1. tétel - Gráfok alapfogalmai

1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési leképezés, E és V diszjunktak. 2. illeszkedés Egy G = (Φ, E, V) gráfban, ahol e eleme E és v eleme V és v eleme Φ(e) teljesül, akkor v az e egyik végpontja, e él illeszkedik v-re. Azok a csúcsok, amikre nem illeszkedik él, izolált csúcsnak nevezzük. 3. párhuzamos élek, hurokél Ha egy él egy csúcsra illeszkedik, akkor hurokélnek nevezzük. Ha egy G = (Φ, E, V) gráfban, ahol e 1,e 2 eleme E, e 1 e 2, de ugyanazokra a csúcsokra illeszkednek, akkor e 1 és e 2 párhuzamos élek. 4. szomszédosság e 1,e 2 eleme E, e 1 e 2 szomszédos, ha van közös végpontjuk. v 1,v 2 eleme V, v 1 v 2 szomszédos, ha van él, ami v 1 -re és v 2 -re is illeszkedik. 5. fok Ha egy G = (Φ, E, V) gráfban v eleme V csúcsra véges sok él illeszkedik, akkor ezeknek a száma a csúcs fokszáma, jele: d(v). A hurokéleket kétszer számoljuk. 6. reguláris gráf Egy G = (Φ, E, V) gráf n-reguláris, ha minden v eleme V: d(v) = n. G reguláris, ha létezik n, amire n-reguláris. 7. véges gráf G = (Φ, E, V) gráf véges, ha E is és V is véges, különben végtelen. 8. izomorzmus 1

G 1 = (Φ 1, E 1, V 1 ), G 2 = (Φ 2, E 2, V 2 ), G 1 és G 2 izomorfak, ha létezik f : E 1 E 2, g : V 1 V 2 bijekciók, hogy v eleme Φ(e) akkor, és csak akkor, ha g(v) eleme Φ(f(e)), minden v eleme V, minden e eleme E-re. 9. gráfok Descartes-szorzata 10. részgráf G 1 = (Φ 1, E 1, V 1 ), G 2 = (Φ 2, E 2, V 2 ). G 1 -nek G 2 részgráfja, ha E 2 részhalmaza E 1 -nek, V 2 részhalmaza V 1 -nek, Φ 2 része Φ 1 -nek. 11. feszített részgráf G 2 a V 2 által feszített részgráf, ha az összes olyan E-beli élt tartalmazza, aminek a végpontjai V 2 -ben vannak. 12. komplementer G' részgráfja G-nek, ekkor G'-nek a G-re vonatkozó komplementere: (Φ E/E, E/E, V ) 13. páros gráf (példákkal) G = (Φ, E, V) gráf páros, ha létezik V 1, V 2, V 1 V2 = 0, V 1 V2 = V úgy, hogy minden él egyik végpontja V 1 -ben, a másik V 2 -ben van. Példák: három ház, három kút: 14. séta Egy G = (Φ, E, V) gráfban egy n 0 hosszú séta v 0 -ból v n -be egy v 0, e 1, v 1, e 2,..., v n 1, e n, v n sorozatból áll, ahol e i a v i 1, v i csúcsokra illeszkedik, ha i = 1,.., n. Ha v 0 = v n (vagyis a kezd pont megegyezik a végponttal), akkor a séta zárt, különben nyílt. 2

15. vonal 16. út Ha egy sétában minden él különböz, akkor vonal. Egy séta út, ha v 0,v 1,...,v n mind különböz k. A nulla hosszú séták mind utak is egyben. Az egy hossuú séták csak akkor utak, ha egyetlen éle sem hurokél. 17. kör Egy zárt vonal kör, ha n 1, v 0 = v n, de egyébként minden csúcs különböz. 18. távolság v és v' V-beli csúcsok, kettejük távolsága az ket összeköt utak hosszának a minimuma (amennyiben nincsen köztük út, a vávolságuk végtelen). 19. átmér Egy gráf átmér je a csúcspárok közti távolságok maximuma (szuprémuma, ha a gráf végtelen). 20. összefügg ség Egy ~ ekvivalenciareláció szerinti ekvivalenciaosztályok által feszített részgráfok a gráfok komponensei. Egy gráf összefügg, ha bármely csúcsából bármely csúcsába vezet út/séta (vagyis ha komponenseinek száma egy). 21. fák deníciója Egy gráf fa, ha összefügg, és nincs köre. 22. fák jellemzése ekvivalens állításokkal G egyszer gráfra ekvivalens: (a) Fa (b) G összefügg, de bármely él törlésével a kapott gráf nem összefügg. (c) minden v, v' élre pontosan egy út vezet v-b l v'-be (d) G körmentes, de ha hozzáveszünk bármilyen új élt, a kapott gráf már nem körmentes 23. fák jellemzése élszámmal G n csúcsú, egyszer, véges gráfra ekvivalens (a) fa (b) (n-1) éle van, körmentes (c) (n-1) éle van, összefügg 3

BIZONYÍTÁSOK 1. Sétából ugyanolyan végpontokkal rendelkez utat kaphatunk Állítás: vissza v-b l v'-be men sétából elhagyhatunk (v v'), hogy út marad Bizonyítás: amíg nem út, addig létezik i és j index, amire v i =v j, vagyis tartalmaz kört. (v i...e j ) (a kör) törölhet és v j -t l megyünk tovább, ami marad, az egy út lesz. 2. Összefügg ség és komponensek kapcsolatának részletei Állítás: ~ egy ekvivalenciareláció, vagyis reexív, szimmetrikus és tranzitív Bizonyítás: (a) reexív: minden v-re v-b l v-be 0 hosszú út vezet (b) szimmetrikus: v = v 0, e 1, v 2,, e 2,..., e n, v n = v egy út v-b l v'-be, akkor v = v n, e n, v n 1,..., e 1, v 0 = v egy út v'-b l v-be. (c) tranzitív:v, e 1,..., e n, v út és v, f 1,..., f n, v út, ekkor a v, e 1,..., e n, v, f 1,..., f n, v egy séta v-b l v-be, azt pedig tudjuk, hogy sétából lehet utat csinálni. 3. fák ekvivalens jellemzései Tétel: G egyszer gráfra ekvivalens: (a) Fa (b) G összefügg, de bármely él törlésével a kapott gráf nem összefügg. (c) minden v, v' élre pontosan egy út vezet v-b l v'-be (d) G körmentes, de ha hozzáveszünk bármilyen új élt, a kapott gráf már nem körmentes Bizonyítás: (1)(2)(3)(4)(1) (1)(2) indirekt: G fa, v és v' közti élt elhagyva még mindig összefügg lenne, de akkor a v-b l v'-be men utat az elhagyott éllel kiegészítve egy kört kapnék G-be, ami ellentmondás, mert G fa volt, fa pedig deníció szerint körmentes. (2)(3) indirekt: legalább 2 út van v és v' között, legyen v k és v' k az els eltérés az utakon, ekkor a (v k 1,v k ) él elhagyható lenne, továbbra is összefügg lenne, ami pedig ellentmondás. (3)(4) Vegyünk hozzá v és v' közé egy élt. v-b l v'-be volt út, az új él bevételével pedig kör keletkezik, vagyis megsz nt a körmentesség. Ha eredetileg is lenne kör, akkor a kör 2 tetsz leges pontja között 2 út is menne. 4

(4)(1) kell: a gráf összefügg ha nem lenne az, akkor lenne két csúcs, mely nem lenne összekötve. Ha új élt veszek v és v' közé, akkor a (4) alapján kapunk egy kört. Ezt az élt elhagyva aztán mégis lenne út v-b l v'-be. 5