9. Hang terjedési sebességének mérése Kundt-féle sőel Célkitűzés: A hangsebesség mérése különböző gázokban. A hangsebesség és a gázok hőtani araméterei között fennálló kasolat tanulmányozása, a / érték meghatározása. Állóhullámok izsgálata. Elméleti összefoglaló: Ha egy testet leegőben mozgatunk, abban zaar keletkezik. Ha igen lassan mozgatjuk, a leegő sak áramlik mellette, míg a test gyors mozgásánál, amely ilyen áramlásra nem hagy időt, nyomásáltozást idéz elő. Ekkor a sebességgel mozgó test összenyomja a nyomású leegőnek azt a részét, amellyel érintkezik, és az összenyomott leegő nagyobb + nyomást fejt ki a környező leegőre. Ez a nyomásnöekedés a gázban toaterjed, agyis benne hullám keletkezik. Folyamatos hanghullám létrejöttekor a hullámot keltő rezgő test, így a gáz részeskéi is rezegnek, ami a gáz sűrűségét és nyomását is eriodikusan áltoztatja. A kinetikus elmélet szerint egy gázban, ha az egyik helyen nagyobb a sűrűség, mint a ele szomszédos másik helyen, akkor annyi molekula megy át a nagyobb sűrűségű helyről a kisebb sűrűségűre, amennyi a kiegyenlítődéshez szükséges. A hanghullám keletkezésénél a nagyobb sűrűségű, nagyobb nyomású tartományból kiáramló molekulák imulzust adnak át a szomszédos, kisebb nyomású tartomány molekuláinak. Az így keltett hullámok longitudinális hullámok. Transzerzális hullámok gázokban a számotteő nyíróerők hiánya miatt nem keletkeznek. A + t t 1. ábra Tekintsük az 1. ábra szerinti esetet, amikor egy ρ sűrűségű, állandó A keresztmetszetű gázoszloban a nyomáshullámot egy állandó sebességű dugattyú benyomásáal hozzuk létre. A sebességű nyomásnöekedést okozó hullám röid t idő alatt l = t utat tesz meg. A t idő alatt a gázoszlo eleje l = t táolsággal elmozdul, míg az l táolságra eső ége még nem, azaz a gázoszlo összenyomódik. A nyomásnöekedés a relatí térfogatsökkenéssel arányos: V l = K = K, (1) V l ahol K a komressziómodulus. Az A keresztmetszetű dugattyú által a közegre kifejtett erő
V F = A = AK = AK. () V Az imulzustétel szerint az m tömegű gáz imulzusáltozása F t = m = ρa t, amelyet felhasznála kajuk az F = AK = ρa (3) összefüggést, amelyből a longitudinális hullám sebessége már kifejezhető: K =. (4) ρ Ahol a gáz összenyomódik, ott a hőmérséklet nő, a tágulás helyén edig sökken. A nagyobb nyomású tartományból a kisebb nyomásúba átáramló hő mindaddig elhanyagolható, amíg a nagy frekeniáal ismétlődő komresszió-exanzió során nins idő a szomszédos leegőtartományok közötti hőmérséklet kiegyenlítődésére, tehát a hanghullámban a nyomás adiabatikusan áltozik. Ekkor a relatí nyomásáltozás nagysága az izoterm folyamatokkal szemben nem egyezik meg a relatí térfogatáltozás nagyságáal, hanem annak κ-szorosa, ahol κ egy 1-nél nagyobb szám, mégedig a termodinamika első főtételéből adódóan a gázok kétfajta fajhőjének hányadosa κ =. V = - κ. (5) V Az (1) és (5) egyenleteket összehasonlíta látszik, hogy κ a K komressziómodulus és a nyomás hányadosa, azaz a κ = K/. Ezt felhasznála kajuk a Lalae-féle összefüggést, mely szerint a hang sebessége ideális gázokban: = κ (6) ρ A (6) egyenletbe a ρ sűrűség helyett az m/v összefüggést íra, alamint felhasznála az ideális gázokra onatkozó V = NkT állaotegyenletet, ahol k a Boltzmann állandó, T az abszolút hőmérséklet és N a molekulák száma, a hangsebességre kt = κ (7) m 0 adódik, ahol m 0 egyetlen molekula tömegét jelenti. Ebből nyilánaló, hogy a hangsebesség a gáz hőmérsékletétől és az anyagi minőségétől függ, a nyomásától és a sűrűségétől nem. Az ekiartíió tétele szerint a gáz egy-egy molekulájának