DIGITÁLIS TECHNIKA Dr. Lovassy Rita Dr. Pődör Bálint Óbudai Egyetem KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet 1. ELŐADÁS ÁLTALÁNOS BEVEETÉS A digitális technika tantárgy Ajánlott irodalom Az előadások anyagai letölthetők az alábbi honlapról: http://uni-obuda.hu/users/lovassyr/ 1 2 A FÉLÉV TEMATIKAI VÁLATA ÉS ISMERETANAGA (1) 1. Általános bevezetés. A digitális technika alapfogalmai, a logikai hálózatok alapjai. A digitális technika sajátosságai és jellemzői. Számjegyes (digitális) ábrázolás. 2. Bevezetés a logikai algebrába. A logikai kapcsolatok leírása: szöveges leírás, algebrai alak (Boole-algebra), igazságtáblázat, logikai vázlat. A Boole algebra axiómái és tételei. Logikai alapműveletek. A Boole algebra alkalmazásai. A FÉLÉV TEMATIKAI VÁLATA ÉS ISMERETANAGA (2) 4. Logikai függvények átalakítása és egyszerűsítése. Logikai függvények grafikus ábrázolása. Logikai függvények minimalizálási módszerei. 5. Karnaugh táblázat és alkalmazásai. Részben határozott logikai függvények minimalizálása. Tervezési példák. A jelterjedési idők hatása a logikai hálózatok működésére. 3. Logikai függvények alapfogalmai, kétváltozós függvények. Határozott és részben határozott logikai függvények. Logikai függvények kanonikus alakjai. Diszjunktív és konjunktív kanonikus alak. Minterm és maxterm fogalma. 3 6. Kombinációs hálózatok tervezése és megvalósítása univerzális építőelemekkel. 4 A FÉLÉV TEMATIKAI VÁLATA ÉS ISMERETANAGA (3) 7. Számrendszerek, általános alapok. Bináris számok. Aritmetikai alapműveletek a bináris számrendszerben. 8. Kódok és kódolási alapfogalmak. Numerikus kódok. Tiszta bináris kódok (egyenes, 1-es, 2-es komplemens). Aritmetikai műveletek 1-es és 2-es komplemens kódban. Tetrád kódok, BCD kódok. Aritmetikai műveletek tetrád kódokban. Alfanumerikus kódok. IRODALOM Arató Péter: Logikai rendszerek tervezése, Tankönyvkiadó, Budapest, 1990, Műegyetemi Kiadó 2004, 55013 műegyetemi jegyzet som Gyula: Digitális technika I és II, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 2000, (KVK 49-273/I és II) Rőmer Mária: Digitális rendszerek áramkörei, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1989, (KVK 49-223) 9. Funkcionális elemek I. Kódváltók, kódolók és dekódolók. Egyszerű kódátalakító (kombinációs) hálózatok. Bináris/BCD és BCD/bináris kódátalakítók. Gray kód, bináris/gray és Gray/bináris átalakítás. 5 Rőmer Mária: Digitális technika példatár, KKMF 1105, Budapest 1999 Az előadások ezen könyvek megfelelő fejezetein alapulnak. 6 1
AJÁNLOTT IRODALOM Gál Tibor: Digitális rendszerek I és II, Műegyetemi Kiadó, 2003, 51429 és 514291 műegyetemi jegyzet U. Tietze, Ch. Schenk: Analóg és digitális áramkörök, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1993 Benesóczky oltán: Digitális tervezés funkcionális elemekkel és mikroprocesszorokkal, Műegyetemi Kiadó, 2002 DIGITÁLIS TECHNIKA ÉS LOGIKAI HÁLÓATOK BEVEETÉS A DIGITÁLIS TECHNIKÁBA Alapfogalmak Logikai változók LOGIKAI HÁLÓATOK ÉS MODELLJEIK Kombinációs logikai hálózatok Aszinkron sorrendi logikai áramkörök Szinkron sorrendi logikai áramkörök 7 8 BEVEETÉS A DIGITÁLIS TECHNIKÁBA ALAPFOGALMAK: JEL, ANALÓG, DIGITÁLIS, ANALÓG ÁS DIGITÁLIS JEL ANALÓG ÉS DIGITÁLIS ÁRAMKÖR A JEL A jel valamely fizikai mennyiség (állapothatározó) minden olyan értéke vagy értékváltozása amely egy egyértelműen hozzárendelt információ megjelenítésére, továbbítására vagy tárolására alkalmas. A gyakorlatban a jel leggyakrabban: villamos mennyiség ezen belül feszültség De lehet áram, térerősség, stb. 9 10 ANALÓG JEL Információ továbbítására alkalmas jel, melynek jellemző paramétere egy tartományon belül folyamatosan változva bármely értéket felvehet (tehát értékkészlete folytonos). Az analóg jel közvetlenül értékével hordozza az információt. Az analóg jel időbeli lefolyása általában folytonos függvénnyel ábrázolható. Időben folyamatosan változik és egy adott tartományt teljes mértékben kitölthet. Jellemzői: frekvenciasáv, jel/zaj viszony, torzítás, stb. 11 DIGITÁLIS JEL Az információt diszkrét jelképekben (pl. számként kódolt formában) tartalmazó jel. Csak diszkrét illetve kvantált értékei vannak, ezek célszerűen számokkal reprezentálhatók. A digitális jel egyik leggyakrabban alkalmazott változata a bináris jel, melynek értékkészlete két elemű, pl. 0 és 1. A digitális jel az információt elemi részekre osztva fejezi ki számjegyes formában megfelelő kódolással. Mintavétel adott időpontokban, ehhez számokat rendelünk. A digitális jel tehát kódolt információt tartalmaz. 12 2
