SZÁMRENDSZEREK. c) 136; c) 3404; = 139 c) = 508 e) = 5843.

Átírás

1 SZÁMRENDSZEREK A megadott sorrendet követve írtuk át a számokat: a) 2-es számrendszerben: 11; 1001; 1100; 10001; 10111; ; b) 3-as számrendszerben: 21;110;1011; 1020; 10100; 10102; c) 6-os számrendszerben: 12; 14; 20; 23; 100; 140; 224. d) 4-es számrendszerben: 13; 20; 21; 101; 111; 303; e) 12-es számrendszerben: 11; 50; 1(10); 101; 1011; f) 7-es számrendszerben: 26; 43; 60; 100; 202; 2021; a) 1; 10; 11; 100; 101; 110; 111; 1000; 10001; 1010; 1011; 1100; 1101; 1110; 1111; 1000; 10001; 10010; 10011; b) 1; 2; 10; 11; 12; 20; 21; 22; 100; 101; 102; 110; 111; 112; 120; 121; 122; 200; 201; 202. c) 1; 2; 3; 4; 10; 11; 12; 13; 14; 20; 21; 22; 23; 24; 30; 31; 32; 33; 34; 40. d) 1; 2; 3; 4; 5; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 30; 31; 32. e) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26. f) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 20; 21; 22; 23; a) 61; b) 52; c) 11; d) 228; e) 318; f) 2926; g) 2070; h) 289; i) 1912; j) 200; k) 482; l) A táblázat alsó sorában egy 5-ös számrendszerbeli szám szerepel. Ha ezt átírjuk 10-es számrendszerbe, akkor megkapjuk a darabszámot, ha 7-es számrendszerbe, akkor megkapjuk az új csoportosítás szerinti értékeket. A válaszoknál elõször a darabszám, majd a 7-es számrendszerbeli szám szerepel. a) 275; b) 386; c) 136; d) 651; A válaszokban az elsõ szám a darabszám, a másodikban ennek 8-as számrendszerben felírt alakja szerepel. a) 208; b) 515; c) 3404; d) 1328; Mindegyik esetben a lehetõ legkisebb a lapot vettük csak figyelembe. Természetesen ezeknél nagyobb alapok is helyesek lehetnek. a) = 25 b) = 139 c) = 868 d) = 508 e) = 66 f) = A válaszokat táblázatban megadva: Számrendszer alapja Egyjegyûek száma Kétjegyûek száma Háromjegyûek száma

2 SZÁMRENDSZEREK Megjegyzés: Igazolható, hogy egy n-es alapú számrendszerben a k-jegyû számok száma: n k - n k a) 1 b) 0 c) 0 d) 0 e) = a) 1 b) 0 c) 0 d) 1 e) = A számokat azonos számrendszerbe (pl. 10-es alapúba) átírva összehasonlíthatjuk õket. a) 11 5 < 21 3 = 13 4 < b) 44 5 < < < c) 37 8 < 65 7 < < d) < < < e) < < < a) = b) = c) = d) = e) = f) = Az feladat felírásából adódik az eljárás helyessége a) 8 = = 22 3 = 13 5 = 10 8 = 8 9 b) 17 = = = 32 5 = 21 8 = 18 9 c) 22 = = = 42 5 = 26 8 = 24 9 d) 324 = = = = = e) 1000 = = = = = f) = = = = = x -et hatványalakban felírva: 5x + 6 = 41 egyenlet adódik. Ennek megoldása x = A 3x + 2 = 23 egyenletbõl x = 7 adódik A 3x + 4 = 22 egyenletbõl x = 6 adódik A 6x + 7 = 61 egyenletbõl x = 9 adódik A 7x + 4 = 88 egyenletbõl x = 12 adódik A 4x + 5 = 185 egyenletbõl x = 45 adódik Az x 2 + 2x + 1 = 16 egyenletbõl x 1 = 3 és x 2 = -5 adódik. A feladatnak csak az x 1 = 3 lesz megoldása. 329

