Fa rudak forgatása II. Dolgozatunk I. részében egy speciális esetre oldottuk meg a kitűzött feladatokat. Most egy általánosabb elrendezés vizsgálatát végezzük el. A számítás a korábbi úton halad, ügyelve a változtatásokra. Most tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Az 1. ábra a forgatást lehetővé tevő csappal összekötött fa rudak oldalnézeti képe. Az egyszerűség kedvéért a rudak legyenek téglalap keresztmetszetűek. Az 1. ábrán azt szemlélhetjük, hogy hogyan néz ki az általánosabb eset. Kikötés: 0 < ( α, β ) < 90. ( 1 ) Az 1. ábráról az is leolvasható, hogy r a =, cos α r ( ) b =. cosβ A továbbiakban nem rajzoljuk meg a rudak testét, hanem csak tengelyvonalaikkal és az azokhoz kötött adatokkal dolgozunk. A felső ( lila ) rudat az érintkezési síkidomra merőleges, annak O középpontján átmenő z tengely körül tetszőleges φ szöggel elfor - gathatónak, míg az alsó ( kék ) rudat nyugvónak képzeljük. A feladat most is a rúd - tengelyek által közbezárt ψ szög, valamint a tengelyvégek t = AB távolságának meg - határozása, a φ elforgatási szög függvényében. A számítást a. ábra alapján végezzük.
A skalárszorzat értelmezése szerint:. ábra cos ψ = e e. ( 3 ) 1 Az egységvektorok kifejezései a korábbiakhoz hasonlóan : e = cosβ i sin β k ; ( 4 ) e = cos α e + sin α k ; ( 5 ) 1 1,vet e = cos ϕ i + sin ϕ j. ( 6 ) 1,vet Majd ( 5 ) és ( 6 ) - tal: e = cos α cos ϕ i + sin ϕ j + sin α k = 1 = cos α cos ϕ i + cos α sin ϕ j+ sin α k. ( 7 ) Most ( 3 ), ( 4 ) és ( 7 ) - tel: cos ψ = cos α cos ϕ i + cos α sin ϕ j+ sin α k cosβ i sinβ k = = cos α cos ϕ cosβ sin α sin β, cos cos cos cos sin sin ; ψ = α β ϕ α β ( 8 )
3 innen: ψ( ϕ ) = arccos ( cos α cosβ cos ϕ sin α sin β ). ( 9 ) Ez az első keresett függvénykapcsolat. A másodikhoz a. ábra szerint koszinusz - tétellel: t a b a b = + cos ψ ; ( 10 ) majd ( 8 ) és ( 10 ) - zel: t = a + b + a b sin α sin β cos α cosβ cos ϕ. ( 11 ) Ezután ( ) és ( 11 ) - gyel: r r r r t = + + ( sin α sin β cos α cosβ cos ϕ ) = cos α cos β cos α cosβ r r sin α sin β cos α cos β cos α cosβ = + + r cos ϕ = 1 1 cos α cos β = r + + tgα tgβ cos ϕ = r ( 1 tg ) ( 1 tg ) ( tg tg cos ) = r cos ϕ + ( tg α + tgα tgβ + tg β ) = = + α + + β + α β ϕ = 1 cos ϕ tgα + tgβ = r ( 1 cos ϕ ) + ( tgα + tgβ ) = r 4 + 4 = = r + innen: ϕ tgα + tgβ 4 sin, t tgα + tgβ ϕ ϕ = r + sin. ( 1 ) Ez a másik keresett függvénykapcsolat. Most jöjjön néhány specializáció.
