meg tudjuk mondani, hogy mennyit ér ez a futamidő elején. Az évi 1% különbségeket jelenértékre átszámolva ez kb. 7.4% veszteség, a kötvényünk ára 92,64 lesz. Látható, hogy a hosszabb futamidejű kötvényre a piaci hozam változása nagyobb hatással van. Tehát a kötvény kamatkockázata függ a futamidőtől. Azt is láttuk, hogy a változás mértékét úgy kaptuk meg, hogy diszkontáltuk a jövőbeli veszteségeket. Azaz, minden egyes kamatfizetésen elszenvedett veszteségből jelenértéket számolunk. Minél távolabb van egy kamatfizetés, annál kisebb lesz azon a kamatfizetésen elszenvedett veszteség jelenértéke, a diszkontálásból fakadóan. Tehát a kamatkockázat függ attól is, hogy időközben vannak-e kamatfizetések, és ha vannak, ezek mikor történnek. A hátralévő átlagos futamidőt egy olyan mutató, amely számításba veszi egy kötvény összes kamat és tőkefizetését, azok jelenértékén, tehát attól függően, hogy mikor történnek. Ez a hátralévő átlagos futamidő lesz az átlagidő (duration). Ahogy a fenti példában láttuk ez kifejezi egy kötvény kamatkockázatát is, azaz, hogy egy kötvény árfolyama mennyire érzékeny az elvárt piaci hozam változására. A következőkben a fix kamatot fizető kötvények átlagidejéről lesz szó. Átlagidő (Duration) Definíciószerűen az átlagidő a kötvény hátralévő pénzáramlásainak, a pénzáramlás jelenértékével súlyozott átlagos futamideje. A duration képlete: D duration, átlagidő adott kifizetésig hátralévő idő adott kifizetés jelenértéke az összes jövőbeli kifizetés jelenértéke, tehát a kötvény ára Próbáljuk meg értelmezni, mielőtt megnézünk egy példát! Ez nem más, mint egy súlyozott átlagszámítás. Az egyes pénzáramlások hátralévő futamidejét vesszük () és ezt megszorozzuk az adott pénzáramlás jelenértékével. Az összes ilyen szorzatot összeadjuk. És ezt elosztjuk a teljes jelenértékkel. Átrendezve az egyenletet: A pénzáramlásig hátralévő futamidőket súlyozzuk, azaz megszorozzuk a pénzáramlás jelenértékének a teljes jelenértékben képviselt súlyával. Majd összeadjuk ezeket. Példa: 4 éves lejáratú kötvény, évente fizet 5% kamatot, névértéke 100, a hozam 3% minden lejáratra. 130
A képletből: t pénzáramlás PV t*pv Kötvény érzékenysége a hozamváltozásra 1 5 4,8544 4,8544 2 5 4,7130 9,4260 3 5 4,5757 13,7271 4 105 93,2911 373,1646 Össz: 107,4342 401,1721 Átlagidő: 401,1721/107,4342 3,7341 401,1721 107,4342 A kötvény átlagideje 3,73 év. A futamideje pedig 4 év volt. Leegyszerűsítve, a kötvény annál kockázatosabb, érzékenyebb a kamatkörnyezet változására, minél nagyobb a durationje. A duration pedig egy átlagos futamidő, ahol az egyes pénzáramlások jelenértékét súlyozzuk. Ezt segít szemléltetni következő ábra: Egy zero kupon kötvény durationje egyenlő a futamidejével, mert csak a futamidő végén van pénzáramlás. 131
Ez az átlagidő koncepció Frederick Macaulay kanadai közgazdász nevéhez köthető, ezért Macaulay Duration néven ismert. Viszonylag egyszerű és ezért kissé pontatlan becslése ez egy kötvény kockázatának. Előnye, hogy megértésével, és a Macaulay Durationt befolyásoló egyes tényezők megismerésével, ezen az egyszerűbb módszeren keresztül is átlátható hogyan függ a kötvény átlagideje az input tényezőktől (kamat, hozam, futamidő). Ezek az összefüggések a többi, bonyolultabb duration számítás esetén is igazak lesznek. A Macaulay Durationt befolyásoló tényezők: Futamidő: A hosszabb futamidejű, ugyanolyan paraméterekkel rendelkező kötvény átlagideje több, kamatkockázata nagyobb, mint ahogy azt láttuk is korábban. Kamatfizetés gyakorisága és a kamat: szintje: Minél alacsonyabb a kamat, annál nagyobb a duration. Az azonos futamidejű kötvények közül a zero kupon kötvény durationje a legnagyobb, mert nem fizet kamatot, csak futamidő végén egy összegben a tőkét. Minél nagyobb a kamat szintje, annál nagyobbak lesznek a kamatfizetést ábrázoló zsákok a korábbi ábrán, és annál nagyobb súlyt képviselnek a kamatok jelenértékei az egészben. Minél több kamatfizetés előzi meg a lejáratot, annál rövidebb lesz a duration. Egy félévente kamatot fizető kötvény átlagideje rövidebb, mint egy ugyanolyan lejáratú kötvényé, amely csak évente fizet kamatot. Hozam (Yield to Maturity): Minél nagyobb az elvárt hozamunk, annál kisebb lesz a duration. Ez azért van, mert a diszkontálás miatt, a használt hozam növelésével a távolabbi pénzáramlások jelenértéke jobban csökken, mint a közelebbié. Tehát a futamidő végi tőkefizetés jelenértéke a hozam növekedésével jobban lecsökken, míg az időben közelebb lévő kamatfizetések jelenértéke csak kicsivel lesz kisebb. 