2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó osztályozás egy reprezentánsrendszerét. 3., Rajzoljuk le az összes 2-, 3-, illetve 4-pontú Hasse-diagramot. 4., Legyen k tetszőleges természetes szám. Definiáljuk az N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N} halmazon a relációt az alábbi módon. Legyen (a 1,...,a k ), (b 1,...,b k ) N k, ekkor (a 1,...,a k ) (b 1,...,b k ) pontosan akkor teljesül, ha vagy a i = b i (i = 1,..., k), vagy van olyan i 0 {1,..., k}, amelyre teljesül, hogy a 1 = b 1,...,a i0 = b i0 és a i0 +1 < b i0 +1. Mutassuk meg, hogy (N k ; ) részbenrendezett halmaz. Házi feladat(ok) 5., Mutassuk meg, hogy ha m > 2 egész szám, akkor 2 n + 1 sohasem osztható (2 m 1)-gyel. 6., Mutassuk meg, hogy a { [2 k 2] : k N } halmazban végtelen sok összetett szám van. 7., Adott 2k + 1 darab (k természetes szám) pozitív egész szám, melyek szorzatának k különböző prímosztója van. Mutassuk meg, hogy a számok között van néhány olyan, amelyek szorzata köbszám. 1 2007/2008. tavaszi félév, Algebra és számelmélet gyakorlat (MBN211G-2,3). A *-gal jelölt feladatok a második, a **-gal jelölt feladatok a harmadik csoportnak szólnak. 1
Oszthatóság 10. Igazoljuk az alábbi oszthatóságokat: (a) 9 10 18 + 8; (b) 72 10 16 + 8; (c) 31 5 17 + 6; (d) 18 17 19 + 19 17. Megoldás/Útmutatás. (a) a számjegyek összege 9; 2 (b) Gondoljuk meg, hogy 72 10 16 +8 pontosan akkor teljesül, ha 8 10 16 +8 és 9 10 16 + 8; 3 (c) 5 17 + 6 = 5 17 5 2 + 31 = 5 2 (5 15 1) + 31. Gondoljuk meg, hogy 31 5 3 1 5 15 1. 4 (d) Mutassuk meg, hogy 2, 9 17 19 + 19 17. 5 11. Határozzuk meg a felírt szám hiányzó számjegyeit (10-es számrendszerben) úgy, hogy teljesüljön az alábbi oszthatóság. Valamennyi megoldást keressük meg. (a) 36 52x2y; (b) 45 24x68y; (c) 99 62xy427 (d) 1155 xxyzzuv és 2 x, y, z, u, v. Megoldás/Útmutatás. (a) (x, y) {(0, 0), (1, 8), (5, 4), (9, 0)}; (b) (x, y) {(2, 5), (7, 0)}; (c) (x, y) {(2, 4)}; (d) (x, y, z, u, v) {(1, 9, 7, 3, 5), (9, 7, 1, 1, 5)}. 12. Mutassuk meg, hogy a következő számok összetettek. (a) 10 6 5 7 ; (b) 10 10 7 (c) 4 20 1; (d) 1 000 027; (e) 347 777 743; (f) 4 9 + 6 10 + 3 20 ; (g) 512 3 + 675 3 + 720 3 ; (h) 19 8 n + 17 (n N). 2 A 10 18 + 8 egész szám prímhatványtényezős felbontása 2 3 3 2 97 32779 166667. 3 A 10 16 + 8 egész szám prímhatványtényezős felbontása 2 3 3 2 138888888888889. 4 A 5 13 + 6 egész szám prímhatványtényezős felbontása 31 24610950101. 5 A 17 19 +19 17 egész szám prímhatványtényezős felbontása 2 2 3 5 43 223637 3092071 8461451. 2
