξ várható értékének, lletve az eloszlásfüggvény egy bonyolult ntegráljának összegeként. Ennek a felírásnak a jelentősége, hogy segítségével kszámítható a becslés aszmptotkus (végtelen mntaméretnél értelmezett) eloszlása.
242 Lolbert Tamás Pap, van Zujlen és de Jager több tanulmányban [1995, 1996, 1997] folytatja a Bckel által elkezdett megközelítést. Három legfontosabb eredményük a következő. 1. A Bckel által felírt aszmptotkus eloszlás segítségével bzonyítják, hogy α [ 0; 0, 5] esetben a becslés megbízható, ellenkező esetben aszmptotkusan nem megbízható. A valós megbízhatóság sznt az első esetben jóval meghaladja, a másodk esetben vszont még közelítőleg sem ér el a névleges 100 ( 1 α) százalékot. Mvel az audtorok általában 50 százalék felett megbízhatóság sznttel dolgoznak, ezért csak az α [ 0; 0, 5] esetre tett megállapításoknak van gyakorlat jelentősége. 2. Az előbb észrevételt kegészítve bevezetnek egy olyan módosított becslőfüggvényt, amely aszmptotkusan pontosan a névleges szntnek megfelelő megbízhatóságú. 3. A szennyezettségek tetszőleges olyan eloszlása esetén, ahol a szennyezettségek csak 0 és 1 értéket vehetnek fel, mnden olyan lehetséges a,n a,n együttható-sorozatra, amelyre a ( ) ( ) 1 α 1 α 1 ˆD 1 α= Y a 1 α( 0,n) 1+ n a1 α(,n) a1 α( 1,n) t = 1 felső határ legalább 100 1 α százalékban megbízható, ( ) a (,n) p (,n ) 1 α 1 α -re. Ez azt jelent, hogy ebben az esetben bzonyos tekntetben mnmálsak a képletben szereplő együtthatók. A Strnger-féle felső határral kapcsolatos rodalomban gyakorlat szempontból órás jelentőségű Neter Km Graham [1984] tanulmánya. A gyakorlatban ugyans sokszor olyan nagy az audtálandó beszámoló, hogy azt részterületre bontva lehet csak vzsgáln. (Ilyen volt például a tanulmány elején az Eszközök összesen értékének vzsgálata.) Az egyes részterületeken egymástól függetlenül történk a mntavétel, ennek ellenére véleményt kell mondan a teljes beszámoló megbízhatóságáról s. A legnagyobb problémát az jelent, hogy a részterületek különbözősége matt a teljes beszámolóra nézve már nem áll fenn, hogy a mntába kerülés valószínűsége mnden tételre arányos lenne a tétel beszámolóban szereplő nagyságával. Az említett tanulmány feltételez, hogy az egyes részpopulácókból független MUS-mntát vettek, amket a Strnger-féle felső határt használva értékeltek k. A szerzők a kombnált felső határ kszámolására 5 különböző megoldást javasolnak, melyek a következők. 1. Független valószínűség változók összeadása. Feltételezve, hogy az egyes részterületekre számított felső határok függetlenek egymástól,
A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 243 a teljes beszámoló felső határának megbízhatóság szntje legalább ( 1 α ), ahol 1 α az -edk részsokaságra tett felsőhatár-becslés megbízhatósága. Ez alapján ha mnden részsokaságra egyforma megbízhatóság szntet használunk, az aggregált becsléshez elvárt legalább 1 α ( 1 α) 1 megbízhatóság a részsokaságoknál legalább megbízhatóságú becsléseket gényel, ahol L a részsokaságok száma. (Tehát 95 százalékos megbízhatósághoz 2 részterület esetén mndkét részterületen 97,5 százalékos megbízhatóságú becslést kell készíten.) 2. Implct standard hba használata. Mvel egy adott mntánál nem csak az adott megbízhatóságú egyoldal ntervallum végpontja meghatározható, hanem a pontbecslés s, ezért mplct módon, vsszafelé kszámíthatjuk azt a standard hbát, amt a normáls eloszlással való közelítés esetén használva ugyanezt a felső határt kaptuk volna. Formálsan: SE = ˆ D1 α D. z 1 α ˆ /L Ezt a standard hbát használva kszámolhatjuk a független változók összegének standard hbáját s, amből a megszokott módon (pontbecslés + z*se) kapjuk az összegre vonatkozó becsült felső határt. 3. Közelítő globáls kértékelés. A felsőhatár-becslés ˆD 1 α = 1 α( 0 ) 1+ n,st Yl p,nl p1 α(,nl ) p1 α( 1,nl ) t = 1 képletében részsokaságonként különböző sokaság értékek (Y) és mntanagyságok (n) szerepelhetnek. Közelítő globáls kértékelés esetén a zárójelben szereplő első tag (az ún. basc precson) nélkül vesznek fgyelembe mnden sokaságot, kvéve azt a sokaságot, amelynél a legnagyobb az Y p,n szorzat értéke. Képlettel: l 1 α 0 ( ) l ( ) ( ( 0 )) ˆ ( 0 ) Dˆ max Y p,n D Y p,n. kombnált 1 α,st = l 1 α l + 1 α,st,l l 1 α l l l 4. Globáls kértékelés. A globáls kértékelés egy nagy mntának kezel a részsokaságokból származó L különböző mntát, és erre a mntára alkalmazza a Strnger-becslés egy módosított változatát (az öszszefésült mntaelemeket tt s nagyság szernt csökkenő sorrendbe rakjuk):
