Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29

Lineáris tér, lineáris függvény A műszaki folyamatok leírásában fontos szerepet játszanak az úgynevezett lineáris modellek, amelyekben egyes mennyiségek között - legalábbis egy bizonyos határig - lineáris kapcsolatot feltételezünk. A feltételezett lineáris kapcsolatok precíz matematikai leírásához szükségünk van a lineáris tér, lineáris függvény fogalmakra. Lineáris térre a legkézenfekvőbb példa R n := {x = (x 1,..., x n ) x 1,..., x n R}, a rendezett valós szám n-esek halmaza. Ezen a halmazon az összeadást tetszőleges x = (x 1,..., x n ) és y = (y 1,..., y n ) elemek esetén x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ), a skalárral való szorzást λ R módon értelmezzük. λ x = (λ x 1,..., λ x n ) Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 2 / 29

Ekkor könnyen ellenőrizhető, hogy teljesülnek az alábbi tulajdonságok: A halmaz Abel-csoport az összeadásra nézve, azaz tetszőleges x, y, z elemek esetén: x + y = y + x, (x + y) + z = x + (y + z) létezik egy olyan 0-val jelölt zéruselemnek nevezett elem, melyre x + 0 = x (Ez itt a 0:=(0,..., 0)) minden x elemhez létezik olyan x-el jelölt és additív inverznek nevezett elem, melyre x + ( x) = 0. (Itt a x := ( x 1,..., x n )) A skalárral való szorzás pedig rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: (λ + µ) x = λ x + µ x λ (x + y) = λ x + λ y λ (µ x) = (λ µ) x 1 x = x Ha értelmezve van V -beli elemek összeadása és számmal való szorzása a fenti tulajdonságokkal, akkor V -t lineáris térnek nevezzük. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 3 / 29

Egy V lineáris téren adott skaláris szorzat egy olyan : V V R leképezés, mely rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: (x + y) z = x z + y z (λ x) z = λ (x z) x y = y x x x 0 és x x = 0 pontosan akkor, ha x = 0 R n -en, mint lineáris téren az x y := x 1 y 1 +... + x n y n képlettel adott függvény skaláris szorzatot definiál. A skaláris szorzat birtokában a norma és a távolság származtatott mennyiségek: Norma: x := x x Távolság (distance): d(x, y) := x y R n -en, mint lineáris téren a norma: x = x1 2 +... + x n 2, a távolság pedig: d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 +... + (x n y n ) 2 Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 4 / 29

Tétel: Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség Egy skaláris szorzattal ellátott V lineáris tér minden x, y elemére: Bizonyítás: Minden λ R esetén azaz x y x y (x + λ y) (x + λ y) 0, x x + 2 λ x y + λ 2 y y 0. A bal oldalon szereplő másodfokú P(λ) polinom pontosan akkor vesz fel nemnegatív értékeket, ha a diszkrimináns negatív vagy 0, azaz Ez ekvivalens a bizonyítandóval. 4 (x y) 2 4 x x y y 0. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 5 / 29

Definíció Egy skaláris szorzattal ellátott V lineáris térben a zérusvektortól különböző x, y vektorok szöge az az α szám, melyre: cos α = x y x y Definíció Egy skaláris szorzattal ellátott V lineáris tér x és y vektorát ortogonálisnak mondjuk, ha x y = 0. Az x V vektort egységvektornak nevezzük, ha x = 1. Egy vektorrendszer ortogonális, ha páronként ortogonális nemzérus vektorokból áll. Egy vektorrendszer ortonormált, ha páronként ortogonális és egységvektorokból áll. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 6 / 29

Legyen V lineáris tér, b 1,..., b n V. Ekkor a {b 1,..., b n } vektorrendszer összes lineáris kombinációjának halmaza: L{b 1,..., b n } := {λ 1 b 1 +... + λ n b n λ 1,..., λ n R} Gram - Schmidt ortogonalizálási eljárás Bemenet: b 1, b 2, b 3,... tetszőleges vektorrendszer 1.lépés: e 1 := b 1 (ha b 1 0) 2.lépés: e 2 := b 2 b 2 e 1 e 1 2 e 1 3.lépés: e 3 := b 3 b 3 e 1 e 1 2 e 1 b 3 e 2 e 2 2 e 2 stb... Kimenet: e 1, e 2, e 3,... ortogonális vektorrendszer Ha e k = 0 valamely k -ra, akkor b k törlendő a bemeneti vektorrendszerből és az eljárást folytatjuk a b k+1 elemet alapul véve. Ekkor L{b 1, b 2,...} = L{e 1, e 2,...}. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 7 / 29

