Bonyolultságelmélet. Monday 10 th October, 2016, 17:44

Hasonló dokumentumok
Logika és számításelmélet. 11. előadás

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.

ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.

Bonyolultságelmélet gyakorlat 06 Gráfos visszavezetések II.

Ramsey-féle problémák

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.

Algoritmusok bonyolultsága

DiMat II Végtelen halmazok

Modern irányzatok a bonyolultságelméletben: éles korlátok és dichotómia tételek

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 1. estis képzés

NP-teljesség röviden

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Halmazrendszerek alapvető extremális problémái. 1. Sperner-rendszerek és Sperner-tétel

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Feladatok. 7. Tíz rabló a kincseit egy több lakattal lezárható ládában gyűjti. Az egyes lakatokat egy-egy

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:50

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2. estis képzés

definiálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként.

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

Érdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel)

Bevezetés a bonyolultságelméletbe gyakorlatok I. A(0, y) := y + 1 y 0 A(x, 0) := A(x 1, 1) x 1 A(x, y) := A(x 1, A(x, y 1)) x, y 1

Ramsey tétele(i) gráfokra

Gráf csúcsainak színezése. The Four-Color Theorem 4 szín tétel Appel és Haken bebizonyították, hogy minden térkép legfeljebb 4 színnel kiszínezhető.

Gráfok csúcsszínezései

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni

Régebbi Matek M1 zh-k. sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatos feladatai.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

10. Előadás P[M E ] = H

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Gráfelméleti alapfogalmak

Matematika alapjai; Feladatok

KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára. Klikkek gráfokban-1. Definíció. Egy G gráfban egy K V(G) csúcshalmazt klikknek nevezünk, ha K

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.

Bonyolultságelmélet. Thursday 1 st December, 2016, 22:21

ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Gráfalgoritmusok ismétlés ősz

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Számítógép és programozás 2

Analízis évfolyam. Szerkesztette: Surányi László július 5.

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Gépi tanulás Gregorics Tibor Mesterséges intelligencia

3. Lineáris differenciálegyenletek

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

Hasonlósági keresés molekulagráfokon: legnagyobb közös részgráf keresése

Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában 2.

Diszkrét matematika 2.

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus

Láthatjuk, hogy az els szám a 19, amelyre pontosan 4 állítás teljesül, tehát ez lesz a legnagyobb. 1/5

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János

Deníciók és tételek a beugró vizsgára

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Boros Zoltán február

Logika és számításelmélet

Az állítást nem bizonyítjuk, de a létezést a Paley-féle konstrukció mutatja: legyen H a

Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika 1. középszint

Antimagic gráfok. Szakdolgozat. Írta: Herczeg Bonifác. Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány

SzA II. gyakorlat, szeptember 18.

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

Az informatika elméleti alapjai 2 elővizsga december 19.

Paraméteres algoritmusok az F-kizáró párosítás problémára

Gráfelmélet Megoldások

Korlátozás és szétválasztás módszere Holló Csaba 2

Közösségek keresése nagy gráfokban

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Síkbarajzolható gráfok Április 26.

Diszkrét matematika 1.

Geometria 1 normál szint

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

(6) (4) (2) (3) (11) (3) (5) (21) (9) (7) (3) (4) (4) (7) (4)

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Algoritmusok bonyolultsága

Általános algoritmustervezési módszerek

Átírás:

Monday 10 th October, 2016, 17:44

NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes.

NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes. Ötlet,,Értékválasztó gadget:

NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes. Ötlet,,Értékválasztó gadget:

NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes. Ötlet,,Értékválasztó gadget: (Balról jobbra ha megy egy Hamilton-út, akkor választanunk kell a,,fenti és a,,lenti útvonal közül egyet.) mint egy értékadás ilyen gadgetből változónként lesz egy

Ötlet,,XOR gadget: Minden Hamilton-út egy olyan gráfban, ami ezt a gadgetot feszített részgráfként tartalmazza, a következők egyike ezen a gráfon belül: Hogy átláthatóbb legyen a rajzunk, ezt a gadgetet így rajzoljuk: +

