Örök visszatérés Periodikus sorozatok Sorozatok 2. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 13 16 év szabályfelismerés, szabályalkotás oszthatóság, maradékosztályok racionális és irracionális számok függvények, grafikonok indirekt bizonyítás, skatulya-elv Az események, jelenségek ismétlődése alapvető élmény az ember életében. A természettudományok számos témaköre foglalkozik a periodikus jelenségekkel, folyamatokkal. Természetesen a matematika is megalkotta azokat a fogalmakat és törvényszerűségeket, amelyek általános modellként alkalmasak a periodikus jelenségek leírására, további vizsgálatára. Például a trigonometrikus függvények ismerete nélkülözhetetlen a fizika alapvető fogalmainak, a rezgések és hullámok tulajdonságainak megértéséhez. Ebben a feladatcsomagban a sorozatok témakörében keresünk néhány példát a periodicitás matematikai megjelenítésére. A feladatok listája 1. Segít az ismétlődés (találékonyság, számolási rutin) 2. Kitalálod, mire gondoltam? (találékonyság, számolási rutin) 3. Periodikus-e? (találékonyság, számolási rutin, bizonyítási igény) Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 1
Módszertani tanácsok A feladatok megoldása során több fontos kérdésre is rávilágítunk. Játékos formában mutatjuk meg például azt, hogy egy sorozatot nem határoz meg néhány megadott tagja, sőt bármely véges részsorozathoz végtelen sok megfelelő szabály létezik, persze ezek általában különböző sorozatokat adnak meg. Javasoljuk, hogy a gyerekek páros munkaformában valóban játsszák végig a leírt játékokat. A feladatokhoz kapcsolható a végtelen tizedes törtek tulajdonságainak vizsgálata is. Itt alkalmat találhatunk arra, hogy tisztázzuk, a racionális számok halmaza és a végtelen szakaszos tizedes törtek halmaza azonos, valamint példákat mutatunk irracionális számokra is. Megoldások, megjegyzések 1. Segít az ismétlődés 1. A kód számjegyei: x, 2, 13 2 x, x, 2, 13 2 x, x, Az első három számjegy a továbbiakban ismétlődik, az első, a negyedik, a hetedik számjegy az x, a második, az ötödik, a nyolcadik a 2, a 3-mal osztható sorszámúak értéke 13 2 x. A tizenharmadik számjegy 4, ugyanannyi, mint az első, a negyedik, a hetedik, a tizedik, tehát x = 4. A számjegyek sorra: 4, 2, 7, 4, 2, A hitelkártya kódja: 42742742742742 2. a) Ezt a feladatot az előző feladat módszerével oldjuk meg. Ha bármely három szomszédos tag összege 5, az első tag pedig 1, akkor a tagok így írhatók: 1, x, 5 1 x, 1, x, 5 1 x, 1, x, 5 1 x, A nyolcadik tag 10, tehát x = 10. A sorozat tagjai így: 1, 10, 6, 1, 10, 6, A 100 3-as maradéka 1, tehát a századik tag ugyanaz, mint az első: 1. 2 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)
A 12 345 szám osztható 3-mal, tehát a 12 345. tag ugyanaz, mint a harmadik: 6. b) A sorozat periódusa 3 egymást követő tag. Ezért a tagok értéke attól függ, hogy a sorszámnak mennyi a 3-as maradéka. 3. a) A sorozat: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, Négy szomszédos tag ismétlődik. A 9. tag 2, a 20. a 6. b) A tagok értéke attól függ, hogy 4-gyel osztva mennyi a maradék. Az 1 maradéknál 2, a 2 maradéknál 4, a 3 maradéknál 8, a 0 maradéknál 6. 4. a) 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, b) 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, 7, c) Vannak olyan számjegyek, amelyek mindig ugyanazt a végződést adják: 0, 1, 5, 6. Ha 4-gyel kezdünk, a periódus csak 2 tagú: 4, 6. A 8-nál: 8, 4, 2, 6, 8, 4, 2, Ugyanazok a végződések, mint a 2-nél, csak 2 taggal eltolódva. A 9 végződéseinek sorozatában 2 tagú a periódus: 9, 1. Tehát a különböző számjegyek különböző szabályszerűséget mutatnak, de van egy közös tulajdonságuk, az 5. tag mindegyiknél ugyanaz, mint az első. Másképpen fogalmazva, bármely egyjegyű pozitív egész szám ötödik hatványa a tízes számrendszerben ugyanarra végződik, mint maga a szám. d) Más számrendszerekben is periodikusak az egyes számjegyek hatványainak végződéseiből álló sorozatok. A 6-os számrendszerben nemcsak az ötödik, hanem a harmadik hatványok utolsó jegyei is megegyeznek az alappal, de például a nyolcas számrendszerben nincs ilyen visszatérés. Érdemes tovább vizsgálódni. 2. Kitalálod, mire gondoltam? 1. a) Anna szabálya: Kétszerezzük a tagot, és állapítsuk meg a 9-es maradékát, ez lesz a következő szám, tehát: 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, A sorozat periodikus lesz. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 3
