és társai alapjainak áttekintése 2015. szeptember 16.
és társai és társai : zet s, nagy tudású, mérnöki és tudományos feladatok megoldására, mátrixközpontú (MATrix LABoratory) Octave: nyílt forrású változata, a szintaktikája teljesen azonos, kisebb tudású Pylab: A -éhoz hasonló függvények. A Python nyelvre épül, mások az er sségei mint a -nak. Laboron 7.0.1 (2004), F 113-as és 114-es termekben gyakorolhatnak ha nincs óra
Mi a? és társai Egy programozási nyelv, egy interaktív környezettel. A nyelv tartalmazza a megszokott vezérlési szerkezeteket (ciklus, feltételes elágazás... ), függvényeket és osztályokat hozhatunk létre benne. Alkalmas önmagában adatok elemzésére és megjelenítésére különféle módokon, ehhez igazodó adattípusai vannak, képes táblázatkezel b l, adatbázisból, küls eszközökb l adatot gy jteni, a kapott eredményeket és ábrákat elmenteni.
és társai A toolboxai... különböz feladatokra (csak pár példa): párhuzamos számítások statisztikai számítások jel- és képfeldolgozás pénzügyi és biológiai modellezés alkalmazásfejlesztés
és társai A numerikus értékeket használ Mi az x 2 = 2 egyenlet megoldáshalmaza? A (Pylab, Octave) numerikus értéket használ. Az úgynevezett számítógépalgebrai rendszerek pl. (MAPLE, MATEMATHICA) képesek pontos értékekkel számolni. A csak külön eszköztárral körülményesen.
és társai A numerikus értékeket használ Mi az x 2 = 2 egyenlet megoldáshalmaza? Pontos értékkel: Numerikus értékkel: { 2, 2} {1.4241, 1.4241 } A (Pylab, Octave) numerikus értéket használ. Az úgynevezett számítógépalgebrai rendszerek pl. (MAPLE, MATEMATHICA) képesek pontos értékekkel számolni. A csak külön eszköztárral körülményesen.
és társai Mátrixok: számtáblázatok Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai A matematika számos területén használatosak a mátrixok. Egyenletrendszerek megoldásában és geometriai transzformációk (forgatás egy lövöldöz s játékban) nélkülözhetetlenek. 2 0 4 6 3 3 3 3 2 0 4 5 [ 2 5 6 6 ] [ 6 3 ] 3x4-es mátrix (3 sor 4 oszlop) 1x4-es mátrix (1xm-es, tehát sorvektor) 2x1-es mátrix (nx1-es, tehát oszlopvektor) Néha kerek zárójellel jelölik.
Mátrixm veletek és társai Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai A mátrixokon az alábbi m veleket értelmezünk: A mátrixok összeadását, ebb l deniálható a különbség, a mátrixok szorzását, ebb l deniálható a hatványozás (a hányadost nem szokás deniálni, majd meglátjuk miért). És még van egy nem igazi m velet, a mátrixok számmal (skalárral) való szorzása. Akkor szoktunk m veletr l beszélni, ha két ugyanolyan matematikai objektummal m veletet végezve ugyanolyan típusú objektumot kapunk (például a fenti m veleteknél két mátrixból mátrixot, a négy alapm veletnél két számból számot, vektorok összeadásánál két vektorból harmadikat). Itt viszont egy számból és egy mátrixból fogunk mátrixot kapni. Ezeket a m veleteket majd lineáris algebrából is tanulják.