Ötlet A XOR gadgettel egy gráfban olyan Hamilton-kört keresünk, melyben ki tudjuk kötni bizonyos élpárokra, hogy a két él közül a keresett Hamilton-kör pontosan egyen haladjon át. A teljes konstrukció a 3Sat Hamilton-Út visszavezetéshez: minden változóhoz létrehozunk egy értékválasztó gadgetet, az x i -hez tartozó két párhuzamos élt x i -vel ill. x i -vel címkézzük; minden klózhoz létrehozunk egy háromszöget, az l 1 l 2 l 3 klózhoz létrehozott háromszög éleit rendre l 1 -gyel, l 2 -vel és l 3 -mal címkézzük; felveszünk még két további csúcsot; az ellentétes literálokkal címkézett élek között XOR gadgetet hozunk létre; az értékválasztó gadgeteket láncba kötjük; a háromszögek csúcsaiból, az utolsó értékválasztó csúcsból és még egy plusz csúcsból pedig egyetlen nagy klikket készítünk; végül az előző pontbeli plusz csúcsból még egy új csúcsba lépünk.

Példa 3Sat Hamilton-Út Legyen ϕ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ). Akkor a kapott gráf: x 3 x 1 x 3 x 3 x 2 x 3 x 1 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 3 x 1 x 2 Továbbá, a kék csúcsokat páronként összekötjük, a háromszögek élei és az azonos címkéjű értékválasztó élek közé a gadgetet illesztjük.

Így, mivel Hamilton-Út P Tsp(E), így a Tsp(E) probléma NP-teljes. Tétel A 3-Színezés probléma NP-teljes.

Így, mivel Hamilton-Út P Tsp(E), így a Tsp(E) probléma NP-teljes. Tétel A 3-Színezés probléma NP-teljes. Megjegyzés

Így, mivel Hamilton-Út P Tsp(E), így a Tsp(E) probléma NP-teljes. Tétel A 3-Színezés probléma NP-teljes. Megjegyzés A 2-Színezés probléma P-ben van.

Így, mivel Hamilton-Út P Tsp(E), így a Tsp(E) probléma NP-teljes. Tétel A 3-Színezés probléma NP-teljes. Megjegyzés A 2-Színezés probléma P-ben van. A 4-Színezés probléma triviális síkbarajzolható gráfokra.

NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat 3-Színezés: ötlet G B R x 1 x 2 x 3 x n... x 1 x 2 x 3 így minden literál színe R (=,,hamis ) vagy G (=,,igaz ) színével kell megegyezzen, komplementere pedig egy másikkal kiértékelés l 1 l 2 l 3 x n G R Ellenőrizhető: ha mindhárom literál R színét kapja, a plusz hat csúcsot nem lehet helyesen 3-színezni, ha viszont van köztük G színű, akkor igen

NP-teljes problémák halmazokra és számokra Hármasítás Adott: Három azonos méretű halmaz, F (fiúk), L (lányok), H (házak), és egy R F L H reláció. Kérdés: Megadható-e az R-beli hármasok egy olyan részhalmaza, melyben minden fiú, lány és ház pontosan egyszer szerepel?

NP-teljes problémák halmazokra és számokra Hármasítás Adott: Három azonos méretű halmaz, F (fiúk), L (lányok), H (házak), és egy R F L H reláció. Kérdés: Megadható-e az R-beli hármasok egy olyan részhalmaza, melyben minden fiú, lány és ház pontosan egyszer szerepel? Világos, hogy Hármasítás NP.

NP-teljes problémák halmazokra és számokra Hármasítás Adott: Három azonos méretű halmaz, F (fiúk), L (lányok), H (házak), és egy R F L H reláció. Kérdés: Megadható-e az R-beli hármasok egy olyan részhalmaza, melyben minden fiú, lány és ház pontosan egyszer szerepel? Világos, hogy Hármasítás NP. Tétel A Hármasítás probléma NP-teljes.

NP-teljes problémák halmazokra és számokra Hármasítás Adott: Három azonos méretű halmaz, F (fiúk), L (lányok), H (házak), és egy R F L H reláció. Kérdés: Megadható-e az R-beli hármasok egy olyan részhalmaza, melyben minden fiú, lány és ház pontosan egyszer szerepel? Világos, hogy Hármasítás NP. Tétel A Hármasítás probléma NP-teljes. Megjegyzés Párosítás P.

Halmazlefedés Adott: Egy U halmaz részhalmazainak C = (S 1,..., S n ) rendszere és egy K szám. Kérdés: Kiválasztható-e K darab az S i -k közül úgy, hogy ezek egyesítése U?

