7. Egyszerű hálózatok A tercsnek és a kondenzátornak nincs szerepe, csak ellenállások vannak a körben. A vezetékek ellenállását hozzáadjuk a fogyasztók ellenállásáhához (koncentrált paraméterű elemek). A hálózat megoldása, a hálózatra felírt karakterisztikus egyenlet megoldása (csomóponti+hurokegyenlet). Definíció: Egyszerű áramkör egy telep + fogyasztó + vezetékek 7.1. Ohm törvénye I = U, vagy U = RI (7.1) R továbbá mértékegységek: I = GU, vagy U = I G (7.2) 1 vezetési elem, vezetés, mint áramköri elem: konduktor [R] = ohm = Ω [G] = siemens = S (7.3)
ellenállás, mint áramköri elem: rezisztor vezetés, mint érték: konduktancia ellenállás, mint érték: rezisztencia differenciális (lokális) mennyiségek R = ρ l, ρ fajlagos ellenállás (7.4) A R G = 1 G = 1 A ρ l, 1 = σ fajlagos vezetőképesség ρ (7.5) Az ellenállás hőmérsékletfüggése ( ρ = ρ 20 C 1 + α T + β T 2 + γ T 3 +... ) α lineáris hőmérsékleti tényező β négyzetes hőmérsékleti tényező γ köbös hőmérsékleti tényező T előjeles hőmérséklet-eltérés (7.6) és α β γ. Ezért csak a lineáris tagot vesszük figyelembe: 2 ρ = ρ 20 (1 + α T ), R = R 20 (1 + α T ) (7.7)
1. ábra : Az áram konvencionális irányának és a feszültség polaritásának jelölése nyilakkal Más hőmérséklet körül is fel lehet írni a lineáris összefüggéseket: R = R T1 (1 + α 1 (T T 1 )). (7.8) 7.2. Jelölések Az áram iránya a poitív pólusból indul és a negatívba megy. Rárajzolhatjuk a vezetékekre is az irányt. A feszültség nyíl a + -ból a - -ba mutat, ezek az aktív (telep) elemnél ellentétes az áramiránnyal (nyílütközés), a passzív elemnél (fogyasztó) megegyezik a két irány. A feszültségmérőt úgy kötjük be, hogy a + sarkát a nyíl talpához, a - sarka a nyíl végéhez csatlakozik. Ugyanúgy az ármammérőnél, a + sarkon folyik be az áram és a - -on folyik ki. A nyilak előjelesek A felvett feszültség ill. áramirányokat mérőirányoknak nevezzük. A több mérőirányt mérőirányrendszernek nevezzük. Ez lehet passzív, ha a fesz. és áramirány 3
2. ábra : A betű jel ill. a számérték negatív előjelének értelmezése. megegyezik, vagy aktív, ha ellentétes. Az előbbit használjuk. 7.3. Joule törvény A Joule törvény és villamos teljesítmény W = QU = IUt, P = W t = UI, [P ] = watt = W [W ] joule = J = W s (7.9) Energiamegmaradás törvénye: W = 0 P = 0. (7.10) 4 P term = IU, P fogy = IU, P = IU + IU = 0. (7.11)
3. ábra : Joule törvény. A termelő teljesítménye negatív, a fogyasztóé pozitív (felvett teljesítmény). A P alakja R vagy G-vel: U = RI, U = I G P f = UI = RI 2 = I2 G, P f = UI = GU 2 = U 2 R I = GU = U R Konduktív elemnél (pl. fűtőbetét) a felvett teljesítmény hőteljesítménnyé alakul, (7.12) Nagyobb ellenállás több hőt termel (v.ö. szupravezetők). 5 Q = W = RI 2 t. (7.13)
8. Összetett hálózat Vannak benne elágazások. Pl. Wheatstone-híd. Az elágazási pontokat csomópontnak nevezzük. Két csomópontot közvetlenül összekötő hálózatrész az ág. Az ágakon konduktív elemek, ill. telepek vannak. Az ágak zárt alakzata a hurok. A hurok önmagába záródó áramút. A hálózat egymás melletti zárt alakzatait hurkoknak nevezzük. 8.1. Hálózati gráf hurkok száma csomópontok száma ágak száma 6 b) ábra: +2 ág, +1 csp., +1 hurok c) ábra: +1 ág, +0 csp., +1 hurok d) ábra: +3 ág, +2 csp., +1 hurok