3 SZÁMRENDSZEREK Az x 2 + 2x + 1 = 25 egyenletbõl x 1 = 4 és x 2 = -6 adódik. A megoldás x 1 = A 2x 2 + 4x + 2 = 72 egyenletbõl x 1 = 5 és x 2 = -7 adódik. A megoldás x 1 = A 3x 2 + 6x + 3 = 243 egyenletbõl x 1 = 8 és x 2 = -10 adódik. A megoldás x 1 = A 4x = 200 egyenletbõl x = 7 és x = -7 adódik. A megoldás x = Mivel = 211, ezért a felírható egyenlet: 4x + 3 = 211. Ezt megoldva a számrendszer alapja x = = 58, ezért felírható, hogy 7x + 2 = 58. Ebbõl a számrendszer alapjára x = 8 adódik = 400, ezért felírható, hogy 4x 2 + 8x + 4 = 400. Ennek az egyenletnek a megoldásai x 1 = 9 és x 2 = -11. A számrendszer alapja x 1 = = 72, ezért felírható, hogy 2x 2 + 4x + 2 = 72. Ennek megoldásai x 1 = 5 és x 2 = -7. A feladat megoldása x 1 = A kérdés megválaszolásához elegendõ a számrendszerekben az adott számokat hatványok összegeként felírni. Például: = A megfelelõ tagok paritását és ezek számát megvizsgálva adódik, hogy melyik szám lesz páros. Ezeket felsorolva kapjuk, hogy páros szám: a) b) c) A 3-as számrendszerben azok a számok oszthatók 3-mal, amelyek 0-ra végzõdnek. A 9- es számrendszerben azok a számok oszthatók 3-mal, amelyek 3-mal osztható számra végzõdnek. Így a 3-mal osztható számok: ; ; A és a oszthatók 4-gyel, mert 0-ra végzõdnek. A = 336, ezért ez is osztható 4-gyel. A = 3082, ez pedig nem osztható 4-gyel. Megjegyzés: Egy k-alapú számrendszerben felírt számról belátható, hogy akkor és csak akkor osztható k - 1-gyel, ha a számjegyek összege osztható k - 1-gyel. Így az 5-ös számrendszerben felírt számokról ez alapján is eldönthetõ, hogy oszthatók-e 4-gyel Az feladat megoldását figyelembe véve a 6-tal osztható számok: ; Az eredmények a következõk: a) b) c) d) a) b) c) a) A kettes szorzótábla: 330

4 SZÁMRENDSZEREK 01 1 = = = = 100 b) A hármas szorzótábla: 01 1 = = = = = = = = = 100 c) A négyes szorzótábla: 01 1 = = = = = = = = = = = = = = = = 100 d) A hatos számrendszer szorzótáblája: 01 1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = A szorzat eredményei: a) b) c) Írjuk fel a számokat az alap hatványainak segítségével. Az így kapott egyenletet megoldva adódnak az ismeretlen alapok. a) = x + 1; x = 6. b) 3x + 4x = x 2 + x; x 1 = 0 vagy x 2 = 6. A rendszer alapja csak a 6 lehet. c) 2x 2 + 2x 2 = 2x 3 ; x = 0 vagy x = 2. A feladatnak nincs megoldása, hiszen 2-es számrendszerben nem szerepelhetnek 2-es számjegyek. d) x + x + 1 = x 2 + 1; x = 0 vagy x = 2. Az ismeretlen számrendszer 2-es alapú a) Bármilyen 8-nál kisebb számjegy megfelelõ. b) Csak az 1 lesz a megfelelõ = 94. c) A megoldás 0; 2; 4; 6 vagy 8. d) A megoldás 0; 2 vagy a) Az utolsó számjegynek 3-mal oszthatónak kell lennie: 0 vagy 3. b) Csak 0 lehet a behelyettesíthetõ szám. c) Az utolsó számjegynek 4-gyel oszthatónak kell lennie: 0 vagy 4. d) Az feladatban tett megjegyzés alapján annak kell teljesülnie, hogy a számjegyek összege osztható legyen 4-gyel. Ez 2 esetén teljesül. A megfelelõ szám a =

