Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet 1.1 Definíció. Ha az A és B n n-es mátrixok olyanok, hogy létezik olyan X nem elfajuló mátrix, hogy A = X 1 BX, akkor azt mondjuk, hogy A és B hasonlók. Megállapítható, hogy a hasonlóság szimmetrikus reláció, ugyanis, ha A = X 1 BX érvényes, akkor (X 1 ) 1 AX 1 = B is teljesül. 1.2. Definíció. Legyen A a T test feletti négyzetes mátrix. A A λe (λ határozatlanú) polinomot az A mátrix karakterisztikus polinomjának, az A λe = 0 egyenletet az A mátrix karakterisztikus egyenletének, az egyenlet gyökeit karakterisztikus gyökeinek nevezzük. 1.3. Tétel. Hasonló mátrixok karakterisztikus polinomja ugyanaz. 1
Bizonyítás. Legyenek A és B hasonló mátrixok, akkor a mátrixok hasonlóságának definíciója szerint létezik olyan X nemelfajuló mátrix, hogy A = X 1 BX. Tekintsük A karakterisztikus polinomját. A λe = X 1 BX λe = X 1 BX λx 1 X = = X 1 (B λe)x = X 1 B λe X = = X 1 X B λe = X 1 X B λe = = E B λe = B λe Ebben a gondolatmenetben a mátrixműveletek azonosságai (X 1 -et kiemeltük balról, X-et jobbról) és a determinánsok szorzástétele (kétszer is) alkalmazásra került. 2. Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 2.1. Definíció. Ha egy valós n n-es mátrix bármely két különböző sorának a belső szorzata 0, és bármely sor elemeinek négyzetösszege 1, akkor a mátrixot ortogonálisnak nevezzük. Más formában 2
kimondva a definíciót: (3).. r i1 r i2... r in ha R =.. r j1 r j2... r jn.. és n r it r jt = t=1 { 0 ha i j 1 ha i = j akkor R ortogonális. 2.2. Tétel. Az R n n-es valós mátrix akkor és csakis akkor ortogonális, ha (a) RR T = E (b) R 1 = R T (c) R T R = E (d) Az R mátrix különböző oszlopainak belső szorzata 0, és bármely oszlop elemeinek négyzetösszege 1. Bizonyítás. (a) ugyanazt mondja ki, mint (3). Az (a) feltétel úgy is fogalmazható, hogy R T jobbinverze az R-nek, és a mátrixok inverzének tárgyalásakor láttuk, hogy ez elegendő ahhoz, hogy inverz legyen ezt fejezi ki (b) és így balinverz legyen ezt fejezi ki (c). A (d) állítás ugyanaz mint (c) szavakkal kifejezve. 3
2.3. Tétel. Ortogonális mátrixok szorzata, és ortogonális mátrix inverze is ortogonális. Bizonyítás. (a) Legyenek Q és R n n-es valós ortogonális mátrixok. Bizonyítjuk, hogy QR ortogonális. A bizonyítás az 2.2. Tétel (b) pontjának felhasználásával történik. (QR) T = R T Q T = R 1 Q 1 = (QR) 1 Ennek a rövid gondolatmenetnek a lényege: Q és R ortogonálisak, ezért R T = Q 1, Q T = Q 1, és általában is igaz, hogy szorzat transzponáltja egyenlő a transzponáltak fordított sorrendben való szorzatával, hasonló érvényes a szorzat inverzére is. (b) Q ortogonális mátrix inverze is ortogonális: (Q 1 ) T = (Q T ) T = Q = (Q 1 ) 1 2.4. Tétel. Ortogonális mátrix determinánsa +1, vagy 1. Bizonyítás. Legyen R ortogonális mátrix, akkor teljesíti az 1.8. Tétel (a) pontját. Vegyük az RR T = 4