4. ábra : Ág hozzáadásának háromféle lehetősége a három ágból álló hálózat bővítésére. sszefoglalva: Á = H + Cs - 1 8.2. Kirchoff törvénye I = 0 (M.I.) csomópontra I = 0 (diff. Ohm tv.) hurokra (8.1) Hálózatanalízis: Meg tudjuk határozni a konduktív elemek áramát és feszültségét, ha a konduktív elemek ellenállása ill. a telepek feszültsége ismert. Hálózatszintézis: valamilyen tulajdonságú hálózatot kell létrehozni. A hurkokra felírt egyenletek függetlenek, a csomóponti egyenletek száma = Cs-1. Szintézisre példa, hogy ismertek 7
az ágáramok és az ellenállásértékeket kerssük. Az ágáramok nem írhatók elő tetszőlegesen, mert a csomóponti törvényeknek teljesülnie kell. Az egyenletek száma kevesebb, mint az ellenállások száma, azokat más megfontolás alapján kell felvenni. A hálózat szintézis nem egyértelmű feladat. 9. Kétpólusok A kétpólusok két kivezetéssel rendelkező hálózatrész. elemi: egyetlen kapcsolási elemet tartalmaz összetett: sok elemből áll Kétpólust úgy kapunk, hogy egy hálózatot egy vezetéknél elvágunk. aktív kétpólus: a két végét összekötve (rövidzár) azon áram folyik. Termelő és fogyasztó is lehet (akkutöltés). passzív kétpólus: nem folyik áram (pl. konduktív elemek kapcsolása). Fogyasztó. teljesítményt vesz fel. 8
Passzív kétpólus soros kapcsolás: ugyanaz az áram halad át az elemeken párhuzamos kapcslás: közösítve vannak). az elemek ugyanarra a feszültségre kapcsolódnak (a kivezetések Meghatározva az eredő ellenállást a konduktív elemek kapcsolása egyetlen konduktív elemmmel helyettesíthető. Soros kapcsolás: I =áll. I = U R e, huroktörvény, I(R 1 + R 2 +...) = U R e = R 1 + R 2 +... 1 vezetésekre: = 1 1 +... G e G 1 G 2 vagy G e = G 1 G 2 a reciprok összeg jelöléssel (9.1) Ez utóbbinál közös számlálóra kell hozni a törtet. 9
Párhuzamos kapcsolás: U =áll. I = I 1 + I 2 +... ágáramok I 1 = GU 1, I 2 = GU 2,... I = U(G 1 + G 2 +...), és I = GU e G e = G 1 + G 2 +... vagy R e = R 1 R 2... (9.2) Pl. ha R 1 = R 2 =... = R n = R, akkor R e = nr sorosnál R e = R párhuzamosnál (9.3) n Vegyes kapcsolás: soros+párhuzamos együtt. A soros és párhuzamos részeket külön-külön kezeljük. Extrém kétpólús: nem vesz föl és nem is ad le teljesítményt. rövidzár: U = 0, R = 0, G = szakadás: I = 0, R =, G = 0 Pl. ideális műszerek árammérő rövidzár 10
5. ábra : Ideális műszerek: a) árammérő, b) feszültségmérő, c) teljesítménymérő. feszültségmérő szakadás teljesítménymérő (négypólus) 11
9.1. Generátorok Ideális feszültségforrás/feszültséggenerátor egy aktív kétpólus U 0 feszültséggel. Akármekkora terhelőellenállást kapcsolunk rá, ugyanakkora forrásfeszültséget ad. Valóságos feszültségforrásnál a terhelőellenállás csökkenésével vagyis a terhelőáram növelésével a kapocsfeszültség csökken. Ennek oka a feszültséggenerátor belső ellenállása. Helyettesítőképében a feszültségforrással sorba kapcsolt konduktív elemmel helyettesítjük. Ideális áramforrás/áramgenerátor I 0 forrásáramot ad a terhelőellenállástól függetlenül. Végtelen tehrelő ellenálláson végtelen feszültség kell legyen. Valóságos áramgenerátor Az aktív kétpólusokat (telep, generátor) fizikailag a feszültséggenerátor írja le helyesebben. Áramköri szempontból a kétféle helyettesítő kép ekivivalens. A feszültséggenerátoros helyettesítés a Thevenin helyettesítés, az áramgenerátoros a Norton helyettesítés. Az ideális generátorokból származtathatók extrém kétpólusok. Ha U 0 0 rövidzár, ha I 0 0 szakadás. 12