4 S1. A rúdtengelyek merőlegesek egymásra Képlettel: α + β = 90. ( 13 ) Ekkor ( 13 ) miatt fennáll, hogy cosβ = cos ( 90 α ) = sin α, ( 14 ) sin β = sin ( 90 α ) = cos α. Most ( 8 ) és ( 14 ) - gyel: cos ψ = cos α sinα cos ϕ sin α cos α = sin α cos α 1 cos ϕ = 1 cos ϕ ϕ = α = α sin sin sin, cos sin sin, ϕ ψ = α ( 15 ) amiből: ϕ ψ ( ϕ ) = arccos sin α sin. Innen további specializációval: α = 45 esetére kapjuk ( 16 ) - ból, hogy ϕ ψ ( ϕ ) = arccos sin. ( 16 ) ( 17 ) Ez megegyezik az I. rész ( 7 ) képletével. Most a ( 1 ) és a ( 13 ) képletek szerint: 1 tg tg tg ( 90 α + tgα + tgβ α + α) tgα + ctgα tgα tg α + 1 = = = = = tgα 1 1+ tg α 1+ tg α 1 1 1 1 = = =, tgα 1 sin α cos α sin α tehát ekkor:
5 tgα + tgβ 1 = sin α ; ( 18 ) most ( 1 ) és ( 18 ) - cal: 1 ϕ t ( ϕ ) = r + sin. sin α Innen további specializációval: α = 45 esetére kapjuk ( 19 ) - ből, az képlettel is, hogy l ϕ ϕ 1 sin l 1 sin, t ϕ = + = + ϕ t ( ϕ ) = l 1+ sin, egyezésben az I. rész ( 9 ) képletével. r = ( 19 ) l ( 0 ) S. A rúdtengelyek az összeillesztés síkjával egyenlő szöget zárnak be Képlettel: α = β. ( 1 ) Most ( 8 ) és ( 1 ) - gyel: cos ψ = cos α cosβ cos ϕ sin α sin β = cos α cos ϕ sin α = = cos α cos ϕ 1 cos α = cos α cos ϕ + cos α 1 = cos α 1+ cos ϕ 1 = 1+ cos ϕ ϕ ϕ = α = α = α cos 1 cos cos 1 1 cos cos, ϕ cos ψ = 1 cos α cos, ( )
6 innen: ϕ ψ ( ϕ ) = arccos 1 cos α cos. ( 3 ) Innen további specializációval: α = 45 esetére kapjuk ( 3 ) - ból, hogy 1 ϕ ϕ ψ ( ϕ ) = arccos 1 cos = arccos sin, amiből ( 17 ) - tel is: ϕ ψ ( ϕ ) = ψ ( ϕ ) = arccos sin. ( 4 ) Ezután ( 1 ) és ( 1 ) szerint: tg t r α sin ϕ r ( tg ) sin ϕ ϕ = + = α +, ϕ t ( ϕ ) = r ( tgα ) + sin. (5 ) Innen további specializációval: α = 45 esetére kapjuk ( 5 ) - ből, ( 0 ) - szal és az l r = képlettel is, hogy l ϕ ϕ ϕ t ( ϕ ) = 1+ sin = l 1+ sin = l 1+ sin = t ( ϕ), ϕ t ( ϕ ) = t ( ϕ ) = l 1+ sin, ( 6 ) egyezésben a korábbiakkal. Most egy további, gyakorlatilag is fontos összefüggésre hívjuk fel a figyelmet.
7 Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra Ez alapján írhatjuk, hogy h1 sin α = h1 = k sin α, k h1 sin α = h h sin β sin β = h = k sin β, k Eszerint h 1 = h, ha α = β.. ( 7 ) Most alkalmazzuk képleteinket az elfordítási szög néhány esetére! Adatok: r = 10 cm, α = 60, β = 30. Ekkor ( 13 ) érvényes, így a ( 16 ) a ( 19 ) képletekkel dolgozunk. 1. ϕ = 0 : 4. ábra. Ekkor a mondott képletekkel és adatokkal: 0 ψ ( 0 ) = arccos sin 60 sin = arccos 0 = 90, 1 0 1 3 t ( 0 ) = r + sin = 0 ( cm) = 40 ( cm) = 3, 09 ( cm ). sin 60 sin 60 3 ( a )
8 4. ábra. ϕ = 90 : 5. ábra. 5. ábra 90 ψ ( 90 ) = arccos sin 60 sin = 115, 66. 1 90 66 t ( 90 ) = 10 ( cm) + sin = 10 ( cm) = 7, 08 cm. sin 60 3 ( b )
9 3. ϕ = 180 : 6. ábra. 6. ábra 180 ψ ( 180 ) = arccos sin 60 sin = 150, 1 180 1 t ( 180 ) = 10 ( cm) + sin = 0 ( cm) = 30,55 ( cm ). sin 60 3 Megjegyezzük, hogy a fa maketten végzett szögmérések eredményei jól egyeztek a számítottakkal. A távolságmérések pontos kivitelezése már sokkal macerásabb. A ψ*(φ) függvényt a fenti adatokkal mutatja be a 7. ábra. Ez már nem csúcsos. A t(φ) / r függvény alakulását a 8. ábra mutatja. A számítások során alkalmazott, nem részletezett összefüggések, azonosságok meg - találhatók [ 1 ] - ben. A fa makettek elkészítéséért Miklovicz Lászlónak és tanulóinak mondok köszönetet. ( c ) Irodalom: [ 1 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban
10 pszi ( fok ) f(x)=acos(-((sin(x/))^)*sin(10)) 180 170 160 150 140 130 10 110 100 90 80 70 60 50 40 30 0 10 fi ( fok ) -0-10 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 10 130 140 150 160 170 180 190 00 10 0 30 40 50 60 70 80 90 300 310 30 330 340 350 360 370-10 -0 7. ábra t / r f(x)=*sqrt(4/3+((sin(x/))^)) 4 3.8 3.6 3.4 3. 3.8.6.4. 1.8 1.6 1.4 1. 1 0.8 0.6 0.4 0. fi ( fok ) -10 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 10 130 140 150 160 170 180 190 00 10 0 30 40 50 60 70 80 90 300 310 30 330 340 350 360 370 380-0. 8. ábra Sződliget, 013. március 9. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár