Dr. Szendrei János Dr. Tóth Balázs k BEVEZETES A PA TIKA I LOGIKABA
BEVEZETÉS A MATEMATIKAI LOGIKÁBA
Dr. Szendrei János-Dr. Tóth Balázs BEVEZETÉS A MATEMATIKAI LOGIKÁBA NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST
Bíráló: dr. Urbán János Felelős szerkesztő: Balassa Zsófia ISBN 963 18 7547 4 Szendrei János, Tóth Balázs, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., 1996 A mű más kiadványban való részleges vagy teljes felhasználása, utánközlése, illetve sokszorosítása a Kiadó engedélye nélkül tilos! Nemzeti Tankönyvkiadó Rt. A kiadásért felel: dr. Ábrahám István vezérigazgató Felelős főszerkesztő: Palojtay Mária Műszaki szerkesztő: Görög Istvánné Szedés, tördelés: Nagy Katalin Terjedelem: 13,9 (A/5) ív Első kiadás, 1996 Raktári szám: J 11-1194 Kőpapír Kiadó és Nyomda Kft., Budapest - 96-0117 Felelős vezető: Budai Sándor ügyvezető igazgató
TARTALOM Előszó... 7 I. FEJEZET. BEVEZETÉS 1. A logika tárgya... 9 2. Kijelentés, logikai érték...11 3. Predikátum...13 4. Összetett kijelentés...15 II. FEJEZET. KIJELENTÉSLOGIKA 1. A negáció...17 2. A konjunkció... 19 3. A diszjunkció... 23 4. Az implikáció... 26 5. Az ekvivalencia... 28 6. A kijelentéslogika míiveleteiröl...30 7. Kijelentéslogikai formulák...33 8. Kijelentéslogikai formulák interpretációja... 37 9. Kijelentéslogikai egyenértékű forma]ák...39 10. A kijelentéslogika következniényfogalma...40 1 1. A matematikai tételek kijelentéslogikai vizsgálata...46 12. Levezetés a kijelentéslogikában...49 13. A klasszikus logika néhány következtetési sém ája...51 14. Diszjunktív normálforma...53 15. Logikai áramkörök... 55
III. FEJEZET. PREDIKÁTUM LOGIKA 1. Műveletek predikátumokkal...58 2. Kvantifikáció...61 3. Formalizálás a predikátumlogikában... 64 4. Formulák a predikátumlogikában...66 5. Predikátumlogikai formulák interpretációja... 69 6. Ekvivalens predikátumlogikai formulák... 75 7. A predikátumlogika következményfogalma...78 8. Levezetés a predikátumlogikában...82 9. Példák elsőrendű nyelvre... 84 10. Az egyrétű formulák...87 11. A szillogisztikus és a szinguláris következtetések...91 12. Az azonosságpredikátum... 96 13. A matematikai logika történetéről...99 IV. FEJEZET. A HAGYOMÁNYOS LOGIKA FŐBB TÉMÁIRÓL 1. A logika tárgyának hagyományos felfogása... 104 2. A logika alaptörvényei... 105 3. A fogalom ról...108 4. Az ítélet elmélete...114 5. A következtetés elmélete...116 6. A megismerés módszerei...116 7. Hipotézis... 121 8. Axiomatikus módszer... 123 F E L A D A T O K...127 IRODALOMJEGYZÉK...156
ELŐSZŐ A jelen anyag matematika szakos tanárjelöltek és gyakorló tanárok számára készült, s célja az, hogy a logika matematikai szemléletű tárgyalását nyújtsa. A matematikatanítás alkalmazásra képes logikai ismereteket is kíván fejleszteni, amelyek a matematikai tevékenység gyakorlása során elősegítik a pontos, szabatos nyelvi kifejezési módokat, a helyes következtetési eljárások elsajátítását. A gondolati tartalom pontos nyelvi megfogalmazása és a nyelvi formában közölt információ megértése, valamint ennek logikailag egyenértékű, de más szavakkal való megfogalmazása a pedagógus és a tanítványa közötti kapcsolatnak egyik nélkülözhetetlen alapja. A matematikatanításban nagyon fontos a fogalmak és a tételek, s azok bizonyításainak logikai szerkezetét világosan feltárni. A tanítás során el kell érni, hogy a tanulók értelmesen és helyesen használják az és, vagy, tehát, nem mind, mind nem, van olyan, nincs olyan, legalább, legfeljebb, elégséges feltétel, szükséges feltétel stb. szavakat. Ezeknek tudatos elsajátítását szolgálja a tanárképzésben a matematikai logika elemeinek, módszereinek tanítása. A matematika iskolai tanítása során azonban nem a matematikai logika formalizmusát kell tanítani, hanem a matematikai tananyagban a megfelelő nyelvi kifejezéseken keresztül kell a tanulókkal mindezt elsajátíttatni. A feldolgozott anyag a matematikai logika módszereit felhasználva tárgyalja a hagyományos logika néhány fejezetét is. Az elméleti anyag jobb megértését szolgálják a feladatok, amelyeknek egy része az iskolai tananyag köréből való. A könyv végső tartalmának és formájának kialakításáért hálás köszönetüket fejezik ki a szerzők dr. Urbán Jánosnak gondos lektorálásáért és értékes javaslataiért, a Nemzeti Tankönyvkiadónak a megjelentetésért, személy szerint Balassa Zsófiának a szerkesztésre fordított hozzáértő és lelkiismeretes munkájáért, valamint Nagy Katalinnak, a JATE Bolyai Intézet titkárának figyelmes szövegszerkesztő tevékenységéért.
I. fejezet BEVEZETÉS E fejezetben tárgyaljuk a későbbiekben is szükséges legalapvetőbb fogalmakat, amelyeknek a felhasználásával körvonalazhatjuk a két értékű logika elemeit. 1. A logika tárgya A mindennapi életben, s még inkább a különböző tudományágakban, így a matematikában is gyakran használunk ilyen kifejezéseket: Ebből (ill. ezekből) következik, hogy vagy Ha teljesül, akkor abból... következik. Tekintsünk néhány példát, ahol a hagyományos jelölésnek megfelelően egy vízszintes vonal fölé írjuk a premisszákat (feltételeket), alá a konklúziót (zárótételt). Példák 1. (a) Ha folyik a víz a kádba, akkor tartózkodik valaki a lakásban. (b) Folyik a víz a kádba. (c) Tartózkodik valaki a lakásban. Ha az (a) és (b) kijelentést igaznak fogadjuk el, akkor ezekből nyilvánvalóan (c) következik - mondja mindenki. Miért tartjuk ezt a következtetést helyesnek? Erre most csak ilyesféle választ tudunk adni: Az (a), (b), (c) állítások bármelyike lehet önmagában igaz is, lehet hamis is. Lehetetlen azonban, hogy (a) és (b) igaz, de (c) hamis. 2. (a) Ha Péter éveinek száma osztható 6-tal, akkor osztható 2-vel is. (b) Péter éveinek száma nem osztható 2-vel. (c) Péter éveinek száma nem osztható 6-tal.