2. a) A 2-hatványok sorozatában (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ) minden harmadik tagot felcserélt az előtte levővel: 1, 4, 2, 8, 32, 16, 64, 256, 128, b) Balázs sorozata: 1, 4, 2, 8, 1, 4, 2, 8,, tehát a tagok a sorszám négyes maradékától függnek. A 10. tag a 4, a 28. a 8 és a 203. tag a 2. 3 2 c) Az an + bn + cn + d polinomban az n helyébe sorra behelyettesítünk 1-et, 2-t, 3-at és 4-et, és az így kapott kifejezést tesszük egyenlővé a megfelelő sorszámú tagok értékével. Ekkor egy négyismeretlenes egyenletrendszert kapunk, amelyből kiszámíthatjuk az a, b, c és d értékeket, ezek a feladatban szereplő együtthatók. 3. a) Bármely jó szabály megfelel. b) Az 1 tizedes tört alakja: 0,142857142 A tizedesjegyek 7 periodikusan ismétlődnek, egy periódus éppen a tanár sorozatának első hat eleme: 1, 4, 2, 8, 5, 7. A feladat kapcsán érdemes megbeszélni, hogy mik a racionális számok, és tisztázni, hogy minden racionális szám (a végesek is!) felírható végtelen szakaszos tizedes tört alakban, és csakis a racionális számok írhatók ilyen alakban. Véges tizedes tört például az 1 = 05, = 05000f, vagy másképp: 0,49999 2 c) 3 = 0, 428571428571f 7 5 = 0, 714285714285f 7 Érdekes észrevétel, hogy a periódusuk tagjai ugyanazok, csak eltolódva. Még sok más érdekességet találhatunk 1 az -del kapcsolatban, érdemes keresgélni matematikai népszerűsítő könyvekben vagy az interneten. 7 1 = 0, 0588235294117647f A periódus hossza 16 számjegy. 17 25 = 0, 2525252f A periódus a 25. 99 4 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)
Ehhez kapcsolva megmutathatjuk, hogyan alakíthatjuk vissza a periodikus tizedes törteket két egész szám hányadosára. Az általános bizonyítás már a végtelen mértani sorok témaköréhez vezet. 3. Periodikus-e? 1. A sorozat: 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, A sorozat periodikus, a 7. és a 8. tag ugyanaz, mint az első kettő volt, ebből már a szabály szerint következik a többi. 2. A sorozat első néhány eleme: 4, 0, 2, 2, 0, 4, Bár a 6. tagban visszatért az első érték, a sorozat nem periodikus, a következő tag 10, és továbbiakban monoton növekedő. A képlet n-nek másodfokú függvénye, nem periodikus függvény. Az első öt tag szépen mutatja a másodfokú függvény szimmetriáját. A sorozat grafikonján a pontok egy normál parabola görbéjén sorakoznak, melynek a szimmetriatengelye az x = 3,5 egyenes. 3. A sorozat: 1, 3, 1, 3, 1, periodikus, a 1 hatványai váltakozva adnak 1-et, illetve +1-et. 4. A sorozat: 1, 2, 3, 5, 8, Ez az ismert Fibonacci-sorozat, nem periodikus, monoton növekvő. 5. A sorozat: 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 0, 0,2, 0,4, ez periodikus. A sorozat grafikonjának pontjai egy törtrész függvény görbéjén sorakoznak. Ez a törtrész függvény periodikus, periódusa =. A függvény 0 helyei az egész számú több- 1 5 5 12, 6 6 szöröseinél vannak, ezek közül minden ötödik (n = 5, 10, 15, ) tartozik a sorozat grafikonjához is, mert ezeken a helyeken lesz a zárójelen belüli érték egész szám. 12, n 6n =. 5 Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 5
