Logika nyelvészeknek, 12. óra A típuselmélet alapjai Lehetőség van a kvantorfogalom mellett a funktorfogalom általánosítására is. Az L 1 elsőrendű nyelvben csak bizonyos típusú funktoraink voltak: ami mondatból csinál mondatot (negáció) ami két mondatból csinál mondatot (többi mondatfunktor) ami terminusból csinál mondatot (egyargumentumú predikátum) ami két terminusból csinál mondatot (kétargumentumú predikátumok és az azonosság) Minden egyes funktortípusra külön-külön explicit módon meg kellett adnunk, hogy milyen faktuális értéke lehet, ugyanis nem volt olyan eljárásunk, ami ezt általában megadta volna tetszőleges típusú bemenetű és tetszőleges típusú kimenetű funktorra. A funktorfogalom rendszeres és áttekinthető kezelését, és a megfelelő szemantikai érték hozzárendelését teszi lehetővé az ún. típuselmélet. 1. A típusok halmazának meghatározása Kiindulópont: vegyünk két elemi típust: e és t. 1. e Type és t Type 2. Ha α Type és β Type, akkor <α,β> Type. 3. Semmi más nem eleme a típusok halmazának. Ennek megfelelően a típusok halmazának eleme lesz például: <e,e>, <t,<e,t>>, <e,<<e,t>,t,>>, nem lesz viszont például eleme: <e,e,e> <e,t,<t,e>>, <t>. e: terminusok típusa, t: formulák típusa, <α,β>: olyan funktorok típusa, amelyek bemenete α és kimenete β típusú. Példák: <e,t>: egyargumentumú predikátum <t,t>: egyargumentumú mondatfunktor (pl. negáció) <e,e>: egyargumentumú névfunktor (pl. testvére) <e,<e,t>>: kétargumentumú predikátum <<e,t>,t>: általánosított kvantor <<e,t>,<<e,t>,t>>: determináns A típuselméleti nyelvben a szótárban (azaz amikor felsoroljuk a nyelvünk nem-logikai konstansait) meg kell adnunk minden egyes kifejezéshez, hogy mi a típusa. 2. Jólformált kifejezések osztályának meghatározása A jólformált kifejezések osztályát induktívan határozzuk meg. (Lényeges különbség az elsőrendű nyelvekkel összevetve: ott a formulák osztályát adtuk meg ilyen módon.)
Amennyiben φ konstans, amelynek típusa α, akkor φ Con α, azaz a φ kifejezés eleme az α típusú konstansok halmazának. Meghatározunk továbbá minden α Type típusra egy Var α halmazt, amely végtelen számú α típusú változót tartalmaz: Var α = {v α1, v α2, v α3,...} A konstansok és változók elemei az α típusú jólformált kifejezések Exp α halmazának: Var α Con α Exp α Elemei lesznek továbbá az egyes Exp α halmazoknak az alábbi szintaktikai szabályok által előállítható kifejezések: Szintaktikai szabályok: 1. Amennyiben α Type, β Type, φ Exp <α,β>, és ψ Exp α, akkor φ (ψ) Exp β Ez a szabály a funktorok körét határozza meg: az <α,β> típusú kifejezések olyan egyargumentumú funktorok, amelyek bemenete α típusú kifejezés, kimenete β típusú kifejezés. 2. Amennyiben α Type, β Type, φ Var <α>, és ψ Exp β, akkor λφ [ψ] Exp <α,β> Ez a lambda-absztrakció szintaktikai szabálya, ami azt mondja ki, hogy a lambdaoperátor két tetszőleges típusú kifejezésből olyan funktort fog képezni, amelynek a bemenetének a típusa azonos a φ kifejezés típusával, és kimenetének típusa azonos ψ típusával. 3. Fakultatív további szintaktikai szabályok, pl. logikai mondatfunktorok, klasszikus elsőrendű kvantorok: Amennyiben u Var e, és ψ Exp t, akkor u [ψ] Exp t 4. A jólformált kifejezések Exp halmazát a különböző típusú jólformált kifejezések halmazainak úniójaként határozzuk meg: Exp = U Type Exp α α 5. A konstansokon, változókon és a szabályokkal előállítható jólformált kifejezéseken kívül semmi más nem eleme a jólformált kifejezések osztályának. 3. A típuselméleti nyelv szemantikája 1. Adva van az elsőrendű nyelvekhez hasonlóan egy M = <U, I> modell és egy g változóértékelés. Jelölje D α az α típusú kifejezések lehetséges faktuális értékeinek az osztályát. Két ilyen osztályt rögzítünk: D e = U D t = 2 Azaz: az e típusú kifejezések (a terminusok) faktuális értéke az univerzum valamely eleme lehet, a formulák faktuális értéke pedig az igazságértékek egyike lehet. Ezen kívül jelöljük B A -val azon függvények halmazát, amelyek értelmezési tartománya az A halmaz, értékkészlete pedig B halmaz egy részhalmaza.