Halmazlefedés Adott: Egy U halmaz részhalmazainak C = (S 1,..., S n ) rendszere és egy K szám. Kérdés: Kiválasztható-e K darab az S i -k közül úgy, hogy ezek egyesítése U? Halmazpakolás Adott: Egy U halmaz részhalmazainak C = (S 1,..., S n ) rendszere és egy K szám. Kérdés: Kiválasztható-e az S i -k közül K darab, páronként diszjunkt halmaz?

Halmazlefedés Adott: Egy U halmaz részhalmazainak C = (S 1,..., S n ) rendszere és egy K szám. Kérdés: Kiválasztható-e K darab az S i -k közül úgy, hogy ezek egyesítése U? Halmazpakolás Adott: Egy U halmaz részhalmazainak C = (S 1,..., S n ) rendszere és egy K szám. Kérdés: Kiválasztható-e az S i -k közül K darab, páronként diszjunkt halmaz? Pontos Lefedés Hármasokkal Adott: Egy 3m elemű U halmaz és 3-elemű részhalmazainak (S 1,..., S n ) rendszere. Kérdés: Kiválasztható-e m darab S i úgy, hogy ezek egyesítése U? (A kiválasztott S i -k nyilván diszjunktak.)

NP-teljes problémák halmazokra Tétel A Halmazlefedés, Halmazpakolás, Pontos Lefedés Hármasokkal problémák NP-teljesek.

NP-teljes problémák halmazokra Tétel A Halmazlefedés, Halmazpakolás, Pontos Lefedés Hármasokkal problémák NP-teljesek. Bizonyítás A Hármasítás a Pontos Lefedés Hármasokkal speciális esete.

NP-teljes problémák halmazokra Tétel A Halmazlefedés, Halmazpakolás, Pontos Lefedés Hármasokkal problémák NP-teljesek. Bizonyítás A Hármasítás a Pontos Lefedés Hármasokkal speciális esete. A Pontos Lefedés Hármasokkal a Halmazlefedés, valamint a Halmazpakolás speciális esete is.

Egész Értékű Programozás

Egész Értékű Programozás Adott: Egy n-változós, egész együtthatós lineáris egyenlőtlenség-rendszer.

Egész Értékű Programozás Adott: Egy n-változós, egész együtthatós lineáris egyenlőtlenség-rendszer. Kérdés: Létezik-e egész értékű megoldás?

Egész Értékű Programozás Adott: Egy n-változós, egész együtthatós lineáris egyenlőtlenség-rendszer. Kérdés: Létezik-e egész értékű megoldás? A Halmazlefedés felfogható az Egész Értékű Programozás speciális eseteként:

Egész Értékű Programozás Adott: Egy n-változós, egész együtthatós lineáris egyenlőtlenség-rendszer. Kérdés: Létezik-e egész értékű megoldás? A Halmazlefedés felfogható az Egész Értékű Programozás speciális eseteként: n Ax 1, x i B, 0 x i 1, i=1 ahol A oszlopai a halmazrendszer elemeinek felelnek meg.

Egész Értékű Programozás Adott: Egy n-változós, egész együtthatós lineáris egyenlőtlenség-rendszer. Kérdés: Létezik-e egész értékű megoldás? A Halmazlefedés felfogható az Egész Értékű Programozás speciális eseteként: n Ax 1, x i B, 0 x i 1, i=1 ahol A oszlopai a halmazrendszer elemeinek felelnek meg. Azt is meg lehet mutatni, hogy az Egész Értékű Programozás NP-ben van.

Egész Értékű Programozás Adott: Egy n-változós, egész együtthatós lineáris egyenlőtlenség-rendszer. Kérdés: Létezik-e egész értékű megoldás? A Halmazlefedés felfogható az Egész Értékű Programozás speciális eseteként: n Ax 1, x i B, 0 x i 1, i=1 ahol A oszlopai a halmazrendszer elemeinek felelnek meg. Azt is meg lehet mutatni, hogy az Egész Értékű Programozás NP-ben van. Tétel Az Egész Értékű Programozás probléma NP-teljes.

NP-teljes problémák halmazokra és számokra A Részletösszeg probléma

NP-teljes problémák halmazokra és számokra A Részletösszeg probléma Adott: a 1,..., a n pozitív egészek és egy K > 0 célszám.