DIGITÁLIS JEL: PÉLDA ANALÓG ÉS DIGITÁLIS JEL Minta Binárisan kódolt jel 10 0 1 0 1 0 12 0 1 1 0 0 13 0 1 1 0 1 19 1 0 0 1 1 25 1 1 0 0 1 27 1 1 0 1 1 22 1 0 1 1 0 22 1 0 1 1 0 20 1 0 1 0 0 15 0 1 1 1 1...... Időfüggés: folytonos, illetve diszkrét 13 14 LOGIKAI HÁLÓATOK A digitális berendezések alapvető alkotó elemei a logikai hálózatok. Villamos jel - logikai áramkör A logikai hálózatok a bonyolultabb logikai kapcsolatokat mindig egyszerű, részletesen később tárgyalandó elemi alapműveletekből (pl. ÉS, VAG, NEM, stb.) állítják elő. 15 A ELEKTRONIKA ALAPJAI: ANALÓG ÉS DIGITÁLIS ANALÓG ÁRAMKÖR A be- és kimeneti mennyiségek folytonosak Fokozott zajérzékenység Alkalmas folytonos jelek közvetlen feldolgozására DIGITÁLIS ÁRAMKÖR A be- és kimeneti feszültségek csak diszkrét értékeket vehetnek fel Adott mértékig érzéketlen a zajokra Digitális jelekkel végez műveleteket Üzembiztosabb működés 16 LOGIKAI VÁLTOÓK: ÉRTÉKÉSLET, JELÖLÉSEK A logikai változók az egyes események absztrakt leírására szolgálnak. Két értéket vehet fel, IGA vagy HAMIS, attól függően, hogy az esemény bekövetkezik vagy sem. LOGIKAI VÁLTOÓK: ÉRTÉKKÉSLET IGA/HAMIS vagy TRUE/FALSE: az esemény bekövetkezésére vonatkozik, jelentésük megfelel a szó hétköznapi értelmének. Hasonló a helyzet az IGEN/ES és a NEM/NO jelöléssel. Ha az esemény bekövetkezik, akkor a logikai változó értéke IGA. Ha az esemény nem következik be, akkor a logikai változó értéke HAMIS. Értékkészlet, jelölések IGA (I) HAMIS (H) TRUE (T) FALSE (F) 1 0 Az 1 és 0 itt nem számjegy, nincs numerikus értékük. Jelentésük szimbolikus. Az egymáshoz rendelés: IGA 1 és HAMIS 0. A HIGH/LOW jelentése a logikai értékek egy adott, és igen elterjedt elektromos reprezentációjához kapcsolódik, alacsony és magas feszültségszintnek felel meg. HIGH (H) LOW (L) 17 18 3
LOGIKAI VÁLTOÓK A GAKORLATBAN A két legelterjedtebb logikai áramkörcsaládban, mely a CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor), illetve a bipoláris technológián alapuló TTL (Transistor Transistor Logic), a HAMIS/LOW logikai érték illetve szint névlegesen 0 Volt, az IGA/HIGH logikai érték illetve szint a pozitív tápfeszültség által meghatározottan néhány volt. Konkrétan CMOS U(1) = U táp = +3... +15 V U(0) = 0 V LOGIKAI HÁLÓATOK ÉS MODELLJEIK 1. A logikai hálózatok általános modellje 2. Kombinációs logikai hálózatok 3. Aszinkron sorrendi logikai áramkörök 4. Szinkron sorrendi logikai áramkörök TTL U(1) = kb. +3,5 V, U táp = +5 V U(0) = 0 V 19 20 LOGIKAI HÁLÓAT ÁLTALÁNOS MODELLJE LOGIKAI ÁRAMKÖR (HÁLÓAT) A logikai hálózatokat digitális áramkörökkel valósítják meg, illetve a digitális áramkörök logikai hálózatokkal modellezhetők. A logikai hálózatok leírására és tervezésére a logikai algebrát (Boole algebra) használják. A bemeneti változók (A,B,C,...) aktuális értékeit a logikai hálózat (logikai áramkör) feldolgozza és ennek megfelelően előállítja a kimeneti logikai jeleket ( 1, 2,...) 21 22 DIGITÁLIS ÁRAMKÖR LOGIKAI HÁLÓATOK Az áramkör bármely pontján mérhető jeleknek csak két állapotát különböztetjük meg, melyekhez a két logikai állapotot rendeljük. A logikai hálózatok két csoportra oszthatók: 1. Kombinációs logikai hálózatok 2. Sorrendi (szekvenciális) logikai hálózatok 23 24 4
KOMBINÁCIÓS LOGIKAI HÁLÓAT KOMBINÁCIÓS LOGIKAI HÁLÓATOK TULAJDONSÁGAI A kombinációs hálózatokban minden bemeneti kombináció egyértelműen és kizárólagosan meghatározza a kimeneti kombinációt. A legegyszerűbb logikai áramkörtípus a kombinációs logikai hálózat. Ez azonnal elvégzi a bemenetre jutó jeleken a logikai műveletet, az eredmény azonnal (a belső működésből eredő késleltetési idő után) megjelenik a kimeneten. A kimeneti kombinációból viszont általában nem tudjuk egyértelműen meghatározni az azt előidéző bemeneti kombinációt, mert nem követelmény, hogy különböző bemeneti kombinációk minden esetben más-más kimeneti kombinációt hozzanak létre. 