244 Lolbert Tamás ( ( 0 )) ( ) ( 1 ) ˆD max Y p,n p,n p,n t Y, kombnált 1 α,st = l 1 α l + 1 α l 1 α l l l ahol az l alsó ndex annak a mntának a nagyságára és kmutatott értékére utal, amből az adott szennyezettség származk. 5. Konzervatív globáls kértékelés. A konzervatív változat annak a részmntának az n és Y paraméteret használja mndenhol, amelyre Yl p1 α( 0,nl ) felvesz a maxmumát. Azzal a kérdéssel a tanulmány nem foglalkozk, m történk több lyen részmnta esetén, ugyans akkorban még az elmélet munkákban s a Posson-közelítést használták, és a közelítő felírásban ennek a kérdésnek nncs jelentőssége. A tanulmányban szereplő 5 kértékelés módszerre vonatkozóan több szmulácót s végeztek a szerzők, melyek kvétel nélkül 98-99 százalékos megbízhatóságot mutattak a kombnált felső határra 95 százalék elvárt megbízhatóság mellett. A cellamódszer (Cell bound) A cellamódszernél leírt mntaválasztás módszerhez a szerzők (Lesle, Tetlebaum, Anderson [1980]) külön kértékelés metódust dolgoztak k. Mvel a módszer jóval kevésbé ntutív, mnt akár a Strnger-féle felső határ, akár következő szakaszban smertetésre kerülő multnomáls felső határ, ezért most csupán a kértékelés módját írjuk le, ntutív ndoklás nélkül. A most következő leírás megegyezk az eredetleg leírtakkal, így a Posson-eloszlással közelít a valószínűségeket. Az elmúlt években a legtöbb gyakorlat alkalmazás (többek között az IDEA szoftver s) már az egzakt hpergeometra faktorokat használja. A mntán megfgyelt szennyezettségeket ebben az esetben s csökkenő sorrendbe állítjuk, és ezután alkalmazzuk a következő rekurzív formulát: ( 0) λ1 α ( 0), ( ) = max( F( 1) t λ 1 α ( ) ) F = F +, t, egészen az utolsó hbág, m-g. A becsült felső határ a legutolsó F és lépésköz, Y n szorzata: Y = ( ). ˆD 1 α,cell F m n A cellamódszer kértékelő része a szmulácók alapján kevésbé konzervatív, mnt a Strnger-féle felső határ, azonban megbízhatósága még így s jóval meghaladja a
A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 245 névlegest. Előnye, hogy a Posson-faktorokat tartalmazó táblázat segítségével számítógép nélkül s meghatározható. Multnomáls felső határ (Multnomal bound) A multnomáls módszert Fenberg, Neter és Letch 1977-ben publkálta (Fenberg Neter Letch [1977]), tehát gyakorlatlag egy dőben került kfejlesztésre a Lesle, Tetlebaum, Anderson-féle cellamódszerrel (Lesle Tetlebaum Anderson [1980]). A cellamódszerrel szemben ez a becslés csak számítógép segítségével alkalmazható. A multnomáls modell eredetleg leírt változatában mnden pénzegységet besorolnak 101 kategóra valamelykébe aszernt, hogy az adott pénzegységre jutó szenynyezettség mértéke 0 százalék, 0 százaléknál több de legfeljebb 1 százalék, 1 százaléknál több de legfeljebb 2 százalék és így tovább 100 százalékg. Ha a sokaságban 100 az -edk csoportba eső elemek aránya p, akkor a sokaság hbarányra p = 0 100 felső becslést ad, és a becslés legfeljebb 1 százalékponttal haladja meg a valós értéket. Amennyben a mntába kerülő pénzegységeket vsszatevéssel választjuk, vagy pedg a mnta mérete a sokaságéhoz képest elhanyagolható, akkor a mntaelemek 101 kategóra között eloszlása (n, p ) paraméterű multnomáls eloszlást követ, ahol az első paraméter a mntaméret, a tovább 101 darab p paraméter pedg az ndexe által meghatározott csoportba való esés valószínűsége. A multnomáls felső határ megadásához két lépés vezet. Az első lépésben bevezetünk egy rendezést a lehetséges mnták között, melynek segítségével meghatározhatók a kapott mntánál extrémebb (azaz bzonyos krtérumok alapján kevesebb hbát tartalmazó) lehetséges mnták. Nevezzük ezeknek a lehetséges mntáknak a halmazát S-nek! Mvel S-et alapvetően befolyásolja, pontosan meg kell határoznunk az extrémebb kmenetel fogalmát. A szerzők a ckkben két krtérumot alkalmaznak, melyeknek egyszerre kell teljesülnük (az így kapott halmaz neve step down S ): 1. a hbás tételek száma nem haladja meg a mnta hbás tételenek számát, lletve 2. a hbák összértéke nem haladja meg a mnta hbának összértékét. A másodk lépésben meghatározzuk azon sokaság (p ) paraméter-együtteseket, melyekre a feltételes valószínűségek összege S-halmaz felett legalább akkora, mnt az előre rögzített megbízhatóság sznt nverze ( α ). Ezen sokaság paraméteregyüttesek halmaza mnt konfdencahalmaz felett maxmalzálva p érté- 100 = 0 100 ket, kapjuk meg a felső határ multnomáls becslését.