5 SZÁMRENDSZEREK e) 0 vagy 5 a megoldás. f) 5 a helyettesíthetõ számjegy Az összeadás szabályait figyelembe véve a következõ megoldást adhatjuk: a) Az utolsó számjegy páros lesz. b) Az utolsó számjegy 3-mal osztható, azaz 0 vagy 3. c) A szám 0-ra végzõdik. d) A szám jegyeinek összege 5-tel osztható lesz a) A szám 0-ra végzõdik. b) Az utolsó két számjegye 0. c) Az utolsó három számjegye 0. d) A szám jegyeit váltakozó elõjellel összeadva 3-mal osztható számot kapunk A 4-gyel való oszthatóság szempontjából csak a 0 és a 4 helyettesíthetõ be. A 7-tel való oszthatósághoz a számjegyek összege 7-tel osztható kell, hogy legyen. Ez a 4-es számjegy esetén teljesül. A megfelelõ szám: = A 3-mal való oszthatóság miatt 0; 3 vagy 6 számjegy lehet megfelelõ. A 8-cal való oszthatóság miatt a számjegyek összege 8-cal osztható, így ezek közül a 6 lesz a megoldás: = A «helyére csak páros szám helyettesíthetõ és a számjegyek összege 5-tel osztható. A lehetséges megoldások: «ª A feltétel azt jelenti, hogy 2-vel és 5-tel osztható számokat keressük. Az feladat megoldásához hasonlóan kapjuk, hogy: «ª A számnak 3-mal és 5-tel kell oszthatónak lenni. Az utolsó számjegy csak 0 vagy 3 lehet és a számjegyek összege osztható kell, hogy legyen 5-tel. A megoldások: vagy Egy lehetséges megoldást adunk meg. A számok nagyságrendjét illetve sorrendjét figyelembe véve adódik, hogy: 332

6 SZÁMRENDSZEREK a) b) Elegendõ egyetlen láncszemet levágni. Ez legyen a sorban a harmadik. Így minden nap tud alkalmas mennyiségû láncszemmel fizetni a vándor. 333

7 TARTALOM MÛVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL... 5 Számok írása, olvasása a tízes számrendszerben (1-34)... 5 Természetes számok összeadása, kivonása (35-99)... 8 Természetes számok szorzása ( ) Természetes számok osztása ( ) MÛVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL Egész számok értelmezése ( ) Egész számok összeadása, kivonása ( ) Egész számok szorzása, osztása ( ) MÛVELETEK TÖRTSZÁMOKKAL Törtek összehasonlítása. Bôvítés, egyszerûsítés ( ) Törtek összeadása, kivonása ( ) Tört szorzása természetes számmal ( ) Tört osztása természetes számmal ( ) Szorzás törttel (a törtrész kiszámítása) ( ) Osztás törttel (az egész mennyiség kiszámítása) ( ) Vegyes feladatok ( ) HATVÁNYOZÁS ( ) MÛVELETEK TIZEDES TÖRTEKKEL Tizedes törtek írása, olvasása, összehasonlítása ( ) Tizedes törtek összeadása, kivonása ( ) Tizedes törtek szorzása, osztása ( ) NAGY ÉS KICSI SZÁMOK ÍRÁSA, NORMÁLALAK ( ) MÛVELETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEKKEL ( ) EGYENLETEK ( ) EGYENLÔTLENSÉGEK ( ) ELSÔFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLÔTLENSÉGRENDSZEREK ( ) ELSÔFOKÚ EGYENLETTEL, EGYENLÔTLENSÉGGEL MEGOLDHATÓ FELADATOK ( ) FÜGGVÉNYEK Hozzárendelések ( ) Arányosságok ( ) Lineáris függvények ( ) Másodfokú függvények ( ) Tört, abszolútérték és négyzetgyökfüggvény ( ) Grafikonok a koordináta-rendszerben ( ) Garfikusan és algebrai úton is megoldható feladatok ( ) SOROZATOK A sorozat megadása ( ) Számtani sorozatok ( ) Mértani sorozatok ( ) Vegyes feladatok ( ) OSZTHATÓSÁG Osztók és többszörösök ( ) Maradékos osztás ( ) Oszthatósági szabályok ( ) Közös többszörös, közös osztó ( ) Vegyes feladatok ( )