E egyenlőség mind a két oldalának detrminánsát RR T = E = 1, és alkalmazzuk a determinánsok szorzástételét R R T = 1. A determináns egyenlő a transzponáltjával, ezért R 2 = 1 is teljesül és innen R = ±1 következik. 2.5. Példa. Egyáltalán nem könnyű ortogonális mátrixokat találni, hiszen kemény feltételeknek kell, hogy eleget tegyenek. Példaként itt látható két ortogonális mátrix. A = 1 3 1 2 2 2 1 2 B = 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Most két igen fontos tétel következik bizonyítás nélkül. A következő tétel szövegében szerepel a diagonális mátrix kifejezés. Ez olyan mátrixot jelent, amelynek főátlóján kívül minden eleme 0. 2.6. Tétel. Minden A valós szimmetrikus mátrixhoz található olyan Q ortogonális mátrix, hogy Q 1 AQ = Q T AQ diagonális mátrix. 5
Gondoljunk arra, hogy ha az x T Ax kvadratikus alakon az x = Qy ortogonális helyettesítést hajtjuk végre (ortogonálisnak azért nevezzük a helyettesítést, mert a mátrixa: Q ortogonális), akkor a kvadratikus alak mátrixa Q T AQ lesz, ami az előző tétel szerint Q alkalmas választása esetén diagonális mátrix lesz. Ez azt jelenti, hogy kvadratikus alak kanonikus alakra hozható olymódon is, hogy csak a rendkívül szigorú követelményeket teljesítő ortogonális helyettesítéseket engedjük meg. 2.7. Tétel. A kvadratikus alakok főtengelytranszformációja. Bármely valós kvadratikus alak alkalmas ortogonális helyettesítéssel kanonikus alakra hozható. A kanonikus alakban a négyzetes tagok együtthatói a kvadratikus alak mátrixának karakterisztikus gyökei lesznek, mindegyik annyiszor, amennyi a multiplicitása. 2.8. Példa. Ortogonális helyettesítéssel hozzuk kanonikus alakra a következő kvadratikus alakot: (4) 2x 2 1 + x 2 2 4x 1 x 2 4x 2 x 3 Írjuk fel a mátrixát, 2 2 0 2 1 2 0 2 0 6
majd a mátrix karakterisztikus egyenletét: 2 λ 2 0 2 1 λ 2 = λ(2 λ)(1 λ) 4(2 λ) + 4λ = 0 2 λ = λ 3 + 3λ 2 2λ 8 + 4λ + 4λ = = λ 3 + 3λ 2 + 6λ 8 = 0 λ 3 3λ 2 6λ + 8 = 0. Racionális gyököket keresve, közvetlen behelyettesítéssel kapjuk a gyököket: λ 1 = 1, λ 2 = 2 λ 3 = 4. A kvadratikus alak mátrixa ortogonális helyettesítéssel diagonális alakra hozva: A = 1 0 0 0 2 0, 0 0 4 ahol a főátlóban lévő elemeket tetszőleges sorrendben írhatjuk (természetesen ha főátlóban lévő elemek sorrendjét megváltoztatjuk, akkor egy másik ortogonális helyettesítést kell a kvadratikus alakon végrehajtani). 7
A kvadratikus alak kanonikus alakja: (5) y 2 1 2y 2 2 + 4y 2 3. Innen természetesen szintén leolvasható, hogy milyen típusú a kvadratikus alak. A jelen példa kvadratikus alakja indefinit, a mátrixának rangja 3, a pozitív tehetetlenségi indexe 2, a negatív tehetetlenségi indexe 1, szignatúrája 1. (5) a (4) kvadratikus alaknak főtengelyre transzformált alakja. Megjegyezzük, hogy van eljárás a kvadratikus alakokat főtengelyre transzformáló ortogonális helyettesítés megkeresésére (például azon Q ortogonális mátrix megkeresésére is, amellyel a fenti példában A = Q T AQ). Az eljárás ismertetésére nem térünk ki. 2.9. Megjegyzés. A kvadratikus alakok főtengelytranszformációja annak a geometriai eljárásnak az analogonja, amellyel a síkon lévő másodfokú görbét, vagy egy térbeli másodfokú felületet középponti helyzetbe hozzuk, amellyel típusa és jellemzői megismerhetővé válnak. 8