Az atomok vonalas színképe Színképelemzés, spektoszkópia R. Bunsen 8-899 G.R. Kichhoff 8-887
A legegyszebb (a legkönnyebb) atom a hidogén. A spektuma a láthatóban a következ A hidogén atom spektuma a látható tatományban: Balme soozat A spektumvonalak hullámhosszáa Balme a következ képletet találta póbálgatással: B n n 3,, ahol B 365, 6 0 8 cm n Késbb további vonalsoozatokat figyeltek meg, a Lyman soozat az ultaibolyában, a Paschen, Backett stb soozatok az infavöösben vannak. Mindezeke Rydbeg a Balme képlet általánosításaként az R H k, R n H. 097 0 7 m képletet találta, ahol a Lyman soozata k, a Balme soozata k, stb, és n k, k. 3. feladat. Mutassuk meg, hogy a Balme képlet a Rydeg félének speciális esete, és számítsuk ki B-t az R H segítségével. A Boh féle posztulátumok. Az atomokban az elektonok elekomágneses enegia sugázása nélkül tatózkodhatnak úgynevezett stacionáius pályákon vagy stacionáius állapotokban. Ezek az állapotok enegiája nem lehet akámilyen, hanem csak meghatáozott diszkét éték.. Az atom akko sugáoz, amiko az eletonállapota megváltozik, az elekton az E enegiájú stacionáius állapotból átkeül egy E enegiájú stacionáius állapotba és közben a h E E összefüggésnek megfelel fekvenciájú fotont nyel el ha E E,. vagy a h E E összefüggésnek megfelel fekvenciájú fotont sugáoz ki, ha E E. Ezek a poszulátumok az igazi kvantummechanika fényében is helyesnek bizonyulnak, de lényegében következnek majd a kvantummechanika általános fomalizmusából. A Boh féle modell a hidogén atoma A posztulátumok nem adnak válszt aa, hogy mi hatátozza meg ezeket a stacionáius pályákat a klasszikusan lehetséges tetszleges pálya közül. Ee vonatkozóan elbb Bohnak majd Sommefeldnek sikeült olyan úgynevezett kvantumföltételeket találni, amelyek alkalmazásával legegyszebb atom a hidogén esetén helyesen kapták meg a H atom spektumát. Ezt tágyaljuk az alábbiakban. Ha a hidogén atomot úgy képzeljük mint az elektonnál 8336-szo nagyobb tömeg pozitív
töltés magot és a köülötte keing elektonból álló endszet, ahol az elektont a magtól számazó Coulomb e vonzása egy sugaú köpályán tatja, akko az F m e a Newton tövény szeint a mozgásegyenlet a köpályán mozgó pontsze testnek a középpont felé mutató v centipetális gyosulása miatt (a pálya általában ellipszis, met a a Keple tövények évényesek klasszikusan, de itt köpályát tételezünk föl az egyszeség kedvéét): k q eq p k q m e v k 9 0 9 Nm. 0 C Itt q p q e. 6 0 9 C q, m e 9 0 3 kg, m p 836m e, a köpálya centumától az elekton pillanatnyi helyzete felé mutató egységvekto. Jelölés: legyen ekko a mozgásegyenletbl met A teljes enegia: W Fd k q e q p kq E kin m ev E pot k d k e 0 E pot (az integációs úttól függetlenül) E E kin E pot m ev E kin E pot A Boh féle kvantumföltétel a H atoma a pedülete másnéven impulzusnyomatéka : me v csak azok a pályák megengedettek ezek a stacionáius pályák amelyeke: ebbl A pályasugaak tehát diszkétek, és a m e v n h n E m ev m e n m e n m e n a 0 n m e a 0 0. 53 0 0 m n,, 3 állandó, az úgynevezett Boh sugá, vagy els Boh sugá és a négyzetszámok szozatai. Az eedményt visszatéve az enegia fönti kifejezésébe, az enegia étékeke is csak diszkét étékek adódnak ahol E n n m e n Ry n E n, 3
