LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard norma az R n vektortéren: n u, v = u i v i és u = u, u. i=1 Definíció (Az R n euklideszi tér) A standard belső szorzással ellátott R n vektorteret így hívjuk: az R n euklideszi tér. A standard belső szorzás az R n vektortér minden alterén is meghatároz egy belső szorzást. Definíció (Az R n euklideszi tér altere) Ha az R n vektortér egy U alterét ezzel a belső szorzással ellátva tekintjük, akkor így hívjuk: az R n euklideszi tér U altere. A következőkben euklideszi tér: egy R n (n N) euklideszi tér valamelyik altere. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 2 / 40
Vektorok szöge Definíció (Ortogonális vektorok) Tetszőleges V euklideszi tér és u, v V vektor esetén azt mondjuk, hogy u ortogonális (merőleges) v-re, ha u, v = 0. Jele: u v. Észrevétel: ha u ortogonális v-re, akkor v is ortogonális u-ra Emlékeztető: síkban és térben a nemnulla u, v vektorok által bezárt szög koszinusza u,v u v, tehát u,v u v 1 Tétel (Bunyakovszkij Cauchy Schwarz-egyenlőtlenség) Az R n euklideszi tér tetszőleges u, v vektorára u, v u v. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 3 / 40
Vektorok által bezárt szög Következmény (Vektorok és szög) Tetszőleges u, v R n \ {0} esetén létezik pontosan egy olyan α szög, melyre 0 α π és cos α = Definíció (Vektorok által bezárt szög) u,v u v. Ezt az α szöget így hívjuk: az u és v vektorok által bezárt szög. Tétel (Háromszög-egyenlőtlenség) Tetszőleges u, v R n esetén u + v u + v. Megjegyzés: az R n euklideszi térben beszélhetünk távolságról, szögről, térfogatról,... Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 4 / 40
Normálvektorok Emlékeztető: Ha a 1 x 1 + + a n x n = b nemtriviális egyenlet, azaz (a 1, a 2,..., a n ) 0, akkor U = {(x 1, x 2,..., x n ) R n : a 1 x 1 + + a n x n = 0} (n 1)-dimenziós altér R n -ben, és {(x 1, x 2,..., x n ) R n : a 1 x 1 + + a n x n = b} = v + U valamely v R n vektorra. Észrevétel: egy R n euklideszi térbeli u vektorra pontosan akkor teljesül u U, ha (a 1, a 2,..., a n ) u Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 5 / 40
Normálvektorok Állítás (Bizonyos altér összes vektorára ortogonális vektor) Legyen U (n 1)-dimenziós altér R n -ben. Ekkor 1 létezik olyan a R n \ {0} vektor, amely bármely u U vektorra ortogonális, 2 ha egy b R n \ {0} vektor bármely u U vektorra ortogonális, akkor b [a]. Megjegyzés: ha u 1, u 2,..., u n 1 bázis az U altérben, akkor egy ilyen a vektor koordinátái a i = ( 1) i D i (i = 1, 2,..., n), ahol D i annak az (n 1) (n 1)-es mátrixnak a determinánsa, amely az u 1, u 2,..., u n 1 sorvektorokból álló mátrixból az i-edik oszlop elhagyásával adódik (vö. 4.24. Feladat) az n = 3 esetben ez az a vektor éppen az u 1 és u 2 térbeli vektorok vektoriális szorzata Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 6 / 40
Normálvektorok Definíció (Normálvektor) Azt mondjuk, hogy egy a R n \ {0} vektor normálvektora az (n 1)-dimenziós U R n altérnek és U bármely eltoltjának, ha a u minden u U esetén. Következmény (Normálvektor létezése és egyértelműsége konstans szorzó erejéig) A R n euklideszi térben minden (n 1)-dimenziós altérnek és eltoltjának van normálvektora, és bármely két normálvektor egymás konstansszorosa (egy egyenesbe esik). Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 7 / 40
Normálvektorok Következmény 1 A síkban minden e egyenes és P pont esetén létezik egyetlen olyan egyenes, amely átmegy P-n és merőleges e-re. 2 A térben minden s sík és P pont esetén létezik egyetlen olyan egyenes, amely átmegy P-n és merőleges s-re. 3 Az R 2 síkban a P = (p, q) ponton átmenő, (a, b) normálvektorú egyenes egyenlete ax + by = ap + bq. 4 Az R 3 térben a P = (p, q, r) ponton átmenő, (a, b, c) normálvektorú sík egyenlete ax + by + cz = ap + bq + cr. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 8 / 40