és társai Mátrixösszeadás értelmezése Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai A két tag oszlopainak és sorainak számának egyeznie kell, a mátrixok összeadása elemenként történik. Példa két 3 4-es mátrix összegére: 2 0 3 6 3 3 2 3 2 0 4 5 + 1 0 4 7 1 3 3 4 2 0 1 7 = 3 0 7 13 2 6 1 7 4 0 5 12
és társai Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai Mátrix skalárral való szorzása Számunkra a skalár egy számot fog jelenteni. A m szaki életben és a zikában egy mértékegységgel rendelkez mennyiség (tömeg, töltés, hossz) is lehet. Egy skalárral való szorzás esetén a mátrix minden elemét megszorozzuk a skalárral. Például: [ 1 8 3 2 4 2 5 ] = [ ] 2 1 2 8 2 ( 3) = 2 4 2 ( 2) 2 5 [ 2 16 ] 6 8 4 10
Mátrixok kivonása és társai Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai A mátrixok kivonását ezek után egyszer en deniálhatjuk. A kivonás tulajdonképpen a mátrix ellentettjének ( 1-szeresének) hozzáadását jelenti. A B mátrix ellentettjét a számoknál megszokott módon, B-vel jelöljük. A B = A +( 1)B = A +( B) 2 0 3 6 3 3 2 3 2 0 4 5 1 0 4 7 1 3 3 4 2 0 1 7 = 1 0 1 1 4 0 5 1 0 0 3 2
Mátixszorzás és társai Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai Két mátrix szorzása során nem elemenként végezzük el a m veletet, mint az összeadás esetén. Az A B = C szorzás elvégzését úgy tudjuk könnyen követni, ha a C (még ismeretlen) eredménymátrixtól balra írjuk az els tényez t (itt A-t), és fölé a második tényez t (B-t). A következ dián szerepl ábra mutatja, hogy az eredménymátrixot egy elemét hogyan tudjuk kiszámítani.
és társai Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai a 11 a 12... a 1p a 21 a 22... a 2p............ a a... a b 11 b 12... b 1q b 21 b 22... b 2q............ b p1 b p2... b pq c 11 c 12... c 1q c 21 c 22... c 2q............ c c... c a 21 b 12 a 22 b 22 a 2p b p2 + +... +
és társai Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai Az A B = C szorzat esetén tehát a szorzatmátrix i-edik sorának j-dik elemét az els tényez i-dik sorából és a második tényez j-dik oszlopából alkotjuk meg: c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j +... + a ip b pj A szorzás csak akkor végezhet el, ha az els tényez oszlopainak a száma megegyezik a második tényez sorainak számával. Ezt a számot jelöltük p-vel a képletben és ez el z ábrán. (A fenti összefüggést a szumma jel alkalmazásával így is lehet írni: p c ij = a ik b kj k=1 A szumma jelentése: az utána lév kifejezést a k minden értékére kiszámolom 1-t l p-ig, és az eredményeket összegzem.)
és társai Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai 2 3 1 2 0 4 5 1 1 2 3 1 5 3 0??????
és társai Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai 2 3 1 2 0 4 5 1 1 2 3 1 5 3 0 15 7 15 16 15 17
és társai Mátrix transzponáltja Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai Az eddigi m veletek zöme kétváltozós volt. Két valamib l csinált egy harmadikat. Egy egyváltozós m velet szerepelt már, az ellentettképzés. A transzponált is ilyen egyváltozós m velet: egy mátrixból egy másikat csinál. A transzponálás során az eredeti els sorból lesz az els oszlop, a második sorból a második oszlop és így tovább. A T = C a ij = c ji 1 2 3 1 1 4 6 1 2 7 A = 4 9 2, AT = 2 2 9 0 3 7 2 5 6 0 5
Mátrixok halmaza és társai Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai A továbbiakban a valós számokból álló n m-es (n sor, m oszlop) mátrixok halmazát a következ képp jelölöm: M n m 1 2 3 1 2 7 A = 4 9 2 M 4 3 A T M 3 4 6 0 5
és társai Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai Mátrixösszeadás tulajdonságai Csoporttulajdonságok 1. A mátrixösszeadás a számok összeadásához hasonlóan csoportot alkot, amely a következ négy tulajdonságokat foglalja magában: a) a mátrixösszeadás kétváltozós m velet M n m felett, azaz bármely két n m-es mátrix összege is ilyen mátrix, b) asszociatív: az összeadások végrehajtásának sorrendje nem változtat a végeredményen, Képlettel: Bármely A,B,C M n m esetén: (A + B) + C = A +(B + C) ezért ha csak összeadás van, nem is kell zárójelezni.