Ezt a következtetést is igaznak érezzük, bár itt sem tudjuk, hogy a konklúzió igaz-e vagy sem. Az (a) premissza matematikai ismereteink alapján igaz. A (b) premissza és a (c) konklúzió igaz volta attól függ, hogy konkrétan kiről van szó. Más-más a helyzet, ha olyan Péterről van szó, aki 16, 17, ill. 18 éves. Az azonban lehetetlen, hogy (a) és (b) igaz, de (c) hamis. 3. (a) Ha 3 nem osztója 35-nek, akkor 9 nem osztója 35-nek. (b) 3 nem osztója 35-nek. (c) 9 nem osztója 35-nek. Észrevehetjük, hogy ez a következtetés az 1. példában szereplő következtetéssel megegyező szerkezetű, ugyanis mindkettő a következő sémával fejezhető ki, ahol g a megfelelő kijelentő mondatokat jelenti: Ha p, akkor q. P Azt tapasztaljuk, hogy p, g helyébe bármilyen (akár igaz, akár hamis) kijelentést is írunk, a fenti következtetés helyes. Tehát megállapíthatjuk, hogy egy következtetés helyessége nem az egyes kijelentések tartalmától, hanem a benne szereplő kijelentések szerkezetétől függ. Egy kijelentés szerkezetének a feltárása alaposabb elemzést kíván. Tekintsük a következő példát: 4. (a) A vastárgyak mágnesezhetek. (b) A szekrény kulcsa vasból van. (c) A szekrény kulcsa mágnesezhető. A 4. példában szereplő (a) kijelentés - a logikai tartalom megváltoztatása nélkül - így is megfogalmazható: Minden tárgy, ha vasból van, akkor mágnesezhető. Ebben az átfogalmazásban már összetett mondatról van szó. Vezessük be a következő jelöléseket: P x X vasból van; Q x := X mágnesezhető; a := A szekrény kulcsa. Az := jelet definiáló egyenlőségjelnek nevezzük. Az :== jelet úgy használjuk, hogy a jel bal oldaláraírjuk azt a jelet, betűt, amit definiálunk, s a jel jobb oldalára írjuk azt, amivel definiálunk, azaz ami a definiált jelnek, fogalomnak a jelentése. Ezek felhasználásával az előbbi kijelentés így írható le: Minden x-re: ha P x, akkor Qx^ ahol X tetszőleges tárgyat jelenthet. 10
A 4. példa szerkezete (sémája) tehát a következő: (a) Minden x-re: ha Px^ akkor Q x, (b) Pa (c) Qa Végül tekintsük az alábbi példát: 5. (a) A 0-ra végződő egész számok oszthatók 5-tel. (b) 20 utolsó számjegye 0. (c) 20 osztható 5-tel. Könnyen látható, hogy ennek a következtetésnek is ugyanaz a sémája, mint az előbb. Vezessük be ugyanis a következő jelöléseket, ahol x tetszőleges egész számot jelenthet. P x := X nullára végződik; Qx := X osztható 5-tel; a := 2 0. Ekkor az 5. példa sémája a következőképpen alakul: (a) Minden a;-re: ha Px^ akkor Qx^ (b) Pa (c) Qa Az ilyen séma - az edigi tapasztalataink szerint - helyes következtetést fejez ki, függetlenül a benne szereplő kijelentések tartalmától és igazságától. Annyit most is megállapíthatunk, hogy ha (a) és (b) igaz, akkor lehetetlen, hogy (c) nem igaz. A következtetések szerkezetének a vizsgálata, valamint a helyes következtetések szerkezetének a feltárása képezi a logika alapvető feladatát. Ezeknek a kérdéseknek az alaposabb vizsgálatához azonban előbb tisztázni kell a következő fogalmakat: kijelentés, igaz, hamis, kijelentés szerkezete, következmény, következtetési séma stb. 2. Kijelentés, logikai érték A kijelentések (ítéletek) nyelvtanilag kijelentő mondatok. Látni fogjuk azonban, hogy nem minden kijelentő mondat tekinthető kijelentésnek (ítéletnek). 11
A legegyszerűbb kijelentések azok, amelyek egy személyről, egy tárgyról, egy fogalomról stb., általánosan egy individuális dologról állítanak valamit. Daru István tanul. Kiss Borbála kék szemű. A Maros folyó. A 11 prímszám. A logika hasznos. Ami(k)röl valamit állítunk, az(oka)t individuum(ok)n<ik nevezzük. Az emktett példákban individuumok: Daru István, Kiss Borbála, a Maros, a 1 1, a logika. Az individuumot a legegyszerűbb esetekben tulajdonnév, illetve főnév fejezi ki. A tulajdonnevet gyakran leíró kifejezéssel helyettesítjük. Például Daru István helyett A z elsőéves matematika-rajz szakos főiskolai hallgatók csoportvezetője leíró kifejezést használhatjuk. Hasonlóan, a Maros helyett a következőt írhatjuk: A Tisza leghosszabb bal oldali mellékfolyója. Leíró kifejezést individuumnév helyett csak abban az esetben használhatunk, ha a leíró kifejezés pontosan egy individuumot határoz meg. Az utóbbi példában nem lenne helyes azonban A Tisza mellékfolyója leíró kifejezést használni, mivel ilyen több is van. Nem használható leíró kifejezésként a következő sem: A jelenleg uralkodó egyiptomi fáraó, mivel az egyetlen individuumot sem határoz meg. Az elmondottak alapján nem tekinthetjük tehát kijelentésnek az alábbi mondatokat: A Tisza mellékfolyója árad. A jelenleg uralkodó egyiptomi fáraó kegyetlen. Nem tekintjük kijelentésnek egy krétai személynek a következő mondatát, mivel ellentmondást tartalmaz: Minden krétai hazudik. A következőkben kijelentés (ítélet) olyan kijelentő mondatot jelent, amely vagy igaz, vagy hamis (de a kettő egyidejűleg nem teljesül). Kijelentések jelölésére p,. betűket (kijelentésváltozókat) használunk. 12
Az igaz, ill. hamis a kijelentés logikai értéke] ezeket a továbbiakban 2, illetve h jelöli. Ha p egy tetszőleges kijelentés, akkor ennek logikai értékét p jelöli, s így olvassuk: p logikai értéke. M egjegyzések 1. Az igaz-hamis dichotómiát (kettős felosztás) az arisztotelészi klasszikus logika is használta, ezért nevezzük azt kétértékű (alternáló) logikának. Ezt tükrözi az ún. ellentmondástalanság elve és a harmadik kizárásának elve: - Egy kijelentés egyidejűleg nem lehet igaz is meg hamis is. - Ha egy kijelentés nem igaz, akkor hamis, hiszen harmadik lehetőség nincs. 2. Annak eldöntése, hogy egy kijelentő mondat kijelentés-e, nem a logika feladata, hanem á) gyakorlati esetekben a konkrét tapasztalat; h) elméleti kérdésekben a megfelelő szaktudomány; c) bizonyos esetekben pedig megállapodás. így a matematikai sejtéseket kijelentéseknek fogadjuk el. Példa: Nincsen olyan n páratlan természetes szám, amely összes osztójának összege 2n. 3. A matematika foglalkozik az ún. többértékű logikákkal is az univerzális algebra keretében. 3. Predikátum Ha egy kijelentés belső (finomabb) szerkezetét is vizsgálni akarjuk, akkor további fogalmakat és jelöléseket kell bevezetnünk. Tekintsük a következő kijelentéseket: p := Aba Pál tanul. q := Béla szomszédja Csabának. r := Hatvan közelebb van Egerhez, mint Miskolc. Jelöljük az itt előforduló individuumok (személyek, dolgok stb.) neveit egy-egy kisbetűvel: a : Aba Pál, b := Béla, c Csaba, h Hatvan, e = Eger, m = Miskolc. Az individuumok elhagyásával fehrt hiányos ( nyitott ) mondatok:... tanul.... szomszédja...-nak.... közelebb van...-hez, mint.... 13
