Fuzzy halmazok jellemzői

A Fuzzy rendszerek, számítási intelligencia gyakorló feladatok megoldása Fuzzy halmazok jellemzői A fuzzy halmaz tartója az alaphalmaz azon elemeket tartalmazó részhalmaza, melyek tagsági értéke 0-nál nagyobb. A fuzzy halmaz magja az alaphalmaz azon elemeket tartalmazó részhalmaza, melyek tagsági értéke egy. A fuzzy halmaz magassága a tagsági függvényének supremuma. A fuzzy halmaz α vágata az alaphalmaz azon elemeket tartalmazó részhalmaza, melyek tagsági értéke nagyobb, vagy egyenlő α-val. A fuzzy halmaz szigorú α vágata az alaphalmaz azon elemeket tartalmazó részhalmaza, melyek tagsági értéke nagyobb α-nál. 1. alacsony középtermetű magas Tartó [15 0 ;17) 0] [16 (160;190) ( 0 ) 0] [18 (180;00] 0 Mag [15 0 ;16 0] [17 0 ;18 0] [19 0 ;00] Magasság 1 1 1 α vágat [15 0 ;17 0- [16 0+1 0α;190 10α] [18 0+1 0α;00] 1 0α] szigorú α vágat [15 0 ;17 0-1 0α) (16 0+1 0α;190 10α) (18 0+1 0α;00]. supp(a)=[π/;π] ) core(a)=π/ A α =[π/;π arcsin(α)] A α+ =[π/;π arcsin(α)) A 0,5 =[p/;,618] Az A halmaz normális. Az A halmaz konvex.

3. a) A és B halmazok algebrai szorzattal megvalósított metszete: μ A B x =tg x cos x Tudjuk, hogy tg x = sin x cos x, így μ A B x = sin x cox x cos x =sin x cos x. Szintén tudjuk, hogy sin x =sin x cos x, azaz sin x cos x = sin x. Így μ A B x = sin x. Ez már könnyedén felrajzolható: b) supp(ab)=[0;π/4] core(ab)= Nincs magja, a függvény subnormális. h(ab)= 0,5 Az α-vágat meghatározásához x-re kell rendeznünk kell rendeznünk az sin x α= egyenletet, így megkapható az α-vágat: arcsin α AB α =[ ; π/4] 0,5],ahol α 0,5! 4. Jegyzet 47. o., 45. o. 5. Jegyzet 53. o., 51. o. 6. Jegyzet 57. o., 55. o.

7. FIGYELEM! EBBEN A PÉLDÁBAN A < JELÖLÉS JELENTÉSE NEM A KISEBB, HANEM A RÉSZSOROZATA (y<x jelentése tehát: y az x részsorozata) A relációt táblázatosan felírva, a nem megadott helyeken a reláció értékét 0-nak véve kapjuk a IV. oszlop értékeit. [R Y ] y =max R x a) Definíció szerint a projekció értéke y x. Ez egyszerű példán keresztül a következőt jelenti: Az R 1, projekció értékeit keressük. Határozzuk meg az x 1 és x értékeinek minden lehetséges kombinációjára az R(x 1,x,x 3 ) reláció maximumát. Az így kapott értékeket a táblázat minden megfelelő sorába beírjuk. A példában x 1 és x összes kombinációi: a,c a,d b,c és b,d. A reláció a,c-hez tartozó értékei: R(x 1,x,x 3 ) (a,c) ={0,7;0} ennek maximuma 0,7, tehát a VIII. oszlop minden sorába, ahol x 1 =a ÉS x =c a 0,7-et írjuk. A példa alapján kitölthetők az V-X. oszlopok. b)a hengeres kiterjesztés definíciója a következő: [ R X Y ] x =R y, minden x-re, ahol y<x, tehát az adott projekció értékét vesszük azon halmazok elemeinek összes kombinációjára, melyekre azt kiterjesztjük. Egyszerű példával: R 1, {X 3 } hengeres kiterjesztés értéke az X 3 =e helyeken megegyezik az R 1, értékeivel, melyek az X 3 =e-hez tartoznak. (Mivel a hengeres kiterjesztés a projekció fordított műveletének tekinthető ezek az oszlopok tulajdonképpen a projekciók másolatai.) A példa alapján kitölthetők a XI-XIII. oszlopok. c) A hengeres lezárt definíciója: cyl {P i} x =min[p i X Y i ] x. Gyakorlatilag ez azt jelenti, i I hogy minden sorban vesszük azoknak a hengeres kiterjesztéseknek a minimumát, melyek hengeres lezártját keressük. A példában a cyl {R 1,, R 1,3,R,3 } hengeres lezárt az a,c,e esetben min(0,7;0,7;0,7)=0,7, b,c,e esetben pedig min(0,5;0,9;0,7)=0,5. Ezzel a módszerrel kitölthető a XIV. oszlop. A példában kiszámított hengeres lezárt éppen megegyezik az eredeti relációval, de ez nincs minden esetben így. Olyan hengeres lezárt is előállítható, amelyik eltér az eredeti relációtól. I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV x1 x x3 R(x 1,x,x 3) R 1 R R 3 R 1, R 1,3 R,3 R 1, { X 3} R 1,3 { X } R,3 { X 1} cyl { R 1,,... } a c e 0,7 0,7 0,7 0,9 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 a c f 0 0,7 0,7 1 0,7 0 0 0,7 0 0 0 a d e 0 0,7 1 0,9 0 0,7 0,9 0 0,7 0,9 0 a d f 0 0,7 1 1 0 0 1 0 0 1 0 b c e 0,5 1 0,7 0,9 0,5 0,9 0,7 0,5 0,9 0,7 0,5 b c f 0 1 0,7 1 0,5 1 0 0,5 1 0 0 b d e 0,9 1 1 0,9 1 0,9 0,9 1 0,9 0,9 0,9 b d f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