8 SZÁMRENDSZEREK ( )

9 Könyvajánlat Csahóczi Erzsébet TÖPRENGÔ III - IV. Gondolkodtató matematikai feladatok 8-9, 9-10 éveseknek A Töprengô c. feladatgyûjtemény a matematika iránt érdeklôdô 8-9, illetve 9-10 éves gyerekek számára készült. Fô célja a tanulók gondolkodásának fejlesztése változatos feladatsorokon keresztül. A feladatok tartalma, témája, nehézségi foka, megfogalmazása igazodik a korosztály életkori sajátosságaihoz. A feladatok tematikus feldolgozása, a megoldások közlése módot ad a gyerekeknek az önálló feldolgozásra és önellenôrzésre. A tanítók is jól használhatják órákon és szakkörökön. Baginé - Bartók - Szebeniné - Péterné Matematikai gyakorló munkafüzet osztály számára A kiadvány célja, hogy a kisiskolások minél hamarabb és minél könnyebben megszerezzék matematikai ismereteiket. Olyan munkáltató feladatlap, mely a nevelôk, szülôk segítségével és önállóan is jól használható. A sok érdekes feladat lehetôséget ad az eddigi tudás felelevenítésére, bôvítésére. A munkafüzet végén található felmérô lapok segítségével a tanulók tudásukat mérhetik le, és még játékos fejtörôk is várnak az érdeklôdôkre. Fôleg azoknak nyújt segítséget, akiknek több gyakorlásra van szükségük a tananyag elsajátításához. Kosztolányi - Mike - Vincze Érdekes matematikai feladatok 1. A feladatgyûjtemény elsôsorban a felsô tagozatos és a középiskola elsôs, illetve másodikos tanulói számára készült. A témakörök a hagyományos elemi matematika területei mellett (algebra, geometria) számos olyan érdekes és gondolkodtató matematikai problémát is tartalmaznak, amelyek megoldásához a logikus gondolkodáson kívül szinte más nem is igen szükséges. A feladatgyûjtemény alapjául a szegedi Radnóti Miklós Gimnázium Matematika Iskola néven közismertté vált kísérleti munkája szolgált. Kosztolányi - Mike - Vincze Jól felkészültem-e? Matematikai feladatsorozatok osztály, valamint középiskolába készülôknek A kiadványok felölelik az általános iskolák felsô tagozatának teljes tananyagát. A sorozat ötödik kötete segítséget nyújt azoknak a tanulóknak, akik tanulmányaikat középiskolában szeretnék folytatni. A feladatsorozatok változatos feladatokkal, kérdésekkel segítik a felkészülést, s a megoldásokkal összevetve lemérhetô, hogy a diákoknak mennyire sikerült az adott tananyagot elsajátítaniuk. Csordás - Koleszár - Nagy (szerk.) Matematikai versenytesztek A Zrínyi Ilona Matematikaverseny feladatai és megoldásai , 1994, 1995, 1996 Az évek óta népszerû Zrínyi Ilona matematikaverseny megyei és országos fordulóinak feladatsorait adjuk közre évröl évre. A kötetek tartalmazzák a feladatok megoldási menetét, és az egyes évek évfolyamonkénti tíz legjobb tanulójának eredményeit is. A versenyre az általános iskolák 3-8. osztályos tanulói közül bárki jelentkezhet, aki kedveli a kicsit furfangos, gondolkodtató