Ezekben a hiányos mondatokban az a közös, hogy mindegyik tartalmazza az áuítmányt. Az áuítmányok jelölésére nagybetűket használunk, amelyek mellé odaírjuk a megfelelő individuumokat jelölő betűket. így a fenti kijelentéseket a következőképpen jelöljük: p := Pa, q := Qbc, r := Rhem. Az ilyen szerkezetű kijelentések általánosításaként beszélhetünk olyan kijelentésekről, amelyekben tz(> 1) individuumról állítunk valamit. Ha ai,a 2,...,ön jelöli az individuumokat, P pedig jelöli a rájuk vonatkozó állítmányt (esetleg más mondatrészekkel együtt), akkor ennek a kijelentésnek a jelölése: Paia2...ön (n > 1), ahol ai,ö2,...,07^ egy U {^ 0 ) halmaznak (individuumtartománynak) az elemei. Az ilyen szerkezetű kijelentéseket atomi kijelentéseknek nevezzük. Ha egy P aia 2...ün atomi kijelentésben az U halmazbeli ai,a2,...,a^ individuumok helyére xi^x2... névpótló jeleket írunk, ahol ezek az U tetszőleges elemei lehetnek, akkor a PXIX2...Xn szerkezetű hiányos ( nyitott ) mondatot az U individuumtartományon értelmezett n-argumentumú (n-változós) atomi predikátumndk^ az xi,x2,..., Xn-^i pedig individuumváltozóhci^k nevezzük. Az C/(t^0) halmazon értelmezett Pxix2...xn predikátum olyan n- változós függvény, amelynek értelmezési tartománya az' í7-nak n-tényezős Descartes-féle szorzata, azaz U"^ = U X Í7 X... X Í7, és értékkészlete az {i, h} halmaz: P:U^-^{i,h}. Ennek alapján az U individuumtartományon értelmezett P x\x 2.. - x^ predikátum meghatározza az Descartes-féle szorzatnak azt a részhalmazát, amely elemeinek a képe i. S mivel az részhalmazait az U-n értelmezett n-változós relációkrdük is nevezik, azért azt is mondhatjuk, hogy az U halmazon értelmezett P x\ x 2 - Xn predikátum meghatároz az U-n egy n-változós relációt. Megállapodunk abban is, hogy egy, két, illetve három individuumváltozó esetén - ahogy ez a matematikában szokásos - duz x^y^z betűket használjuk. 14
M egjegyzések 1. A PX\X2...Xn helyett lehetne a függvényeknél hagyományos P{x\,x2,...,Xn) jelölést használni. 2. A III. fejezetben célszerű lesz a 0-változós predikátumokat is megengedni, s ezeken a kijelentéseket értjük. 3. Az individuumváltozók helyett névpótló jelként - elsősorban az alsófokú iskolai oktatásban - gyakran különböző szimbólumokat, jeleket használunk: Q?, Például: Q -l- A < 8; 0 barátja v-nak. Az individuumváltozók feltüntetésével kiírt predikátumokat nyitott mondatoknak is nevezik. Ezt indokolja, hogy egy individuumváltozókkal fekrt predikátum nem kijelentés. Ha egy nyitott mondatban az individuumváltozókat individuumnevekkel helyettesítjük, zárt mondatot, azaz kijelentést kapunk. Pl. Bl-f 5 < 10 igaz, 1714-5 < 10 hamis. 4. Összetett kijelentés Kijelentő mondatokból nyelvtani szabályok szerint kötőszavak felhasználásával összetett kijelentő mondatokat alkothatunk. Kijelentésekből is kaphatunk így összetett kijelentő mondatokat, de ezek nem szükségképpen lesznek kijelentések. Példák A hőmérséklet 30 C fölé emelkedett. Péter megfürdött a Tiszában. Ezekből képezzük a következő kijelentéseket: a) A hőmérséklet 30 C fölé emelkedett, ÉS Péter megfürdött a Tiszában. b) Péter megfürdött a Tiszában, MERT a hőmérséklet 30 C fölé emelkedett. Az a) alatti kijelentést - a megszokással összhangban - pontosan akkor tekintjük igaznak, ha a két komponens mindegyike igaz. Az a) alatti kijelentés logikai értékét tehát a komponensek logikai értéke egyértelműen meghatározza. Az a) mondat tehát logikai művelettel összetett kijelentés. Vizsgáljuk meg a b) alatti kijelentést. Tegyük fel, hogy a benne szereplő két mondat igaz. Ebben az esetben a b) kijelentés lehet, hogy igaz, de nem szükségképpen. Lehet ugyanis, hogy Péter nem azért fürdött meg a Tiszában, MERT a hőmérséklet 30 C fölé emelkedett. Ebben az esetben tehát az összetett kijelentő mondat logikai értékét a benne szereplő kijelentések logikai értékei nem határozzák meg egyértelműen. 15
A továbbiakban - a kijelentések közötti műveletek értelmezése érdekében - elfogadjuk az ún. értékelési alapelvet: Kijelentések közötti műveletről csak abban az esetben beszélünk, ha a kapott összetett mondat is kijelentés, és annak logikai értékét a komponensek logikai értékei egyértelműen meghatározzák. Az értékelési elv elfogadása nélkülözhetetlen a matematikában, a természettudományban, sőt egyre inkább a humán tudományokban is. Kijelentések közötti műveletekkel és azok tulajdonságaival, valamint a kijelentések durvaszerkezetének formalizálásával foglalkozik a kijelentéslogika (más elnevezéssel az ítéletkalkulus). A kijelentések finomszerkezete, a predikátumok, az azokra vonatkozó műveletek, azok formalizálása pedig a predikátumlogika (predikátumkalkulus) tárgyát képezik.
II. fejezet KIJELENTÉSLOGIKA A kijelentések között - az értékelési alapelvet szem előtt tartva - néhány fontos és gyakran használt logikai műveletet értelmezünk, majd megvizsgáljuk ezek tulajdonságait, egymással való kapcsolatát. Ezt a következményfogalom bevezetése és néhány következtetési séma tárgyalása követi. Végül a kijelentéslogika és az áramkörök kapcsolatára mutatunk rá. 1. A negáció Bármely kijelentésből képezhetünk egy újabb kijelentést, mégpedig a következő definíció szerint: D e fin íció. Tetszőleges p kijelentés negációykn {tagadásiji) a (1) Nem p kijelentést, illetve ennek valamilyen átfogalmazott alakját értjük. Jele: (2 ) ^p. Példák 1. Az 5 prímszám kijelentés negációja: Nem teljesül, hogy 5 prímszám, ami így is mondható: Az 5 nem prímszám. 17
2. A 4 nem prímszám kijelentés negációja: Nem áll fenn, hogy a 4 nem prímszám. 3. Mindenki szereti a matematikát kijelentés negációja: Nem igaz, hogy mindenki szereti a matematikát, más szóval: Nem mindenki szereti a matematikát, még másképpen: Van, aki nem szereti a matematikát. Egy kijelentés negációja, amint látjuk, többféleképpen is megfogalmazható. Összetett kijelentések negációjának különböző alakú megfogalmazására a későbbiekben térünk vissza. A p kijelentés negációjának logikai értékét így definiáljuk: D efin íció. (3) hpl := { ha IpI = i, ha \p\ = h. (4) Ugyanez értéktáblázattal: P M egjegyzések 1. Mivel egy kijelentés negációjának logikai értékét a kijelentés logikai értéke egyértelműen meghatározza, a negáció egyváltozós logikai míivelet. 2. A negáció szót a fentiek szerint két értelemben használjuk, egyrészt jelenti a logikai míiveletet, másrészt e logikai míivelet eredményét. Az aritmetikában külön elnevezés van a míiveletre és az eredményre, pl. összeadásról, ill. összegről, szorzásról, ill. szorzatról beszélünk. 3. A negáció jelölésére a most bevezetett jel mellett a következők használatosak: ~V') ~ Pj ^P- Tekintsük most a p kijelentés kétszeres tagadását: 18
Ennek logikai értéke a negáció definíciója szerint: p ^p 1 ip i h i h i h A táblázat alapján nyilvánvaló, hogy p és -i-ip logikai értéke minden esetben megegyezik, azaz Ez a kettős negáció tétele. \p\ = h-'pl- T étel. Egy kijelentés kétszeres negációjának logikai értéke megegyezik magának a kijelentésnek a logikai értékével. Példák 10 osztható 5-teL Ennek negációja: 10 nem osztható 5-teL Ismételt negációval a következőt kapjuk: Nem teljesül, hogy 10 nem osztható 5-tel. Bár ez a kijelentés nem azonos a kiindulásul választott 10 osztható 5-tel kijelentéssel, de logikai értékük egyező. A kétszeres negáció szabálya alapján kapjuk a következőt: IpI = h^pl = = -ip = = l-i-i-i-i-ipl =... K övetk ezm én y. Egy kijelentés előtt álló n(> 1) számú negációjelből páros számú mindig elhagyható. 2. A konjunkció D e fin íció. Tetszőleges p, q kijelentések konjunkcióján értjük a p és q 19