és társai Mátrixösszeadás tulajdonságai Csoporttulajdonságok 2. Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai c) Létezik neutrális elem. Létezik egy 0 M n m eleme a halmaznak amelyre, akármelyik A M n m elem esetén: A + 0 = A és 0 + A = A A neutrális elemet összeadásnál nullelemnek is szoktuk nevezni. (Szorzásnál pedig egységelemenek.) A M 2 3 halmaz nulleleme például: A = [ 0 0 ] 0 0 0 0
és társai Mátrixösszeadás tulajdonságai Csoporttulajdonságok 3. Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai d) Ellentett létezése. Minden A M n m mátrixnak létezik ( A-val jelölt) ellentettje, amelyre A +( A) = 0 A = [ 1 2 ] 3 1 0 7 A = [ 1 2 ] 3 1 0 7
és társai Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai Mátrixösszeadás tulajdonságai Kommutativitás A csoporttulajdonságokon felül még rendelkezik a kommutativitás tulajdonságával is: A + B = B + A bármely A és B mátrix esetén, amennyiben összeadhatóak. A csoporttulajdonságokal és a kommutatív tulajdonsággal rendelkez struktúrákat kommutatív csoportnak vagy Abel-csoportnak nevezzük. Az (M n m,+) algebrai struktúra tehát kommutatív csoport.
és társai A mátrixok, mint vektortér Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai (M n m, +, λ ) vektortér. Az M n m mátrixai úgynevezett vektorteret alkotnak az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve. Ez azt jelenti, hogy bizonyíthatóak, hogy a mátrixok két m veletére teljesülnek a következ szabályok: (M n m, +) kommutatív csoport, a következ disztributív szabályok teljesülnek: λ(a + B) = λa + λb (λ + µ)a = λa + µa még két feltétel: λ(µa) = (λ µ)a 1A = A
Alkalmazások és társai Mátrixm veletek Mátrixm veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai Órán voltak részletezve. lineáris transzformációk: forgatás (2D, 3D), tükrözés, gráfokban adott hosszúságú séták száma két csúcs között, lineáris egyenletrendszer megoldása (gyakorlaton b vebben) és még rengeteg helyen.
és társai A további részek a laborgyakorlatokhoz tartoznak, azok ismerete nem szükséges az FSZ-es hallgatók számára. Számonkérésükre a gyakorlaton kerül sor.
és társai Az mátrixok összeadását, kivonását és szorzását a programnyelvekben számok esetén megszokott módon jelöljük a -ban is: +, -, *. A skalárral való szorzásra szintén a * jelet használjuk. A mátrixok közötti elemenkénti szorzásra és osztásra és elemenkénti hatványozásra a -nak egy külön jelölése van: a megszokott m veleti jel elé tett ponttal jelöljük. A transzponáltat a mártix után elhelyezett aposztróf jelöli: A'
és társai Elemenkénti és mátrixm veletek A szorzást kétféleképpen is el lehetne végezni mátrixok között: azonos méret mátrixok esetén lehet elemenként szorozni: ha az eredeti mátrixok elemeit a ij -vel és b ij -vel, eredmény elemeit c ij -vel jelöljük, akkor c ij = a ij b ij. a következ oldalon deniált mátrix-szorzás esetén a helyzet bonyolultabb.
és társai A m veletei + - * / ^ (hatványozás) Pont nélkül elemenkénti m veletek, ponttal mátrixm veletek. A különbség a szorzásnál és a hatványozásnál fontos. Ha A és B mátrixok, mit jelenthet: A*B A.*B A^2 A.^2
és társai Mátrixok megadása -ban Elemek felsorolásával (pontosvessz helyett soremelés is lehet): A = [2 3 1; 5 3 0] [ 2 3 1 A = 5 3 0 ] Sorvektort kett spontos jelöléssel. Speciális függvényekkel. Pl. rand, eye, linspace.
és társai A kett spontos jelölés n:m n-t l m-ig egyesével a számok 2:5 [2 3 4 5] n:s:m n-t l m-ig s lépésközzel 2:3:20 [2 5 8 11 14 17 20] 1:0.1:1.5 [1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5]
és társai Sorvektor megadása a linspace függvénnyel Ugyanúgy egyenletesen (lineárisan) oszlanak el a pontok, de a lépésköz helyett a darabszámot tudjuk. linspace(kezd, vég [, darabszám]) A darabszám elhagyható. Pl. linspace(0, 7*pi+1, 1024)
és társai Kirajzoltatás A plot parancs (egyszer sítve) így néz ki: plot([x,] y[, formátum]) x és y sorvektorok, a formátum egy sztring A szögletes zárójel az elhagyható paramétereket (x és formátum) jelöli. x = [5 2 0] y = [1 3-1] % (5,1), (2,3), (0,-1) pontok ábrázolása plot(x, y, 'o') % körökkel plot(x, y, '-') % vagy plot(x, y) % összeköti vonallal
és társai Ábra készítése -ban x = linspace(0, 2*pi, 1000) % 1000 érték 0-tól 2*pi-ig plot(x, sin(x)) hold on % Így nem törl dik az el z ábra plot(x, cos(x), '.') title('szögfüggvények') xlabel('x (radian)') ylabel('y') grid on % Rács az ábrára legend('szinusz', 'koszinusz')
Feladat és társai Ábrázolja az x 2sin(x)cos(x) függvényt a [ 2, 2] intervallumon!