10 feladatokat, szeretné összemérni tudását a társaival. Végh Gyula SZÓMA A könyv egy igen érdekes geometriai fejtörô játék leírását, valamint magát a játékot is tartalmazza. A játék egyszerû hét elembôl álló változata eléggé közismert, melyet a szerzô lépésenként, feladatokkal színesítve 38 elemûre bôvít. A játék kibôvített változatára nagyon sok meglepô, és,,szép,, feladatot tartalmaz a könyv, melyben külön fejezetben egyegy lehetséges megoldást is közöl a kitûzött több mint 120 feladatra. Ez az érdekes geometriai fejtörô játék közben észrevétlenül fejleszti nem csak a megfigyelô készséget és a kézügyességet, hanem a térbeli szemléletet és a kombinációs készséget is. Dr. Hajnal Imre Matematikai ismeretek éveseknek A könyv a éves tanulók tanításához, tanulásához úgy kíván segítséget nyújtani, hogy a matematikai fogalmak kialakulását, értelmezését és a közöttük lévô kapcsolatokat állítja elôtérbe. Rámutat, hogy az egyszerû, megszokott munkában is felismerhetünk érdekességeket, és ezekbôl hasznos új ismeretekhez juthatunk. A megfigyelések tudatos megfogalmazása, és a lényeg felismerése után következik az új ismeret tisztázása, értelmezése. Közben lehetôséget ad, példát mutat elvonatkoztatásra, absztrakcióra. Dr. Hajnal Imre Középiskolások kézikönyve Matematikai fogalmak, tételek A tankönyvben összefoglalva és rendszerezve található a középiskolai matematika elméleti tananyaga. Ezzel segítséget nyújt az érettségi vizsgára, fôiskolai, egyetemi tanulmányokra készülôknek. A 3., bôvített kiadás Kombinatorika c. fejezetettel bôvült. Dr. Bonifert Domonkos Néhány tipikus problémaszituáció matematikából Az olvasó olyan példatárat vehet a kezébe, amelyben a feladatok nem a megszokott témakörök, hanem megoldási eljárások szerinti csoportosításban találhatók. A fejezetcímek: I. Függvények, egyenletek, egyenlôtlenségek II. Bizonyítások III. Szélsôérték-feladatok IV. Van olyan? Számlálási technikák V. Egyéb érdekességek A kötet sajátossága, hogy ugyanazon probléma megoldását többféle módszerrel, más-más szintû megközelítésben, az ötletek sokaságának felhasználásával mutatja be. A feladatok tanulmányozása, feldolgozása tehetséges általános és középiskolai tanulók, valamint az ôket tanító tanárok számára is hasznos lehet. Katz Sándor Matematika feladatsorok A feladatgyûjtemény az algebrai, a trigonometrikus, az exponenciális valamint a logaritmikus egyenletek megoldásához nyújt szakmailag igényes válogatást, a tehetségesebb tanulók számára. A könyv 18 fejezetben, 80 mintapéldát és 300 kitûzött feladatot tartalmaz. A feladatok túlnyomó része meghaladja a középiskolai feladatgyûjtemények megszokott szintjét, de a mintapéldák és a

11 kitûzött feladatok megoldásának közlésével a könyv a középiskolások számára is jól követhetô. Végül álljon itt néhány gondolat a lektori véleménybôl:,,a tankönyv szerkezete, tagolása, ábraanyaga, szemléltetése rendkívül jó benyomást kelt olvasójában, kedvet csinál a természet megismeréséhez. Ez nagyon fontos erénye a könyvnek. A tudnivalók leckékre tördelése helyett, nagyon helyesen, a jelenségek, gondolatkörök szerinti csoportosítást alkalmazzák a szerzôk.,,

12

13