246 Lolbert Tamás Noha ennek a becslésnek sem smert a valód megbízhatóság szntje, szmulácók alapján állítható, hogy nagyon közel van a névlegeshez, és ematt a becslés sokkal pontosabb, mnt akár a Strnger-képlet, akár a cellamódszer által adott becslés. Mndezen jó tulajdonsága ellenére nem annyra elterjedt, mnt az előbbek, ugyans az 1980-as években még kevés volt a számítástechnka kapactás a másodk lépés konfdencahalmazának megalkotásához, és az azon történő optmalzálásnak a végrehajtásához. 4. Következtetések Ma már egyre nkább ellenőrzhető, reprodukálható és módszertanlag s korrekt tevékenységet várunk el mnden szakmától. Mnt ahogyan az audtorok s poztívabban ítélk meg azon szervezetek pénzügy beszámolót, ahol a belső folyamatok egy jól átgondolt szabályozást követnek, és nem esetlegesek, éppen így az audtor tevékenység objektvtásának növekedése s előrelépésnek teknthető. A most bemutatott becslőfüggvények kfejlesztő úttörő szerepet játszottak a könyvvzsgálat tudományos alapokra helyezésében. A becslőfüggvényekre és a kapcsolódó mntavétel technkákra számos szoftver született (például IDEA, ACL), melyek egyre nagyobb népszerűségnek örvendenek a könyvvzsgálók között. Amnt azonban az előzőkből s ktűnk, ez az állapot sokkal nkább teknthető egy folyamat kezdetének, mnt a végének. Ezekkel a becslőfüggvényekkel kapcsolatosan még számos krtka felvethető. Csupán szmulácókkal bzonyított, hogy legalább névleges sznten megbízhatók, am részben megkérdőjelez alkalmazásuk korrektségét. A szmulácók alapján a módszerek túlságosan s konzervatívak, am jelentősen csökkent a pontosságukat és így növel az audtált szervezet kockázatát. Alkalmazásuknak sok olyan előfeltétele van (például csak túlértékelés lehetséges), mellyel az alkalmazók nncsenek tsztában, és így mnden jószándék ellenére téves eredményekre jutnak (különösen veszélyes ez az audtálást támogató szoftverek alkalmazásakor). Tovább gondot okoz az eredmények helyes értelmezése. A jövő feladata tovább lépések megtétele a problémák megszüntetésére, tehát olyan mntavétel eljárások és becslőfüggvények kfejlesztése, melyek egy részről bzonyíthatóan a névleges bzonyosság szntű eredményeket adják, más részről pedg unverzálsak, tehát lehetőség szernt mnmáls előfeltételt használnak. A könyvvzsgálók (tovább)képzése során pedg alapvetően fontos a statsztka mntavétel módszerek, a mntavételt és a kértékelést (becslést) támogató szoftverek hangsúlyosabb smertetése.