Az <α,β> típusú kifejezések lehetséges faktuális értékeit úgy határozzuk meg, hogy: D <α,β> = D D α β Azaz: ezeknek a funktoroknak olyan függvény lehet a faktuális értéke, amely függvény értelmezési tartománya a funktor bemenetének a lehetséges faktuális értékeinek a halmaza, értékkészlete pedig a funktor kimenetének a lehetséges faktuális értékeinek a halmazának egy részhalmaza. Az I interpretációs függvényre és a g változóértékelésre ennek értelmében a következő feltételek fogalmazhatók meg: I U α Type D Con α α azaz: I bármely α típusú konstanshoz D α egy elemét rendeli hozzá szemantikai értékként. Ezzel analóg módon: g U α Type D α Var α 2. Szemantikai szabályok: a) Ha φ Con α, akkor [[ φ ]] M,g = I(φ). b) Ha u Var α, akkor [[ u ]] M,g = g(u). c) Ha φ Exp <α,β>, és ψ Exp α, akkor [[φ (ψ) ]] M,g = [[ φ ]] M,g ([[ ψ ]] M,g ) d) Amennyiben α Type, β Type, u Var α, és ψ Exp β, akkor [[ λu [ψ] ]] M,g az a h függvény (h D β D α ), amelyre igaz, hogy minden a D α -ra teljesül, hogy h(a) = [[ ψ ]] M,g[u/a] Ezt a négy szabályt követhetik további szabályok, pl. logikai mondatfunktorok értelmezése, klasszikus elsőrendű kvantorok értelmezése stb. A szemantikai szabályok megadják a típuselméleti nyelv összes jólformált kifejezésének az értelmezését. Megjegyzések: 1. A c) szabály igen elemi szemantikai szabály, függvény alkalmazása argumentumra (function application) néven ismert, függvényből és argumentumból állítást hoz létre. 2. A d) szabály (a lambda-absztrakció) ennek fordítottjaként fogható fel: állításból függvényt hoz létre. 3. A d) szabály alapján a következő ekvivalencia érvényes (bármely α, β Type-ra): λx α [ P <α,β> (x α ) ] (y α ) P <α,β> (y α ) Így amennyiben van egy λx α [ P <α,β> (x α ) ] (y α ) formájú, β típusú kifejezésünk, ez mindig felcserélhető egy P <α,β> (y α ) formájú β típusú kifejezéssel. Ezt hívják a lambda-konverzió törvényének (a felcserélés műveletét pedig lambda-konverziónak). 4. A bemutatott típuselméleti nyelvben a többargumentumú funktorokhoz nem többargumentumú függvényt rendelünk értelmezésként. Az elsőrendű nyelvben megismert többargumentumú funktoroknak megfelelő típuselméleti kifejezéseket egyargumentumú függvények többszöri alkalmazásával értelmezzük.