kijelentést (ill. ennek valamilyen átfogalmazását). Jelölése: ( 1) paq, ahol p,q a. konjunkció tagjai. Példák 1. Pista barna hajú; Pista szemüveges. Ezeknek a kijelentéseknek a konjunkciója: Pista barna hajú és Pista szemüveges, vagy más megfogalmazásban: Pista barna hajú és szemüveges. 2. Az 5 prímszám. Szeged a Tisza partján fekszik. Ezek konjunkciója: Az 5 prímszám és Szeged a Tisza partján fekszik. A köznyelvi használattal megegyezően két kijelentés konjunkciója nem más, mint a két kijelentés együttes állítása, amely pontosan akkor igaz, ha a konjunkció mindkét tagja igaz. Ennek megfelelően két kijelentés konjunkciójának a logikai értékét a következőképpen definiáljuk: D efin íció. (2) \paq\ : = i, ha IpI = g = i, /i, más esetben. Ez a definíció értéktáblázattal: p q p A q i i i i h h h i h h h h Négyzetes táblázatba foglalva tömörebben: A i h i i h h h h 20
M egjegyzések 1. Az elmondott definícióból világos, hogy két kijelentés konjunkciójának logikai értékét a két tag logikai értéke egyértelműen meghatározza. Ezért a konjunkció kétváltozós logikai művelet. 2. A konjunkció elnevezést két értelemben használjuk, egyrészt a logikai művelet, másrészt a művelet eredményének a megnevezésére. A konjunkció szó latin eredetű, jelentése: összekapcsolás. 3. A konjunkció jelölésére használatosak az irodalomban a következő jelek: p-q, pq, pkq, Kpq. 4. A köznyelvben az ÉS kötőszó helyett állhat például DE, NOHA, BÁR, ÁM BÁR, MEG, VISZONT,... IS... IS stb. Ezek a kötőszavak a köznyelvben hangulatilag befolyásolják az összetett kijelentést, de logikai érték szempontjából nem. Például: Pista jól vizsgázott, bár nem tanult; Zsuzsa kék szemű, de barna hajú; A 10 osztható 2-vel is, 5-tel is. Az utóbbi példa azt is mutatja, hogy a köznyelvben a konjunkcióval képzett kijelentéseket tömörítjűk. is: Készítsük el paq értéktáblázata mellett a qap konjunkció értéktáblázatát p q p A q q A p i i i i i h h h h i h h h h h h Látható, hogy mindkettőnek rendre ugyanazok a logikai értékei, amiért azt mondjuk, hogy p A q logikailag ekvivalens q A p-vel, azaz (3) pag = gap. Ennek alapján mondhatjuk, hogy a konjunkció művelete kommutatív. Hasonlóan értéktáblázat alapján belátható, hogy (4) (pag)ar = pa(5ar), azaz (p A q) Ar logikailag ekvivalens p A {q A r)-rel. P 9 r (p A q) A r p A{qAr) i i i i i i i i i h i h h h i h i h h h h i h h h h h h h i i h h h i h i h h h h h h h i h h h h h h h h h h h 21
Ez pedig azt jelenti, hogy a konjunkció művelete asszociatív. kijelentés(változó) konjunkcióját un. rekurzív de Véges sok pi,p2, finícióval értelmezzük: a) Az egytagú konjunkció magát a kijelentés(változó)t jelenti; b) ha a pi Ap2 A...A pn-i konjunkciót már értelmeztük, ahol n > 2, akkor legyen Pl AP2 A... Apn (pi Ap2 A... A pn-l) Apn. Bizonyítható, hogy az asszociativitásból következik, hogy n {> 3) esetén az eredmény független a zárójelezéstöl. (Lásd pl. Algebra és számelmélet c. tankönyv.) A kommutatív és az asszociatív tulajdonság alapján belátható, hogy tetszőleges véges sok kijelentés(változó) konjunkciójának logikai értéke független a komponensek sorrendjétől és azok zárójelezésétöl, továbbá pontosan akkor igaz, ha mindegyik komponens igaz. Végül könnyen látható, hogy p A p logikailag ekvivalens p-vel, azaz (5) \p/\p\ = \p\- Ez a konjunkció idempotens (^azonos hatványú) tulajdonsága. Mindezek alapján igaz a következei T étel. A konjunkció kommutatív, asszociatív és idempotens. M egjegyzések 1. A konjunkció definíciója szerint \VA ~^p\ = h, ami a kétértékü logikában az ellentmondástalanság elvét tükrözi. 2. Megfigyelhettük, hogy a negáció és a konjunkció pontos értelmezését az értéktáblázattal adtuk meg. A tagadó-, illetve kötőszavak és a módosítószavak használatával egy kijelentés negációját, kijelentések konjunkcióját nyelvileg fejezzük ki, mégpedig stilárisan többféle változatban. Két kijelentésből a negáció és a konjunkció felhasználásával képezhetjük többek között a következő kijelentéseket: p A q -i(p A q) A ^q Mindkettő teljesül; Nem mindkettő teljesül; legalább az egyik nem teljesül; legfeljebb az egyik áll fenn; Sem p, sem q nem igaz; egyik sem teljesül; 22
i(-ip A ^q) ~'{P A ~'q) Nem igaz, hogy egyik sem teljesül; legalább egyik fennáll; Nem igaz, hogy p és nem g; p és nem q egyidejűleg nem teljesül; ha p, akkor q. 3. A diszjunkció D efin íció. A p vagy q kijelentést a p,q kijelentések diszjunkció^ámk nevezzük, amit p\/ q jelöl, s rajta a következőt értjük: ( 1) p y q := ^(^pa^q), azaz p és q közül legalább egyik teljesül, p, g a diszjunkció tagjai. A definíció alapján p V g logikai értéke: (2) \pvq\ = h, ha IpI = g = /i, i^egy éhként^ azaz p V g pontosan akkor igaz, ha legalább egy tagja igaz. Értéktáblázata: Négyzetes táblázatban: p Q p y q i i i i h i h i i h h h V i h i h i i i h Példák 1. Pista barna szemű vagy kék szemű. 2. A 4 prímszám vagy Szeged a Tisza partján fekszik. M egjegyzések 1. A diszjunkció (=szétválasztás) elnevezést is két értelemben használjuk: műveletre is, és a művelet eredményére is. 23
2. A vagy kötőszót itt ún. megengedő értelemben használjuk, mert helyettesíthetjük a kettő közül legalább egyik esetben körülírással. Az utóbbi időben a humán tudományokban ezt gyakran az és/vagy kifejezéssel helyettesítik, jelezve, hogy mindkét eset is megengedett. 3. A köznyelvben a vagy kötőszót többféle értelemben használjuk: (a) Az ah szorzat 0, ha a vagy h egyenlő 0-val. (b) Ilonka ma este 7-kor színházba vagy moziba megy. (c) A gyorsvonat legközelebb Kecskeméten vagy Nagykőrösön áll meg. Az (a)-ban megengedő vagy, a (b)-ben ún. kizáró vagy szerepel, mivel pontosan csak az egyik lehetséges, a (c)-ben pedig ún. összeférhetetlen vagy szerepel, hiszen adott esetben legfeljebb egyik állomás következhet. A matematikában a (b) és (c) esetet az (a)-tól megkülönböztetendö a vagy kötőszót többször alkalmazzuk. Pl.... vagy színházba, vagy moziba. 4. A diszjunkcióra használatosak még a következő jelölések: p q, Apq. 5. A konjunkcióhoz hasonlóan értelmezhetjük véges sok kijelentés diszjunkcióját ún. rekurzív definícióval. Értéktáblázatok segítségével igazolható a következő T étel. A diszjunkció kommutatív, asszociatív és idempotens, azaz (3) bvg = ^Vp, (4) \ipv q )y r\ = pv ( í V r), (5) \py p\ = \p\. A negáció, a konjunkció és a diszjunkció felhasználásával bizonyíthatók a következők. 1 A konjunkció, diszjunkcióra T e te i. A diszjunkció ^^^^orphv a konjunkcióra (6) ba(pv5) = Ip I, (7) bv(pag) = p. B izon y ítá s. Értéktáblázattal: p q pa(pvq) pv(paq) i i i i i i i h i i i h h i h i h h h h h h h h 24