25 26 PÉLDA KOMBINÁCIÓS HÁLÓATRA: FELVONÓ VEÉRLÉSE PÉLDA KOMBINÁCIÓS HÁLÓATRA: FELVONÓ VEÉRLÉSE Logikai feladat: Egy felvonó csak akkor induljon el, ha ajtaja csukva van és a fülkében lévő emeletjelző gombok valamelyike meg van nyomva. A feladat a négyféle feltétel (ajtó nyitva vagy csukva, jelzőgombok valamelyike meg van nyomva vagy nincs megnyomva) mindegyikéhez a lehetséges kétféle következmény (a lift elindul, vagy nem indul el) egyikét rendeli hozzá. FELTÉTELEK KÖVETKEMÉN 1. Ajtó 2. Emeletkiválasztó gomb Felvonó nyitva egyik sincs megnyomva nem indul el nyitva valamelyik megnyomva nem indul el csukva egyik sincs megnyomva nem indul el csukva valamelyik megnyomva elindul 27 28 FELVONÓ VEÉRLÉSE: LOGIKAI SÉMA Ha a két feltétel A és B, a következmény, akkor a feladat logikai igazságtáblázata az alábbi A B HAMIS HAMIS HAMIS HAMIS IGA HAMIS IGA HAMIS HAMIS IGA IGA IGA KOMBINÁCIÓS HÁLÓATOK: PÉLDÁK BCD hét szegmenses kijelző Különböző kódátalakítók Bináris műveletvégző egységek (félösszeadó, összeadó, stb.) Egyszerű és összetett logikai függvények megvalósítása Komparátorok Stb. Tehát A ÉS B = 29 30 5
PÉLDA: BCD/7-SEGMENSES KIJELŐ DEKÓDOLÓ Bemenet : 4 bit BCD digit (A, B, C, D) Kimenet : 7 szegmens vezérlőjele (C0-C6) c5 c4 c0 c6 c3 c1 c2 c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 SORRENDI LOGIKAI HÁLÓATOK A logikai áramkör kimeneti jele(i) a bemeneten fellépő jelkombinációkon kívül az előzőleg felvett állapotától is azaz az előzőleg kialakult kimeneti jelkombinációtól is függ. Sorrendi vagy szekvenciális logikai hálózat. Bemeneti változók: Visszacsatolt kimeneti változók: primer változók. szekunder változók. BCD to 7 segment control signal decoder A B C D 31 32 PÉLDA: FELVONÓ VEÉRLÉSE Logikai feladat: a felvonó induljon el a harmadik emeletre, ha az ajtó be van csukva, és a fülkében lévő emeletkiválasztó nyomógombok közül a harmadik emeletre vonatkozó gomb be van nyomva. Merre indul el a felvonó, felfelé vagy lefelé? PÉLDA: FELVONÓ VEÉRLÉSE A feladat szövegében burkoltan három lehetséges következmény szerepel: - a felvonó nem indul el, - a felvonó elindul a harmadik emeletre felfelé, - a felvonó elindul a harmadik emeletre lefelé. A feladatbeli feltételek alapján nem dönthető el, hogy melyik következménynek kell megvalósulnia. A logikai hálózatnak szüksége van a felvonó mindenkori helyzetét megadó pótlólagos, ún. másodlagos (szekunder ) feltételekre. 33 34 PÉLDA: ÁRUSÍTÓ AUTOMATA SORRENDI LOGIKAI HÁLÓAT VISSACSATOLÁSSAL: ASINKRON SORRENDI HÁLÓAT Pl. egy ital-automatának emlékeznie kell, hogy milyen és hány érmét dobtak bele. Az automata válasza nem csak attól függ, hogy éppen milyen érmét dobtak bele, hanem attól is, hogy előtt hány és milyen érmét fogadott be az adott kiszolgálási ciklusban. A kimeneteken lévő jelek visszacsatolás révén a bemenetre kerülnek (szekunder változók). Aszinkron működés. 35 36 6
SORRENDI LOGIKAI HÁLÓATOK TULAJDONSÁGAI A sorrendi logikai hálózatok, a szekunder kombinációk révén képesek arra, hogy ugyanazon bemeneti kombinációhoz más-más kimeneti kombinációt szolgáltassanak attól függően, hogy a bementi kombináció fellépte esetén milyen az éppen érvényes szekunder kombináció. A szekunder kombináció pillanatnyi értékét pedig a logikai hálózat bemenetére jutott korábbi bemeneti kombinációk és azok sorrendje is befolyásolja, mivel a szekunder kombinációk a működés során változnak. SORRENDI HÁLÓAT A sorrendi hálózat, a kombinációs hálózattal szemben emlékezettel (memóriával) rendelkező hálózat. A z i kimeneti állapotot nemcsak a pillanatnyi x i bemeneti állapot határozza meg, hanem a korábbi bemeneti állapotok, pontosabban a bemeneti állapotok (nem végtelen) sorozata azaz szekvenciája.. Ezért nevezik szekvenciális hálózatnak. Innen ered a sorrendi logikai hálózat elnevezés. 37 38 SINKRON ÉS ASINKRON SORRENDI HÁLÓATOK A sorrendi hálózatok két csoportja: 1. Aszinkron, órajel nélkül működő hálózatok. 2. Szinkron, órajellel működő sorrendi hálózatok; ASINKRON SORRENDI LOGIKAI HÁLÓATOK Aszinkron logikai hálózat: a különböző logikai állapotváltozások egymás után, nem egyidejűleg zajlanak le. Az aszinkron logikai hálózatokban az emlékező, az előzőleg felvett állapotot figyelembevevő tulajdonságot (tárolási funkció) a kimeneti jeleknek a bemenetre való visszacsatolásával valósítják meg. 39 40 SINKRON SORRENDI LOGIKAI HÁLÓATOK SINKRON SORRENDI HÁLÓAT MŰKÖDÉSE A szinkron sorrendi hálózatok működése ütemezett, ezt egy külön jel, az ún. órajel (CLOCK PULSE, CP) szabályozza illetve szinkronizálja. A szinkron sorrendi hálózatban minden változás, esemény előre pontosan definiált időpillanatban megy végbe, az órajel fel- vagy lefutó élének megérkezését követően igen kis időtűrés-mezőben. A kimenetről a bemenetre visszacsatolt jelek nem azonnal hatnak, hanem az órajel érkezésekor a bemeneten lévő tárolókba íródnak. Ezen tárolt jelek hatása csak a következő ütemben, a következő órajel beérkezésekor érvényesül. Minden változás az órajellel időzítve, azzal szinkronizálva megy végbe. 41 42 7