Megjegyzés és megállapodás Ha adott R 3 -ban egy {a, b, c} ortogonális vektorrendszer, akkor bármely x R 3 vektor előállítható az a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként. Ekkor azt mondjuk, hogy az {a, b, c} rendszer R 3 egy bázisa. Az i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) vektorokból álló vektorrendszer R 3 egy ortonormált bázisa. A továbbiakban i, j, k ezt szimbolizálja. Vektoriális szorzat Az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) nemzérus vektorok vektoriális szorzatán a a b := (a 2 b 3 a 3 b 2 ) i (a 1 b 3 a 3 b 1 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k vektort értjük. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 8 / 29

Megjegyzés Az a és b nemzérus párhuzamos vektorok vektoriális szorzata a zérusvektor. Az a és b nem párhuzamos vektorok vektoriális szorzata olyan vektor mely, mindkét komponensére (a-ra és b-re is) ortogonális. Ha a és b ortogonálisak, akkor az a, b, a b vektorokból álló vektorrendszer ilyen sorrendben jobbsodrású, ortogonális vektorrendszer. Ha egy nemzérus a vektort egy e egységvektorral párhuzamos és egy arra merőleges szabadvektor összegére bontunk, akkor a merőleges komponens a m és a m = (e a) e. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 9 / 29

Egyenes előállítása a térben r(x) = r 0 + x v (x R) Ha az egyenes az origón keresztülhalad, akkor r(x) = x v (x R). Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 10 / 29

Sík előállítása (r r 0 ) n = 0 Ha r = (x, y, z), r 0 = (x 0, y 0, z 0 ), n = (A, B, C), akkor a sík egyenlete: A (x x 0 ) + B (y y 0 ) + C (z z 0 ) = 0. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 11 / 29

Definíció Az A: R n R m függvényt lineárisnak nevezzük, ha A(x + y) = A(x) + A(y), x, y R n, A(λ x) = λ A(x), x, y R n, λ R teljesül. Tétel Legyen A m n-es mátrix. Ekkor az A(x) = A x (x R n ) szerint értelmezett függvény A: R n R m típusú lineáris függvény. Minden A: R n R m lineáris függvény A(x) = A x (x R n, A egy(m n)-es mátrix) alakban írható. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 12 / 29

Megjegyzések 1. Az R R típusú x }{{} A x lineáris függvény grafikonja az origón szám átmenő, A meredekségű egyenes a síkban. 2. Az R R 3 típusú x a 1 a 2 a 3 x lineáris függvény grafikonja az origón átmenő, (a 1, a 2, a 3 ) irányvektorú egyenes a térben. 3. Egy R 3 R típusú lineáris függvény egy rögzített a vektorral képzett x a x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 skaláris szorzat formájában állítható elő. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 13 / 29

Megjegyzések 4. Geometriai viszonyok, mozgások leírásában fontosak az R n R n típusú lineáris függvények, melyeket az R n tér lineáris transzformációinak is neveznek: az R 2 R 2 típusú lineáris függvények síkbeli, az R 3 R 3 típusú lineáris függvények térbeli lineáris transzformációk. 5. A mechanikában a (síkbeli, illetve térbeli) feszültségi és alakváltozási állapot szintén R 2 R 2, illetve R 3 R 3 típusú lineáris függvényekkel, más szóval tenzorokkal írhatók le. A feszültségtenzor például irányhoz rendel feszültségvektort: ρ(n) = T n, ρ x ρ y ρ z = σ x τ yx τ zx τ xy σ y τ zy τ xz τ yz σ z n x n y n z Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 14 / 29