9.2. Aktív kétpólusok helyettesítőképei Feszültségforrás (Thevenin-kép) Terheletlen esetben szakadása van, I t(erhelő) = 0, U 0 forrásfeszültségre van kapcsolva. Ezért a forrásfeszültséget üresjárási feszültségnek (Uü) is hívjuk. Áramforrás (Norton kép) Rövidzárlat esetben U k(apocs) = 0. A forrásáram ekkor a rövidzáron megy keresztül. Ezért a rövidzárási áramnak is nevezzük a forrásáramot. 13
Feszültségforrás rövidzárral az U k = 0, U 0 az R b -n esik. Ekkor I r = U 0 R b = U u R b (9.4) Az R t terhelőellenállás jelenléte Szakadással zárt áramforrás I t = 0. A teljes I 0 az R b -n folyik keresztül Egy G t terhetlő vezetéssel U 0 = I 0 G b = I r G b (9.6) I t = U 0 R t + R b (9.5) U k = I 0 G t + G b (9.7) 14
Kapocsfeszültség U k = U 0 R b I t U k U 0 + I t U 0 /R b = 1 Terhelőáram I t = I 0 G b U k I t I 0 + U k I 0 /R b = 1 Feszültséggenerátor jelleggörbéje Áramgenerátor jelleggörbéje Ha a karakterisztikák megegyeznek, akkor a feszültség- és áramgenerátorok ekvivalensek, azaz sem feszültség, sem áramméréssel nem különböztethetők meg. Mivel U 0 = I 0 G 0, és I 0 = U 0 R 0 G 0 = 1 R 0. (9.8) A forrásáram és a feszültséggenerátor nyila ellentétes. Az aktív kétpólus feszültséggenerátoros és áramgenerátoros helyettesítő képében ugyanaz a konduktív elem van. 15
9.3. Aktív kétpólusok teljesítményviszonyai Terheletlen áramgenerátornak fel kéne melegednie. Relatív terhelőellenállás: a = R t R b. A hasznos teljesítmény hogyan függ a-tól? Definíció: hatásfok η = P h Pö (9.9) P h a hasznos teljesítmény (ami hővé alakul), Pö az ieális genrátor által szolgáltatott összes teljesítmény. Feszültséggenerátorra η = I 2 t R t I 2 t (R b + R t ) = R t R b + R t = R t/r b = a 1 + R t /R b 1 + a (9.10) Áramgenerátorra η = U 2 k G t U 2 k (G b + G t ) = G t G b + G t = G t/g b = 1/a 1 + G t /G b 1 + 1/a = 1 1 + a (9.11) A villamosenergia szolgáltatásnál fontos a jó hatásfok, a > 0. Elektronikában, jelgenerátoroknál a nagy kivehető teljesítményre törekszünk. A feszültséggenerátor hasznos 16
teljesítménye: maximális, helye P h = I 2 t R t, I t = U 0 R t + R b, P h = U 2 0 R t (R t + R b ) 2 (9.12) dp h = U 0 2 (R t + R b ) 2 U0 2 R t 2(R t + R b ) = 0 dr t (R t + R b ) 4 0 = Rt 2 + 2R t R b + Rb 2 2Rt 2 2R t R b = 0 R t = R b, (9.13) a terhelőellenállás egyenlő a belső ellenállással, ekkor maximális a teljesítmény. A hatásfog η = 1/2. Ez az üzemállapot az illesztett állapot. Legyen b = P h P h max = P h max = U0 2R b (R t +R b ) 2 = U0 2 4R b U 2 0 R b (R t + R b ) 2 = U 2 0 4R b = U 2 0 4R t (9.14) 4R t R b (R t + R b ) 2 = 4R t /R b (R t /R b + 1) 2 = 4a (1 + a) 2 (9.15) 50 %-os illesztetlenség (a = 1/2 a = 2) 10 %-os teljesítménycsökkenést ad. 17
