Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős neve Dr. Nagy Károly Tantárgyfelelős beosztása Főiskolai docens. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései Ismert, hogy minden n-ed fokú algebrai egyenletnek multiplicitásokat is figyelembe véve pontosan n darab gyöke van a komplex számok körében. A célból, hogy bármely egyenletet meg tudjunk oldani a komplex számok körében, a hallgatóknak meg kell ismerniük a komplex számok halmazát és a komplex számok körében értelmezett műveleteket (összeadás, kivonás, szorzás, osztás, hatványozás, n-edik gyök), komplex számok kanonikus és trigonometrikus alakját. A hallgatók képesek legyenek a komplex számok közötti bármely művelet végre hajtására, valamint tudjanak nagy biztonsággal megoldani olyan másod és magasabb fokú egyenleteket, amelyeknek nem csak valós gyökeik vannak. A lineáris terek, a lineáris operátorok és a vektoranalízis modern elmélete alapjainak ismertetése az alkalmazási területek igényei szerint. A gyakorlaton a hallgatók szerezzenek jártasságot az alapvető módszerekben és az ehhez kapcsolódó numerikus eljárásokban. Mátrixszámítás elemeinek ismertetésével szeretnénk megkönnyíteni lineáris egyenletrendszerek megoldását és a megoldhatóság vizsgálatát. Nevezetesen főcél, hogy a hallgatók tudják alkalmazni a Cramer-szabályt, valamint a Gauss eliminációt. Fontos látni, hogy a lineáris operátorok leírhatóak mátrixok (mátrixreprezentáció) segítségével, így a mátrixok körében értelmezett műveletek kiemelt szerepet játszanak. A valószínűségszámítás elemei gyakran megjelennek a hétköznapjainkban is, a hallgatók legyenek képesek felismerni a valószínüségszámítás törvényszerűségeit akár a hétköznapi életből vett példákban, akár a tankönyvből vett példákban. Ennek megfelelően ismerjék a valószínűség klasszikus képletét, ismerjék fel a permutációk, variációk és kombinációk közötti különbséget, tudják őket alkalmazni valószínűségek kiszámítására. Legyenek tisztában a feltételes valószínűség fogalmával és tudják alkalmazni a teljes valószínűség tételét valamint a Bayes-tételt. Ismerjék a nevezetes eloszlásokat és tudják őket alkalmazni, tudják, hogy az élet mely területein jelennek meg, különös tekintettel a binomiális, a Poisson-eloszlásra, valamint a folytonos eloszlások közül az egyenletes, az exponenciális és a normális eloszlásra. Tudjanak adott eloszlásfüggvény esetén valószínűségeket meghatározni. Képesek legyenek meghatározni diszkrét valószínűségi változó eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását. Adott sűrűségfüggvényű folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értékét és szórását képesek legyenek meghatározni. 2. A tantárgy tartalma Komplex számok definíciója, műveletek komplex számok körében, összeadás, kivonás, szorzás, osztás, n-edik gyök. Komplex számok kanonikus és trigonometrikus alakja, műveletek elvégzése (hatványozás, szorzás, osztás) a trigonometrikus alak segítségével,
komplex szám abszolút értéke, konjugáltja, n-edik egység gyökök. Algebrai egyenletek, az algebra alaptétele, n-ed fokú algebrai egyenlet megoldásainak a száma. Mátrixok, nevezetes mátrixok (négyzetes mátrix, zérusmátrix, egységmátrix, diagonál mátrix, szimmetrikus és antiszimmetrikus mátrix, felsö és alsó háromszög mátrixok). Műveletek mátrixokkal, mátrixok összeadása, transzponáltja, szorzása skalárral illetve mátrixszal, mátrixok inverze, a műveletek tulajdonságai. Determinánsok, a determináns tulajdonságai, a lineáris egyenletrendszer általános alakja, determinánsok és lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának kapcsolata: Cramerszabály, lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss eliminációval. Lineáris terek. Lineáris függetlenség, függőség, bázis. Lineáris operátorok. Belső szorzat, norma, ortogonalitás (a szám n-esek terében). A kombinatorika elemei: permutáció, ismétléses permutáció, variáció, ismétléses variáció, kombináció és ismétléses kombináció (mintavétel és visszatevéses mintavétel). Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Eseménygyűrű és eseményalgebra, a Kolmogorov-féle valószínűségi mező (példa: klasszikus valószínűségi mező, geometriai valószínűségi mező), a valószínűség tulajdonságai, feltételes valószínűség, a teljes valószínűség tétele, a Bayes-tétel, események függetlensége, biztos és lehetetlen esemény. A valószínűségi változó, eloszlásfüggvény, diszkrét és folytonos valószínűségi változó, sűrűségfüggvény. Az eloszlásfüggvény és a sűrűségfüggvény jellemzése. Várható érték és tulajdonságai, szórás és tulajdonságai, kovariancia és korrelációs együttható, a függetlenség, függőség és a korrelációs együttható kapcsolata. Nevezetes diszkrét eloszlások ismertetése és jellemzése: diszkrét egyenletes eloszlás, binomiális eloszlás, Poisson-eloszlás. Nevezetes folytonos eloszlások ismertetése és jellemzése: egyenletes eloszlás, exponenciális eloszlás, normális eloszlás (és standard normális, standardizálás). A nagy számok törvényei. Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség. Statisztikai függvények: átlag, tapasztalati szórás, korrigált tapasztalati szórás, tapasztalati eloszlásfüggvény és tapasztalati sűrűségfüggvény (hisztogram ). Néhány statisztikai próba. 3. Évközi ellenőrzés módja Két zárthelyi dolgozat, melyben mind a gyakorlati mind az elméleti ismeretekről számot kell adni. A gyakorlat és az elmélet aránya 60%-40%. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai - 5. A kötelező ill. ajánlott irodalom Gát György : Valószínűségszámítás. http://zeus.nyf.hu/ ~ gatgy Solt György : Valószínűségszámítás. Műszaki Könyvkiadó, 2000. Scharnitzky Viktor : Mátrixszámítás. Műszakai Könyvkiadó, 2000. Nagy Márta, Sztrik János, Tar László : Valószínűségszámítás és matemtikai statisztika feladatgyűjtemény, Kossuth Egyetemi Kiadó, 2000. Kovács Zoltán : Feladatgyűjtemény lineáris algebra gyakorlatokhoz. KEK, 200. Móricz Ferenc : Numerikus analízis I. Nemzeti Tankönyvkiadó, 99. Móricz Ferenc : Numerikus analízis II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 99. Szidarovszki Ferenc, Molnár Sándor : Játékelmélet műszaki alkalmazásokkal. Műszaki Kiadó, 996. 6. A tantárgy tárgyi szükségletei és ellátása -
Minta elméleti kérdések: A. Csoport:. komplex szám abszolút értéke (definíció), 2. komplex szám konjugáltjának tulajdonságai, 3. az algebra alaptétele, 4. soroljon fel legalább három nevezetes mátrixot, 5. a determináns képzés tulajdonságai, 6. lineáris függőség fogalma, 7. Kolmogorov-féle valószínűségi mező fogalma, 8. jellemezze a normális eloszlást (eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény, várható érték, szórás), 9. az eloszlás függvény tulajdonságai, 0. a diszkrét valószínűségi változó fogalma,. korrelációs együttható fogalma, 2. Markov-egyenlőtlenség. B. Csoport:. komplex szám abszolút értékének tulajdonságai, 2. komplex számok szorzása, osztása, hatványozása a trigonometrikus alak segítségével, 3. az n-edik egységgyökök kiszámítása, 4. mátrix szorzása mátrixszal, 5. a determináns definíciója, 6. lineáris leképezés fogalma, 7. a feltételes valószínűség fogalma, 8. jellemezze az exponenciális eloszlást (eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény, várható érték, szórás), 9. a sűrűségfüggvény tulajdonságai, 0. a folytonos valószínűségi változó fogalma,. kovariancia fogalma, 2. nagyszámok Bernoulli-féle törvénye. C. Csoport:. komplex szám trigonometrikus alakja, 2. komplex számok n-edik gyöke a trigonometrikus alak segítségével, 3. az n-edfokú algebrai egyenlet megoldásainak a száma, 4. mátrix szorzása skalárral tulajdonságai, 5. a Cramer-szabály, 6. lineáris tér fogalma, 7. a teljes valószínűség tétele, 8. jellemezze a Poisson-eloszlást (eloszlás, várható érték, szórás), 9. a várható érték fogalma diszkrét valószínűségi változó esetén, 0. Csebisev-egyenlőtlenség,. a korrelációs együttható és a függetlenség, függőség kapcsolata, 2. a valószínűségi változók szórása.