Definíció A v R n nemzérus vektort az A: R n R n lineáris leképezés sajátvektorának nevezzük, ha van olyan λ R, hogy A(v) = λ v. Ilyenkor λ-t a v sajátvektorhoz tartozó sajátértéknek nevezzük. Sajátérték és sajátvektor meghatározása Ha az A: R n R n lineáris leképezés mátrixa A, akkor a sajátvektornak eleget kell tennie az A v = λ v azaz átrendezve és az egységmátrixot E-vel jelölve (A λ E) v = 0 lineáris homogén egyenletrendszernek. Nemzérus v megoldás pontosan akkor van, ha a rendszer együttható mátrixának determinánsa zérus, azaz, ha det(a λ E) = 0. Megjegyzés A feszültségi tenzorral kapcsolatos sajátértékfeladatot a feszültségi tenzor főtengelyproblémájának, a σ n sajátértékeket főfeszültségeknek, a kapott n sajátvektorok által kijelölt irányokat feszültségi főirányoknak szokás nevezni. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 15 / 29

Feladat: Döntse el, hogy egy egyenesen van-e a következő három pont: A = (2, 1, 1) B = (3, 1, 2) C = (4, 1, 5) Megoldás: Amennyiben a pontok egy egyenesen vannak, úgy az AB és AC vektorok egymás konstansszorosai. Tehát keresendő olyan λ R, hogy AB = λ AC. AB = (1, 0, 3) és AC = (2, 0, 6), így az AB = 1 2 AC összefüggésből látjuk, hogy a pontok egy egyenesen vannak. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 16 / 29

Feladat: A szögek kiszámítása nélkül döntse el, hogy az alábbi vektorok hegyes-, derék-, vagy tompaszöget zárnak-e be: x = ( 3, 2, 0) és y = (4, 1, 5) Megoldás: Mivel a vektorok ( hossza pozitív, ) a vektorok szögének definíciójából látható cos α =, hogy a két vektor skaláris x y x y szorzatának előjele megegyezik a közrezárt szög koszinuszának előjelével. Itt tehát tompaszögről van szó. x y = ( 3) 4 + 2 1 + 0 5 = 10 < 0, Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 17 / 29

Feladat: Adott x, y R 3 esetén határozzuk meg a λ értéket úgy, hogy az x + λ y merőleges legyen az y vektorra! Megoldás: A feltétel alapján (x + λ y) y = 0 és így x y + λ y y = 0. Ha y 0, akkor λ = x y y y = x y y 2. y = 0 esetén tetszőleges λ R megoldás. Megjegyzés: Tehát y és x x y y 2 y merőlegesek egymásra. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 18 / 29

Feladat: A Gram-Schmidt ortogonalizálási eljárás segítségével konstruálja meg azt az ortonormált {e 1, e 2, e 3 } vektorrendszert, melyre L{b 1, b 2, b 3 } = L{e 1, e 2, e 3 } ha b 1 = (1, 2, 1) b 2 = (3, 0, 1) b 3 = (1, 1, 0) Megoldás: e 1 = b 1 = (1, 2, 1) e 2 = b 2 b 2 e 1 e 1 2 e 1 = (3, 0, 1) 1 3+2 0+1 1 ( 1 2 +2 2 +1 2 ) 2 (1, 2, 1) = = (3, 0, 1) 4 6 (1, 2, 1) = (3, 0, 1) 2 3 (1, 2, 1) = ( 7 3, 4 3, 1 3 e 3 = b 3 b 3 e 1 e 1 2 e 1 b 3 e 2 e 2 2 e 2 = = (1, 1, 0) 1 1+2 1+1 0 6 (1, 2, 1) 1 7 ( (1, 1, 0) 3 6 (1, 2, 1) 1 66 9 ( 7 3, 4 3, 1 3 3 1 4 3 +0 1 3 49 9 + 16 9 + 1 9 ) ( = 4 22, 4 22, 12 22 ) 2 ( 7 3, 4 3, 1 3) = ) = 1 3 (7, 4, 1) ) = 2 11 (1, 1, 3) Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 19 / 29

e 2 = 1 e 2 e 2 = 1 66 9 e 1 = 1 e 1 e 1 = 1 6 (1, 2, 1) e 3 = 1 e 3 e 3 = 1 1 1 (7, 4, 1) = (7, 4, 1) 3 66 4 121 + 4 121 + 36 121 2 (1, 1, 3) = 11 = 11 2 1 (1, 1, 3) = (1, 1, 3) 44 11 11 {e 1, e 2, e 3 } a kívánt tulajdonságú. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 20 / 29