SORRENDI HÁLÓAT TÁROLÓKKAL: SINKRON SORRENDI HÁLÓAT LOGIKAI (BOOLE) ALGEBRA ÉS ALKALMAÁSAI A kimenet állapota az órajel érkezésekor a bemeneti tárolókba íródik. A tárolt jelek emlékeztetik a hálózatot az előző állapotára, és ez teszi lehetővé az új kimeneti állapot létrehozását. A megváltozott kimeneti jelek hatása csak az újabb órajelre érvényesül. 43 44 BOOLE-ALGEBRA, DIGITÁLIS TECHNIKA, LOGIKAI HÁLÓATOK A Boole-algebra a logikai hálózatok analízisének és szintézisének legalapvetőbb eszköze LOGIKAI (BOOLE-) ALGEBRA A logikai algebra tárgya a logikai műveletek rövid, tömör matematikai formában való leírása. Megalkotója George Boole (1815-1864) angol matematikus, nevét viseli a logikai algebra mint Boole-algebra. Jelentős még Augustus De Morgan (1806-1871) brit (skót) matematikus hozzájárulása is (De Morgan tételek). Boole és De Morgan 1847-től kezdve dolgozták ki a formális logikát (Boole-algebrát). Ekkor már régóta használták a bináris kapcsolásokat órák, automaták vezérlésére. Boole két alapvető munkája 45 The Mathematical Analysis of Logic (1847) illetve An Investigation of Laws of Thought (1854) 46 BOOLE-ALGEBRA ÉS KAPCSOLÓ ÁRAMKÖRÖK A Boole-algebrát az 1930-as évek végén kezdték alkalmazni a kapcsolóáramkörök tervezésére. Claude Elwood Shannon (1916-2001) az információelmélet úttörője, az MIT hallgatója, majd a Bell Labs munkatársa ismerte fel 1938-ban a Boole algebra alkalmazhatóságát a relékből felépített (telefon-) kapcsoló-rendszerek vizsgálatára és tervezésére. BOOLE ALGEBRA: LOGIKAI VÁLTOÓK A logikai változók az egyes események absztrakt leírására alkalmasak. Két értéket vehetnek fel, 1 vagy 0, attól függően, hogy az esemény bekövetkezik vagy sem. Ha az esemény bekövetkezik, akkor a logikai változó értéke 1. Ha az esemény nem következik be, akkor a logikai változó értéke 0. Ma a Boole-algebra a logikai hálózatok analízisének és szintézisének legalapvetőbb eszköze. 47 48 8
LOGIKAI VÁLTOÓK ÉRTÉKKÉSLETE IGA/HAMIS,TRUE/FALSE, illetve IGEN/NEM az esemény bekövetkezésére vonatkozik. Az 1 és 0 itt nem számjegy, jelentésük szimbolikus: IGA 1 és HAMIS 0. A HIGH/LOW jelentése a logikai értékek szokásos elektromos reprezentációjához kapcsolódik, alacsony és magas feszültségszintnek felel meg, pl. (névlegesen) 0 V illetve + 5 V. BOOLE ALGEBRA: LOGIKAI VÁLTOÓK: FÜGGŐ ÉS FÜGGETLEN VÁLTOÓK A logikai változók két csoportba oszthatók, ún. és független, függő változókra. Jelölés: A, B, C,...,,. Az első betűket általában a független változókra tartjuk fent. 49 50 A BOOLE ALGEBRA AIÓMÁI Az axiómák olyan előre rögzített kikötések, alap állítások, amelyek az algebrai rendszerben mindig érvényesek, viszont nem igazolhatók. Ezen állítások a halmaz elemeit, a műveleteket, azok tulajdonságait, stb. határozzák meg. A tételek viszont az axiómák segítségével bizonyíthatók. A Boole algebra az alábbi öt axiómára épül: 51 BOOLE-ALGEBRA AIÓMÁI 1. Az Boole-algebra kétértékű elemek halmazára értelmezett. 2. A halmaz minden elemének létezik a komplemens -e is, amely ugyancsak eleme a halmaznak. 3. Az elemek között végezhető műveletek a konjunkció ( logikai ÉS ), illetve a diszjunkció (logikai VAG). 4. A logikai műveletek: kommutatívak ( a tényezők felcserélhetők ), asszociatívak (a tényezők csoportosíthatók), disztributívak ( a két művelet elvégzésének sorrendje felcserélhető ). 5. A halmaz kitüntetett elemei az egység elem (értéke a halmazon belül mindig IGA, azaz 1), és a nulla elem (értéke a halmazon belül mindig HAMIS, azaz 0). 52 LOGIKAI MŰVELETEK A változókkal végezhető logikai műveletek: - ÉS (konjunkció) - logikai szorzás; - VAG (diszjunkció) - logikai összeadás; - NEM (negáció, invertálás, komplementálás) - logikai tagadás. Az ÉS, illetve a VAG logikai művelet két-, vagy többváltozós, a változók legalább két eleme, vagy csoportja között értelmezett logikai kapcsolatot határoz meg. A tagadás egyváltozós művelet, amely a változók, vagy változócsoportok bármelyikére vonatkozhat. 