Minta feladatsor A. csoport. Végezze el az alábbi m veleteket a komplex számok körében! a: (2 + 3i)( 8i) b: 2 + 3i 8i c: p 3 4 + 4i d: ( 4 + 4i) 4 2. Végezze el az alábbi mátrixm veleteket! A := 0 B @ 2 0 3 4 0 3 0 4 3 2 0 2 3 C A ; B := 2 2 2 2 A B =? B A =? jaj =? jbj =? 3. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert Gauss-eliminációval! x + 2y + 3z = 3x + 4y + 6z = 2 4. Oldja meg a következ másodfokú egyenletet! x 2 2x + 7 = 0 5. (Kombinatorika) Egy 0-lakásos ház elkészültekor kiderül, hogy csak 7 lakás hibamentes, bár a többi is beköltözhet. Az els napon csak öt lakásba költöznek be a lakók. Mi a valószín sége annak, hogy legalább három hibátlan lakásba költöznek be? 6. Egy m helyben három m szakban termelnek árut. Egy napon az összes termelt áru 40 százaléka az els, 30-30 százaléka a második és harmadik m szakban készült. Az els m szakban készült áruk 5 százaléka, a második m szakban készült áruk 7 százaléka, a harmadikban készült áruk 0 százaléka hibás. Mi annak a valószín sége, hogy egy találomra kivett áru hibátlan? 7. Egy sorsjátékon darab 5000 Ft-os,0 darab 500 Ft-os és 50 darab 00 Ft-os nyeremény van. A játékhoz 0000 darab jegyet adnak el. Legyen a valószín ségi változó a nyeremény értéke számítsa ki a várható értékét és a szórását! 8. Annak valószín sége, hogy egy benzinkútnál 3 percnél tovább kell várakozni 0,6. Mi annak a valószín sége, hogy ha már három percet várakoztunk akkor további három percet kell várakoznunk, feltételezve, hogy a várakozási id exponenciális eloszlású?
Minta feladatsor B. csoport. Végezze el az alábbi m veleteket a komplex számok körében! a: ( + 2i)(2 6i) b: + 2i 2 6i c: p 3 2 2i d: ( 2 2i) 4 2. Végezze el az alábbi mátrixm veleteket! A := 0 B @ 4 0 2 5 0 0 5 3 2 0 3 2 C A ; B := 2 2 2 2 A B t =? B A =? jaj =? jbj =? 3. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert Gauss-eliminációval! x + x 2 + 4x 4 = 3 3x x 2 + 4x 3 = 5 4. Oldja meg a következ másodfokú egyenletet! x 2 4x + 29 = 0 5. Egy céllövöldében három rekeszben vannak puskák, az els ben három puska van, ezekkel 0.5 a találat valószín sége. A másodikban egy puska van, ezzel 0.7 a találat valószín sége. A harmadik rekesz két puskájával 0.8 valószín séggel találunk. Mi a találat valószín sége, ha találomra választunk egy puskát? 6. A 32 lapos magyar kártyából egyszerre 3 lapot húzunk. Mi a valószín sége annak, hogy a kihúzott lapok között legfeljebb 2 zöld van? 7. Egy dobozban 0 alkatrész van, amelyek közül 4 selejtes, 3 elem mintát veszünk visszatevéssel. Mi a valószín sége annak, hogy a mintában 2 selejtes alkatrész lesz? 8. Egy adott típusú ég élettartama exponenciális eloszlású 000 óra várható értékkel. Az ég k hány százaléka fog kiégni várhatóan 900 óra alatt?
Minta feladatsor C. csoport. Végezze el az alábbi m veleteket a komplex számok körében! a: (5 + 3i)( 7i) b: 5 + 3i 7i c: p 3 4 4i d: ( 4 4i) 4 2. Végezze el az alábbi mátrixm veleteket! A := 0 B @ 2 0 3 4 0 3 0 4 3 2 0 2 3 C A ; B := 2 2 2 2 A t B =? B A =? jaj =? jbj =? 3. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert Gauss-eliminációval! x + 2y + 3z = 2 4x + 4y + 6z = 2 4. Oldja meg a következ másodfokú egyenletet! x 2 + 6x + 25 = 0 5. Egy dobozban 40 darab boríték van. Ezek közül 5-ben 60 Ft, 0-ben 50 Ft, 8-ban 40 Ft van, a többi üres. Két borítékot találomra kiveszünk a dobozból. Mi annak a valószín sége, hogy ezekben összesen 60 Ft van? 6. Tegyük fel, hogy a férak 5%-a és a n k 0.25%-a színvak. Egy 20 n b l és 5 férból álló csoportból személyt találomra kiválasztunk, kiderül, hogy színvak. Mi annak a valószín sége, hogy n t választottunk? Találomra kiválasztunk egy embert, mi annak a valószín sége, hogy az illet színvak? 7. Valaki találomra tölt ki egy totószelvényt. Mi annak a valószín sége, hogy az els hét mérk zéshez az, 2, x lehet ségek közül legalább öt helyre egyest választ? 8. jelentse annak az útnak a hosszát, amelyet egy gépkocsi az els hibáig megtesz, ez exponenciális eloszlású 500 km várható értékkel. Mi annak a valószín sége, hogy a kocsi kevesebb ideig jó mint a várható értéke?