Megoldás/Útmutatás. (a) 5 10 6 5 7 = 5 6 59; (b) 3 10 10 7 = 3 673 4952947; (c) 3 4 20 1 = 3 5 2 11 17 31 41 61681; (d) 7 1 000 027 = 7 19 73 103; (e) 347 777 743 = 3333333 + 11111110 + 333333300 = 313 1111111 = 239 313 4649; (f) 4 9 + 6 10 + 3 20 = (2 9 + 3 10 ) 2 = 59561 2 ; (g) 512 3 + 675 3 + 720 3 = 229 467 7621; (h) ha n páros, akkor 3 19 8 n + 17, ha 4 n + 1, akkor 5 19 8 n + 17, ha 4 n 1, akkor 13 19 8 n + 17. 13. Melyik az az ötjegyű szám, amely egyenlő számjegyei szorzatának 45- szörösével? Megoldás/Útmutatás. A keresett egész szám a 77175. 14. Határozzuk meg azokat az n természetes számokat, amelyekre n + 4 osztója n 2 + 8n + 15-nek. Megoldás/Útmutatás. Mivel n 2 + 8n + 15 = (n + 4) 2 1, ezért n + 4 n 2 + 8n + 15, ha n N. 15. Tegyük fel, hogy az a, b, c egész számokra teljesül az a + b + c = (a b)(b c)(c a) egyenlőség. Mutassuk meg, hogy 27 a + b + c. Megoldás/Útmutatás. Mutassuk meg, hogy ha a+b+c = (a b)(b c)(c a), akkor a, b és c ugyanazt a maradékot adják 3-mal osztva. Legnagyobb közös osztó 16. Határozzuk meg mindazokat az a, b természetes számokat, amelyekre ln.k.o.(a, b) = 22 és lk.k.t.(a, b) = 264. Megoldás/Útmutatás. (a, b) {(22, 264), (66, 88), (88, 66), (264, 22)}. 17. Mely c, d természetes számokra oldható meg az ln.k.o.(a, b) = c, lk.k.t.(a, b) = d. egyenletrendszer a természetes számok halmazán? Hány megoldás van? Megoldás/Útmutatás. Az egyenletrendszer pontosan akkor oldható meg, ha c d. Legyen c = p α 1 1 pαs s és d = p β 1 1 pβs s pβ s+1 s+1 pβt t, ahol p 1,...,p t 3
páronként különböző prímszámok, 1 α i β i minden i-re (1 i s) és 1 β j minden j-re (s+1 j t). Ekkor a megoldások a következő alakúak: a = p γ 1 1 pγt t, b = p δ 1 1 pδt t, ahol {γ i, δ i } = {α i, δ i }. 18. Határozzuk meg az F 2007 és F 2008 Fibonacci-számok 6 legnagyobb közös osztóját. Megoldás/Útmutatás. ln.k.o.(f 2007, F 2008 ) = 1. Az is igaz, hogy teljesül tetszőleges n N-re. ln.k.o.(f n, F n+1 ) = 1 19. Legyenek a és b tetszőleges egész számok. Mutassuk meg, hogy 7 10a+b pontosan akkor teljesül, ha 7 a 2b. Ennek segítségével döntse el, hogy a 28210392 természetes szám osztható-e 7-tel. Megoldás/Útmutatás. Az állítás abból következik, hogy (10a + b) + 4(a 2b) = 7(2a b) osztható 7-tel és ln.k.o.(4, 7) = 1. 20. Legyenek a, b és k, l tetszőleges természetes számok. Mutassuk meg, hogy ha a k és b l relatív prímek egymáshoz, akkor a és b is relatív prímek egymáshoz. 21. Határozzuk meg a 234 és 432 egészek legnagyobb közös osztóját és oldjuk meg az alábbi diofantoszi egyenleteket: (a) 234x + 432y = 6564; (b) 234x 432y = 6570. Megoldás/Útmutatás. (a) Nincs megoldás, mivel ln.k.o.(234, 432) = 18 6564. (b) Az egyenlet megoldható: x = 41 + 24t, y = 7 + 13t (t Z). 22. Mely n természetes számokra lehet egyszerűsíteni a 7n+5 9n 2 törtet? 6 A Fibonacci-számokat az alábbi rekurzióval definiáljuk: F 1 = F 2 = 1, F n = F n+1 + F n+2 (n 3). 4