6. ábra : Kuratowski gráfok 10. Összetett hálózat struktúrája 10.1. Térbeli és síkhálózat Nem minden térbeli hálózatot lehet síkba kirajzolni. Pl. ami gömbhéjon van az lehet. Ellenpéldák: Kuratowski gráfok: 10.2. Elemi és független hurokrendszer Elemi hurok: a hálózat egymás mellett elhelyezkedő poligonjai. Ezek együttesen alkotják az elemi hurokrendszert. Más hurokrendszer is elképzelhető. A hurkok száma H=Á+1-Cs. Minden ágnak legalább egy hurokban szerepelnie kell. A hurokrendszer olyan hurkok összessége, amelyben a hálózat valamennyi ága előfordul és a számuk: H=Á+1-Cs. A legegyszerűbb egyenletek az elemi hurokrendszernél vannak. A 18
7. ábra : Kuratowski gráfok gráfok izomorf átrajzolása során az elemi hurokrendszer is változhat. Független hurokrendszer: minden hurokban van egy ág, amely csak annak a huroknak a része. Fa: a hálózat csomópontjainak és ágainak olyan rendszere, amelyben mindne csomópont előfordul, és csak annyi ág, amennyi ahhoz szükséges, hogy bármely csomópontból bármely másikba eljuthassunk. Az egyetlen út miatt nincsenek hurkok a fában. Á=Cs-1 a fában, minden összekötő ág egy hurkot hoz létre, ezért az összekötő ágak száma a hurkok számával egyenlő. Térbeli hálózatnál célszerű a fából kiindulni. 19
8. ábra : 9. ábra : Független hurokrendszerek 20
10. ábra : Fák 10.3. A hurokáramok módszere A vegyes módszernél hurkokra és csomópontra írtunk fe legyenleteket. Itt csak a hurkokra. Az elemi hurkoknak külön áramot tulajdonítunk. Ezek fiktív áramok a hurokáramok. Ezekből meghatározhatók az ágáramok. A módszert egy példán mutatjuk meg A hurokáramok és ágáramok kapcsolata I 1 = I a I 2 = I b I 3 = I a I b I 4 = I a I c I 5 = I c I b I 6 = I c (10.1) 21
11. ábra : Hurokmódszer. A hurokegyenletek a) R 4 I 4 + R 3 I 3 R 1 I 1 + U 01 = 0 b) R 3 I 3 R 5 I 5 + R 2 I 2 + U 02 = 0 c) R 6 I 6 + R 5 I 5 R 4 I 4 = 0 (10.2) a) R 4 (I a I c ) + R 3 (I a I b ) R 1 ( I a ) = U 01 b) R 3 (I a I b ) R 5 (I c I b ) + R 2 I b = U 02 c) R 6 I c + R 5 (I c I b ) R 4 (I a I c ) = 0 (10.3) 22
(R 1 + R 3 + R 4 )I a R 3 I b R 4 I c = U 01 R 3 I a + (R 2 + R 3 + R 5 )I b R 5 I c = U 02 R 4 I a R 5 I b + (R 4 + R 5 + R 6 )I c = 0 (10.4) Az átlóban az a hurokáram van megszorozva az adott hurokbeli ellenállások összegével (saját ellenállás), amelyekre a hurokegyenletet felírtuk. Legyen R a = R 1 + R 3 + R 4, R b = R 2 + R 3 + R 5, R c = R 4 + R 5 + R 6 (10.5) Vannak több hurokhoz tartozó, úgynevezett közös ellenállások R ab = R ba = R 3, R bc = R cb = R 5, R ca = R ac = R 4 (10.6) Összefoglalva: R a I a + R ab I b + R ac I c = U 01 R ba I a + R b I b + R bc I c = U 02 R ca I a + R cb I b + R c I c = 0 (10.7) 1. Az elemi hurkokban (nem muszáj eleminek lenniük, de ekkor a legegyszerűbbek az egyenletek) azonos körüljárással felveszünk egy-egy hurokáramot. 2. Meghatározzuk a saját- és a közös ellenállásokat. 23