Egyenesek és síkok által bezárt szög a térben Definíció (Egyenesek által bezárt szög a térben) Két egyenes által bezárt szög: az irányvektoraik által bezárt szög és annak kiegészítő szöge közül az, amelyik 0 és π 2 közé esik, beleértve a határokat is. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 9 / 40
Egyenesek és síkok által bezárt szög a térben Definíció (Síkok által bezárt szög a térben) Két sík által bezárt szög: a normálvektoraik által bezárt szög és annak kiegészítő szöge közül az, amelyik 0 és π 2 közé esik, beleértve a határokat is. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 10 / 40
Egyenesek és síkok által bezárt szög a térben Definíció (Egyenes és sík által bezárt szög a térben) Egyenes és sík által bezárt szög: π 2 β, ahol β az egyenes irányvektora és a sík normálvektora által bezárt szög és annak kiegészítő szöge közül az, amelyik 0 és π 2 közé esik, beleértve a határokat is. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 11 / 40
Ortogonális vektorrendszerek Definíció (Ortogonális vektorrendszer) Azt mondjuk, hogy egy euklideszi térbeli v 1, v 2,..., v n vektorrendszer ortogonális vektorrendszer, ha bármely két különböző i, j indexre v i v j, ortonormált vektorrendszer, ha ortogonális vektorrendszer, és v i = 1 minden i-re. Állítás (Ortogonális vektorrendszer és lineáris függetlenség) Euklideszi térben minden 0-t nem tartalmazó ortogonális vektorrendszer lineárisan független. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 12 / 40
Ortogonális vektorrendszerek Következmény (Ortogonális vektorrendszer és bázis) 1 Euklideszi térben minden ortonormált vektorrendszer lineárisan független. 2 Egy n-dimenziós euklideszi térben bármely n vektorból álló ortonormált vektorrendszer bázis. 3 Egy n-dimenziós euklideszi térben bármely n tagú, nemnulla vektorokból álló ortogonális vektorrendszer bázis. Definíció (Ortonormált és ortogonális bázis) Legyen V euklideszi tér. Ha egy V -beli ortonormált vektorrendszer bázis V -ben, akkor őt V ortonormált bázisának nevezzük. Ha egy V -beli ortogonális vektorrendszer bázis V -ben, akkor őt V ortogonális bázisának hívjuk. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 13 / 40
Gram Schmidt-féle ortogonalizáció Tétel (Gram Schmidt-féle ortogonalizáció) Egy euklideszi tér bármely lineárisan független v 1, v 2,..., v k vektorrendszeréhez van olyan u 1, u 2,..., u k ortogonális vektorrendszer, amelyre teljesül i = 1, 2,..., k esetén. [u 1, u 2,..., u i ] = [v 1, v 2,..., v i ] Észrevétel: A tételbeli u 1, u 2,..., u k ortogonális vektorrendszer minden tagja 0-tól különböző. Így u 1 u 1,..., u k u k ortonormált vektorrendszer. Tehát az u 1, u 2,..., u k vektorrendszer ortonormáltnak is választható. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 14 / 40
Gram Schmidt-féle ortogonalizáció A tétel bizonyítása az ún. Gram Schmidt-féle ortogonalizációs eljárás: adott egy lineárisan v 1, v 2,..., v k független vektorrendszer, a cél egy tételbeli u 1, u 2,..., u k vektorrendszer megadása. def 1 u 1 = v 1 def 2 u 2 = v 2 v 2,u 1 u u 1 2 1 3 ha u 1, u 2,..., u l 1 már definiált, akkor legyen def u l = v l l 1 v l,u j u u j 2 j j=1 u 2 v 2 v 2 v 2 u 1 = v 1 : v 2 merőleges vetülete u 1 -re v 2 = v 2,u 1 u 1 2 u 1 Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 15 / 40
Egy alkalmazás Amikor a számítógép háromdimenziós objektumokat (azaz R 3 -beli pontokat) ábrázol és mozgat, akkor a háttérben lineáris algebrát használ. Nézzünk egy példát: adott a térben P = (,, ) pont t = [(,, )] origón átmenő tengely α szög Határozzuk meg a P pont t körüli, α szöggel vett elforgatottját. A forgatás lineáris transzformáció, így van mátrixa, melynek segítségével P képe mátrixszorzással meghatározható. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 16 / 40