53 A ÉS (AND) MŰVELET, LOGIKAI SORÁS (KONJUNKCIÓ) A logikai változókkal végzett ÉS művelet eredménye akkor és csak akkor IGA, ha mindegyik változó értéke egyidejűleg IGA. ÉS művetet igazságtáblázata: A logikai algebrában az ÉS kapcsolatot szorzással jelölik (logikai szorzás), de a logikai szorzás jelét általában nem szokás kitenni. A K = A B algebrai egyenlőségben A és B a független változók, és K a függő változó, vagy eredmény. Jelentése pedig az, hogy a K akkor IGA, ha egyidejűleg az A és a B is IGA. 54 9
LOGIKAI SORÁS (KONJUNKCIÓ), (LOGIKAI ÉS KAPCSOLAT) ÉS (AND) ÁRAMKÖRI SIMBÓLUMOK Definícíó: 0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1 A művelet eredménye tehát csak akkor a logikai 1 érték, ha mindkét tényező logikai értéke 1. A művelet a definíció szerint kommutatív. Formailag megegyezik az aritmetikai szorzással, de az 1 és 0 értékek jelentése csak logikai. 55 Kapuáramkörök esetében &. Kapcsoló áramkörök esetében Sorbakötött és nyugalmi állapotban nyitott (=MAKE) kapcsolók 56 A VAG (OR) MŰVELET A logikai változókkal végzett VAG művelet eredménye akkor IGA, ha a független változók közül legalább az egyik IGA. Igazságtáblázat: Algebrai formában ezt a független változók összegeként írjuk le (logikai összeadás). K = A + B alakú algebrai egyenlőségben a K eredmény akkor IGA, ha vagy az A, vagy a B, vagy mindkettő IGA. A VAG műveletet leíró táblázat tehát az alábbi: 57 LOGIKAI ÖSSEDÁS (DISJUNKCIÓ), (LOGIKAI VAG KAPCSOLAT) Definíció: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 A művelet eredménye tehát csak akkor a logikai 1 érték, ha vagy az első, vagy a második tag (vagy mindkettő) logikai értéke 1. A művelet a definíció szerint kommutatív. Az utolsó definíciós összefüggés kivételével formailag az aritmetikai összeadás szabályai is alkalmazhatók a logikai értékekre. 58 VAG (OR) ÁRAMKÖRI RAJJELEK Kapuáramkörök esetében 1. Kapcsoló áramkörök esetében LOGIKAI SORÁS ÉS ÖSSEADÁS KETTŐNÉL TÖBB VÁLTOÓRA Mindkét definiált logikai művelet értelemszerűen kiterjeszthető kettőnél több tényezőre, illetve tagra is. Ekkor természetesen a műveletek elvégzésének sorrendjét megfelelő zárójelek alkalmazásával kell jelölni, akárcsak aritmetikai műveletek esetén. Párhuzamosan kötött, nyugalmi állapotban nyitott (= MAKE) kapcsolók 59 60 10
A TAGADÁS (INVER, KOMPLEMENTÁLÁS) MŰVELET A logikai tagadást egyetlen változón, vagy csoporton végrehajtott műveletként értelmezzük. Jelentése az, hogy ha a változó IGA, akkor a tagadottja HAMIS és fordítva. Igazságtáblázat: Algebrai leírásban a tagadást a változó jele fölé húzott vonallal jelöljük. Ezek szerint K = Ā egyenlőség azt jelenti, hogy a K akkor IGA, ha az A HAMIS. Szóban A nem - nek, A felülvonás-nak vagy A tagadott-nak mondjuk. 61 Definíció: LOGIKAI NEGÁCIÓ (INVERTÁLÁS, KOMPLEMENTÁLÁS), LOGIKAI TAGADÁS MŰVELET A művelet tehát logikai értékekhez ellentettjüket rendeli hozzá. A műveletet páros számú esetben alkalmazva, eredményül a kiindulási logikai érték adódik: 0 = 0 és 1 = 1 0 = 1 1 = 0 Páratlan számú alkalmazás az ellentett, negált értéket eredményezi. 62 A NEGÁCIÓ NEM-ÉS (NAND) ÁRAMKÖRI RAJJELEK A negáció nem két- hanem csak egyargumentumos művelet. Kapuáramkörök esetében Kapcsoló áramkörök esetében A gyakorlatban sokszor szükség van egy változó negáltjának az előállítására. Az erre való eszköz az inverter. (A negációt a köröcske jelenti): Talán éppen azért tekintik sokszor a negációt műveletnek mert a kapuáramkörök között van eszköz a végrehajtására. 63 & Párhuzamosan kötött, nyugalmi állapotban zárt (=BREAK) kapcsolók 64 NEM-VAG (NOR) ÁRAMKÖRI RAJJELEK Kapuáramkörök esetében 1 Kapcsoló áramkörök esetében Sorosan kötött, nyugalmi állapotban zárt (=BREAK) kapcsolók EGSÉG ÉS NULLA ELEM A halmaz kitüntetett elemei, melyek mindig léteznek az egység elem (értéke a halmazon belül mindig IGA, azaz 1), és A 1 = 1 A = A a nulla/zérus elem (értéke a halmazon belül mindig HAMIS, azaz 0) A + 0 = 0 + A = A 65 66 11
