MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! 1) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? A 0 10 10 0 10 egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! log 1 1 cos 4 5sin A logaritmus definíciója szerint 18 ( pont) Összesen: pont, ahol valós szám és 1, ahol tetszőleges forgásszöget jelöl (7 pont) 1 1 ( pont) Ellenőrzés. helyettesítéssel, új változóval y 5y 0. 16 6 cos 1sin sin 5sin 4 0 sin y y ; y 1 1 y 1 nem megoldás, mert sin 1 1 5 k vagy k 6 6 k (fokban is megadható) ( pont) ( pont) Ellenőrzés, vagy le kell írni, hogy a gyökök igazzá teszik az eredeti egyenletet, mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk. Összesen: 1 pont
) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! lg 15 lg 5 lg 0 5 55 Értelmezési tartomány: 5 A logaritmus azonosságának helyes alkalmazása. (A lg függvény kölcsönösen egyértelmű.) 15 0 5 0 15 0 5 és 5 1 Mindkét megoldás megfelel. 0 1 5 5 ( pont) 1 A négyzetgyök értéke nemnegatív szám, ezért nincs valós megoldás. Összesen: 1 pont 4) Válassza ki az A halmaz elemei közül azokat a számokat, amelyek megoldásai a egyenletnek! A 1; 0; 1; ; Az egyenlet megoldásai az A halmaz elemei közül: 1 és 0. 5) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! ( pont) ( pont) 7 ( pont) Az egyenlet megoldása a 9 és a 5. Összesen: pont
6) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! 5 71 sin 1 cos A négyzetgyök értéke csak nemnegatív lehet:. és csak nemnegatív számnak van négyzetgyöke: 5,5 10 5 71 5 Négyzetre emelve:. Rendezve: 10 96 0 amelynek valós gyökei a 16 és a 6. Az utóbbi nem felel meg az első feltételnek, ezért nem megoldása az egyenletnek Az egyenlet egyetlen megoldása a 16, hiszen ez mindkét feltételnek megfelel, s az adott feltételek mellett csak ekvivalens átalakításokat végeztünk. A bal oldalon a helyettesítést elvégezve kapjuk: 1 cos 1 cos cos cos 0 cos cos 0 Ha A cos 0 cos 0, akkor sin 1cos k, ahol k egyenletnek nincs megoldása (mert. ( pont) cos nem lehetséges). Összesen: 1 pont 7) Adja meg azt az valós számot, melyre a következő egyenlőség teljesül! 1 16 ( pont) ( pont)
8) Melyik y ; egyenletrendszernek? 6y 4 5y 0 Oldja meg az alábbi egyenletet! 1 6y 4 5y 0 1 4 6y y y 5y 0 6 9y 5y 0 valós számpár megoldása az alábbi y 1 y 5 Ellenőrzés. 1, 0 1 1 18 1 51 ;. Ellenőrzés: 1 hamis gyök. 1 megoldása az egyenletnek. 9) Mely valós számokra igaz, hogy Összesen: 1 pont 7? ( pont) 1 7 7 Összesen: pont 10) Adott a valós számok halmazán értelmezett f 4 függvény. Mely értékek esetén lesz f 6? ( pont) 1, 10 ( pont)
11) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! 4 4 1 Oldja meg az alábbi egyenletrendszert, ahol és y valós számot jelöl! y 16 5 y 45 Értelmezési tartomány: 4 1 0 és 4 0 4 Négyzetre emelve mindkét oldalt (a belső kikötés elvégzése miatt lehetséges): 8 16 4 1 Rendezve: Az egyenlet gyökei: 4 5 0. ( pont) 5, 1 1 A nem része az értelmezési tartománynak, így nem valódi gyök. Az 1 ennek megfelelő gyök. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazva az első egyenletet beszorozva - vel: 6 y ( pont) 5 y 45 5 Egyszerűsítés után adódik: 11 77 7 Visszahelyettesítve -et: y 5 Ellenőrzés. A feladat megoldható a klasszikus behelyettesítős módszerrel is! Összesen: 1 pont 1) Az ábrán a 1;5 intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! ( pont) A: 1 B: C: D: 1 1 1 C ( pont)