T é te l (De Morgan-azonossság). Két kijelentés tagadása logikailag ekvivalens a két kijelentés tagadásának ^^Q^jl^^^ciój'ával (8) h(paí) = hpv (9) h(pv g) = hpa ^^). B izon yítás. A diszjunkció definíciójában p helyett -ip-t és q helyett -i^-t írva, s az oldalakat felcserélve, valamint a kettős negáció törvényét felhasználva adódik a következő: -i(pa^) = híjv ^q\. A diszjunkció tagadásából pedig adódik: h (p V g) = \^pa -^q\. (A bizonyítás értéktáblázattal is elvégezhető.) A köznyelvben a de Morgan-azonosságoknak megfelelően logikailag ekvivalensek az alábbi kifejezések: (a) Nem mindkettő; legalább egyik nem; egyik nem vagy másik nem; (b) Nem igaz legalább az egyik; nem igaz, hogy egyik vagy másik; sem egyik, sem másik. Példa Nem igaz, hogy 74 osztható 2-vel és 3-mal; 74 nem osztható 2-vel vagy nem osztható 3-mal; 74 nem osztható 2 és 3 közül legalább egyikkel. 1 ^ konjunkció ^ diszjunkcióra T etei. A disztnbutív a konjunkcióra (10) pa(^vr) = (pag)v(par), (11) pv(gar) = (pv^)a(pvr). 25
Bizonyítás. Értéktáblázattal: p 9 r p A(q\/ r) {p Aq)\/ {p A r) p\/ {q A r) (p V g) A (p V r) i i i i i i i i i i i i i i i h\ i i i i h i h i i i i h i i i h i i i h i i i i h h h h h h h i h i i i h i i h i h h h i i i i i h i h h i h h h h h i h h h h i h i h h h h h h h i h h h h h h h h h h h h h A de Morgan-féle azonosságból a kettős negáció alapján belátható a következő összefüggés: ( 12) IpA^I = ^g), ami azt jelenti, hogy a konjunkció kifejezhető a negáció és a diszjunkció segítségével* A diszjunkció definíciója pedig éppen azt mondja, hogy a diszjunkció kifejezhető a negáció és a konjunkció segítségével. 4. Az implikáció D efin íció. A p, g tetszőleges kijelentések implikációján^ amit p a következőt értjük: q jelöl, ( 1) p^q-.= ^{pa^q). Ezt így olvassuk: p implikálja q-t. p az implikáció előtagja^ q az implikáció utótagja. A p q kijelentést a logikában a következő módon is szokás mondani: Ha p, akkor q. Ez nincs teljesen összhangban a köznapi nyelvvel. A Ha p, akkor alakú összetett kijelentéseket ugyan mindig ábrázolhatjuk p > q implikációval, azonban a p g szerkezetű kijelentéseket nem mindig szokás Ha p, akkor 26
alakú mondatként fogalmazni. Például az 5 prímszám > Shakespeare francia implikáció szokatlanul hangzik Ha az 5 prímszám, akkor Shakespeare francia alakban. Jobban elfogadjuk ehelyett a következő megfogalmazást: Nem igaz, hogy az 5 prímszám és Shakespeare nem francia. Az implikáció értéktáblázata: p Q p ^ q i i i i h h h i i h h i Négyzetes táblázattal: -> i h i i h h i i Az implikáció értéktáblázata összhangban van a köznyelv használatával, amit az alábbi példa is illusztrál. Egy hallgató a következőt ígéri társának: Ha az előadás pontosan fejeződik be, akkor 12-kor a Dóm téren leszek. Az ígéretét csak abban az esetben nem tartja be, ha az előtag igaz, az utótag pedig hamis. M egjegyzések 1. Az implikáció tehát kijelentéslogikai művelet, ami azt jelenti, hogy bármely két kijelentésből készíthető implikációval egy újabb kijelentés. 2. Az implikáció (=összefonódás) műveletet szokás kondicionálisnak (=feltételes) is nevezni. Használatosak a következő jelölések is: p D q, Cpq. Értéktáblázat alapján igazolható a következő állítás: T étel. Az implikáció nem kommutatív, nem asszociatív és nem idempotens művelet. D efin íció. A p q implikáció megfordításának nevezzük d. q p implikációt, kontrapozíciójávidk pedig a -ig > -ip implikációt. Érvényes a következő tétel. T é te l. A z implikáció logikailag ekvivalens a kontrapozíciójával, azaz \p^q\ = \^q ^p\. 27
Bizonyítás. Értéktáblázattal: p p -^ q ^q -> -ip i i i h i h i h h i h h h i i h i i h h i i i i K övetk ezm én y. Az implikáció megfordítása logikailag ekvivalens a megfordítás kontrapozíciójával (a kontrapozíció megfordításával), azaz \q-^p\ = h p -^ -'^l- Példa Logikailag ekvivalensek a következő kijelentések: Ha esik az eső, akkor felhő van az égen. Ha nincs felhő az égen, akkor nem esik az eső. Tekintsük most a következő implikációt: Ha ember él egy bolygón, akkor ott van levegő. Ez másképpen azt jelenti, hogy A p Csak akkor él ember egy bolygón, ha ott van levegő. q implikáció a következőképpen is olvasható: Ha p, akkor q (másképpen: p elégséges q fennállásához). Csak akkor p, ha q (másképpen: q nélkül p nem teljesül, azaz q szükséges p teljesüléséhez). Azt, hogy adott esetben melyik megfogalmazást használjuk, a tárgyalt probléma határozza meg. Pl. a geometriában azt vizsgálhatjuk, hogy az alakzatok egybevágóságához mely kijelentés teljesülése elégséges, ill. szükséges. Az egyenletek esetében beszélhetünk a megoldhatóság szükséges, ill. elégséges feltételeiről. A sorozatok konvergenciavizsgálatánál is keressük a konvergencia szükséges, ill. elégséges feltételeit. Az oszthatóság esetében is beszélhetünk szükséges, ill. elégséges feltételekről. 5. Az ekvivalencia D efin íció. A p, g kijelentések ekvivalenciáján^ amit p ^ q jelöl, a következőt értjük: ( 1) q : = ( p -, q) p ). 28
Ezt így olvassuk: p ekvivalens g-val. Értéktáblázata: p q p ^ q i i i i h h h i h h h i i h i h i h h i A köznyelvben két kijelentés ekvivalenciája ritkán fordul elő, de a szaktudományokban, így elsősorban a matematikában gyakori. Az ekvivalencia az implikációnál elmondottak szerint alkalmas a következő alakú kijelentések kifejezésére: (2 ) Ha p, akkor q és ha g, akkor p. Ha ebben a konjunkcióban az első tagot az implikációnál említett formában fogalmazzuk meg: (3) Csak akkor p, ha q (azaz q szükséges p teljesüléséhez), a második tagot pedig így: (4) Akkor p, ha q (azaz q elégséges p teljesüléséhez), akkor (3)-nak és (4)-nek az összevonásával (2) így fogalmazható: (2') Akkor és csak akkor p, ha q (azaz q elégséges és szükséges p teljesüléséhez). A konjunkció kommutativitása miatt ( 2) így is mondható: (2") Akkor és csak akkor ha p (azaz p elégséges és szükséges q fennállásához). Az, hogy (2'), ill. (2") közül adott esetben melyiket használjuk, azon múlik, hogy p, q közül melyik kijelentés az alapvetően fontos az adott vizsgálatnál. Pl. az egyenleteknél a megoldhatóság, a sorozatoknál a konvergencia, a síkbeli alakzatoknál az egybevágóság ilyen alapvető probléma. 29
Értéktáblázat segítségével könnyen bizonyítható a következő T é te l. A z ekvivalencia kommutatív, asszociatív, azaz \ p^ = p\, Kp ^ r = p ^ (g ^ r). Végül megemlítjük, hogy az ekvivalencia tagadása a következőkkel egyenértékű logikailag, s ez értéktáblázattal ellenőrizhető: h(p ^ í)l = hp '^q\ = \p^ ^q\- 6. A kijelentéslogika műveleteiről Megállapodtunk, hogy a kijelentéslogikában csak olyan műveletekkel foglalkozunk, amelyeknél az eredmény logikai értékét a komponensek logikai értékei egyértelműen meghatározzák. Attól függően, hogy hány komponens szerepel a műveletben, beszélünk egy-, két-, három- stb. változós (kijelentéslogikai) műveletről. Az eddigiekben a kijelentéslogika következő műveleteivel ismerkedtünk meg: Egyváltozós művelet: negáció, konjunkció, diszjunkció. Kétváltozós művelet: konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia. Három- vagy többváltozós műveletek: konjunkció, diszjunkció. A kijelentéslogika n-változós (n > 1) műveleteiről pontos képet alkothatunk az értéktáblázatok vizsgálatával. Először azt állapíthatjuk meg, hogy egy n-változós művelet értéktáblázata 2" sorból áll. Ennyi ugyanis az i, h elemekből képzett n tagú ismétléses variációk száma. Egy n-változós kijelentéslogikai műveletet pedig úgy adunk meg, hogy 2 számú sor mindegyikébe beírjuk az i,h elemek egyikét, azaz az i,h elemekből 2" tagú sorozatokat (variációkat) képezünk. Az n-változós kijelentéslogikai műveletek száma tehát 2(^"\ A lehetséges egyváltozós műveletek száma tehát 4, s ezek a következők: p (A) (B) ic) (D) i i i h h h i h i h 30