NP-teljes problémák halmazokra és számokra A Részletösszeg probléma Adott: a 1,..., a n pozitív egészek és egy K > 0 célszám. Kérdés: Kiválasztható-e az a i -k közül néhány elem úgy, hogy összegük K legyen?

NP-teljes problémák halmazokra és számokra A Részletösszeg probléma Adott: a 1,..., a n pozitív egészek és egy K > 0 célszám. Kérdés: Kiválasztható-e az a i -k közül néhány elem úgy, hogy összegük K legyen? Tétel A Részletösszeg probléma NP-teljes. Az NP-beliség világos, az NP-nehézséget a 3Satról való visszavezetéssel igazoljuk.

NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg

NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3.

NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m.

NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m. Ebből elkészítjük a Részletösszeg probléma egy példányát, melyben n + m-jegyű (!) számok szerepelnek.

NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m. Ebből elkészítjük a Részletösszeg probléma egy példányát, melyben n + m-jegyű (!) számok szerepelnek. x i -ből a t i és f i számok készülnek:

NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m. Ebből elkészítjük a Részletösszeg probléma egy példányát, melyben n + m-jegyű (!) számok szerepelnek. x i -ből a t i és f i számok készülnek: t i és f i első m jegye csupa 0, kivéve az i. jegyet, ami 1-es;

NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m. Ebből elkészítjük a Részletösszeg probléma egy példányát, melyben n + m-jegyű (!) számok szerepelnek. x i -ből a t i és f i számok készülnek: t i és f i első m jegye csupa 0, kivéve az i. jegyet, ami 1-es; t i utolsó n jegye közül az m + k. akkor 1-es, ha c k -ban szerepel x i, egyébként 0;

NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m. Ebből elkészítjük a Részletösszeg probléma egy példányát, melyben n + m-jegyű (!) számok szerepelnek. x i -ből a t i és f i számok készülnek: t i és f i első m jegye csupa 0, kivéve az i. jegyet, ami 1-es; t i utolsó n jegye közül az m + k. akkor 1-es, ha c k -ban szerepel x i, egyébként 0; f i utolsó n jegye közül az m + k. akkor 1-es, ha c k -ban szerepel x i, egyébként 0.

NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m. Ebből elkészítjük a Részletösszeg probléma egy példányát, melyben n + m-jegyű (!) számok szerepelnek. x i -ből a t i és f i számok készülnek: t i és f i első m jegye csupa 0, kivéve az i. jegyet, ami 1-es; t i utolsó n jegye közül az m + k. akkor 1-es, ha c k -ban szerepel x i, egyébként 0; f i utolsó n jegye közül az m + k. akkor 1-es, ha c k -ban szerepel x i, egyébként 0. Továbbá, a i = b i = 10 i minden i = 1,..., n esetén.

NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m. Ebből elkészítjük a Részletösszeg probléma egy példányát, melyben n + m-jegyű (!) számok szerepelnek. x i -ből a t i és f i számok készülnek: t i és f i első m jegye csupa 0, kivéve az i. jegyet, ami 1-es; t i utolsó n jegye közül az m + k. akkor 1-es, ha c k -ban szerepel x i, egyébként 0; f i utolsó n jegye közül az m + k. akkor 1-es, ha c k -ban szerepel x i, egyébként 0. Továbbá, a i = b i = 10 i minden i = 1,..., n esetén. Az eredmény: a {f i, t i : 1 i m} {a i, b i : 1 i n} halmaz és a K = 11... 133... 3 célszám (m darab 1-es, majd n darab 3-as).

Példa Ha ϕ = (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 2 x 4 ): t 1 = 1000110 f 1 = 1000001 t 2 = 0100001 f 2 = 0100110 t 3 = 0010100 f 3 = 0010000 t 4 = 0001010 f 4 = 0001001 a 1 = b 1 = 0000100 a 2 = b 2 = 0000010 a 3 = b 3 = 0000001 K = 1111333

Példa Ha ϕ = (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 2 x 4 ): t 1 = 1000110 f 1 = 1000001 t 2 = 0100001 f 2 = 0100110 t 3 = 0010100 f 3 = 0010000 t 4 = 0001010 f 4 = 0001001 a 1 = b 1 = 0000100 a 2 = b 2 = 0000010 a 3 = b 3 = 0000001 K = 1111333 t 1 és f 1 közül pontosan az egyiket kell válasszuk (K első jegye miatt);

