Solow modell levezetések Szabó-Bakos Eszter 25. 7. hét, Makroökonómia. Aranyszabály A azdasá működését az alábbi eyenletek határozzák me: = ak α t L α t C t = MP C S t = C t = ( MP C) = MP S I t = + ( δ) = C t + I t Az állandósult állapotban eyetlen változó sem növekszik (az időindex már nem lényees) Mekkora az MPS optimális szintje? Y = ak α L α C = MP C Y S = MP S Y I = δk Y = C + I. Túl maas MPS, jelenlei foyasztást áldozunk fel a jövőbeli foyasztás érdekében. 2. Túl alacsony MPS, jövőbeli foyasztást áldozunk fel a jelenlei foyasztás érdekében. 3. Optimális MPS: amely a foyasztás állandósult állapotbeli értékét maximalizálja. Aranyszabály szerinti növekedést biztosító MPS. DE a foyasztás C = Y I = ak α L α δk nem az MPS, hanem a K füvénye, íy a probléma matematikaila két lépésben oldható me:. Keressük azt az állandósult állapotbeli tőkeállományt, amely maximalizálja az állandósult állapotbeli foyasztást. 2. Keressük az az MPS-t, amely mellett az előző pontban kiszámolt K mevalósulhat. Keressük azt az állandósult állapotbeli tőkeállományt, amely maximalizálja az állandósult állapotbeli foyasztást. C = ak α L α δk max K αak α L α δ = αak α L α = δ MP K = δ
Keressük az az MPS-t, amely mellett az előző pontban kiszámolt K mevalósulhat. Állandósult állapotban a beruházás csak pótlás, és a beruházásokat metakarításokból finanszírozzuk: S = I MP S Y = δk MP S ak α L α = δk DE az előbb kiszámoltuk, hoy az állandósult állapotbeli foyasztás maximumát az a tőkeállomány biztosítja, amely mellett MP K = δ. Ezt az összefüést a δ kihelyettesítésére felhasználva Ábra MP S ak α L α = MP KK MP S ak α L α = αak α L α K MP S = α Az, hoy M P K = δ azt jelenti, hoy az aranyszabály szerinti növekedés feltételeinek ey olyan tőkeállomány felel me, amely mellett a pótlást jelképező örbe meredeksée (δ) éppen meeyezik a termelési füvény meredekséével: Y,C,S,I főbb areátumok Y δk K aranyszabály K tőkeállomány A meoldás második lépésében éppen azt a metakarítási rátát kerestük, amely állandósult állapotban a fenti ábrán bejelölt tőkeállományt eredményezi: Y,C,S,I főbb areátumok Y δk S=I K aranyszabály K tőkeállomány 2
2. Eyensúlyi növekedési pálya A azdasá az alábbi eyenletek által mehatározott szabályok szerint működik: = ak α t ( ) α C t = MP C S t = C t = ( MP C) = MP S I t = + ( δ) = C t + I t A munkaerő képesséét kifejező változó periódusról periódusra mértékben növekszik, a munkaerő felhasználható mennyisée pedi n mértékben, azaz + + = + = + n minden t-re. Ennek a azdasának NINCS állandósult állapota, eyensúlyi növekedési pályája viszont van (új eyensúlyfoalom!). Eyensúlyi növekedési pálya mentén az összes változó konstans ütemben növekszik. Állitás Eyensúlyi növekedési pálya mentén a kibocsátás, a foyasztás, a metakarítás, a beruházás és a tőkeállomány is (meközelítőle) n + ütemben növekszik. Bizonyítás Tételezzük fel, hoy a azdasáunk a t-edik és a t+-edik periódusban az eyensúlyi növekedési pályán van. Az eyensúlyi növekedési pálya definíciójából következik, hoy eyensúlyi növekedési pálya mentén a tőkeállomány konstans ütemben növekszik. Leyen ez a konstans x, azaz Kt+ = + x. Ekkor a beruhzási füvényből a + -et kihelyettesítve az alábbi összefüéshez jutunk. I t = + ( δ) I t = ( + x) ( δ) I t = (x + δ) Tudjuk, hoy a beruházásokat a azdasá a metakarításokból finanszírozza, íy: S t = I t MP S = (x + δ) MP S ak α t ( ) α = (x + δ) () Miután a azdasá a t + -edik periódusban is az eyensúlyi növekedési pályán lesz, a fenti összefüés ey időszakkal előrébb léptetett változata a t + -edik periódusban érvényesülni fo: MP S ak α t+ (+ + ) α = (x + δ) + (2) (2) és () összefüésekben a bal oldal meeyezik a jobb oldallal, íy a bal oldalak eymáshoz viszonyított arányának me kell eyeznie a jobb oldalak eymáshoz viszonyított arányával: MP S akt+ α (+ + ) α MP S akt α ( ) α = (x + δ) + (x + δ) Kt+ α (+ + ) α Kt α ( ) α = + 3
