A differenciálegyenletek csodálatos világa Besenyei Ádám badam@cs.elte.hu Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Matematikai Intézet Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest ELTE TTK Nyílt nap 2016. 01. 29.
Mi az előadás célja?
Miről lesz szó? kérdés: milyen jelenségeket érthetünk meg jobban a matematika segítségével? cél: olyan egyszerűsített modell felállítása, amely matematikailag még kezelhető, de a jelenségről is mond valamit eszköz: differenciálegyenletek hol fordulnak elő: aki természettudományos szakra jön, biztosan találkozik vele, de nem csak a természettudományokban (műszaki tudomány, közgazdaságtan, orvostudomány... ) elmélet: sok eszközt igényel és gyakran bonyolult számolásokat gyakorlat: számítógépes szimulációk most: közérthető ízelítő a szépségből Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 2 / 23
Gondolatébresztő
Joseph Fourier (1768 1830) A természet elmélyült tanulmányozása a matematikai felfedezések legtermékenyebb forrása. A matematika az emberi elme azon képessége, amelynek célja, hogy kárpótoljon az élet rövidségéért és érzékszerveink tökéletlenségéért. (A hő analitikus elmélete, 1822.)
Jelenségek a mindennapokból
Az időjárás mindig jó téma Milyen időjárás lesz holnap? És egy hét múlva? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 6 / 23
Az időjárás mindig jó téma De miért esett egész nap, miközben napsütést jeleztek előre?? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 6 / 23
egy kérdés a biológiaóráról... (vagy a kisgyerek fejéből)
Állati jó kérdés Hogyan alakul ki az állatok mintázata? (Alan Turing, 1952) Zebra: csíkos test, csíkos farok Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 8 / 23
Állati jó kérdés Hogyan alakul ki az állatok mintázata? (Alan Turing, 1952) Tigris: csíkos test, csíkos farok Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 8 / 23
Állati jó kérdés Hogyan alakul ki az állatok mintázata? (Alan Turing, 1952) Leopárd: foltos test, foltos farok Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 8 / 23
Állati jó kérdés Hogyan alakul ki az állatok mintázata? (Alan Turing, 1952) Gepárd: foltos test, csíkos farok Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 8 / 23
Állati jó kérdés Hogyan alakul ki az állatok mintázata? (Alan Turing, 1952) Petymeg: foltos test, csíkos farok Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 8 / 23
Állati jó kérdés De miért nincs olyan állat, amelynek teste csíkos, a farka viszont foltos?? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 8 / 23
egy a kémiaóráról...
Színes egyéniségek Miért váltakozik az elegy színe? Belouszov Zsabotyinszkij-reakció (1950 60-as évek) (video: https://www.youtube.com/watch?v=dmf4rjiitgm) Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 10 / 23
Színes egyéniségek A természet nem az egyensúlyi állapotra törekszik?? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 10 / 23
egy a fizikaóráról...
Aki nem lép egyszerre... Mi okozta a híd mozgását? Tacoma híd ( Galoppozó Gertie ), Washington állam, 1940. november 7. (video: https://www.youtube.com/watch?v=3mclp9qmcgs) Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 12 / 23
Aki nem lép egyszerre... Mi okozta a híd mozgását? Tacoma híd ( Galoppozó Gertie ), Washington állam, 1940. november 7. (video: https://www.youtube.com/watch?v=3mclp9qmcgs) Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 12 / 23
Aki nem lép egyszerre... Mi okozta a híd mozgását? Volgograd híd, Oroszország, 2010. május 20. (video: https://www.youtube.com/watch?v=5smsmza_xii) Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 12 / 23
Aki nem lép egyszerre... Mi okozta a híd mozgását? Volgograd híd, Oroszország, 2010. május 20. (video: https://www.youtube.com/watch?v=5smsmza_xii) Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 12 / 23
Aki nem lép egyszerre... És miért nem menetelhetnek a katonák, ha hídon mennek át?? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 12 / 23
és végül egy az orvostudományból...
Hapci Idén is lesz influenzajárvány? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 14 / 23
Hapci Milyen hosszú ideig tart? Maradjunk otthon? Érdemes-e beoltatni magunkat? Egyáltalán lehetséges-e szabályozni a járvány alakulását?? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 14 / 23
Mi a közös az iménti jelenségekben?