3. Minden hurokra felírunk egy egyenletet. A bal oldalon a sajátellenállás és a sajáthurokáram szorzata + a szomszédos hurkok árama és a közös ellenállások szorzata áll. A jobb oldalon az adott hurokban bekapcsolt feszültségek vannak, a hurokárammal ellentétes nyílirány esetén pozitív előjellel. Ha áramgenerátorok vannak a hálózatban, akkor azt először feszültséggenerátorra átrajzoljuk. Azonos körüljárási áramiránynál a közös ellenállások negatívak. 10.4. A csomóponti potenciálok módszere A hálózat csomópontjaira írunk fel egyenletet. Az egyenletekben a 0 potenciálú csomóponthoz viszonyítjuk a többi csomópont feszültségét, ezek lesznek az ismeretlenek. A módszernél áramgenerátoraira kell cserélnünk a feszültséggenerátorokat, ill. a az ellenállásokat pedig vezetésre. G 1 R, I 0 U 0 (10.8) R Azt érdemes a 0 potenciálú pontnak választani, amelyikbe a legtöbb konduktív elem fut be. A potenciálok a 0 pont felé mutatnak. Az áramirányok a csomópontból elmutatnak. A 24
25 12. ábra : Csomóponti potenciálok módszere
csomópontra felírt Kirchoff egyenletek A konduktív ágak áramai az U-kkal kifejezve Ezeket visszaírva a csomóponti egyenletekbe A I 1 + I 4 + I 6 + I 01 = 0 B I 2 + I 5 I 6 I 02 = 0 C I 3 I 4 I 5 = 0 (10.9) I 1 = G 1 U A I 4 = G 4 (U A U C ) I 2 = G 2 U B I 5 = G 5 (U B U C ) I 3 = G 3 U C I 6 = G 6 (U A U B ) (10.10) A G 1 U A + G 4 (U A U C ) + G 6 (U A U B ) = I 01 B G 2 U B + G 5 (U B U C ) G 6 (U A U B ) = I 02 C G 3 U C G 4 (U A U C ) G 5 (U B U C ) = 0 (10.11) A (G 1 + G 4 + G 6 )U A G 6 U B G 4 U C = I 01 B G 6 U A + (G 2 + G 5 + G 6 )U B G 5 U C = I 02 C G 4 U A G 5 U B + (G 3 + G 4 + G 5 )U C = 0 (10.12) Az adott csomópontra felírt egyenletben a csomópont feszültsége szorozva van a csomópontba futó ágak vezetésének összegével (sajátvezetés). A bal oldalon van még a szomszédos 26
csomópont feszültsége megszorozva a két csomópontban levő vezetés értékével. A két csomópontot összekötő ág vezetését ( előjellel véve) közös vezetésnek nevezzük. Sajátvezetések: közös vezetések: G A = G 1 + G 4 + G 6, G B = G 2 + G 5 + G 6, G C = G 3 + G 4 + G 5 (10.13) G AB = G BA = G 6, G BC = G CB = G 5, G CA = G AC = G 4 (10.14) Összefoglalva A G A U A + G AB U B + G AC U C = I 01 B G BA U A + G B U B + G BC U C = I 02 C G CA U A + G CB U B + G C U C = 0 (10.15) 1. feszültséggenerátor áramgenerátor (ellentétes nyílirány), R G 2. 0 pont és csomópont választás 3. saját és közös vezet ések meghatározása. A csomóponti feszültségek nyilai a 0 pont felé mutatnak 27
4. A csomópontokra feírunk egy-egy egyenletet. A bal oldalon az adot csomópont sajátvezetése és sajátfeszültségének szorzata áll, + a szomszédos csomópontok feszültségének és a közös vezetéseknek a szorzata. A jobb oldalon a csomópontokhoz csatlakozó áramgenerátorok forrásáramának összege áll. Előjele akkor pozitív, ha az áramok a csomópont felé folynak. A leginkább mechanizálható eljárás. Gyors feszültségmérés egyszerűbb, mint az árammérés. 10.5. Faágfeszültségek módszere A hálózatdualitásnál van jelentősége. Az ismeretlenek itt a hálózat tetszőlegesen választott fájának tetszőleges mérőirányú feszülségei. Ezen ágak száma Á=Cs-1. U A U B U C U D U E A G 1 +G 8 +G 10 0 G 1 0 G 10 = I 01 I 010 B 0 G 3 +G 5 +G 6 G 3 G 5 0 = I 05 I 06 C G 1 G 3 G 1 +G 2 +G 3 +G 4 G 4 G 2 = I 01 I 02 D 0 G 5 G 4 G 4 +G 5 +G 7 0 = I 05 E G 10 0 G 2 0 G 2 +G 9 +G 10 = I 02 +I 010 (10.16) A hálózat gráfja Az ágfeszültségek és a csomóponti feszültségek közötti kapcsolat (F a 0 pont 28
13. ábra : Faágfeszültségek módszere 29 14. ábra : A hálózat gráfja (a nyilak balról jobbra mennek).