( Kt+ ) α ( ) α ( ) α Et+ Lt+ = + ( + x) α ( + ) α ( + n) α = + x ( + ) α ( + n) α = ( + x) α ( + ) ( + n) = + x + n + n = x Ha és n nayon kicsi, akkor a + n + n = xeyenlet bal oldalán szereplő n elhanyaolhatóan kicsi. A tankönyv el is hanyaolja, íy x = n +, azaz eyensúlyi növekedési pálya mentén a K n + ütemben növekszik. A kibocsátás t-ben és t + -ben a következő képletekkel adható me A kibocsátás növekedési üteme íy = ak α t ( ) α + = ak α t+ (+ + ) α + = akα t+ (+ + ) α akt α ( ) α ( ) α ( ) α ( Kt+ Et+ Lt+ = ) α = (( + ) ( + n)) α ( + ) α ( + n) α = ( + ) ( + n) = + + n + n + + n A kibocsátás is (meközelítőle) n + ütemben növekszik eyensúlyi növekedési pálya mentén. A foyasztás és a metakarítás a kibocsátás konstans-szorosai, íy ezek a változók is (meközelítőle) n + ütemben növekednek eyensúlyi növekedési pálya mentén. A beruházás pedi meeyezik a metakarítással, íy a beruházás is (meközelítőle) n + ütemben növekszik eyensúlyi növekedési pálya mentén. Állítás Eyensúlyi növekedési pálya mentén az ey főre jutó kibocsátás, az ey főre jutó foyasztás, az ey főre jutó metakarítás, az ey főre jutó beruházás és az ey főre jutó tőkeállomány is százalékkal növekszik. Bizonyítás A kibocsátás (pontosan) ( + ) ( + n) ütemben növekszik, a folalkoztatás pedi ( + n) ütemben. Az ey főre jutó kibocsátás növekedési üteme tehát: + + = + Y t + = ( + ) ( + n) Az ey főre jutó tőkeállományra vonatkozóan hasonló az eljárás: + + = + K t + = ( + ) ( + n) + n = + + n = + Az ey főre jutó foyasztás és az ey főre jutó metakarítás az ey főre jutó kibocsátás és ey konstans szorzataként kaphatók me (konstans: MP C és MP S), íy ezek a változók is + ütemben növekednek eyensúlyi növekedési pálya mentén. Az ey főre jutó beruházás meeyezik az ey főre jutó metakarítással, íy az ey főre jutó beruházás is + ütemben növekszik eyensúlyi növekedési pálya mentén. 4
Állítás Eyensúlyi növekedési pálya mentén a hatékonysái eysére jutó kibocsátás, a hatékonysái eysére jutó foyasztás, a hatékonysái eysére jutó metakarítás, a hatékonysái eysére jutó beruházás és a hatékonysái eysére jutó tőkeállomány nem változik. Bizonyítás A hatékonysái eysére jutó kibocsátás definíció szerint a kibocsátás és a folalkoztatás valamint a munkaerő képesséeit jellemző változó szorzatának eymáshoz viszonyított aránya. Az alábbi jelöléseket alkalmazva y t = C t c t = I t i t = S t s t = k t = a hatékonysái eysére jutó kibocsátás növekedési üteme mekapható a következő összefüésből: y t+ y t = + ++ = + = + + = ( + ) ( + n) + + n A hatékonysái eysére jutó kibocsátás tehát nem növekszik eyensúlyi növekedési pálya mentén. A hatékonysái eysére jutó tőkeállományra alkalmazva a fenti levezetést: k t+ k t = + ++ = + = + + = ( + ) ( + n) + + n A hatékonysái eysére jutó foyasztás és a hatékonysái eysére jutó metakarítás a hatékonysái eysére jutó kibocsátás és ey konstans szorzataként adódik, íy ezek a változók sem módosulnak az eyensúlyi növekedési pálya mentén. A hatékonysái eysére jutó beruházás pedi meeyezik a hatékonysái eysére jutó metakarítással, íy a hatékonysái eysére jutó beruházás is konstans az eyensúlyi növekedési pálya mentén. 5