8. A feladat megoldása: X 1 X X 3 X 4 R(X 1,X,X 3,X 4) R 1, R 1,3 R 1,4 R R 1,,3 R 1, {X 3,X 4 } R 1,3 {X,X 4 } R 1,4 {X,X 3 } cyl {R 1,,R 1,3, R 1,4 } a c e g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a c e h 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 a c f g 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 a c f h 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 a d e g 0,3 0,3 1 1 0,4 0,3 0,3 1 1 0,3 a d e h 0 0,3 1 0 0,4 0,3 0,3 1 0 0 a d f g 0 0,3 0 1 0,4 0 0,3 0 1 0 a d f h 0 0,3 0 0 0,4 0 0,3 0 0 0 b c e g 0 0,5 0 0,4 1 0 0,5 0 0,4 0 b c e h 0 0,5 0 0,5 1 0 0,5 0 0,5 0 b c f g 0 0,5 0,5 0,4 1 0,5 0,5 0,5 0,4 0,4 b c f h 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b d e g 0 0,4 0 0,4 0,4 0 0,4 0 0,4 0 b d e h 0 0,4 0 0,5 0,4 0 0,4 0 0,5 0 b d f g 0,4 0,4 0,5 0,4 0,4 0,4 0,4 0,5 0,4 0,4 b d f h 0 0,4 0,5 0,5 0,4 0,4 0,4 0,5 0,5 0,4 9. A feladat megoldása az alábbi ábrán látható. Az illeszkedési értékek kiszámolhatók a háromszög oldalaira, mint egyenesekre felírt egyenletek segítségével, vagy a hasonló háromszögek elve alapján is. A Mamdani irányítási rendszer a Zadeh-féle műveleteket használja, tehát t-normának a minimum, s-normának a maximum operátort. Az egyes szabályok súlyfaktorai tehát w 1 =min(0,5;0,5)=0,5 és w =min(0,75;0,5)=0,5 Az egyes szabályok kimenetei a súlyfaktorok segítségével csonkolással állnak elő:

A rendszer fuzzy kimenete a szabályok eredményeinek uniója (s-norma). Zadeh-féle s-normával a közös maximum: A COG defuzzifikáció képlete: Y COG = s 1 T 1 s T T 1 T, ahol s 1 az első trapéz súlypontjának vízszintes koordinátája, s a másodiké, T 1 az első trapéz területe, T pedig a másodiké. s 1 =3; s =5; T 1 =1,5; T =1,5 Y COG =(3*1,5+5*1,5)/(1,5+1,5)=4 10. A feladat a 8. feladat alapján megoldható, az eredmények: Y COG =3,357

11. Larsen típusú irányítórendszer esetén a t-norma operátora az algebrai szorzat. Így a szabályok illeszkedési értékeinek algebrai szorzatát alkalmazva kapjuk az egyes szabályokra vonatkozó súlyokat. w 1,1 *w 1, =0,9*0,=0,18 és w,1 *w, =0,*0,3=0,06 Ezekkel a súlyokkal nem csonkoljuk, hanem zsugorítjuk (ez is szorzás!) a szabályok konzekvens függvényét. (A COG defuzzifikáció nem változik.) 1.

13. Az illeszkedési mértékek meghatározása azonos az eddigiekkel. 14. Az egyes szabályok súlyfaktorait az algebrai szorzat operátorral számoljuk: w 1 =0,*0,7=0,14 w =0,4*0,6=0,4 Az egyes szabályok konzekvensei a megadott egyenletekkel számolhatók: y 1 =+3x 1 +7x =+3*1,8+7*1,4=17, y =1+5x 1 +3x =1+5*1,8+3*1,4=14, A defuzzifikáció számítása Takagi-Sugeno esetben: Y = ω 1 y 1 ω y ω 1 ω A számítást elvégezve kapjuk a crisp eredményt: Y=15,305 Y=15,689