és a nyilak úgy mennek, hogy U 10 U 9 ellentétesen megy F-be) U A = U 10 U 9 U B = U 6 U C = U 4 U 5 + U 6 U D = U 5 + U 6 U E = U 9 (10.17) (G 1 + G 8 + G 10 )(U 10 U 9 ) G 1 (U 4 U 5 + U 6 ) + G 10 U 9 = I 01 I 010 (G 3 + G 5 + G 6 )U 6 G 3 (U 4 U 5 + U 6 ) G 5 ( U 5 + U 6 ) = I 05 I 06 G 1 (U 10 U 9 ) G 3 U 6 + (G 1 + G 2 + G 3 + G 4 )(U 4 U 5 + U 6 ) G 4 ( U 5 + U 6 ) + G 2 U 3 = I 01 I 02 G 5 U 6 G 4 (U 4 U 5 + U 6 ) + (G 4 + G 5 + G 7 )( U 5 + U 6 ) = I 05 G 10 (U 10 U 9 ) G 2 (U 4 U 5 + U 6 ) + (G 2 + G 9 + G 10 )( U 9 ) = I 02 +I 010 (10.18) U 4 U 5 U 6 U 9 U 10 A G 1 G 1 G 1 G 1 G 8 G 1 +G 8 +G 10 = I 01 I 010 B G 3 G 3 +G 5 G 6 0 0 = I 05 I 06 C G 1 +G 2 +G 3 +G 4 G 1 G 2 G 3 G 1 +G 2 G 1 +G 2 G 1 = I 01 I 02 D G 4 G 5 G 7 G 7 0 0 = I 05 E G 2 G 2 G 2 G 2 G 9 G 10 = I 02 +I 010 (10.19) Hogyan található meg ez a mátrix? Hálózatmetszet vagy vágat. 30
A hálózatot az eredményvonal mentén elmetsszük. A vágat azon ágak halmaza, melyet az eredményvonal elmetsz (1,8,10). U 10 jó irányba mutat, U 8 és U 1 is jobbra megy (azért kell eredetileg is irányítani a fában a feszültségeket). Több vágat vágatrendszert alkot. A vágatrendszer a hálózat egy adott fájához tartozik, ha minden faág előfordul annak egy és csakis egy vágatában. Az irányok követik a fában felvett feszültség mérőirányokat. A csomópontokra írunk fel egyenletet (az F-re nem). A bal oldalon a vezetések és ágfeszültségek szorzatai vannak. A csomópontbólkifolyók előjele pozitív. A jobb oldalon az áramgenerátorok forrásáramai vannak, ezek + -ak, ha befolynak a csomópontba. Pl. az A csomópont: U 4 -nél 1 ágat metszi, amely vezetése G 1. Mivel csomópontba megy, ezért előjele. U 6 ua., U 5 + -os. U 9 -re az előjel és G 1 G 8 a vezetések összege. U 10 -nél + és G 1 + G 8 + G 10 van. Összesen A G 1 U 1 + G 1 U 5 G 1 U 6 (G 1 + G 8 )U 9 + (G 1 + G 8 + G 10 )U 10 = I 01 I 010 (10.20) Célszerű nem csomópontok, hanem vágatok mentén haladni (a sorok helyett az oszlopokat meghatározni). Összefoglalva: 31
32 15. ábra : vágatrendszer
1. Kijelöljük a hálózat egy fáját, és berajzoljuk az ismeretlen ágfeszültség nyilait tetszőleges irányítással. 2. Megrajzoljuk a vágatrendszert, melyek irányítása az előző ágirányokkal megegyzeő. 3. A csomópontokra felírunk egy csomóponti egyenletet, bal oldalon az ismeretlen ágfeszültségekkel. Az ágfeszültségek együtthatója az adott csomópont azon ágainak vezetésösszege, amely ágak az ágfeszültségek megfelelő vágataiban előfordulnak. Előjele +, ha az adott csomópontból elmutat. A jobb oldalon a csomópontba befolyó forrásáramok összege van. 11. Összetett lineáris hálózatokra vonatkozó elvek és tételek 11.1. Szuperpozíció elve A Maxwell egyenletek lineárisak. Az egyes gerjesztések hatására adott helyen létrejövő válaszok (hatások) összege a valódi válasz. Egyszerre csak egy gerjesztést működtetve kiszámoljuk a választ, utána egy másikat s.í.t., pl. 33