Példa Ha ϕ = (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 2 x 4 ): t 1 = 1000110 f 1 = 1000001 t 2 = 0100001 f 2 = 0100110 t 3 = 0010100 f 3 = 0010000 t 4 = 0001010 f 4 = 0001001 a 1 = b 1 = 0000100 a 2 = b 2 = 0000010 a 3 = b 3 = 0000001 K = 1111333 t 1 és f 1 közül pontosan az egyiket kell válasszuk (K első jegye miatt); általában t i és f i közül is pontosan az egyiket t i választása feleljen meg az x i = 1, f i választása az x i = 0 értékadásnak;

Példa Ha ϕ = (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 2 x 4 ): t 1 = 1000110 f 1 = 1000001 t 2 = 0100001 f 2 = 0100110 t 3 = 0010100 f 3 = 0010000 t 4 = 0001010 f 4 = 0001001 a 1 = b 1 = 0000100 a 2 = b 2 = 0000010 a 3 = b 3 = 0000001 K = 1111333 t 1 és f 1 közül pontosan az egyiket kell válasszuk (K első jegye miatt); általában t i és f i közül is pontosan az egyiket t i választása feleljen meg az x i = 1, f i választása az x i = 0 értékadásnak; ezzel az m + j. jegyek mindegyike 0, 1, 2 vagy 3 lesz j = 1,..., n-re, annak függvényében, hogy c j -ben 0, 1, 2 vagy 3 literál vált igazzá;

Példa Ha ϕ = (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 2 x 4 ): t 1 = 1000110 f 1 = 1000001 t 2 = 0100001 f 2 = 0100110 t 3 = 0010100 f 3 = 0010000 t 4 = 0001010 f 4 = 0001001 a 1 = b 1 = 0000100 a 2 = b 2 = 0000010 a 3 = b 3 = 0000001 K = 1111333 t 1 és f 1 közül pontosan az egyiket kell válasszuk (K első jegye miatt); általában t i és f i közül is pontosan az egyiket t i választása feleljen meg az x i = 1, f i választása az x i = 0 értékadásnak; ezzel az m + j. jegyek mindegyike 0, 1, 2 vagy 3 lesz j = 1,..., n-re, annak függvényében, hogy c j -ben 0, 1, 2 vagy 3 literál vált igazzá; ha az m + j. jegy 3, akkor jó, ha 2, akkor válasszuk ki még mondjuk a j -t, ha 1, akkor a j -t és b j -t is, ha 0, akkor nem tudjuk ezen a jegyen elérni a célszámot

NP-teljes problémák halmazokra és számokra Az Egész Értékű Programozás egy másik speciális esete:

NP-teljes problémák halmazokra és számokra Az Egész Értékű Programozás egy másik speciális esete: Hátizsák

NP-teljes problémák halmazokra és számokra Az Egész Értékű Programozás egy másik speciális esete: Hátizsák Adott: n elem mindegyikének w i súlya és c i értéke, valamint W és C.

NP-teljes problémák halmazokra és számokra Az Egész Értékű Programozás egy másik speciális esete: Hátizsák Adott: n elem mindegyikének w i súlya és c i értéke, valamint W és C. Kérdés: Kiválasztható-e ismétlés nélkül néhány elem úgy, hogy összértékük C és összsúlyuk W?

NP-teljes problémák halmazokra és számokra Az Egész Értékű Programozás egy másik speciális esete: Hátizsák Adott: n elem mindegyikének w i súlya és c i értéke, valamint W és C. Kérdés: Kiválasztható-e ismétlés nélkül néhány elem úgy, hogy összértékük C és összsúlyuk W? Tétel A Hátizsák probléma NP-teljes. Ötlet A Részletösszeg problémában az a i értékekből rendre készítsünk egy tárgyat w i = c i = a i súllyal és értékkel, továbbá legyen C = W = K, a célszám.

Összefoglalás Megmutattuk, hogy a Hamilton-Út NP-teljes. Így a TSP(E) is az. Megmutattuk, hogy a 3 Színezés NP-teljes. Definiáltuk a következő problémákat és beláttuk NP-teljességüket: Hármasítás Pontos Lefedés Hármasokkal Halmazlefedés Halmazpakolás Részletösszeg Hátizsák Definiáltuk az Egész Értékű Programozás problémát és beláttuk, hogy NP-nehéz.