17. tétel kö és észei, kö és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometiai tágyalásban). Keületi szög, középponti szög, látószög. Def: Kö: egy adott ponttól egyenlő távolsága levő pontok halmaza a síkon. z adott pont a kö középpontja, a távolság a sugaa. köt lehet éteni kövonalnak, vagy kölemeznek (ami síkidom: a kövonal és az azon belüli pontok.) Def: Hú: a kövonal két különböző pontját összekötő szakasz. Tétel: hú felezőmeőlegese átmegy a kö középpontján. izonyítás: Legyen hú felezőpontja F. Kössük össze F-et K-val. Ekko állítjuk, hogy KF meőleges -e KF a hú felezőmeőlegese. Ennek bizonyításához kössük össze K- t -val és -vel! K=K=. KF KF, met mindháom oldaluk egyenlő. FK = FK, de FK + FK = 180 FK = FK = 90. Q.E.D. megfelelő szögeik is egyenlőek. K F Def: Átméő: az a hú, amely átmegy a kö középpontján. z átméő a leghosszabb hú, hossza a sugá kétszeese, két egyenlő teületű észe osztja a köt. Def: Köív: a kövonalat két különböző pontja két köíve osztja. Def: Középponti szög: olyan szög, amelynek csúcsa a kö középpontja, a száai ugyanannak a könek a sugaaia illeszkednek. Egy középponti szöghöz egy köív tatozik (amelyik a szögtatományban van), egy köívhez pedig egyetlen középponti szög. K Def: Keületi szög: olyan szög, amelynek csúcsa a kövonalon van, száai ugyanannak a könek a hújai. Egy keületi szöghöz egy köív tatozik, egy köívhez viszont végtelen sok keületi szög. Tétel: középponti szög nagysága egyenesen aányos a hozzá tatozó köív hosszával,és a köcikk teületével. Def: Köcikk: a kölemezt két különböző sugaa két köcikke osztja. köcikk a kölemeznek a két sugá és a köztük levő köív által hatáolt észe. Egy iányszögű, i ívhosszúságú köcikk teülete: T c = i = α = α 360 π i 1. oldal
h m i Def: Köszelet: a kölemezt egy hú két köszelete osztja. köszelet a kölemeznek egy hú és a kövonal által hatáolt észe. T = i h ( m) i: ívhossz h: hú hossza m: a köszelet magassága félkö egy olyan speciális síkidom, amely köcikk és köszelet is egyszee. kö keülete:k = π (iacionális szám, a kö keületének és átméőjének állandó aánya) kö teülete: T = π Ezeket az összefüggéseket közelítő étékekkel számolták ki: egye nagyobb csúcsszámú sokszögek keülete és teülete egye jobban tat a kö keülete és teülete felé. Éintési pontba húzott sugá: az éintési pontba húzott sugá meőleges az éintőe. Keületi és középponti szögek tétele: zonos ívhez tatozó középponti szög nagysága kétszeese a keületi szög nagyságának. Kitejesztése 1 : Egy köben levő adott ívhez tatozó középponti szög nagysága kétszeese az ugyanakkoa sugaú köben azonos hosszúságú ívhez tatozó keületi szögek nagyságának. Keületi szögek tétele: azonos ívhez tatozó keületi szögek nagysága egyenlő. Kitejesztése: azonos sugaú köökben azonos ívhez tatozó keületi szögek nagysága egyenlő. Indoklás: egy adott hosszúságú köívhez (azonos sugaú köökben) csak egy középponti szög tatozik, ez kétszeese a keületi szögnek, így a keületi szögek biztosan ugyanakkoák. Def: Látóköív: azon pontok halmaza a síkon, amelyekből egy adott szakasz adott szög alatt látszik.. oldal