Összefolaló táblázat Változó Hány szálékkal növekszik eyensúlyi növekedési pálya mentén? Változó Hány szálékkal növekszik eyensúlyi növekedési pálya mentén? Változó Hány szálékkal növekszik eyensúlyi növekedési pálya mentén? Kibocsátás n+ Ey főre jutó kibocsátás Hatékonysái eysére jutó kibocsátás Foyasztás n+ Ey főre jutó foyasztás Hatékonysái eysére jutó foyasztás Metakarítás n+ Ey főre jutó metakarítás Hatékonysái eysére jutó metakarítás Beruházás n+ Ey főre jutó beruházás Hatékonysái eysére jutó beruházás Tőkeállomány n+ Ey főre jutó tőkeállomány Hatékonysái eysére jutó tőkeállomány Mejeyzés, n+ és természetesen csak az ütemet adja me, ahhoz, hoy ebből százalék leyen be kell szorozni -al. ( =, 2 jelenti a 2 százalékot). 3. Stacionárius transzformáció Ey olyan mestersées azdasáot, amelynek nincs állandósult állapota, átalakítunk olyan azdasáá, aminek már van állandósult állapota. Az = ak α t ( ) α C t = MP C S t = C t = ( MP C) = MP S I t = + ( δ) = C t + I t formában felírt azdasának nincs állandósult állapota (a kibocsátás, foyasztás... változók eyensúlyi növekedési pálya mentén n + ütemben növekednek). DE a hatékonysái eysére jutó változók eyensúlyi növekedési pálya mentén időben már nem változnak, íy a fenti eyenletrendszert olyanná kell alakítanunk, amelyben már nem az, C t, I t, S t és a változó, hanem ezek hatékonysái eysére jutó értékei: y t, c t, i t, s t és k t. Ehhez minden eyenletet véi kell osztani a hatékonysái eyséel, azaz -vel. Termelési füvény Mindkét oldalt eloszava -vel a következő alakhoz jutunk: = ak α t ( ) α = akα t ( ) α 6
Foyasztási füvény K α t y t = a ( ) α y t = ak α t Mindkét oldalt eloszava -vel a következő alakhoz jutunk: Metakarítási füvény C t = MP C C t = MP C c t = MP C y t Mindkét oldalt eloszava -vel a következő alakhoz jutunk: Beruházási füvény S t = MP S S t = MP S s t = MP S y t Mindkét oldalt eloszava -vel a következő alakhoz jutunk: A Kt+ + ++ I t = + ( δ) I t = + ( δ) i t = + ( δ) k t nem eyenlő a hatékonysái eysére jutó tőkeállomány t + -edik periódusbeli szintjével, mert az a k t+ = formban adható me. Bővítsük a Kt+ -t + + -el: amit a beruházási füvénybe behelyettesítve: adódik. Árupiaci eyensúlyi feltétel + = + + + + + = ++ k t+ = ( + ) ( + n) k t+ i t = + ( δ) k t i t = ( + ) ( + n) k t+ ( δ) k t Mindkét oldalt eloszava -vel a következő alakhoz jutunk: = C t + I t = C t + I t y t = c t + i t 7
Átalakított azdasá A stacionárius transzformációval átalakított modell tehát a következőképpen néz ki: y t = ak α t c t = MP C y t s t = MP S y t i t = ( + ) ( + n) k t+ ( δ) k t y t = c t + i t NEM új modellt hoztunk létre, hanem átrendeztük ey kicsit a réit. Amikor a azdasá eléri az eyensúlyi növekedési pályát, az átalakított eyenletrendszer állandósult állapotba kerül. Állandósult állapotban az időindex már nem számít, mert mindeyik változó konstanssá válik. A fenti azdasá állandósult állapotban: y = ak α c = MP C y s = MP S y i = ( + n + n + δ) k ( + n + δ) k y = c + i 3... Ábra Minden hatékonysái eysére jutó tényező a hatékonysái eysére jutó tőkeállomány füvénye: y, c, s, i főbb areátumok y (n + + δ)k s=i k állandósult k hatékonysái eysére jutó tőkeállomány A k állandósult azt a hatékonysái eysére jutó tőkeállományt mutatja, amely mellett az átalakított rendszer állandósult állapotba kerül, az eredeti azdasáot jellemző változók pedi eyensúlyi növekedési pályán vannak. 8