Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu
Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss (777-855) valószínűségszámítási háttér: Andre Markov (856-922) a legtöbb programcsomag beépített elárásként tartalmazza
Az alapötlet A változók közötti kapcsolat (legegyszerűbb esetben) lineáris: y a o + a Cél: a mérési sorozat alapán meghatározni az a o és a paraméterek becslését. a és a 0 o Pontos érték becslés Pontos érték becslés
Az alapötlet y ξ Mérési pontok: { }, ξ
Az alapötlet y y ξ Egyenes: y o +
Az alapötlet y δ y ξ Számoluk ki a mérési pont és az egyenes függőleges eltérését: ( ) δ ξ y ξ + J o
Az alapötlet Az eltérések négyzetösszege: ( ) ( ) 2, o o D ξ Keressük a négyzet-összeg minimumát: ( ) ( ) 0, 0, o o o D és D ( ) 0 2 o ξ Az szerinti derivált: 0
Az alapötlet ( ) 0 2 o ξ Az szerinti derivált: Egyszerűsítések és rendezés után kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert kapunk: + o ξ + o 2 ξ
Az alapötlet és ξ ξ Jelölük: Az egyenletrendszer megoldása: ( ) ( ) 2 ξ 0 ξ
Az alapötlet Az első egyenletből: + ξ o + o $ ξ$ Az egyenes átmegy a ponthalmaz súlypontán
Gauss-Markov tétel. Az és y változók között polinomiális függvénykapcsolat van: y a0 + a +... + a n n n 2. Az értékek pontosak, az y mérési eredménye ξ; normális eloszlású, nulla várható értékű véletlen hiba terheli. (,2 ) ξ... ξ i 0 a i i ( σ ) y + ε ε 0, y,2,, 3. mérési eredmények független valószínűségi változók (,2 ) ξ...
Gauss-Markov tétel Állítás: a legkisebb négyzetek módszerével becsülük az ismeretlen paramétereket (az o,, n értékek becslés a 0,,, n ), akkor M( 0 ) a o, M( ) a, M( n ) a n Az állítás további része: s y s 2 y ( n + ) a σ y torzítatlan becslése ξ n i 0 i i 2
Gauss-Markov tétel Bizonyítás (u. úgy mint az egyszerű esetben): Ez a megfigyelés Minimalizáluk a négyzet-összeget: D,,..., n n ξ i i 0 ( ) o i 2 Ez a polinom A minimum lokális, helyét a parciális deriváltak nulla helye ada. Deriválunk k szerint (k0,, n): D n i k i k i 0 2 ξ 0
Gauss-Markov tétel n+ egyenlet, n+ ismeretlenes lineáris egyenletrendszer: n i+ k k i i 0 ξ, k 0,,... n Vegyük mindkét oldal várható értékét: n ( ) ( ) i+ k k i i 0 M M ξ k 0,,..., n
Gauss-Markov tétel Használuk ki, hogy: M ( ) i ξ y ai n i 0 n ( ) n i k M a k 0,,..., n + i+ k i i i 0 i 0 Ez csak akkor igaz bármely és értékre, ha M ( ) a, i 0,, n..., i i
Gauss-Markov tétel Előnyök: a módszer elteredt, minden matematikai - statisztikai programcsomag tartalmazza felhasználóbarát feldolgozásban. Formálisan az is tuda használni, aki nem ismeri matematikai hátteret, igaz marad a tétel akkor is, ha a függvénykapcsolat alaka: y n i p aiϕ i ( ) itt ϕ ( ) i telesen ismert függvény
Gauss-Markov tétel Hátrányok: Az első feltétel: a vizsgált változók közötti kapcsolat polinomiális. em polinommal közelítünk, hanem a vizsgált kapcsolat polinomiális. Ez a feltétel a műszaki gyakorlatban szinte soha sem tartható be. Ha a folyamat leírása közelítő, akkor a legkisebb négyzetek módszere a közelítést közelíti.
Gauss-Markov tétel A második feltétel: az egyik változót pontos, mérési hiba csak a másik változót terheli. Ez a műszaki gyakorlatban ritkán fordul elő. A gyakorlati esetek zömében mindkét változót hiba terheli.
Gauss-Markov tétel A feltétel-elemzés eredménye: a tétel matematikai feltételeit műszaki oldalról a legritkább esetben tuduk betartani. Így az értékes statisztikai állítást is csak ritkán tuduk kihasználni. Az esetek többségében a nyert közelítő függvényt csak vizuálisan tuduk értékelni.
Alkalmazás. Alkalmazás: A változók közötti kapcsolat: 3 y a a? Adott a megfigyelések eredménye: 20. 25. 3 4 ξ 2 5 2 45 99 Felrazoluk a pontokat:
Alkalmazás
Alkalmazás Becslés a legkisebb négyzetek módszerével: 5 ( ξ ) 0 3 2 Deriválás: ( ξ ) 0 2 5 3 3
Alkalmazás Rendezés: 5 5 5 3 6 6 ξ Eredmény: 5 5 ξ 6 3.558
Alkalmazás 2 Mérési eredmények 2. Alkalmazás Hányad fokú polinomot válasszunk?
Alkalmazás 2 Másodfokú polinom
Alkalmazás 2 Harmadfokú polinom
Alkalmazás 2 egyedfokú polinom
Alkalmazás 2 Ötödfokú polinom
Alkalmazás 2 Hogyan kell a fokszámot megválasztani: Módszer: Ralston: Bevezetés a numerikus analizisbe Műszaki könyvkiadó 969. Halász G.-Huba A.: Műszaki mérések. Műegyetemi Kiadó 2003.
Gauss féle normál-egyenletek: Visszatérünk a elölt egyenlethez: n i+ k k i i 0 ξ, k 0,,... n Kifetük ezt a formát: Gauss féle normálegyenletek:
Gauss féle normál-egyenletek: n i+ k k i i 0 ξ, k 0,,... n 0 2 n 0 2... n k 0 + + + + ξ 2 3... n+ 0 2 n k + + + + ξ... n n+ n+ 2 2n n 0 2... n k n + + + + ξ
Gauss féle normál-egyenletek: és ξ a megfigyelésekből adottak, a szummák kiszámíthatóak. Az ismeretlenek az 0,,, n együtthatók n+ ismeretlen, n+ egyenlet, megoldható. Amikor valamely programcsomagba polinom illesztést hatunk végre, akkor a háttérben ennek az egyenletrendszernek a megoldása zalik le
Összefoglalás A módszer céla: kiegyenlítő függvény illesztése hibával terhelt megfigyelésekhez. Számítási módszer: a kiegyenlítő függvény és a megfigyelések közötti δ eltérést kiszámítom és minimalizálom ezeket négyzetösszegét. Előny: minden kereskedelmi programcsomagban készen áll az alkalmazásra Hátrány: csak az egyik változó hibáát kezeli, a statisztikai tétel feltételeit gyakran nem tuduk betartani (vizuális értékelés).