Éintő száú keületi szög tétele: az ív végpontjait összekötő hú és az éintő által bezát szög ugyanakkoa, mint az ívhez tatozó keületi (ahol az ív a kijelölt szögtatományba esik. ((izonyítás: 1. eset: α < 90 ehúzzuk az ív végpontjaiból a kö sugaait. Így egy egyenlő száú háomszög keletkezik (O ) alapon fekvő szögei egyenlők. (O a keületi és középponti szögek tétele miatt ) O = O = 180 α = 90 α O Mivel az éintési pontba húzott sugá meőleges az éintőe: φ = 90 90 α = 90 90 + 180 - α = αφ = α. eset: > 90 O Vegyük kiegészítőszögét (ez a másik ívhez 360 - tatozik) 180 α z ehhez tatozó középponti szög: 180 α = 360 α O egyenlő száú, alapon fekvő szögei egyenlők: O = O = 180 (360 α) = 180 +α = α 90 z éintési pontba húzott sugá meőleges az éintőe, tehát: φ = 90 + α 90 = 90 90 + α = αφ = α 3. eset: α = 90 Ebben az esetben hú egybeesik a kö átméőjével, ami deékszöget zá be az éintővel. (180 -os a középponti szög.))) KÖR ÉS EGYENES KÖLCSÖNÖS HELYZETE Elkeülő: ilyenko a sugá kisebb, mint a kö középpontjának és az egyenesnek a távolsága. d e; K > Nincs közös pont Éintő: ekko a sugá ugyanakkoa, mint a kö középpontjának és az egyenesnek a távolsága. d e; K = Egy közös pont van. Metsző: az egyenes és a kö középpontjának távolsága kisebb, mint a kö sugaa. Ennek egy speciális esete, amiko az egyenes átmegy a kö középpontján, tehát a távolság 0 és K e.d(e; k) < közös pont van. 3. oldal
Tétel 1 : Köhöz húzott éintő szakaszok tétele: Egy adott pontból a köhöz húzott éintési szakaszok egyenlő hosszúságúak. JULI, IDE ÁR LS!!!!! E Tétel : köhöz húzott éintő és szelőszakaszok tétele: köhöz adott pontból húzott éintőszakasz métani közepe az ugyanabból apontból húzott szelő két szakaszának, azaz E =. izonyítás:kössük össze E-t -val és - vel. az E ívhez tatozó keületi szög. E az ugyanehhez az ívhez tatozó éintőszáú keületi szög. φ e a b E =. E ~ E (met szögük egyenlő, φ, ) = E / E E E = E,, > 0,met szakaszok E =. Tétel 3 : Köhöz adott pontból húzott szelőszakaszok tétele: dott köhöz adott külső pontból húzott szelőszakaszok hosszának szozata állandó, azaz 1 1 =. (Ez következménye az előző tételnek. 1 1 = = E ) (Diekt) bizonyítás:kössük össze 1 - et - vel és - t 1 - el! Ekko 1 1 = = 1, met az 1 ívhez tatozó keületi szögek. 1 1 φ 1 ~ 1 met szögük egyenlő (φ, ). 1 = 1 1 1 =. tétel akko is évényes, ha a a köön belül van: Áll: 1 1 =. izonyítás: 1 = α = 1, met az 1 ívhez tatozó keületi szögek. 1 = 1, met csúcsszögek. 1 ~ 1, met szögük egyenlő. 1 = 1 1 1 =. 1 α α 1 4. oldal
lkalmazások keék, mint kö (minimális súlódás az alakja miatt, hiszen csak egy pontban éintkezik a síkkal) bicikliláncnál közös külső éintők felhasználása a lánc hosszának kiszámításako keületi és középponti szögek tétele: húnégyszög-tétel bizonyításában külső pontból húzott éintők: éintőnégyszög-tétel bizonyításában látóköív: hajózásban, csillagászatban, helymeghatáozásban építészetben a kö használata a szimmetia miatt, valamint amiatt, met a teülete maximális a keülethez képest centifuga kömozgást végez kipéseli a vizet kömozgás centipetális eő (középpont felé) éintő iányú eő tubinák, otook űállomás Egyenlítőnél nagyobb a keületi sebesség 5. oldal