Az {A ) a p logikai értékétől függetlenül igaz, hasonlóan a (D) hamis. A (B) az egytagú konjunkció (diszjunkció), a (C) pedig a negáció. A kétváltozós műveletek száma 16, s ezek a következők: P (1) (2) (3) (4) (5) (6 ) (7) (8 ) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) i i i i h i i i h h h i h h h h i i i h i i h h i i h h i h h h i i h i i h i h i h i h h i h h i h i i i h h i h i i h h h i h Az eddigiek alapján mindegyik kétváltozós műveletet ismert művelettel ki tudjuk fejezni, mégpedig a következő módon: (1) pv ~^p (9) -.(p ^ 9) (2) pvq (10) (3) q ^ p (11) ^p (4) p-^q (12) paq (5) -(P A q) (13) -.{p^ g) (6) P (14) p) (7) q (15) A - (8) p ^ q (16) p A -rp Az eddig megismert kétváltozós műveletek mellett szokás az (5) alatti műveletet Sheffer-féle műveletnek nevezni, amelynek a jele:, tehát p\q := ->(p A g) (igaz, ha legfeljebb egyik igaz (összeférhetetlen vagy )), továbbá a (9) alattit Zsegalkin-féle műveletnek hívják, jele :V, tehát p\y q := ->(p ^ q) (igaz, ha pontosan egyik igaz (kizáró vagy)), valamint a (15) alatti műveletet Webb-féle (vagy 5em-5em ) műveletnek nevezik, jele :, tehát p I q := -'P A ->q (igaz, ha sem egyik, sem másik nem igaz). Azt is megállapíthatjuk, hogy az eddig bevezetett műveletek közül a diszjunkciót és az implikációt a negáció és a konjunkció segítségével definiáltuk, az ekvivalencia pedig az implikáció révén szintén kifejezhető negáció és konjunkció segítségével. Mindezek alapján tehát a kétváltozós kijelentéslogikai műveleteket csupán negáció és konjunkció segítségével ki tudjuk fejezni. 31
Hasonló igaz a negációra és a diszjunkcióra, mivel a konjunkciót kifejezhetjük negáció és diszjunkció segítségével. Példa \ p ^ q\ = \^{p A -.g ) A A q)\, \ p ^ g \ = h h ( - ^ P V g ) V -. ( p V -ig )). Többváltozós kijelentéslogikai műveletekre igaz a következő T é te l. Minden n(> 1) változás kijelentéslogikai művelet kifejezhető negáció és konjunkció (diszjunkció) segítségével B izon yítás. A bizonyítás gondolatmenetét egy háromváltozós művelet példáján mutatjuk be. Legyen az adott háromváltozós művelet értéktáblázata a következő: p q r? i i i h i i h i i h i h i h h h h i i h h i h i h h i h h h h h Megnézzük azokat a sorokat, amelyekben a művelet eredménye i. Minden egyes ilyen sorhoz képezzük az igaz komponensek és a hamis komponensek negációinak a konjunkcióját, majd az így kapott konjunkciók diszjunkcióját. Ez a diszjunkció fejezi ki a kérdéses műveletet. A de Morgan-törvények szerint a diszjunkciók (konjunkciók) kifejezhetök konjunkcióval (diszjunkcióval), s így elérjük, hogy csak negáció és konjunkció, illetve csak negáció és diszjunkció szerepel. A most tekintett példában tehát a következőt kell felírnunk: (17) {paq A ->r) V (->p Aq A ->r), s ebből kapjuk a következőt: (18) A q A -ir) A Aq A - r)], illetve (19) -n(^p V -1^ V r) V ~^(p V -^qv r). 32
A tekintett háromváltozós műveletet tehát a (17)-tel fejezhetjük ki, illetve az ezzel egyenértékű (18) és (19) valamelyikével. 7. Kijelentéslogikai formulák Még az I. 3.-ban megismerkedtünk az atomi kijelentés fogalmával. Ezekből a kijelentéslogika műveleteivel, többek között a negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció és ekvivalencia segítségével összetett kijelentéseket alkothatunk. A kijelentéslogika műveleteivel természetesen tetszőleges kijelentésekből további összetett kijelentések képezhetők. Egy kijelentés kijelentéslogikai szerkezetén (durvaszerkezetén) annak ábrázolását értjük, hogy a kijelentés milyen más kijelentésekből és milyen kijelentéslogikai műveletek segítségévelírható fel. Példák 1. Ha 728 osztható 7-tel és 13-mal, akkor osztható 91-gyel. Legyenek az itt szereplő komponensek a következő atomi kijelentések: 728 osztható 7-tel, =728 osztható 13-mal, =728 osztható 91-gyel. Az 1. kijelentés kijelentéslogikai szerkezete a következő: (p A q) ^ r. 2. Ha ABC egy háromszög és A < B akkor BC < AC. Legyenek a komponensek a következők: = ABC egy háromszög, = ^ < B 4, = BC < AC, a 2. kijelentés szerkezete: (pag) 3. Ha ABC egy háromszög, akkor A <^ < B teljesülésekor BC < AC is teljesül Ezt át lehet így is fogalmazni: Ha ABC egy háromszög, akkor ha. A ^ B <}, akkor BC < AC. Ennélfogva a 3. kijelentéslogikai szerkezete: P -* (g r). 33
Bonyolultabb kijelentéseknél célszerű - a szükséges átfogalmazások után - fokozatosan feltárni a kijelentés szerkezetét. Például: 4. Feltéve, hogy az FTC vagy a Szeged vereséget szenved, és a Kispest győz, a Újpest elveszti az első helyét, én pedig nem nyerek a totón. Itt első lépésként egy implikációról van szó: (Az FTC vagy a Szeged vereséget szenved, és a Kispest győz) > ) (Az Újpest elveszti első helyét, én pedig nem nyerek a totón). Ezután az implikáció tagjait elemezzük: (((A z FTC vereséget szenved) V ( a Szeged vereséget szenved)) A A (a Kispest győz)) > > ((az Újpest elveszti az első helyét) A -i (nyerek a totón)). Az itt szereplő kijelentések kijelentéslogikai műveletek segítségével tovább nem bonthatók. A példában szereplő felbontatlan kijelentések jelölésére a következő betűket használjuk: p := Az FTC vereséget szenved. q := A Szeged vereséget szenved. r := A Kispest győz. s := Az Újpest elveszti az első helyét. t := Nyerek a totón. A 4. kijelentéslogikai szerkezete tehát a következő: {{p V g) A r) ^ (s A M). 5. Amennyiben Kiss vagy Nagy tanár úr elutazik, a történelem helyett akkor csak akkor lesz fizika, ha a fizika-előadó szabad és Joó tanár úrnak nincs órája. A kijelentés elemzését itt is lépésenként végrehajtva, a következőt kapjuk: ((Kiss tanár úr elutazik) V (Nagy tanár úr elutazik)) > > ((történelem helyett fizika lesz) ((a fizika-előadó szabad) A~i (Joó tanár úrnak órája van))). Ha a legbelső zárójelekben szereplő kijelentéseket rendre p, g, r, s, t jelöli, akkor ezekkel így írhatjuk fel az 5. mondat kijelentéslogikai (külső) szerkezetét: (pvq) -^{r ^ (sa^t)). Ha egy kijelentést kijelentéslogikai műveletekkel tovább már nem tudunk bontani, vagy ha egy kijelentés szerkezetét az elemzéshez nem szükséges tovább feltárni, akkor ezt a kijelentést a szóban forgó elemzésben felbontatlanmk nevezzük. Az atomi kijelentések felbontatlanok, de egy elemzésben egy felbontatlan kijelentés nem szükségképpen atomi. 34 Példa 6. Pista szőke és kék szemű, de Bertának nem tetszenek a szőke és kék szem fiúk, bár Pista csinos.