6. A 2 hatványok utolsó számjegyeinek sorozata: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 6, 8, 2, Ez periodikus, a periódus hossza 4. A kétjegyű számok száma 90. A kétjegyű számok közül csak sokkal kevesebb lehet a 2 hatványainak két utolsó számjegye, hiszen az utolsó számjegy nem 10-féle, csak négyféle lehet. Így ezek közül legfeljebb 40 lehet különböző, ha pedig valamelyik végződés ismétlődik, attól kezdve a sorozat újra kezdődik, hiszen minden tag utolsó két számjegye már csak az előzőtől függ. Felírjuk a sorozatot úgy, hogy az első néhány tagot is kiegészítjük 0-val kétjegyűre: 02, 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 04, 08, A 22. tag újra megegyezik az elsővel, a periódus hossza 21. 7. A Fibonacci-sorozat: an+ 2 = an+ 1+ an a1 = 1, a2 = 2 Bármelyik tagot az előző két tag határozza meg egyértelműen, ezek mindkettőjének utolsó számjegye 10-10-féle különböző lehet, tehát legfeljebb 100 különböző számpárt alkothatunk belőlük. Így biztos, hogy legfeljebb a 101. végződéspár már valamelyik korábbival megegyezik (skatulyaelv), ettől kezdve már ismétlődik a sorozat. Kiszámítottuk, hogy a 68. és a 69. tag értéke újra a 01, 01, tehát innen ismétlődik a sorozat. 8. Nem periodikus végtelen tizedes tört, tehát nem racionális szám. 9. A 0,1234567891011 végtelen tizedes tört nem lehet periodikus. Ha periodikus lenne, találni kellene egy pozitív egész számot, amely a periódus hosszát adná meg (indirekt bizo- 6 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)
nyítás). Vizsgáljunk egy ilyen esetet egy konkrét példán: Válasszunk egy számot! Gondoljunk például arra, hogy lehetne-e a periódus hossza 1000? Mivel minden pozitív egész számra sor kerül, így a számjegyek között megjelenne az 10 1000 is, azaz 1000 darab 0 számjegy követné egymást. Mivel az 1000-t gondoltuk egy periódus hosszának, ez az 1000 db 0 számjegy ismétlődik a továbbiakban végtelen sokszor. Ez nyilván ellentmond a szám konstrukciójának. Ugyanígy gondolkodhatunk az általános indoklásban is. Tehát ez a szám nem periodikus tizedes tört, így irracionális szám. Érdemes megjegyezni, hogy ehhez hasonlóan számtalan példát tudunk mutatni irracionális számra, így a diákok már nemcsak a 2 vagy a egy specialitásának gondolhatják az irracionalitást. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 7
Sorozatok Találékonyság 3.2 1. Segít az ismétlődés 13 16. év Örök visszatérés Az események, jelenségek ismétlődése alapvető élmény az ember életében. Terveinket igazítjuk az évszakok rendszeres ismétlődéséhez, elfoglaltságainkat meghatározzák a hetenként egyformán visszatérő napok: hétfő, kedd, szerda, csütörtök, péntek, szombat, vasárnap, és újra a hétfő és így tovább a hét napjai. Sok nagy természettudományos felfedezés kötődik a periodikus jelenségekhez, például Kepler bolygótörvényei vagy az elemek Mengyelejev-féle periodikus rendszere. Természetesen a matematika is megalkotta azokat a fogalmakat és törvényszerűségeket, amelyek általános modellként alkalmasak a periodikus jelenségek leírására, további vizsgálatára. Például a trigonometrikus függvények ismerete nélkülözhetetlen a fizika alapvető fogalmainak, a rezgések és hullámok tulajdonságainak megértéséhez. Ebben a feladatcsomagban a sorozatok témakörében keresünk néhány példát a periodicitás matematikai megjelenítésére. 1. Egy vásárlónak szüksége volt a hitelkártyája kódszámára. Emlékezett rá, hogy a kódszám 14 jegyből áll. Tudta azt is, hogy bármely három szomszédos számjegyének összege 13, és eszébe jutott, hogy a második számjegye 2 és a tizenharmadik számjegye 4. Ezekből már hamarosan kitalálta a többi számjegyet is. Vajon hogyan gondolkodott? 2. a) Egy végtelen számsorozatban bármely három szomszédos tag összege 5, a sorozat első tagja 1, a nyolcadik tagja 10, mennyi a 100. és mennyi a 12 345. tagja? b) Fogalmazzunk meg szabályt a sorozat tetszőleges sorszámú tagjának meghatározására! 8 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)
Sorozatok Találékonyság 3.2 3. a) Egy számsorozat első eleme 2, a következő tagok: 4, 8, majd a további tagokat úgy képezzük, hogy a 2 következő hatványának csak az utolsó számjegyét írjuk le. Határozzuk meg a sorozat 9. és 20. tagját! b) Fogalmazzunk meg szabályt a sorozat tetszőleges sorszámú tagjának meghatározására! 4. Oldjuk meg az előző feladatot, a) ha a kezdő tag 3! b) ha a kezdő tag 7! c) ha a kezdő tag tetszőleges 10-es számrendszerbeli számjegy! d) Vizsgáljuk meg, mi a helyzet más számrendszerekben? Nézzük meg például a hatványok végződéseit a 3-as és a 6-os számrendszerben! 13 16. év Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 9