1 év múlva esedékes 100 Ft diszkotálva 5% kötvényhozammal: 95,24 Ft 1 év múlva esedékes 100 Ft diszkotálva 10% kötvényhozammal: 90,91 Ft A jelenérték 4,5%-ot csökkent. 5 év múlva esedékes 100 Ft diszkontálva 5% hozammal: 78,35 Ft 5 év múlva esedékes 100 Ft diszkontálva 10% hozammal: 62,09 Ft A jelenérték 20,7%-ot csökkent. Látható, hogy a távolabbi cashflow jelenértéke a hozam növelésével sokkal jobban csökken, tehát a súlya a teljes jelenértékben is csökken. Így a magasabb hozam mellett a duration alacsonyabb lesz. A Macaulay Duration képlet alkalmazása során használt elvárt hozamként az adott pénzáramlásokhoz tartozó lejáratra számított zero kupon hozamot használjuk. Ami azt jelenti, hogy figyelembe tudjuk venni a hozamgörbe alakját vagyis, hogy minden időpontra más kamatot használunk jelenérték számításhoz.(erről majd később, a hozamgörbénél lesz szó.) 132
Kötvény érzékenysége a hozamváltozásra A számítási példában az egyszerűség kedvéért minden lejáratra 3%-os hozammal számoltunk, de megtehettük volna, hogy minden kamatfizetéshez különböző az adott lejárathoz tartozó hozammal diszkontálunk. A Macaulay Durationnek van egy másik képlete, amely folyamatos tőkésítést használ, és annyiban különbözik a fentitől, hogy hozamként a kötvény hozamát (Yield To Maturity) használja. Eben az esetben minden egyes cashflow diszkontálásánál ugyanazzal a hozammal tudunk csak számolni. Hogy miért fontos ez? Megnézünk egy további duration számítást, ami egy lépéssel még közelebb visz a tényleges kamatkockázat méréséhez. Ez a Modified Duration lesz, a gyakorlatban leginkább használt módszer. A Modified Duration (MD) is a kötvény hozamát fogja diszkont kamatlábként használni minden kamat és tőkefizetés esetében. Módosított átlagidő (Modified Duration) A Modified Duration (MD) már ténylegesen a kamatkockázat számszerűsítésére használt mutató, amely a kötvény kamatérzékenységét méri. Azaz, hogy a kötvény ára hogyan változik, ha a hozamkörnyezet változik. Hozamként itt a kötvény saját hozamát használjuk. A MD tehát nem más, mint a kötvény árának változása a hozamváltozás függvényében. A MD képlete: 1+ Itt a D a Macaulay Duration, amit már tudunk számolni. A képlet matematikai levezetésére nincsen szükségünk. Elég annyit tudni, hogy a Modified Duration a kötvény kamatkockázatát számszerűsíti úgy, hogy megadja a kötvény árának változását a hozam 1% változásának hatására. Hogyan számoljunk ezzel? A Macaulay Durationt ki tudjuk már számolni. Ha adott a YTM, akkor a Modified Durationt is. (A képletből következik, hogy a MD mindig kisebb lesz, mint a Macaulay Duration) Vizsgáljunk meg egy eredetileg 100 dolláros áron forgó 5% hozamú kötvényt! 4,546 1+ 4,546 1,05 4,33 Ez alapján 1% hozamváltozás a kötvény árának 4,33%-os változását eredményezi. A gyakorlatban a MD-t ennél kisebb hozamváltozásra alkalmazzuk. 0,1% azaz 10 bázispontos hozamváltozás esetén a kötvény ára 0,433 %-ot változik. 133
Tehát a MD alapján a 100 dolláros kötvény ára 4,9% hozam esetén 100,433 dollár, 5,1%-os hozam esetén 99,567 dollár lesz. A duration számítás esetén az árváltozás a felhalmozott kamatokkal együtt számolt, tehát bruttó árra vonatkozik. A kötvény árváltozása ebből, ha P a kötvény eredeti ára: Az eredetileg 100 dollár áru kötvény árváltozása 0,1% hozamemelkedés esetén: -4,33 * 0,001*100-0,433 dollár Nézzünk meg néhány durationt befolyásoló faktort grafikusan is! A hozam és a lejárat hatása a durationre: A következő ábra, különböző lejáratú kötvények durationjét ábrázolja. Jól látható, hogy a duration nem állandó ugyanazon lejáratú kötvény esetében, különböző hozamok mellett. A 25 éves lejáratú kötvény durationje 2% hozam esetén közel 22, míg 20% hozamesetén kb. 9. A kötvény kuponja alacsony: 1%. Emiatt még egy érdekes dolgot megfigyelhetünk. A magas hozamok esetén jól látható, hogy a duration a futamidő növekedése ellenére is csökkenni kezd. Az alacsony kupon miatt, a kuponfizetések aránya a teljes jelenértékhez képest kicsi és a végső tőketörlesztés aránya nagy. A diszkontálás hatása a távolabbi pénzáramlásokra egyre nagyobb, így a lejáratkori tőketörlesztés súlya egyre gyorsabban csökken a diszkontálással, amely ezáltal lefelé húzza a durationt. 134