Ebben a kijelentésben a Pista szőke és kék szemű kijelentést nem írjuk fel konjunkcióként, tehát ennek a kijelentésnek az elemzésekor szorítkozhatunk a kővetkező kijelentésekre; p :=Pista szőke és kék szemíi. q ;=Bertának tetszenek a szőke és kék szemű fiúk. r :=Pista csinos. Ezek felhasználásával a tekintett 6. kijelentés kijelentéslogikai szerkezete: ahol p, q felbontatlan kijelentések. p A -ig A r, Az eddigiekből kitűnik, hogy egy kijelentés kijelentéslogikai szerkezetének leírására a következő szimbólumok (jelek) használatosak: D efin íció. A kijelentéslogika szimbólumai a következők: a) a kijelentésváltozók jelei: p, g,... b) logikai műveletek jelei: -i,a,v, (Ezeket kapcsolóknak (junktoroknak) is nevezik.) c) segédjelek: zárójelpárok (, ). (Ezek a műveletek hatáskörét, sorrendjét és az egyértelműségét biztosítják.) Az itt felsorolt szimbólumokból az alábbi definíció szerint készíthetünk formulákat: D e fin íció. A kijelentéslogika formulái a következő jelsorozatok: 1. a kijelentésváltozók jelei; 2. ha A^B kijelentéslogikai formulák, akkor (-A), {A AB), (AV5), (A ^ B ) szintén kijelentéslogikai formulák; 3. minden kijelentéslogikai formula előáll véges lépésben az 1., 2. alakú formulákból. M egjegyzések 1. A 2.-ben a külső zárójelpárok akkor lényegesek, ha ezek a formulák nagyobb formulák részeiként szerepelnek. Befejezett formulák esetében a külső zárójelpárok elhagyhatók. 2. Ha a műveletek között megállapodnánk valamilyen elsőbbségi sorrendben, akkor bizonyos esetekben a zárójelpárok elhagyhatók lennének. Ezt azonban ebben a jegyzetben mellőzzük. Példák 1. Kijelentéslogikai formulák a kővetkezők: {{P V ->q) V r) > (s A - 15), 35
(p A g) ^ {{g A -ig) ^ (r A?)), ((P ^ 9) A -.(r ^ s)) V (p w (r A -.s )). 2. Nem formulák a következők: ^ A (g ^ Ar), {pq (r A p-ig). kijelentés Ha azt is jelölni akarjuk, hogy egy A formulát a pi,p2, változókból képeztünk, akkor A helyett A{pi,p2,...,Pn)-et írunk. D efin íció. Az A (kijelentéslogikai) formulának a B formula részformulája^ ha B előáll, miközben A-t a fenti szabályok szerint képezzük. Példa A ((-.(p A g) r) A p) ^ (r ^ (-.5 V g)) formulának a formulák részformulái, de a -.(p Ag) ^ r, -.s V g q ^ r A p, s \/q nem részformulái. D efiníció. Ha egy A formulában valamely p kijelentésváltozó, ill. B részformulája helyére egy C formulát írunk, akkor helyettesüésml beszélünk, s ezt így jelöljük: A(c/p), m. A{C!B). Példák Az A = ((p ^g )A {p A -.?)) ^ -.p formulában a g kijelentésváltozó helyére írjuk a C = (r V 5) > í formulát, ekkor a következő formulát kapjuk: ^ ( C / 9) = ((p ((r V s) ^ í) A (p A -.((r V s) ^ í)) ^ -ip. Ha pedig az A formulának B = p helyettesítjük, akkor kapjuk az q részformuláját a C = -ip V g formulával A{C/B) - ((-.p V g) A (p A -.g)) ^ -.p formulát. 36
8. Kijelentéslogikai formulák interpretációja Legyen adott egy kijelentéslogikai formula. Ha a formulában szereplő kijelentésváltozókat kijelentésekkel helyettesítjük, mégpedig egy formulában az azonos kijelentésváltozók helyére mindig ugyanazt a kijelentést, de különböző kijelentésváltozók helyére nem szükségképpen különböző kijelentéseket írunk, akkor a formula köznyelvi interpretációjáról beszélhetünk. Példa A {{p V g) A r) > (5 A -lí) Egy kijelentéslogikai formulának tetszőlegesen sok köznyelvi interpretációja van. formula köznyelvi interpretációját adják az alábbi kijelentések: - Ha magyarból vagy matematikából felelek és felkészültem, akkor jelesre felelek és nem félek. - Feltéve, hogy júniusban Bulgáriába vagy Romániába utazunk és jó idő lesz, lemegyünk a Fekete-tengerre, de nem ülünk hajóra. A formula logikai értékének a meghatározásához a formulában szereplő felbontatlan kijelentések logikai értékére van szükség, s nem a köznyelvi interpretációban felvett kijelentésekre. Az interpretáció pontosabb értelmezése a következő: D e fin íció. Egy kijelentéslogikai formula egy interpretációján a formulában szereplő kijelentésváltozók logikai értékének a megadását értjük. ((P V g) A r ) -> (5 A ->/) formula egy interpretációja a következő logikai értékek megadása: \p\ = gl = h, r = h, s = i, í = i. Tetszőleges A = A(pi,p2,?Pn) > 1) formula \A\ logikai értékét a pi, 1^2!5 5 \Pn\ logikai értékek egyértelműen meghatározzák. A formula összes interpretációjának felírása 2^^ sorú értéktáblázat megadásával lehetséges, mivel a pi, p2, kijelentésváltozóknak 2^-féleképpen adhatunk logikai értéket. 37
Példa (p ^ {qv r)) A {^{p ^ -.r)). p Q r V (? V r ) A -(P - r ) i i i i i i i h h i i i i h h i i i h i i i i i h h i h h h h h i i h i i i i h h i h h i i i i i h i h h i i i h h i h h h h i h i i h i A lépések 2 1 4 3 2 1 sorszáma Most néhány, a későbbiekben többször használatos fogalmat vezetünk be. D efin íció. Egy A (kijelentéslogikai) formulát kielégíthetőnek, (kielégíthetetlennek^ kontradikción'ák^ azonosan hamisnak) nevezünk, ha van (nincs) olyan intepretációja, amely esetén A = i. D efin íció. Egy A (kijelentéslogikai) formulát tautológiáik {érvényesnek^ azonosan igazndk) nevezünk, ha minden interpretációjánál igaz. Jelölése: i=a D e fin íció. Az A formulát a B formulával logikailag ekvivalensnek {egyenértékűnek) nevezzük, ha a bennük szereplő összes kijelentésváltozó minden interpretációjára A logikai értéke megegyezik B logikai értékével, s ezt így jelöljük: Érvényes a következő \A\ = \B\, vagy A = 5. T étel. A = B akkor és csak akkor, ha = A ^ jb. B izon yítás. Tegyük fel először, hogy A = \B\. Ez azt jelenti, hogy A logikai értéke bármelyik interpretációnál megegyezik B logikai értékével. Ennélfogva az A ^ 5 ekvivalencia logikai értéke mindig igaz, azaz = A ^ 5. Megfordítva, ha A ^ jb érvényes, akkor A logikai értéke bármely interpretációjánál megegyezik B logikai értékével. Ennélfogva A és B egyenértékű formulák, azaz A = \B\. Ezzel a tételt bizonyítottuk. A későbbiek szempontjából fontos a következő tétel. 38