Példa: szeret (a) (b) típusa: <e,<e,t>; szemantikai értéke egy olyan függvény, amelynek bemenete individuum, kimenete pedig individuumoknak egy halmaza (illetve ennek karakterisztikus függvénye), pl.: [[ szeret <e,<e,t>> ]] M,g = {<János,<Judit,1>>, <János,<Mari,1>>, <Ferenc,<Tímea,1>>, <Réka,<János,1>>} A szeret konstans először egy (e típusú) terminussal kapcsolódik össze, pl.: szeret (János), és így olyan <e,t> típusú funktort alkot, amelynek szemantikai értéke individuumoknak egy halmaza (illetve ennek karakterisztikus függvénye): Amenyiben szeret szemantikai értéke a fenti halmaz és [[ János e ]] M,g = János, akkor [[ szeret (János) ]] M,g = {<Judit,1>, <Mari,1>} (vagy ezzel egyenértékűen {Judit, Mari}). Ez a funktor ismét (e típusú) terminussal kapcsolódik össze, ezáltal (t típusú) formulát kapunk. A fenti példát folytatva szeret (János) (Judit) igaz, szeret (Judit) (János) viszont például nem. (Az, hogy ezt a formulát informálisan hogyan értelmezzük, ránk van bízva: szeret (János) például jelölhetné azoknak a halmazát, akik szeretik Jánost vagy azokét, akiket szeret János, stb. Ezt a szeret terjedelmének megadásakor el kell döntenünk.) 4. A típuselmélet egy nyelvészeti alkalmazása: a kategoriális grammatika Kategoriális grammatikának egy formális vagy természetes nyelv olyan grammatikáját (= szintaxis + szemantika) hívunk, amely szigorúan párhuzamosan építi fel a nyelv szintaxisát és szemantikáját, abban az értelemben, hogy minden adott szintaktikai kategóriájú kifejezés egyazon szemantikai kategóriájú értelmezést kap. A kategoriális grammatika szótárában minden atomi kifejezés egyértelmű típusbesorolást kap, amely meghatározza, hogy milyen típusú kifejezésekkel kapcsolható össze. A komplex kifejezéseket szigorúan funktor-argumentum-kapcsolatok sorozatára bontja fel. Szintaktikai jelölésmód: A\B: olyan funktor, amelynek B argumentuma és A kimenete, és B balra helyezkedik el a funktortól A/B: olyan funktor, amelynek B argumentuma és A kimenete, és B jobbra helyezkedik el a funktortól VP := S\NP, pl: fut Péter fut NP S\NP S TV := (S\NP)/NP, pl.: látja Mari látja Mónikát NP (S\NP)/NP NP S\NP S
A formális szemantikában az ilyen jellegű kategoriális szintaxishoz gyakran egy típuselméleti logikai nyelvet szokás rendelni szemantikaként. A leghíresebb ilyen rendszer az ún. Montague-grammatika (vö. Dowty/Wall/Peters 1981). Példa: mondatfunktorok és mint (disztributívan értelmezett) kétargumentumú névfunktor típusa: (NP/NP)\NP Mari és Mónika NP (NP/NP)\NP NP NP/NP NP Probléma: Milyen szemantikai típus tartozik az NP-khez? Az NP nem lehet e típusú (individuumot jelölő), mert a Mari és Mónika NP nem (egyetlen) individuumot jelöl. Montague megoldása: az NP-k a típuselméleti szemantikában <<e,t>,t> típusúak, azaz olyan kifejezések, amelyek predikátumot vesznek argumentumként, és így alkotnak mondatot, azaz általánosított kvantorok. [[ Mari <<e,t>,t> ]] M,g = {K U: Mari K} azaz: a Mari tulajdonnév szemantikai értéke azon halmazok halmaza, amely halmazoknak eleme a Mari individuum, azaz: a Mari név által jelölt individuum megadható úgy, hogy felsoroljuk az összes tulajdonságát. Ezzel ekvivalensen a típuselméleti nyelvre a következő fordítást is adhatjuk, amennyiben ott rendelkezünk e típusú konstansokkal: Mari NP := λp [ P(m)], ahol [[ m ]] M,g = Mari és mint disztributívan értelmezett NP-funktor: <<<e,t>,t>, <<<e,t>,t>, <<e,t>,t>>> 1. bemenet 2. bemenet kimenet fordítása a típuselméleti nyelvre: és (NP/NP)\NP := λp λq λp [P (P) & Q (P)] (P, Q Var <<e,t>,t>, P Var <e,t> ) λp λq λp [P (P) & Q (P)] (Mari <<e,t>,t> ) (Mónika <<e,t>,t> ) λq λp [Mari <<e,t>,t> (P) & Q (P)] (Mónika <<e,t>,t> ) λp [Mari <<e,t>,t> (P) & Mónika <<e,t>,t> (P)] (lambda-konverzióval) (lambda-konverzióval) Mari és Mónika fut: λp [Mari <<e,t>,t> (P) & Mónika <<e,t>,t> (P)] (fut <e,t> ) Mari <<e,t>,t> (fut <e,t> ) & Mónika <<e,t>,t> (fut <e,t> )
Irodalom: DOWTY, D./R. WALL/S. PETERS (1981) Introduction to Montague Semantics. Dordrecht: Reidel. STEEDMAN, M. (1996) Categorial Grammar. In: K. BROWN/J. MILLER (szerk.): Concise Encyclopedia of Syntactic Theories. Amsterdam: Elsevier, 31-43. GAMUT, L. T. F. (1991) Logic, language, and meaning. Vol. 2.: Intensional logic and logical grammar. Chicago: University of Chicago Press. 4. fejezet: The theory of types and categorial grammar, 75-116.