Egy alkalmazás Egy könnyű eset: t = [(0, 0, 1)] cos α sin α 0 A forgatás mátrixa: sin α cos α 0 0 0 1 Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 17 / 40
Egy alkalmazás Általános t esetén: olyan ortonormált bázisban, amelynek utolsó vektora t-re esik, a mátrix ugyanez Ha meg tudunk adni ilyen bázist, akkor a forgatás standard bázisbeli mátrixa a bázisáttérés mátrixával adódik. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 18 / 40
Egy alkalmazás Példa: t = [(1, 2, 1)], P = (3, 2, 1), α = 2π 3 1. lépés: adjunk meg olyan ortonormált bázist, melynek utolsó vektora t-re esik 1 egészítsük ki (1, 2, 1)-et valahogyan bázissá: pl. (1, 2, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0) 2 hajtsunk végre rajta Gram Schmidt-féle ortogonalizációt: u 1 = (1, 2, 1) t u 2 = (1, 0, 0) 1 6 (1, 2, 1) = ( ) 5 u 3 = (0, 1, 0) 2 6 3 normáljuk: ( 1 6, 2 3, 1 6 ) (1, 2, 1) 1/3 5/6 ( 5, 6, 6, 1 3, 1 ( 6 5 6, 1 3, 1 6 ) 2 15, 1 30 Egy megfelelő bázis: ( ) ( ) ( 5 6, 2 15, 1 1 30, 0, 5 2, 5 1, 6, ( ) 1, 0, 5 2, 5 2 3, 1 ) ( = 0, 2 5, 4 ) 5 6 ) t Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 19 / 40
Egy alkalmazás 2. lépés: írjuk fel a forgatás mátrixát ebben a bázisban cos α sin α 0 1 3 A = sin α cos α 0 2 2 0 = 3 2 1 2 0 0 0 1 0 0 1 3. lépés: térjünk vissza a standard bázisra a bázisáttérés mátrixa erről a bázisról a standard bázisra Q = 5 6 0 1 1 6 2 15 1 30 5 5 2 2 3 1 6, Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 20 / 40
Egy alkalmazás így a forgatás mátrixa a standard bázisban 1 Q 1 4 1 2 2 1 4 4 1 2 AQ = 1 2 + 2 1 4 2 1 2 2 4 1 4 + 1 2 1 2 + 2 a P = (3, 2, 1) pont képe pedig 4 1 4, (3, 2, 1)Q 1 AQ = ( 2, 2, 2 2) Megjegyzés: Később látni fogjuk, hogy ha a bázisáttérés Q mátrixa ilyen speciális, akkor Q 1 = Q T, tehát Q inverze számolás nélkül adódik. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 21 / 40
Ortonormált bázisok Következmény (Ortonormált bázis létezése) Minden euklideszi térnek van ortonormált bázisa. Következmény (Ortonormált vektorrendszer kiegészítése ortonormált bázissá) Euklideszi térben 1 minden olyan ortogonális vektorrendszer, amely nem tartalmaz nullvektort, kiegészíthető ortogonális bázissá, 2 minden ortonormált vektorrendszer kiegészíthető ortonormált bázissá. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 22 / 40
Euklideszi terek izomorfiája Definíció (Euklideszi terek közötti lineáris leképezés) Ha U, V euklideszi terek és ϕ: U V lineáris leképezés az U vektortérről a V vektortérbe, akkor azt mondjuk, hogy ϕ lineáris leképezés az U euklideszi térről a V euklideszi térbe. A vektorterekhez hasonlóan használjuk a Hom(U, V ) jelölést, valamint U = V esetén a lineáris transzformáció elnevezést. DE: Az euklideszi terek közötti izomorfizmus más, mint a vektortér-izomorfizmus! Definíció (Euklideszi terek közötti izomorfizmus) Azt mondjuk, hogy ϕ: U V izomorfizmus az U euklideszi térről a V euklideszi térre, ha vektortér-izomorfizmus, és tetszőleges u 1, u 2 U vektorokra u 1, u 2 = u 1 ϕ, u 2 ϕ. Az utóbbi tulajdonság neve: ϕ megőrzi a belső szorzatot. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 23 / 40
Euklideszi terek izomorfiája Állítás (Euklideszi terek közötti izomorfizmusok tulajdonságai) Euklideszi terek közötti izomorfizmusok szorzata és inverze is az. Definíció (Euklideszi terek izomorfiája) Azt mondjuk, hogy az U euklideszi tér izomorf a V euklideszi térrel, ha létezik izomorfizmus az U euklideszi térről a V euklideszi térre. Jelölés: U = V. Tétel (n-dimenziós euklideszi terek) Minden n-dimenziós euklideszi tér izomorf az R n euklideszi térrel. Észrevétel: ortonormált bázisban felírt koordinátasorokkal ugyanúgy számolunk belső szorzatot, mint R n -ben Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 24 / 40