Feladat: Bizonyítsuk be, hogy az alábbi mátrix síkra vonatkozó tükrözés mátrixa és határozzuk meg, mely síkra tükröztünk! 1 7 6 2 3 2 3 6 3 6 2 Megoldás: I. Megkeressük azokat a pontokat, melyek fixek: 1 7 6 2 3 2 3 6 3 6 2 lineáris egyenletrendszert kell megoldani. x y z = x y z Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 21 / 29

A fixen maradó pontok halmaza egy sík, melynek egyenlete: x = 2y + 3z, azaz x + 2y 3z = 0; melyből a sík normálvektora: n = (1, 2, 3). Jelölje S a továbbiakban a szóbanforgó síkot. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 22 / 29

II. A-val jelölve a vizsgált lineáris transzformációt: v = v p + v m és v = A(v) = v p + ( v m ), így v = v 2 v m. Mivel v = v p + v m, véve mindkét oldal skaláris szorzatát n-nel kapjuk, hogy ( ) v n = v m n. Mivel n := n n, így n 2 = n n. Másrészt v m = λ n, így ( ) alakban írható. Így v n n 2 = λ (!) v = v 2 v n n 2 n Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 23 / 29

III. Összevetve I-et és II-t: x y z = = x y z = 1 7 x y z 2 x+2y 3z 14 7x 7y 7z x 1 y 2 z 3 2 ( ) 2 1 2 +2 2 +( 3) 2 + 1 7 1 2 3 x y z = = x 2y + 3z 2x 4y + 6z 3x + 6y 9z = 1 7 x y z 6 2 3 2 3 6 3 6 2 1 2 3 1 7 = 1 7 x y z azaz x + 2y 3z 2x + 4y 6z 3x 6y + 9z 6x 2y + 3z 2x + 3y + 6z 3x + 6y 2z = = Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 24 / 29

Feladat: Határozzuk meg a z tengely körüli forgatás, mint lineáris transzformáció mátrixát a természetes bázisra vonatkozóan! ( ) cos ϕ sin ϕ Megoldás: Forgatás az xy síkban: sin ϕ cos ϕ Forgatás a z tengely körül: cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1 Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 25 / 29

Feladat: Határozzuk meg az a = (0, 1, 2) vektor képét a z tengely körüli 30 -os forgatásnál! 3 Megoldás: a 2 1 1 2 0 0 2 = 1 3 2 2 0 1 = 3 2 0 0 1 2 2 Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 26 / 29

Feladat: Határozzuk meg az A mátrixú lineáris transzformáció sajátértékeit és sajátvektorait! ( ) 3 4 A = 2 3 Megoldás: (( ) ( )) 3 4 1 0 P(λ) = det(a λ E) = det λ = 2 3 0 1 ( ) 3 λ 4 = det = (3 + λ) (3 λ) 4 ( 2) = 2 3 λ (9 λ 2 ) + 8 = λ 2 1 P(λ) = 0 λ 2 1 = 0 λ 1,2 = ±1 Tehát a sajátértékek: -1 és 1. A hozzájuk tartozó sajátvektorokat pedig az (A λ E) x = 0 lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 27 / 29

Ha λ = 1, akkor az ( 3 ( 1) 4 2 3 ( 1) ) ( x1 x 2 ) = ( 0 0 ) azaz a { 4x 1 + 4x 2 = 0 2x 1 2x 2 = 0. egyenletrendszert kell megoldani. Az első egyenletet 4-gyel, a másodikat -2-vel osztva kapjuk, hogy x 1 + x 2 = 0, azaz x 1 = x 2. A megoldó altér: M = {( t, t) t R, t 0} Megjegyzés: A megoldó alteret generálja például a v = (1, 1) vektor (t = 1 esete). Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 28 / 29

Ha λ = 1, akkor az ( 3 1 4 2 3 1 azaz a { ) ( x1 x 2 2x 1 + 4x 2 = 0 2x 1 4x 2 = 0. ) = ( 0 0 egyenletrendszert kell megoldani. Az első egyenletet 2-vel, a másodikat -2-vel osztva kapjuk, hogy x 1 + 2x 2 = 0, azaz x 1 = 2x 2. A megoldó altér: M = {( 2t, t) t R, t 0} Megjegyzés: A megoldó alteret generálja például a v = ( 2, 1) vektor (t = 1 esetén). ) Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 29 / 29