Megoldás/Útmutatás. Legyen d = ln.k.o.(7n + 5, 9n 2). Ekkor d 9(7n + 5) 7(9n 2) = 59. A törtet pontosan akkor lehet egyszerűsíteni, ha d > 1. Azaz d = 59. Ez pontosan akkor következik be, ha n = 33+59t (t N {0}). 23. Egy tizenhéttagú kalózcsapat egy zsák aranypénzt zsákmányolt. Amikor megpróbálták egyenlően elosztani, azt tapasztalták, hogy három aranypénz kimaradt. A kimaradt aranyak feletti vitában egy kalózt véletlenül megöltek. Ezután újraosztották egyenlő arányban a zsákmányt, és most tíz arany maradt ki. Az e feletti vitában egy újabb kalóz távozott az élők sorából. Ezután már el tudták osztani az aranyat úgy, hogy mindenki ugyanannyit kapott. Legkevesebb hány aranypénz volt a zsákban? 24. Mutassuk meg, hogy tetszőleges a, b, c egész számokra, ha ln.k.o.(b, c) = 1, akkor ln.k.o.(a, bc) =ln.k.o.(a,b)ln.k.o.(a, c). 25. Mutassuk meg, hogy az a 1 + a 2 b 1 + b 2 tört nem egyszerűsíthető, ha a 1 b 2 a 2 b 1 = 1. Megoldás/Útmutatás. Legyen d = ln.k.o.(a 1 +a 2, b 1 +b 2 ). Ekkor d b 2 (a 1 + a 2 ) a 2 (b 1 + b 2 ) = a 1 b 2 a 2 b 1 = ±1. 26. Határozzuk meg a 2072x + 1813y = 2849 diofantoszi egyenlet általános megoldását. Megoldás/Útmutatás. A megoldás: x = 4 + 7t, y = 3 8t (t Z). 27. Határozzuk meg a 19x + 20y = 1909 diofantoszi egyenlet azon megoldásait, amelyekre x, y > 0 teljesül. Megoldás/Útmutatás. (x, y) {(91, 9), (71, 28), (51, 47), (31, 66),(11, 85)}. Prímfaktorizáció Z-ben 28. Miért nem lehet 1991 két prímszám összege? 29. Legyen p > 3 prímszám. Mutassuk meg, hogy 24 p 2 1. Megoldás/Útmutatás. Gondoljuk meg, hogy minden prímszám p = 12k ± l alakban írható, ahol l {1, 5, 7, 11}. Így p2 1 = 144k 2 24k + l 2 1. 30. Mutassuk meg, hogy ha p és p 2 + 8 prímszámok, akkor p 2 + p + 1 is az. Megoldás/Útmutatás. Mutassuk meg, hogy csak p = 3 lehetséges. 5
31. Igazoljuk, hogy tetszőleges m és n természetes számokra egész szám. (2m)!(2n)! m!n!(m + n)! Megoldás/Útmutatás. Legyen n tetszőleges természetes szám és p tetszőleges prímszám. Legyen k p az a nemnegatív egész, amelyre p kp n < p kp+1. Továbbá legyen ν p = [n/p] + [n/p 2 ] + + [n/p kp ]. Mutassuk meg, hogy p νp n! és p νp+1 n!. Ezt felasználva igazoljuk az állítást. 32. JelöljeEapáros egészek halmazát. Azt mondjuk, hogy a Eosztja b E-t, ha van olyan c E, amelyre b = ca teljesül. A q Eelemet felbonthatatlannak nevezzük, ha nincsenek olyan a, b E elemek, amelyekre q = ab teljesül. (a) Mik a felbonthatatlan elemeke-ben? (b) Igaz-e, hogy egy 0-tól különböző E-beli elem vagy felbonthatatlan, vagy felbonthatatlan elemek szorzatára bontható? Megoldás/Útmutatás. (a) Azok az E-beli elemek felbonthatatlanok, amelyek nem oszthatók 4-gyel. (b) Igaz. Ha n = 2 r m, ahol r N és m páratlan egész, akkor n = } 2 {{ 2} (2m). (r 1) darab 6