bármelyik transzláiós- és bármelyik rotáiós szabadsági foka egyenként átlagban kt/-el járul hozzá a gáz energiájához. Egy gáztérben N számú, egymástól függetlennek tekinthető, egyenként f szabadsági fokkal rendelkező molekulából álló gáz U belső energiája: f U = N kt. (8) Az állandó térfogat melletti C hőkaaitás a gáz hőmérsékletének 1 Kelin fokkal aló megáltoztatásához szükséges hőmennyiséget adja meg. Az első főtétel értelmében, miel állandó térfogaton nins munkaégzés f U = Q =C T = N k T egyenlet írható fel. (9)-ből köetkezik, hogy (9)
f C = N k. (10) A termodinamikából ismeretes toábbá, hogy a gázok állandó nyomásra onatkozó hőkaaitása f + C = N k (11) értékű. Miel C = m és C = m, a (10) és (11) egyenletekből adódik κ értéke: C f + κ = = =. (1) C f Eszerint, ha egyatomos gázok (l. He, Ne, Ar) atomjait tömegontnak tekintjük, akkor azok sak 3 transzláiós szabadsági fokkal rendelkeznek: f = 3, tehát κ = 5/3 1,66. Kétatomos molekulákból álló gázoknál (l. H, N, O ) a legegyszerűbb modell szerint a molekula két, egymással mereen összekötött tömegontból áll. Ekkor a 3 transzláióshoz rotáiós szabadsági fok járul. Azért sak kettő, mert a két tömegontot összekötő egyenesre onatkozó tehetetlenségi nyomaték közel zérus, tehát e tengely körüli forgáshoz tartozó forgási energia is közel zérus. Így a szabadsági fokok száma 5, κ = 7/5 = 1,4. Többatomos, térben kiterjedt alakú molekulákból álló gázoknál, ha a molekulát merenek kézeljük, a szabadsági fokok száma f = 6 lesz (3 transzláiós és 3 rotáiós szabadsági fok), így ideális gázok esetén κ = 8/6 1,33 értékű lesz. (Lineáris többatomos molekuláknál a szabadsági fokok száma a kétatomos gázokhoz hasonlóan szintén 5.) Összefoglala: ismert sűrűségű gázban a hangsebesség megméréséel meghatározható a K komressziómodulus, illete ha a gáz nyomását is imerjük, akkor a κ = / fajhőhányados értéke is. Ha iszont κ-t ismerjük, abból a gáz termikus jellemzőire, illete molekuláinak szerkezetére köetkeztethetünk. Meg kell jegyeznünk, hogy bár ezek a meggondolások sak ideális gázokra onatkoznak, sok esetben a alódi gázok termikus jellemzőit is jó közelítéssel megadják. Hang sebességének mérése Kundt-sőel: A κ meghatározása éljából (6) szerint meg kell állaítani a izsgált gázban adott hőmérsékleten a hang sebességét, a gáz nyomását és a ρ sűrűségét. Méréseinknél a leegő sűrűségét táblázatból esszük, nyomását barométerről olassuk le. Egynemű gázok esetén megmére a hőmérsékletet a κ-t (7) alaján számíthatjuk ki. A hang sebességét többfajta módon meg lehet állaítani, a legegyszerűbben úgy, hogy mérjük egy
adott táolságon a zaar terjedési idejét. Egy másik, a gyakorlaton is alkalmazott módszernél azt használjuk ki, hogy a hanghullám fáziskülönbsége π egész számú többszöröse a hangforrás és az érzékelő között akkor, ha a táolság köztük a λ hullámhossz felének egész számú többszöröse. A mérőberendezés a. ábrán látható. Ez egy kb. 1 m hosszú és 7 m átmérőjű üegső, melynek egyik égén egy hangszóró an. A hangszóró membránját egy hanggenerátorral hangfrekeniás rezgésbe hozzuk. A sőbe egy áltoztatható helyzetű lemezt helyezünk el, amelybe egy mikrofon an beéíte. Ha a mikrofon jelét az oszilloszkó függőleges, a hangszóróra adott áltakozó feszültséget a ízszintes bemenetre kasoljuk, akkor nπ fáziskülönbség esetén, ahol n ozití egész szám, a kialakuló Lissajous-görbe egyenes lesz. Ha egy ilyen helyzetből a mikrofont λ/-el eltoljuk, azaz a mikrofon és a hangszóró jele között a fáziskülönbséget π-el áltoztatjuk, az újonnan kaott egyenes