Időben (és térben) zajló folyamatok közös vonásai példák időben és térben zajló folyamatokra: időjárás változása, mintázat kialakulása, elegy színének változása, híd mozgása, betegszám változása... néhány állapotváltozóval jellemezhetők: hőmérséklet, légnyomás, szélsebesség, koncentráció, kitérés, betegszám... az idő- és térbeli változásukat természeti törvények írják le: Newton, Fourier, Fick törvényei, tömegmegmaradás... kulcsfogalom: az állapotváltozó változásának sebessége (üteme) differenciálegyenletek Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 16 / 23
Kérdések egy matematikus számára van-e megoldás, egyértelmű-e? elméleti tételek, bizonyítások milyen tulajdonságokkal rendelkezik? egyensúlyi helyzet, periodicitás, oszcilláció, kaotikusság... hatékony közelítő meghatározás numerikus módszerek, számítógép... összevetés a valódi jelenséggel jó-e a modell, segít-e a jelenség megértésében, szabályozásában? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 17 / 23
Kérdések egy matematikus számára van-e megoldás, egyértelmű-e? elméleti tételek, bizonyítások milyen tulajdonságokkal rendelkezik? egyensúlyi helyzet, periodicitás, oszcilláció, kaotikusság... hatékony közelítő meghatározás numerikus módszerek, számítógép... összevetés a valódi jelenséggel jó-e a modell, segít-e a jelenség megértésében, szabályozásában? Akit érdekelnek a részletek, érdemes matekszakra jönnie. Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 17 / 23
Kérdések egy matematikus számára van-e megoldás, egyértelmű-e? elméleti tételek, bizonyítások milyen tulajdonságokkal rendelkezik? egyensúlyi helyzet, periodicitás, oszcilláció, kaotikusság... hatékony közelítő meghatározás numerikus módszerek, számítógép... összevetés a valódi jelenséggel jó-e a modell, segít-e a jelenség megértésében, szabályozásában? Akit érdekelnek a részletek, érdemes matekszakra jönnie. (De aki kíváncsi, az irodalomjegyzékben bőven talál válaszokat.) Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 17 / 23
Hol fordulnak még elő differenciálegyenletek?
Differenciálegyenletek mindenütt fizika: elektromágnesség: Maxwell-egyenletek áramlástan: Navier Stokes-egyenletek (1 millió dollár) kvantummechanika: Schrödinger-egyenlet biológia: ragadozó zsákmány modellek: Lotka Volterra életkor függő populációs modellek kémia: reakciók leírása közgazdaságtan, pénzügy: opciók árazása: Black Scholes-egyenlet (Nobel-díj, 1997) gyógyszeradagolási modell, követési modell, tanulási modell harci modellek (Lancester) az alkalmazások köre végeláthatatlan... Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 19 / 23
Érdemes-e tehát matematikával foglalkozni?
Miért foglalkozzunk matematikával? Siméon Denis Poisson (1781 1840): Az élet csak két dologra jó: matematikával foglalkozni és matematikát tanítani. Dirk Jan Struik (1894 2000) (106 évesen halt meg!) A matematikusok sokáig élnek; a matematika egy egészséges hivatás. Azért élünk sokáig, mert kellemes gondolataink vannak. Matematikával és fizikával foglalkozni nagyon kellemes dolog. De vigyázat! John Edensor Littlewood (1885 1977) A matematikus hivatás veszélyes: egy jelentős részünk megőrül. Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 21 / 23
Olvasnivalók Besenyei Ádám, Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire jók a differenciálegyenletek?, ELTE Kárpát-medencei Nyári Egyetem előadás, 2014. július 11. http://abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf Besenyei Ádám, A differenciálegyenletek csodálatos világa, Eötvös Kollégium Természettudományos Tábor, 2015. július 22. http://abesenyei.web.elte.hu/publications/csodalatos.pdf A differenciálegyenletek csodálatos világa, speciálelőadás az ELTE-n tanárszakosok számára, a kurzus honlapja: http://abesenyei.web.elte. hu/mattanar/15o/diffegy15o/diffegy15o.php Hatvani László Pintér Lajos, Differenciálegyenletes modellek a középiskolában, Polygon, Szeged, 1997. Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, 2016. 01. 29. 22 / 23
Vége Köszönöm a figyelmet!