Ortogonális lineáris transzformációk Definíció (Ortogonális lineáris transzformáció) Legyen V euklideszi tér és ϕ Hom(V, V ). Azt mondjuk, hogy ϕ ortogonális lineáris transzformáció V -n, ha bármely v V -re v = vϕ. Az utóbbi tulajdonság neve: ϕ normatartó. Észrevétel: Ortogonális lineáris transzformációk szorzata is az. Továbbá minden ortogonális lineáris transzformáció bijektív, így van inverze, és az is ortogonális. Példák: a síkon (az R 2 euklideszi téren): origóra való türközés, origón átmenő egyenesre való tükrözés, origó körüli elforgatás a térben (az R 3 euklideszi téren): origóra való türközés, origón átmenő egyenesre/síkra való tükrözés, origón átmenő egyenes körüli elforgatás Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 25 / 40
Ortogonális lineáris transzformációk Tétel (Ortogonális transzformáció ekvivalens jellemzései) Bármely V euklideszi téren értelmezett ϕ lineáris transzformáció esetén ekvivalensek a következők: 1 ϕ ortogonális, 2 tetszőleges u, v V -re u, v = uϕ, vϕ, 3 ϕ bármely ortonormált vektorrendszert ugyanilyenbe visz, 4 ϕ bármely ortonormált bázist ortonormált bázisba visz, 5 van olyan ortonormált bázis V -ben, amit ϕ ortonormált bázisba visz. Észrevétel: a normatartó lineáris transzformációk szükségképpen szögtartók is V ortogonális lineáris transzformációi éppen V önmagára való izomorfizmusai Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 26 / 40
Ortogonális mátrixok Észrevétel: Ha ϕ ortogonális leképezés, és mátrixa valamely ortonormált bázisban A = a 1. a n, akkor a 1,..., a n ortonormált bázis R n -ben. Így minden i, j {1,..., n} indexre (AA T ) ij = { 1 ha i = j, a i, a j = 0 különben, azaz AA T = E. Definíció (Ortogonális mátrix) Azt mondjuk, hogy A( R n n ) ortogonális mátrix, ha AA T = E. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 27 / 40
Ortogonális mátrixok Állítás (Ortogonális mátrix ekvivalens jellemzései) Tetszőleges A R n n mátrixra ekvivalensek a következők: 1 A sorvektorai ortonormált vektorrendszert/bázist alkotnak R n -ben, 2 AA T = E, 3 A nemelfajuló és A T = A 1, 4 A T A = E, 5 A oszlopvektorai ortonormált vektorrendszert/bázist alkotnak R n -ben. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 28 / 40
Ortogonális mátrixok A korábbi, ortogonális transzformációra vonatkozó ekvivalens tulajdonságokat kiegészíthetjük a következőképpen: Tétel (Ortogonális transzformáció ekvivalens jellemzései (folyt.)) Bármely euklideszi téren értelmezett ϕ lineáris transzformáció esetén ekvivalensek a következők: 1 ϕ ortogonális, 2 ϕ mátrixa valamely ortonormált bázisban ortogonális, 3 ϕ mátrixa minden ortonormált bázisban ortogonális. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 29 / 40
Ortogonális mátrixok Állítás (Ortonormált bázisok közötti áttérés mátrixa) Minden ortonormált bázisról ortonormált bázisra való áttérés mátrixa ortogonális. Állítás (Ortogonális lineáris transzformáció, ill. mátrix sajátértékei, ortogonális mátrix determinánsa) 1 Ha egy ortogonális lineáris transzformációnak, illetve mátrixnak van sajátértéke, akkor az csak ±1 lehet. 2 Minden ortogonális mátrix determinánsa ±1. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 30 / 40
Főtengelytétel Emlékeztető: egy A R n n mátrixot diagonalizálhatónak hívunk, ha létezik olyan P R n n nemelfajuló mátrix, amelyre P 1 AP diagonális itt P bázisáttérés mátrixa a standard bázisról egy A sajátvektoraiból álló tetszőleges bázisra a P 1 AP diagonális mátrix főátlójában minden ilyen P esetén A sajátértékei állnak, mindegyik annyiszor, amennyi az adott sajátérték multiplicitása a karakterisztikus polinomban, és ez a szám egyenlő a megfelelő sajátaltér dimenziójával Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 31 / 40