T é te l. (1) Ha egy tautológia egy kijelentésváltozóját tetszőleges formulával helyettesítjük, akkor szintén tautológiát kapunk, azaz ha \= A, akkor N MC/p). (2) Ha egy tautológia részformuláját vele logikailag ekvivalens formuláva helyettesítjük, akkor szintén tautológiát kapunk, azaz ha = A, és B az A-nak részformulája, továbbá \B\ = \C\, akkor = A{C/B). B izon yítás. Az (1) tétel a következőképpen látható be. Az A tautológia lévén bárhogyan is választjuk meg p logikai értékét, A mindig igaz. Ennélfogva p helyére bármilyen C formulát is írunk, a kapott formula bármilyen interpretáció esetén igaz, tehát = A{Cjp). A (2) tétel bizonyítása hasonló. Az A formula tautológia, azaz bármely interpretációja igaz, ezért egy részformuláját logikailag ekvivalens formulával helyettesítve is, a kapott A{C/B) formula bármely interpretációja igaz, azaz N a {C!b ). A fenti tételek következménye: K övetkezm én y. Ha két formula logikailag ekvivalens, akkor a formulában szereplő kijelentésváltozókat tetszőleges formulákkal helyettesítve ismét logikailag ekvivalens formulákhoz jutunk. E tételek segítségével egyszerűbb tautológiákból bonyolultabbakat készíthetünk, s fordítva, bonyolultabbakat egyszerűsíthetünk. 9. Kijelentéslogikai egyenértékű formulák Az algebrai kifejezésekkel (formulákkal) való számoláshoz alapvetően szükségünk van az azonosságokra s a velük való bánásmódra. Hasonlóan a kijelentéslogikában is a műveletekkel és a formulákkal való számolás -hoz szükséges ismernünk a legfontosabb tautológiákat. Előbb felsoroljuk a kijelentéslogikában az előzőekben megismert és gyakran használt egyenértékű formulapárokat (azonosan igaz ekvivalenciákat): ^ p, 2. (paq) ^ {q Ap), 2.' {pw q) ^ (qv p), 3. {{p A q) A r) ^ {p A {q A r)), 3.' {{p V ) V r) ^ (p V V r)), 4. (pap) ^ p, 4.' {pv p) ^ p, 5. (p A (g V r)) ^ {{p Aq)\f {p A r)), 5/ (p V (g A r)) ^ {{p V g) A (p V r)), 6. (pa ipv q)) ^ p, 6/ (i? V (p A q)) ^ p, 7. ->{p A q) ^ {-'p V -iq), 7/ ~'{p V g) <-> (-ip A -ig). 39
Észrevesszük, hogy az 1. ekvivalencia kivételével a többi párosával jelentkezik, mégpedig az egy sorban álló ekvivalenciák egymástól a A, V műveleti jelek felcserélésében különböznek. Ezért az egy sorban levő formulapárokat egymás duálisának nevezzük. További fontos tautológiák: 8. ( p ^ q ) ^ q), 9. { p ^ { q ^ r ) ) ^ ((p A q )^ r), 10. ( p ^ q) - (pa -'q), 11. (p-^q) ^ (^q ^p), 12. (p^ q) ^ ((p -^q)a (q^ p)), 13. ( p ^ q) ^ (q ^P), 14. ((p ^ q) r) (p ^ (q r)). Néhány gyakrabban használt, implikációval kapcsolatos tautológia: 15. p ^ {q -^ p), 16. q), 17. {p ^p) -p, 18. {pa^p) q, 19. {{p -^q)a {q^ r)) -> (p r), 20. {pa{p^ q)) q, 21. {{p -^q)a -^q) ^p, 22. {{p ^ r) A (g ^ r)) {{p V g) -> r), 23. {{p > r) A (-ip -> r)) > r, 24. {{{p -> (g A r)) A (-.g V -.r)) ^ ^p, 25. (-ig A -T A (p -> (g V r))) -> -.p, 26. {{p ^ q)a {p^ -.?)) -> -.p. A (8) (26) tautológiák egyszerűen bizonyíthatók az implikáció, ill. ekvivalencia definíciója és az értéktáblázatok alapján. az 10. A kijelentéslogika következményfogalma A logika egyik legfontosabb kérdésköre a következményfogalom tisztázása, valamint a helyes következtetési szabályok megállapítása. A következményfogalmat is két részben tárgyaljuk, amint a kijelentések szerkezetét is két részre tagolva, a kijelentések kijelentéslogikai (ún. külső vagy durva-), iuetve predikátumlogikai (ún. belső vagy finom-) szerkezetére vonatkozóan vizsgáltuk. 40
Előbb a kijelentéslogika következményfogalmát tárgyaljuk, ami speciális esete lesz egy általánosabb (a predikátumlogikában értelmezett) következményfogalomnak. Ezért előfordul, hogy egy kijelentés a józan ész szerint logikailag következménye más kijelentéseknek, de a kijelentéslogika következményfogalma szerint nem az, ugyanis a kijelentéslogika következményfogalma csupán a kijelentések külső szerkezetét, s nem azok belső szerkezetét veszi figyelembe. Most a kijelentéslogika következményfogalmát definiáljuk, mégpedig előbb a formulákra definiáljuk a következményfogalmat, s majd azután térünk rá a kijelentésekre. A formulákra vonatkozóan a következményfogalmat az alábbi módon értelmezzük: D efin íció. Legyenek A i, A 2,..., {n > 0), B kijelentéslogikai formulák. Az ezekben előforduló kijelentésváltozókat jelölje pi,p2, Akkor mondjuk, hogy a B formula következménye (a kijelentéslogika értelmében) az A i, A 2,..., An formuláknak, ha a,p 2, változók minden olyan interpretációja, amely az A i, A 2,..., A^ mindegyikét igazzá teszi, a B formulát is igazzá teszi. Jelölése: (1) Ai,A2,...,An'F B, vagy vagy An B Az Ál, A2,..., An-et premisszáknak (feltételeknek), B-t pedig konklúziónak (zárótételnek), az (l)-e t következtetési sémának szokás nevezni. M egjegyzés 1. A kijelentéslogika következményfogalmával ekvivalensek az alábbi megfogalmazások is: a) A B formula következménye az A i, A 2,..., formuláknak, ha elkészítve az Ai^A2,...^An és B közös értéktáblázatát, B legalább azokban az esetekben igaz, amelyekben az A i,á 2,...,An mindegyike igaz. h) Az (1) helyes következtetési séma, ha nincsen olyan interpretáció, amelyre l^il = 1^2! =.. = l^nl = 2, és Ugyanakkor \B\ = h. 2. Az n = 0 eset azt jelenti, hogy B tautológia, azaz = B. Ezért használatos a következményre a = jel. A következményfogalom és a konjunkció definíciója alapján nyilvánvaló a következő tétel: T é te l. A z alábbi állítások ekvivalensek, ha n > 1: a) Ai,A2,...,An 1= B, b) A\ /\A 2 h... A An\= B, azaz a premisszák helyett tekinthetjük azok konjunkcióját. A i 41