KOMPLEMENSKÉPÉS: TAGADÁS A logikai algebra illetve a Boole-algebra a felsorolt axiómákra épül. A logikai feladatok technikai megvalósításáh oz a halmaz egy elemének komplemens-ét képező művelet is szükséges. Ezért a műveletek között a logikai TAGADÁS is szerepel. A A = 0 és A + A = 1 LOGIKAI MŰVELETEK TULAJDONSÁGAI Kommutativitás az operandusok sorrendjének felcserélhetősége Asszociativitás az operandusok csoportosíthatósága Disztributivitás az operandusok átrendezhetősége 67 68 LOGIKAI MŰVELETEK TULAJDONSÁGAI: KOMMUTATIVÍTÁS Az ÉS (logikai vagy) és VAG (logikai összeadás) műveletek alapvető tulajdonsága a kommutativitás, azaz az operandusok sorrendjének felcserélhetősége: A B = B A A + B = B + A LOGIKAI MŰVELETEK TULAJDONSÁGAI: ASSOCIATIVÍTÁS Az ÉS (logikai vagy) és VAG (logikai összeadás) műveletek másik alapvető tulajdonsága az asszociativítás, azaz az operandusok csoportosíthatósága: A (B C) = (A B) C = A B C A + (B + C) = (A + B)+ C = A + B + C A zárójelek a műveletei sorrendjét adják meg. Igazolás: logikai értékek behelyettesítésével. 69 70 LOGIKAI MŰVELETEK TULAJDONSÁGAI: DISTRIBUTIVÍTÁS Az ÉS (logikai vagy) és VAG (logikai összeadás) műveletek harmadik alapvető tulajdonsága a disztributívitás, azaz az operandusok átrendezhetősége: A (B + C) = A B + A C A + (B C) = (A + B) (A + C) Igazolás: logikai értékek behelyettesítésével. A MŰVELETEK DISTRIBUTIVÍTÁSA A ÉS és a VAG műveletek azonos értékűek. Mindkettő disztributív a másikra nézve. Az első azonosság alakilag megegyezik a közönséges matematikai műveletvégzési szabályokkal. A második azonosság csak a logikai algebrában érvényes. Kifejezi azt, hogy egy logikai szorzat (ÉS) és egy logikai érték (állítás) logikai összege (VAG) úgy is képezhető, hogy először képezzük a VAG műveletet a szorzat tényezőivel és az így kapott eredményekkel hajtjuk végre az ÉS műveletet. 71 72 12
LOGIKAI KIFEJEÉSEK ÁTALAKÍTÁSA A logikai műveletek tulajdonságai segítségével a logikai kifejezések algebrai átalakítása hajtható végre, és így lehetőség van a legegyszerűbb alakú kifejezés megkeresésére. Ezt a későbbiekben még részletesebben fogjuk tárgyalni. A LOGIKAI ALGEBRA TÉTELEI Fontosabb tételek, azok részletes bizonyítása nélkül. Helyességükről a logikai értékek összes lehetséges kombinációinak behelyettesítésével lehet meggyőződni. A kitüntetett (1 illetve 0) elemekkel végzett műveletek: 1 1 = 1 0 0 = 0 1 A = A 0 A = 0 1 + 1 = 1 0 + 0 = 0 1 + A = 1 0 + A =A 73 74 A LOGIKAI ALGEBRA TÉTELEI: AONOS VÁLTOÓK Az azonos változókkal végzett műveletek: Tautológia A A = A Negáció szabályai: (idempotencia): A + A = A A Ā = 0 A + Ā = 1 Az A-val jelzett logikai változó nem csak egy változó, hanem egy logikai műveletsor eredménye is lehet. LOGIKAI ALGEBRA TÉTELEI: TAGADÁS A logikai tagadásra vonatkozó tétel (kettős negáció): A = A Általánosan: a páros számú tagadás nem változtatja meg az értéket, míg a páratlan számú tagadás azt az ellenkezőjére változtatja. 75 76 TOVÁBBI ÖSSEFÜGGÉSEK Abszorpciós szabály DE MORGAN TÉTELEK A logikai algebrában kitüntetett szereppel bírnak a De Morgan-azonosságok A (A + B) = A A + A B = A A fenti, a logikai algebrában érvényes össze-függések természetesen nem érvényesek a szokásos algebrában. A + B = A B A B = A + B Logikai összeg negáltja azonos a tagok negáltjainak logikai szorzatával. Logikai szorzat negáltja pedig azonos a tényezők negáltjainak összegével. 77 78 13
DE MORGAN TÉTELEK A + B = A B A B = A + B Vágd el a vonalat, cseréld fel a műveletet! DE MORGAN SABÁLOK ALKALMAÁSA A De Morgan szabályok alapján az ÉS és a VAG műveletek csak egyikét a NEM művelettel együtt használva a harmadik művelet előállítható. A B = (A + B) A + B = (A B) 79 80 DE MORGAN TÉTELEK ÁLTALÁNOSÍTÁSA A digitális rendszerek analízisében és szintézisében fontos szerepet játszanak a De Morgan-féle tételek. Több változóra érvényes alakjuk az alábbi A B C... = A + B + C +... LOGIKAI (BOOLE) FÜGGVÉNEK ÉS ALKALMAÁSAIK A + B + C +... = A B C... 81 82 LOGIKAI MŰVELETEK ÉS DUALITÁS Röviden áttekintjük a logikai alapműveletek közötti kapcsolatot melyet a dualitás fejez ki és lényegében a De Morgan tételeken alapul. A kétargumentumos műveletek közül kettőt-kettőt alapművelet-párokként választhatunk. (Egyiket vagy a másikat, de nem mindkettőt.) Ezek a művelet-párok a következők: ÉS ( szorzás) VAG (összeadás: +) NEM-ÉS (NAND) NEM-VAG (NOR) A műveletpárok egyik tagja a másik un. duális párja. A duális műveletpárokat De Morgan tételek kapcsolják össze. A duális