Főtengelytétel Tétel (Főtengelytétel (szimmetrikus mátrixokra)) Minden szimmetrikus A R n n mátrixhoz létezik olyan Q R n n ortogonális mátrix, amelyre Q 1 AQ diagonális. Kiegészítés: A Q 1 AQ diagonális mátrix főátlójában is A sajátértékei állnak, mindegyik annyiszor, amennyi az adott sajátérték multiplicitása a karakterisztikus polinomban, és ez a szám egyenlő a megfelelő sajátaltér dimenziójával. Fontos: A Q mátrix itt is bázisáttérés mátrixa a standard bázisról egy A sajátvektoraiból álló bázisra, de nem akármilyenre, hanem ortonormált bázisra! Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 32 / 40
Főtengelytétel Következmény 1 Minden valós szimmetrikus mátrix diagonalizálható. 2 Két valós szimmetrikus mátrix pontosan akkor hasonló, ha karakterisztikus polinomjaik megegyeznek. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 33 / 40
Főtengelytétel Emlékeztető: az R n vektortéren értelmezett összes kvadratikus alak nemelfajuló lineáris helyettesítéssel kanonikus alakra hozható és ez ekvivalens a következővel: minden szimmetrikus A R n n mátrixhoz létezik olyan nemelfajuló S R n n mátrix, amelyre SAS T diagonális itt S a nemelfajuló lineáris helyettesítés mátrixa, SAS T pedig az A mátrixú kvadratikus alak kapott kanonikus alakjának mátrixa Észrevétel: itt A R n n szimmetrikus; a főtengelytételbeli Q R n n ortogonális mátrixra Q 1 AQ diagonális és Q 1 = Q T ; ekkor S = def Q 1 is ortogonális mátrix, S T = (Q 1 ) T = (Q T ) T = Q és SAS T (= Q 1 AQ) diagonális Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 34 / 40
Főtengelytétel Definíció Az olyan lineáris helyettesítést, amelynek mátrixa ortogonális, ortogonális helyettesítésnek nevezzük. Észrevétel: minden ortogonális helyettesítés nemelfajuló Tétel (Főtengelytétel (kvadratikus alakokra)) Az R n euklideszi téren értelmezett összes kvadratikus alak ortogonális helyettesítéssel kanonikus alakra hozható. Kiegészítés: Az ortogonális helyettesítéssel kapott kanonikus alakban a négyzetes tagok együtthatói a kvadratikus alak mátrixának sajátértékei. Minden sajátérték annyi négyzetes tag együtthatója, amennyi az adott sajátérték multiplicitása a karakterisztikus polinomban, és ez a szám egyenlő a megfelelő sajátaltér dimenziójával. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 35 / 40
Főtengelytétel Következmény Egy R n -en értelmezett kvadratikus alak pontosan akkor 1 pozitív definit, ha mátrixának sajátértékei pozitívak; 2 pozitív szemidefinit, ha mátrixának sajátértékei nemnemgatívak, és 0 sajátérték; 3 negatív definit, ha mátrixának sajátértékei negatívak; 4 negatív szemidefinit, ha mátrixának sajátértékei nempozitívak, és 0 sajátérték; 5 indefinit, ha mátrixának pozitív és negatív sajátértéke is van. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 36 / 40
Főtengelytétel Megjegyzés: A főtengelytétel és következménye elvi jelentőségű: ortogonális helyettesítést nem tudunk elemi átalakításokkal keresni, meg kell határozni hozzá a kvadratikus alak mátrixának sajátértékeit és sajátaltereit a definitségi osztályt általában jóval könnyebb meghatározni a korábban tanult módon, mint a kvadratikus alak mátrixának sajátértékeit megkeresni Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 37 / 40
Egy alkalmazás A főtengelytétel alkalmazása képtömörítésre: A R n n szimmetrikus mátrix Q R n n ortogonális mátrix, melyre D = Q 1 AQ diagonális ekkor A = QDQ T λ 1 0... 0 0 λ 2... 0 ha D =...... és Q = (u 1 u 2 u n ), 0 0... λ n ahol u 1, u 2,..., u n R n 1, akkor Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 38 / 40
Egy alkalmazás λ 1 0... 0 u T 1 A = QDQ T 0 λ 2... 0 u T 2 = (u 1 u 2 u n )....... 0 0... λ n un T u T 1 u T 2 = (λ 1 u 1 λ 2 u 2 λ n u n ). u T n = λ 1 (u 1 u T 1 ) + λ 2(u 2 u T 2 ) + + λ n(u n u T n ) ahol u i u T i R n n, i = 1, 2,..., n Neve: A egy spektrálfelbontása Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 39 / 40
Egy alkalmazás Egy szemléletes példa: Link Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 40 / 40