A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 247 Irodalom ARENS, A. A. LOEBBECKE, J. K. [1997]: Audtng: An ntegrated approach. Prentce-Hall. London. BICKEL, P. J. [1992]: Inference and audtng: The Strnger bound. Internatonal Statstcal Revew. 60. évf. 2 sz. 197 209. old. CaseWare IDEA Research Department [2003]: Monetary unt samplng techncal specfcaton. http://www.caseware-dea.com. CaseWare IDEA Research Department [2003]: Whte papers on attrbute samplng techncal specfcaton. http://www.caseware-dea.com. DAVID, H. A. [1981]: Order statstcs. Wley. New York. DE JAGER, N. G. PAP GY. VAN ZUIJLEN, M.C.A. [1997]: Facts, phantases and a new proposal concernng the Strnger bound. Computers and Mathematcs wth Applcatons. 33. évf. 10. sz. 37 54. old. FIENBERG, S. E. NETER, J. LEITCH, R. A. [1977]: Estmatng the total overstatement error n accountng populatons. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton. 72. évf. 295 302. old. GOODFELLOW, J. L. LOEBECKE, J. K. NETER, J. [1974]: Some perspectves on CAV samplng plans I-II. CA Magazne. October, 23 30. old., November, 46 53.old. HALDENE, J. B. S. [1945]: On a method of estmatng frequences. Bometrka. 33. évf. 222 225. old. HAM, J. LOSELL, D. SMIELIAUSKAS, W. [1985]: An emprcal study of error characterstcs n accountng populatons. Accountng Revew. 60 évf. 387 406. old. HANSEN, M. H. HURWITZ, W. N. [1943]: On the theory of samplng from fnte populatons. Annual Mathematcal Statstcs. 14. évf. 4. sz. 333 362. old. HORVITZ, D. G. THOMPSON, D. J. [1952]: A generalzaton of samplng wthout replacement from a fnte unverse. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton. 47. évf.12. sz. 663 685. old. HUNYADI L. VITA L. [2004]: Statsztka közgazdászoknak. Központ Statsztka Hvatal. Budapest. HUNYADI L. [2001]: Statsztka következtetéselmélet közgazdászoknak. Központ Statsztka Hvatal. Budapest. JOHNSON, J. R. LEITCH, R. A. NETER, J. [1981]: Characterstcs of errors n accounts recevable and nventory audts. Accountng Revew. 56. évf. 270 293. old. KAPLAN, R. S. [1973a]: Stochastc model for audtng. Journal of Accountng Research. 11. évf. 38 46. old. KAPLAN, R. S. [1973b]: Statstcal samplng n audtng wth auxlary nformaton estmators. Journal of Accountng Research. 11. évf. 238 258. old. LEHMANN, E. L. [1959]: Testng statstcal hypotheses. Wley. New York. LESLIE, D. A. TEITLEBAUM, A. D. ANDERSON, R. J. [1980]: Dollar-Unt Samplng-A practcal gude for audtors. Ptman. London. LOLBERT T. [2004]: A sokaság arány meghatározására rányuló statsztka eljárások véges sokaság és ks mnták esetén. Statsztka Szemle. 82. évf. 12. sz. 1053 1076. old. NETER, J. KIM, H. S. GRAHAM, L. E. [1984]: On combnng Strnger bounds for ndependent monetary unt samples from several populatons. Audtng. 4. évf. 1 sz. 74 88. old. NETER, J. LOEBBECKE, J. [1975]: Behavor of major statstcal estmators n samplng accountng populatons An emprcal study. AICPA. New York.
248 Lolbert: A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban NETER, J. LOEBBECKE, J. [1977] On the behavor of statstcal estmators when samplng accountng populatons. Jounal of the Amercan Stastcal Assocaton. 72. évf. 501 507. old. Panel on Nonstandard Mxtures of Dstrbutons TAMURA, H. ET AL. [1989]: Statstcal models and analyss n audtng. Statstcal Scence. 4 évf. 1. sz. 2 33. old. PAP GY. VAN ZUIJLEN, M. C. A. [1995]: The Strnger bound n case of unform tantngs. Computer Mathematcal Applcatons. 29. évf. 10. sz. 51 59. old. PAP GY. VAN ZUIJLEN, M. C. A. [1996]: On the asymptotc behavour of the Strnger bound. Statstca Neerlandca. 50. évf. 3 sz. 367 389. old. PAP GY. VAN ZUIJLEN, M. C. A. [2000]: Modfed Strnger bounds. Publcatones Mathematcae. Debrecen. 57 évf. 1 2. sz. 163 183. old. STRINGER, K. W. [1963]: Practcal aspects of statstcal samplng n audtng. Proceedngs of Busness Economcs, Statstcs Secton. Amercan Mathematcal Assocaton. Washngton. Munkaanyag. STRINGER, K. W. [1979]: Statstcal samplng n audtng. The state of art. Annual Accountng Revew. 1. sz. 113 127. old. VAN HEERDEN, A. [1961]: Steekproeven als Mddel van Accountantscontrolex. Maandblad voor Accountancy en Bedrjfshushoudkunde. 11. sz. 453. old. Summary Ths paper presents an overvew of the methods used to estmate the total amount of errors n a fnancal report. Audtng s a specal area where the applcaton of standard estmaton procedures based on well-behaved dstrbutons can lead to napproprate results manly because the error dstrbuton n fnancal reports cannot be consdered well-behaved, showed by many emprcal papers n the 1970s and 1980s. After presentng the specal propertes of audtng populatons the paper outlnes the most wdely used estmators.