művelet-párokkal (és a negációval) kifejezhetjük bármelyik másik műveletet. LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK KIALAKÍTÁSA Tetszőleges logikai összefüggés, vagy logikai függvény is előállítható a NEM-ÉS vagy NEM-VAG alapművelet párokkal. Vagyis tetszőleges logikai áramkör kialakítható csupán NEM-ÉS, vagy csupán NEM-VAG kapuk alkalmazásával. A NAND és az NOR univerzális műveletek. Elvileg elég csak NAND vagy csak NOR kapukat tartatni, azokból bármilyen logikai áramkör felépíthető. Gyakorlati jelentőség: az elektronikus erősítők általában invertáló jellegűek (180 fokos fázistolás). Ezért a gyakorlatban a NEM-ÉS (NAND) és a NEM-VAG (NOR) a szokásos alapelem. Végső soron mindez a De Morgan tételeken alapul! 14
KOMBINCIÓS HÁLÓATOK A GAKORLATBAN CSAK NAND ILLETVE NOR KAPUS MEGVALÓSÍTÁSOK Egy kétszintű ÉS-VAG hálózat (szorzatok összege, sum-ofproducts) megvalósítható kétszintű NEM-ÉS/NEM-ÉS (NAND-NAND) hálózattal. Egy kétszintű VAG-ÉS hálózat (összegek szorzata, productof-sums) megvalósítható kétszintű NEM-VAG/NEM-VAG (NOR-NOR) hálózattal. Mindez a De Morgan tételeken alapul. 85 86 LOGIKAI KIFEJEÉSEK ALGEBRAI ÁTALAKÍTÁSA A következőkben néhány példával illusztráljuk a logikai függvények algebrai átalakítását. Hangsúlyozni kell, hogy a logikai algebra műveleti szabályai eltérnek a szokásos algebra szabályaitól! LOGIKAI ALGEBRAI ÁTALAKÍTÁS (1) Hozzuk egyszerűbb alakra az alábbi kifejezést = AB + AB + ABCD Az A változó kiemelhető, utána a zárójelben lévő kifejezés fokozatosan egyszerűsíthető _ = A(B + B + BCD) = A(1 + BCD) = A Válasz: = A LOGIKAI ALGEBRAI ÁTALAKÍTÁS (2) Hozzuk egyszerűbb alakra az alábbi kifejezést = ABC + A + B + C Alkalmazzuk a De Morgan azonosságokat! _ = A + B + C + A B C = A(1 + B C) + B + C = _ = A + B + C NAND KAPUS REALIÁLÁS A kétszintű NAND kapus realizálás az alábbi átalakításon alapul (De Morgan szabályok!) _ (A,B,C) = AC + BC = (AC) (BC) A _ C B _ C & & & 15
KÉTVÁLTOÓS FÜGGVÉNEK: ANTIVALENCIA, EKVIVALENCIA Függvény neve f(a,b) Logikai konstansok 0, 1 Egyváltozós függvények AND, OR, NAND, NOR OR (A B ), NOR (AB) A, A, B, B A B, A+B, A B, A+B A B+A B, A B+A B INHIBÍCIÓ (TILTÁS) A B, B A IMPLIKÁCIÓ (KÖVETKETETÉS) A B, B A ANTIVALENCIA ÉS EKVIVALENCIA Antivalencia (más neve kizáró vagy) Ekvivalencia Angolul: OR (A B ), NOR (A B) antivalency (exclusive-or) equivalency vagy coincidence 91 92 ANTIVALENCIA (OR) NOR EKVIVALENCIA (NOR) ANTIVALENCIA, ECLUSIVE-OR A B f 2 6 f 2 9 0 0 0 1 A két függvény egymás ellentettje 0 1 1 0 (negáltja) 1 0 1 0 1 1 0 1 A B = AB A B f 2 6 0 0 0 f 62 = A B + A B 0 1 1 1 0 1 szokásos jelölése: 1 1 0 f 62 = A B OR f 62 = A B = A B+A B, NOR f 9 2 = AB = A B+A B 93 ANTIVALENCIA más néven KIÁRÓ-VAG (ECLUSIVE- OR), a függvény akkor 1, ha vagy az egyik, vagy a másik változó 1, és 0, ha mindkét változó egyszerre 0 vagy 1. 94 EKVIVALENCIA, ECLUSIVE-NOR ANTIVALENCIA A B f 2 9 0 0 1 f 92 = AB + AB 0 1 0 1 0 0 szokásos jelölése: 1 1 1 f 92 = A B A B f 2 6 Az igazságtáblázat szerint a f 62 = A B művelet egy- 0 0 0 ben megvalósítja a két bites 0 1 1 maradéknélküli bináris össze- 1 0 1 adás aritmetikai műveletét 1 1 0 ( fél összeadó ). EKVIVALENCIA (ECLUSIVE-NOR), a függvény akkor 1, ha mindkét változó egyszerre 0 vagy 1, és akkor 0 ha az egyik, vagy a másik változó 1. 95 Az antivalencia kapu felfogható egy-bites digitális komparátor -nak is, ha a bemenetére érkező két bit azonos értékű, a kimeneten 0 jelet ad, ha eltérő, akkor 1-et. 96 16
ECLUSIVE-OR, ANTIVALENCIA A B = A B+A B, Az OR megvalósítja két bit átvitel nélküli összeadását (fél-összeadó). Funkcionál mint vezérelt inverter (vezérlőjel: A, feldolgozandó jel: B). Funkcionál mint páratlanság-vizsgáló : ha páratlan számú bemeneten van 1, akkor a kimenet 1, ellenkező esetben 0. Itt már implikáltuk az OR kiterjesztését több bementre (értelmezés az MSz szerint, részletes magyarázat som I, 76-77 old.!) KIÁRÓ-VAG Az ECLUSIVE-OR megvalósítása történhet a definiáló Boole algebrai egyenlet alapján NEM, ÉS és VAG kapukkal, vagy megfelelő átalakítás után NAND kapukkal mint univerzális elemmel. Az TTL és CMOS áramköri családokban van külön kész ECLUSIVE-OR kapu is. 97 98 ECLUSIVE-OR NEM, ÉS, VAG KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA ECLUSIVE-OR (ANTIVALENCIA) NAND KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA 1. Az OR a Boole-egyenlet szerint megvalósítása. 