E Ry m e. 8 0 a 8 J. aj Ry3.6 ev 0 az enegiáa vonatkozó Rydbeg állandó. Ezt az enegiaegységet szokás Rydbegnek is nevezni. Egy 3. feladat. Számítsuk ki az elekton sebességét a Boh modell szeint az n-edik köpályán. A Boh féle posztulátummal kiegészítve így a H atom által kisugázott vagy elnyelt fény (elektomágneses hullámok) fekvenciájáa az h nk E n E k Ry n k összefüggés adódik, a tapasztalattal Balme, illetve Rydbeg fomuláival megegyezen. Az átmenetek és a vonalak szemléletes magyaázatáa nézzük meg a http://www.bigs.de/en/shop/anim/temsch0.swf címen található szemléletes, ám bizonyos hibákat is tatalmazó animációt. 3.3 feladat. Milyen hibák láthatók az idézett animáción? 3. feladat. A fönti ábán látható a vöös úgynevezett H Balme vonal hulámhossza. Ennek alapján számítsuk ki az els, legnagyobb hullámhosszú un. Lyman vonal hullámhosszát a Rydbeg állanó fölhasználása nélkül. A Lyman soozat az alapállapotnaknvezett legmélyebb enegiájú állapotba való átmenetek soán keletkezik. 3.5 feladat A spektoszkópusok észevették, hogy a Balme soozat további vonalai egye sbben követik egymást. Milyen hullámhosszhoz tatanak (tolódási pont) a Balme soozat vonalai. A spektumvonalaknak ezt a z un. elsdleges szekezetét tehát a Boh féle modell jól visszaadja, de nem ad számot a H atom spektumának un. finomszekezetél, amely egy nagyobb spektoszkópiai fölbontás esetén észlelhet. Valójában minden vonal több, egymáshoz közeles, kissé különböz hullámhosszságú vonala bomlik. Ezt a tulajdonságot a Boh modell továbbfejlesztésével A. Sommefeldnek sikeült megmagyaáznia. Ennek soán a Keple féle pályákhoz hasonlóan ellipszis pályákat is megengedett, újabb, a Boh féle n kvantumföltételhez hasonló föltételeket ít el, illetve a mozgó elektona a elativisztikus mechanika képleteit alkalmazta, mely szeint pl. az elekton mozgási enegiája E kin m e c / v /c m e c, stb.
Niels Boh(885-96) Anold Sommefeld (868-95), Ezeket a meggondolásokat azonban nem tágyaljuk tovább, met ma má csak töténelmi édekeségük van. A Boh-Sommefeld féle megközelítést ugyanis nem sikeült kitejeszteni a többi atoma, pl. má a He atoma sem, ahol a mag köül má elekton mozog, s igy a H kivételével a többi atom spektumát, amelyek közül 3 alább látható má nem sikeült megmagyaázni. Ennek oka, hogy a Boh majd Sommefeld által föltételezett kiindulás csak annyiban helyes, hogy bizonyos fizikai mennyiségek étéke valóban csak diszkét (vagy diszkét is) lehet, emögött azonban sokkal mélyebb elvi okok állnak, mint az itt bemutatott, és az ahhoz hasonló lényegében önkényes kvantumföltételek. Ezt a mélyebb elméletet nevezzük kvantummechanikának, amely lényegesen különböz módon adja a fönti, egyébként helyes eedményt. Ebben az ételemben tehát csak véletlen, hogy a H atoma kapott fönti eedmény jó. Végül egy édekesség a Rydbeg állandóa vonatkozóan. Íjuk ez utóbbit a c vákuumbeli fénysebesség segítségével az 5
alakba, ahol m e m ec c 0 m ec c q e c 7. 3 03 37 dimenzió nélküli szám, az úgynevezett finomstuktúa állandó. 3.6 feladat: Ellenizzük közvetlenül, hogy azfönti étéke, tényleg dimenziótlan, és számítsuk ki az étékét. 3.7 feladat Számítsuk ki az a 0 Boh sugá-szoosát, illetve -szeesét. Miféle hosszúságok ezek? Rendkívül különös, hogy háom alapvet fizikai állandó, az elemi töltés, a fénysebesség és a Planck állandó segítségével egy dimenziómentes számot kapunk, amelynek jelenleg semmiféle (pl. geometiai) magyaázata nem ismet. -t A. Sommefeld vezette be, annak kapcsán, hogy a H atom spektumának elbb b említett finomstuktúáját vizsgálta. Az enegiaétékeket meghatáozó pontosabb kifejezésben az E n -e kapott fönti eedményhez még egy -el aányos, tehát kb. négy és fél nagyságenddel kisebb koekció is jául. Az /c tényez megjelenése -ben azt mutatja, hogy a finomstuktúa jelentkezése egy elativisztikus effektus. 6