és társai Megoldási lehet ségek Az x sorvektor létrehozása többféle lehet. Például: x = linspace(-2, 2, 1000) x = linspace(-2, 2) x = -2:0.1:2 A kirajzoltatás: plot(x, 2*sin(x).*cos(x)) Miért kell.*?
és társai Vonaltípusok és markerek (nem teljes) formátum. + x o h és H d és D p v > < ^ magyarázat - folytonos vonal (alapértelemezett) -- szaggatott : pontozott -. pontvonal hatszög gyémánt ötszög (pentagon) háromszögek
és társai Színek jelölés r g b c y m k w magyarázat piros zöld kék ciánkék sárga bíbor (magenta) fekete (black) fehér 'ro' sárga körök, 'x' x-ekkel, 'y' sárga folytonos, ':' pontozott ha nincs szín megadva, akkor -ban: kék Pylab-ban: a következ szín a színpalettából
és társai Matematikai függvények (nem teljes) függvény sqrt sin cos tan asin atan2 exp magyarázat négyzetgyök szinusz (szögfüggvényekben radián, sind fok) koszinusz tangens arcus sinus kétváltozós arcus tangens (szemközti és melletti koordináta el jelhelyesen) exponenciális függvény (az alap e=2.717...) log természetes logaritmus (alapja e) log2 kettes alapú logaritmus log10 tizes alapú logaritmus round kerekít egészre (lásd még ceil, oor) sign el jel függvény (1, ha pozitív, -1, ha negatív, 0 ha 0 az érték)
A továbbiakról és társai A továbbiakban rendszerezni szándékozom a mátrixok m veleteinek tulajdonságait. Ez a rész nem kötelez, csak érdekl d knek készül, és hiányos. Lehet, hogy lassan készül és átmenetileg kicsit pongyola is lehet.
és társai Csoport (group) deníciója Az (G, ) párost csoportnak nevezzük, ha: A egy kétváltozós m velet az G halmaz felett, azaz bármely a,b G esetén a b G A m velet asszociatív: a,b,c G (a b) c = a (b c) Létezik n neutrális elem:!n G a G a n = a és n a = a Minden elemnek létezik inverze: a G a 1 G a a 1 = n és a 1 a = n
és társai Kommutatív csoport Egy csoportot kommutatív csoportnak (más néven Abel-csoportnak) nevezünk, ha a m velet kommutatív, azaz: a,b G a b = b a
és társai Test (eld) deníciója Az (F, +, ) hármast testnek nevezzük, ha: (F, +) kommutatív csoport, a neutrális elemét 0 jelöli (nullelem), az additív inverzet a jelöli (ellentett), (F \ {0}, ) kommutatív csoport, neutrális elemét 1 jelöli (egységelem), a multiplikatív inverzet a 1 teljesül a disztributivitás a,b,c F a(b + c) = ab + ac Példák testekre: racionális számok, valós számok, komplex számok a szokásos összeadással és szorzással. Egész számoknál a multiplikatív inverz hiányzik (reciprok).
és társai Mátrixokról az absztrakt algebra nyelvén Továbbiakban nem szorítkozunk a valós számokra, a mártix elemei tetsz leges F test elemei lehetnek, és ugyanilyen elemekkel való szorzást jelenti a skalárral való szorzás. (M n m,λ,+) (azaz az n m-es mátrixok a skalárral való szorzás és az összeadás m veletekre nézve) vektortér, (R n, ) azaz a reguláris (nem nulla determinánsú) n n-es mátrixok a mátrixszorzásra nézve nem kommutatív csoport. A neutrális eleme (egységeleme) az egységmátrixnak nevezett mátrix, ahol a f átlóban 1-esek, máshol 0-ák állnak. (Az 1 és a 0 a test egységeleme és nulleleme.)