2. Az OR szabványos rajzjele. 3. Az OR régebbi rajzjele. 99 A B = A B+A B = (A B) (A B) Itt feltételezzük, hogy a negált változók rendelkezésre állnak. 100 ECLUSIVE-NOR: EKVIVALENCIA AB = A B+A B EKVIVALENCIA (NOR) NEM, ÉS, VAG KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA Az igazságtáblázat szerint az NOR az OR negáltja. Több változóra való kiterjesztéskor az NOR függvénynek többféle értelmezése is előfordul! Pl. az MS szerint három változó esetén a függvény értéke csak a 0 0 0 és az 1 1 1 bemeneti kombinációkra 1, az összes többire 0. A másik szokásos értelmezés esetén a függvény értéke akkor 1, ha a változók között páros számú 1 van. 1. Az NOR a Boole-egyenlet szerinti megvalósítása. 2. Az NOR (EKVIVALENCIA) szabványos rajzjele. 3. Az NOR régebbi rajzjele. 101 102 17
ECLUSIVE-NOR (EKVIVALENCIA) NAND KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA NOR KAPUS REALIÁLÁSOK Természetesen mind az ANTIVALENCIA (OR) mind az EKVIVALENCIA (NOR) megvalósítható kizárólag NOR kapuk felhasználásával. A NAND kapus realizálás a De Morgan azonosságok felhasználásával végzett átalakítások eredménye. 103 104 LOGIKAI FÜGGVÉNEK MEGADÁSI MÓDJAI LOGIKAI FÜGGVÉN MEGADÁSA IGASÁGTÁBLÁATTAL ILLETVE ALGEBRAI ALAKBAN A logikai függvény többféle módon megadható, illetve ábrázolható. Az alábbi módokat fogjuk alkalmazni. 1. Igazságtáblázat 2. Algebrai alak 3. Grafikus ábrázolás 4. Szimbolikus jelölés i A B C 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 (A,B,C) = ABC + ABC + ABC Egy logikai függvény egyértelmű megadása: a független változók összes lehetséges kombinációjához megadjuk a függvénykapcsolat által előírt függvényértéket. Ez az ún. igazságtáblázat. Az ilyen függvénydefiníció egyértelmű. 105 106 FÜGGVÉN MEGADÁSA ALGEBRAI ALAKBAN: KANONIKUS ALAK A logikai függvény megadható oly módon, hogy a logikai műveletek szimbólumaival (ÉS, VAG és NEM) definiáljuk a logikai függvényt. A kombinációs hálózatok tervezésének kiindulási lépése a logikai függvény felírása a megoldandó feladat alapján. Általában az algebrai alak használatos. Egyazon függvény többféle algebrai alakban is megadható. Közöttük kitüntetett szerepük van az ún. normalizált vagy kanonikus alakoknak. 107 LOGIKAI FÜGGVÉNEK KANONIKUS ALAKJAI A most következő anyagot egy háromváltozós, teljesen határozott logikai függvény igazságtáblázata fogja illusztrálni, az új fogalmakat ennek alapján vezetjük be, és az elméletet is ez alapján építjük fel. A tárgyalásmód Arató Péter (ajánlott) könyvét (Logikai rendszerek tervezése) követi. 108 18
A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 TELJESEN HATÁROOTT LOGIKAI FÜGGVÉN (LOGIKAI FELADAT) Teljesen határozott logikai függvény megadható azon változókombinációk felsorolásával,amelyekhez F = 1, vagy azokéval amihez F = 0 tartozik. F(ABC) = ABC + ABC + ABC + ABC vagy F(ABC) = A B C + A BC + ABC + ABC F és F egyaránt logikai szorzatok VAG kapcsolataként adható meg. LOGIKAI FÜGGVÉNEK KANONIKUS ALAKJAI A kombinációs hálózatok tervezésénél célszerű az algebrai alakból kiindulni. Mivel egy logikai függvénynek több algebrai alakja is van, olyan speciális tulajdonságú alakot kell keresni, mely olyan, hogy a logikai függvényhez más, ilyen tulajdonságú algebrai alak nem rendelhető. Az ilyen alak a logikai függvény normál vagy kanonikus alakja. 109 110 DISJUNKTÍV KANONIKUS ALAK (ETENDED SUM-OF-PRODUCTS) A logikai szorzatok logikai összegeként (ÉS-VAG) képzett algebrai alak kanonikus vagy normál alak. A példa szerinti függvényalak tulajdonságai: F(ABC) = ABC + ABC + ABC + ABC - mindegyik szorzat egy olyan független-változó kombináció, melyhez F = 1 tartozik; - mindegyik szorzatban az összes független változó szerepel ponált vagy negált alakban. A teljesen határozott függvénynek csak egy ilyen algebrai alakja van a diszjunktív kanonikus alak. 111 MINTERM (DEFINICIÓ) A diszjunktív kanonikus alak tagjai neve minterm m i n itt n a független változók száma, i a független változók adott kombinációjának megfelelő bináris szám decimális értéke. A B C F(ABC) = ABC + ABC + ABC + ABC (emlékeztető: (2) (3) (4) (6) ) F(ABC) = m 23 + m 33 + m 43 + m 6 3 más jelölés: 3 F = Σ (2,3,4,6) F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 112 19