meredeksége előjelet ált. A hullámhossz meghatározásához e táolságot, agy edig többszörösét mérjük le. A gyakorlaton a hangsebességet meghatározzuk állóhullámok hullámhosszának méréséel is. Az állóhullámok előállítására alkalmazott eljárás lényegében megegyezik a Kundt-féle módszerrel, sak a rezgések keltésében és a kialakult állóhullámok detektálásában an eltérés. A. ábrán léő sőben a mikrofont tartó lemez isszaeri a hanghullám egy részét. A lemezt mozgata annak bizonyos helyzeteinél rezonania lé fel. Ha a hangszóróból kiinduló és a mikrofon lemezéről isszaerődő hanghullámok fáziskülönbsége π egész számú többszöröse, akkor az interferenia réén a hangintenzitás erősödni fog és a sőben állóhullámok alakulnak ki. A rezonania, illete állóhullám akkor jön létre, ha a gázoszlo saját frekeniája megegyezik a hangforrás ν frekeniájáal, ami n ν = (13) L nagyságú, ahol L a zárt gázoszlo hossza, n edig ozití egész szám. A rezonaniában léő gázoszlo részeskéinek rezgési amlitúdója sokkal nagyobb lehet, mint a gerjesztő hangszóró membránjának rezgési amlitúdója. Ha ez a frekenia elég nagy és a ső elég hosszú, akkor az állóhullámoknak több duzzadóhelye (illete somóontja) lesz, amelyek λ/ táolságra annak egymástól, ahol λ a hang hullámhosszát jelöli. E táolságok megméréséel a frekenia ismeretében a hang sebességét a = λν összefüggés alaján kajuk meg. A duzzadó-helyek meghatározásakor a sőben keletkező állóhullámok által a mikrofonban keltett áltakozó feszültség amlitúdóját mérjük, ennek nagysága a duzzadó-helyeknél maximális. Ezt a mikrofonban keletkezett jelet egy előerősítőn keresztül rákasoljuk egy oszilloszkó függőleges bemenetére, és a mikrofon elmozdítása során az oszilloszkó ernyőjén felléő jelmaximumok segítségéel állaítjuk meg a duzzadó helyek közötti táolságot, azaz λ/ nagyságát. A mikrofon a sőben egy mm skáláal ellátott rúd segítségéel mozdítható el. Pontosabb mérést égezhetünk, ha a hullámhosszat nemsak kettő, hanem több rezonania-hely táolságának a különbségéből határozzuk meg. Egyszerre n darab λ/ táolság méréséel a leolasási hibából származó ontatlanság mértéke n-ed részére sökkenthető. Feladatok: 1) Határozza meg amlitúdó méréssel a hang hullámhosszát leegőben. Változtassa a frekeniát 1000 Hz-től 000 Hz-ig 100 Hz-enként. Az n λ/ táolság mérését minden frekenia esetén 3-szor égezze el, a számításokhoz a táolságok átlagát használja. ) Határozza meg az egyes frekeniákhoz tartozó hangsebesség értékeket, és számítsa ki ezek átlagát.
3) Ábrázolja a λ-t az 1/ν függényében, és határozza meg grafikusan is -t. 4) Mérje meg a légnyomást és a hőmérsékletet. A leegő sűrűségét táblázatból keresse ki. Számítsa ki a κ leegő -t, felhasznála értékét. 5) Az előbbi méréssorozatot égezze el újra úgy, hogy a Kundt-féle sőben leegő helyett argon an. A mérésnél ügyeljen arra, hogy a mikrofon túl gyors mozgatásakor az argont tartalmazó térbe a mikrofon mellett leegő kerülhet. A hullámhosszat Lissajous-görbék segítségéel határozza meg a mikrofon n λ/ táolsággal aló elmozdításáal. Határozza meg az egyes frekeniákhoz tartozó hangsebesség értékeket, és számítsa ki ezek átlagát. 6) Ábrázolja a λ-t az 1/ν függényében és határozza meg grafikusan is -t. A nyomást és a hőmérsékletet argon esetében is a külső légnyomással, illete hőmérséklettel megegyezőnek esszük. Számítsa ki a κ argon -t, M argon = 39,9 g/mol. 7) Magyarázza meg a κ leegő és κ argon közti különbséget. Ajánlott irodalom: Budó Ágoston: Kísérleti fizika I., 10., 103. Dede M. - Demény A.: Kísérleti fizika,. kötet, 3.1.3, 3.4.4.