Sorozatok Találékonyság 3.2 2. Kitalálod, mire gondoltam? 13 16. év 1. Anna és Balázs matematikatanára gyakran mutat az osztálynak matematikai játékokat, ezekben a gyerekek örömmel vesznek részt. Egyik órán jelentkeztek azzal, hogy ők is kitaláltak egy játékot. A következő feladatban megismerjük Anna és Balázs játékötletét. A játék lényege, hogy a kezdő játékos megadja egy sorozat két első tagját, a második játékos megpróbálja kitalálni, milyen szabályra gondolt az első játékos, és aszerint folytatja a sorozatot. Ha eltalálja, ő mondhat két újabb kezdő számot. Ha nem találja el, az első játékos megmondja a sorozat következő tagját, és ismét a második játékos találgat. Ha ezután sem találja el a szabályt, az első megmondja a sorozat következő tagját, és így tovább. A játékban az nyer, akinek a szabályát a leghosszabb részsorozat után találják ki. a) Anna: a1 = 1, a2 = 2 Balázs: a különbségsorozat 1, 2, 3,, tehát a következő tag a 4. Anna: Valóban a 4 következik, de nem a te szabályod szerint. A te szabályod szerint a 7 következne, de az én sorozatomban a 8 jön. Tehát a sorozatom első négy tagja: 1, 2, 4, 8. Balázs: Mindig kétszerezed a tagokat, tehát a 16 jön. Anna: A következő tag nem 16, hanem 7. Balázs: Nem tudom, passz! Anna: Még egy segítség: a következő tag: 5. Mire gondolhatott Anna? Segítsetek Balázsnak! b) Játsszatok hasonló játékot! 10 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)
Sorozatok Találékonyság 3.2 2. A következő órán már mások is bekapcsolódtak Anna és Balázs játékába. Többek javaslatára módosítottak a játékszabályokon. Most már nem az cél, hogy kitaláljuk az első játékos gondolatát, hanem az, hogy keressünk minél több olyan szabályt, amely megfelel az előre megadott néhány tagnak. Ismerjük egy sorozat első néhány tagját: 1, 4, 2, 8. Adjunk meg szabályt, ellenőrizzük, és annak alapján határozzuk meg a következő néhány tagot. a) Anna sorozata: 1, 4, 2, 8, 32, 16, 64, 256, 128, 512, Vajon mi volt Anna szabálya? b) Balázs szabálya: Ez a négy szám (1, 4, 2, 8) ismétlődjön végtelenségig. Mi lesz a 10., a 28., a 203. tag? Hogyan határozzuk meg az így kapott periodikus sorozat tetszőleges tagját? c) ili, a legjobb számoló az osztályban, a következő képletet mutatta meg: a 13 3 n 31 2 n 103 n = + n 20 6 2 3 Ellenőrizzük ili képletét! Vajon hogyan kapta ezt a képletet ili? 3. a) A gyerekek matematikatanára azt mondta, hogy ő is mutat egy nagyon érdekes sorozatot, amelynek az első négy eleme egyezik az előzővel, de ő megadja az első hat tagot: 1, 4, 2, 8, 5, 7. Ehhez keressetek szabályt! b) Határozzuk meg az 1 tizedestört alakját. Mi lesz az így 7 kapott tizedes törtben a tizedesvessző után a 24., a 100. és a 211. számjegy? c) Határozzuk meg a következő törtek tizedes tört alakjában a tizedesvessző utáni 5., 33. és 100. számjegyet! 3, 5, 1, 25 7 7 17 99 13 16. év Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 11
Sorozatok Találékonyság 3.2 3. Periodikus-e? 14 16. év Az alábbi sorozatokban azt vizsgáljuk, hogy a megadott sorozat periodikus-e. 1. an+ 2 = an+ 1 an a1 = 1, a2 = 2 2 2. an = n 7n+ 10 n 3. an = ^ 1h + 2 4. an+ 2 = an+ 1+ an a1 = 1, a2 = 2 5. an = " 12, $ n, (Itt {x} az x szám törtrészét jelenti.) 6. Egy korábbi feladatban láttuk, hogy a 2 pozitív egész kitevőjű hatványai utolsó számjegyének sorozata periodikus. (2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, ). Igaz-e, hogy az utolsó két számjegyből álló számok sorozata is periodikus? 7. Igazoljuk, hogy a Fibonacci-sorozat tagjainak utolsó számjegyéből képezett sorozat periodikus! 8. Egy végtelen tizedes tört első néhány számjegyét kiírtuk: 0,121121112111121 A továbbiakban is csak az 1 és 2 számjegyek fordulnak elő, mindig eggyel több 1 után jön a 2. Vajon ez a szám racionális vagy irracionális? 9. Bizonyítsuk be, hogy az a végtelen tizedes tört, amelyben az egészek helyén áll a 0, a tizedesvessző után pedig sorra írjuk a pozitív egész számokat: 0,12345678910111213 nem lehet racionális szám! 12 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)