16. ábra : A szuperpozíció elve. (R 1 + R 3 )I a + R 1 I b = U 01 R 1 I a + (R 1 + R 2 )I b = U 01 U 02 I a = I 3 = D a D = (R 1 + R 2 )U 01 R 1 (U 01 U 02 ) (R 1 + R 2 )(R 1 + R 3 ) R1 2 I 3 R 2 U 01 = I 3 = = R 2 U 01 + R 1 U 02 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 1 U 02 (11.1) R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 11.2. A kompenzáció elve Egy tetszőleges kétpólus helyettesíthető ideális generátorokkal. Passzív kétpólus ellenállással, aktív, valódi generátorral helyettesíthető. 34
17. ábra : A reciprocitás tétele. Feszültségkompenzáció: az eltávolított kétpólus helyére feszültségforrást kapcsolunk, amely forrásfeszültsége egyenlő kétpólus kapcsain mért feszültséggel. Áramkompenzáció: ideális áramforrást kapcsolunk a kétpólushoz, amely forrásárama egyenlő a kétpólus áramával. 11.3. A reciprocitás tétele A és B helyek. A helyen legyen ideális generátor. Ez B-nél valamely U 0 feszültséget és I 0 áramot hoz létre.. Tegyük a generátort az A-ból B-be. Ekkor az A helyen keletkezik U 0 és I 0 áram. Ezért az ideális feszültséggenerátor ideális árammérővel, az ideális áramgenerátor ideális feszültségmérővel cserélhető fel, és a műszer ugyanannyit mutat. 35
(R 1 + R 3 )I a R 3 I b = U 0 (R 1 + R 3 )I a R 3 I b = 0 R 3 I a + (R 2 + R 3 )I b = 0 R 3 I a + (R 2 + R 3 )I b = U 0 R 3 U 0 I = I b = I = I R 3 U 0 a = (11.2) R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 11.4. Hálózatok dualitása Csak síkhálózatoknál van. csomópont hurok, ágak ágak Az elemi hurokrendszer az eredeti hálózatra formailag megegyezik a duális hálózat csomóponti potenciáljának egyenletrendszerével. (a külső pont a 0 potenciálú pont) 1. Az elemi hurkok hurokáraminak duálisan a csomóponti potenciál. 2. A hurokegyenlet duálisa a csomóponti egyenlet. 3. A hurkok sajátellenállása a csomópontok sajátvezetése. 4. A két hurok közös ellenállása duálisa a megfelelő zárt csomópont közös vezetése Egy hálózat fája a duális hálózat összekötő ágrndszere független hurokrendszerhez tartozó hurokáram egyenletrendszer duálisa a duális hálózat ágfeszültség egyenletrendszere. 36
37 18. ábra : Példa duális hálózatra.
19. ábra : elemi hurok csomópont A vágat vagy metszővonal duálisa a hurok ágai. A soros kapcsolás duálisa párhuzamos. 38
12. Jellegzetes hálózatrészek analízis és szintézise, ekvivalens átalakítások 12.1. Feszültségosztó, áramosztó Ellenállások soros kapcsolásnál U 1 : U 2 :... : U n = R 1 : R 2 :... : R n (12.1) A feszültségosztó ellenállások soros kapcslása. A k-adik tag feszültsége U k = IR k, és I = U AB R 1 + R 2 +... R n = U AB R e U k = U AB R k R e (12.2) Áramosztó: ellenállások párhuzamos ellenállása I 1 : I 2 :... : I n = G 1 : G 2 :... : G n, I k = I G k G e, G e = G 1 + G 2 +... + G n (12.3) Kételemes feszültség- és áramosztó 39
20. ábra : kételemes feszültség- és áramosztó U 2 = U R 2 R 1 + R 2 G 2 I 2 = I G 1 + G 2 R 2 U ki = U be R 1 + R 2 U ki = U be A U, osztásviszony vagy átvitel(i tényező) A U = U ki A I = I 2 U be I R 2 G 1 G 2 A U = = A I = = R 1 + R 2 G 1 + G 2 G 1 + G 2 R 1 R 1 + R 2 (12.4) 40
A feszültségosztó kimenetére kondiktív elemet kötünk, terheljük. Ekkor az átvitel: A U = R 2 R t R 1 + (R 2 R t ) A folyamatos szabályozású feszültségosztó a potenciométer. (12.5) 12.2. Műszerek méréshatárának növelése Ideális feszülségmérő: nincs fogyasztása, áram nem folyik át rajta, szakadást képvisel, R =. A rá kapcsolt feszültséggel arányos a mutatójának kitérése. Feszültségosztó A műszer méréshatárát úgy növeljük n- szeresére, hogy vele sorosan kötünk egy úgynevezett előtétellenállást. Ideális árammérő: a rajta átfolyó árammal arányosan tér ki a mutatója. Fogyasztása nincs, nem esik rajta feszültség. Áramkörben rövidzárnak minősül. Áramosztó A műszer méréshatárát úgy növeljük n-szeresére, hogy vele párhuzamosan kötünk egy úgynevezett söntellenállást. 41
előtétellenállás söntellenállás A U = 1 n = U M = nu M R e = (n 1)R M G e = G M n 1 R M R e + R M (12.6) A I = 1 n = R s R s + R m R s = R m n 1 G s = (n 1)G m (12.7) 12.3. Ekvivalens átalakítások a hálózatokban Csillag delta átalakítás: a hídágaktól megszabadulhatunk. Ha ekvivalensek, akkor át lehet 42
21. ábra : csillag delta átalakítás 22. ábra : csillag delta 43
alakítani A B R A + R B = R c (R a + R b ) B C R B + R C = R a (R b + R c ) C A R C + R A = R b (R c + R a ) (12.8) ebből R A + R B R B + R C = R ar c + R b R c R a + R b + R c = R ar b + R a R c R a + R b + R c R C + R A = R br b + R a R b R a + R b + R c (12.9) R A = R br c R, R B = R ar c R, R C = R ar c R ahol R = R a + R b + R c. Vezetésekre (12.10) ahol G = G A + G B + G C. G a = G BG C G Ideális generátorok áthelyezése: 44, G b = G AG C G, G c = G AG C G (12.11)
45 23. ábra : feszültséggenerátor többszörözése
46
ágon belül összevonthatók, áthelyezhetők. 25. ábra : áramgenerátor áthelyezése U BC = I, U 1 = I 0 + I = U 2 + U 3 = I + I G( 3 G 1 G 2 G 3 I 0 1 = I + 1 + 1 ), I = I 0 G 1 G 2 G 3 G 1 G 1 G 2 G 3 G 1 G 1 G 2 + G 1 G 2 + G 2 G 3 U BC = I 0 G 3 I G 3 (12.12) 47
12.4. Thevenin, Norton tétele Összetett aktív kétpólus helyettesíthető ideális generátorral ill. ellenállással. Thevenin tétele: helyettesítő feszültségforrás forrásfeszültsége egyenlő a kétpólus üresjárási feszültségével. A helyettesítő feszültségforrás belső ellenállása a kétpólus kapcsai közötti ellenállás, ha a kétpólusban levő ideális feszültségforrásokat rövidzárral, az ideális áramgenerátorokat szakadással helyettesítjük. Norton tétele: a helyettesítő áramgenerátorokat árama egyenlő a kétpólus rövidzárási áramával, a belső vezetése egyenlő a kétpólus sarkain mérhető vezetéssel, ha a kétpólusban levő ideális feszültségforrásokat rövidzárral, az ideális áramgenerátorokat szakadással helyettesítjük. 48