3. LOGIKI FÜGGVÉNYEK GRFIKUS EGYSZERŰSÍTÉSE ÉS RELIZÁLÁS tananyag célja: a többváltzós lgikai függvények grafikus egyszerűsítési módszereinek gyakrlása. Elméleti ismeretanyag: r. jtnyi István: igitális rendszerek I. 3.4. fejezet. Elméleti áttekintés 3.. Mi a lgikai függvények egyszerűsítésének a célja? 3.2. Milyen algebrai összefüggéseken alapul a diszjunktív, ill. knjunktív alakban történő egyszerűsítés? 3.3. Egyszerűsítse algebrai módszerrel az alábbi függvényt: F = + + +. 3.4. Ábrázlja a fenti függvényt KV táblán, ill. kmbinációs táblán. 3.5. Milyen következtetést vn le a KV tábla egyeseinek elhelyezkedésére vnatkzóan az összevnási lehetőségek szempntjából? 3.6. Mit ért algebrailag szmszéds mintermeken? 3.7. Hgyan helyezkednek el az algebrailag szmszéds mintermek a KV táblán? 3.8. z előzőek alapján miért előnyösebb a KV táblás megadási módszer, mint a kmbinációs tábla? 3.9. Miért van szükség mégis a kmbinációs táblára? szavakban definiált vezérlési feladatt meg tudjuk-e adni közvetlenül KV táblán? 3.0. Miért nehézkes az algebrai egyszerűsítési módszer? 3.. Mit értünk egy lgikai függvény implikánsán, ill. primimplikánsán? 3.2. Mit értünk nélkülözhetetlen, ill. szükséges primimplikánsn? 3.3. Hgyan történik a primimplikánsk keresése a grafikus egyszerűsítésnél? 3.4. Miért a lehető legnagybb tömböt kell kialakítani? 3.5. Mi a követelmény az egyszerűsítésnél a kiinduló, ill. egyszerűsített függvénnyel szemben a függvény, ill. 0 helyeire vnatkzóan? 3.6. Hgyan történik a nélkülözhetetlen, ill. szükséges primimplikánsk kiválasztása? 3.7. Mely primimplikánsk lesznek nélkülözhetetlenek? 3.8. Miért célszerű megjelölni azn mintermeket, amelyeken csak egy hurk megy keresztül? 3.9. Hgyan történik a nem teljesen határztt függvények primimplikánsainak keresése?
3.20. Milyen értékeket célszerű az érvénytelen kmbinációkhz rendelni a, diszjunktív b, knjunktív alakbani egyszerűsítésnél? 3.2. Van-e értelme csupán X-ket tartalmazó tömböt kialakítani? Igen? Nem? Miért? 3.22. Hány váltzóig használható a síkbeli KV tábla? 3.23. Milyen prbléma lép fel 4 váltzó felett a KV táblán? 3.24. Hgyan készíthető öt-, ill. hatváltzós térbeli KV tábla? 3.25. Hat lgikai váltzó fölött milyen módszerrel végezhető el az egyszerűsítés? 3.26. Milyen hálózatkat tekintünk kétszintű, ill. többszintűnek? 3.27. Milyen kapcslatban van a kétszintű realizálás a diszjunktív, ill. knjunktív alakbani egyszerűsítéssel? 3.28. Hányféleképpen realizálható egy lgikai függvény kétszintű hálózattal? 3.29. Miért előnyös a NN/NN, ill. NOR/NOR alakbani realizálás? 3.30. Mit tekintünk ekvivalens megldásknak? 3.3. Milyen pótlólags egyszerűsítési lehetőségek vannak érintkezős hálózatk esetén? 3.. Példa Jelölje be a 3.. ábrán egy-egy választtt minterm valamennyi szmszédját és ellenőrizze a megldást a válaszk megtekintésével. 3.. ábra 2
3.2. Példa Végezze el a 3.2. ábrán látható valamennyi KV tábla egyeseinek tömbösítését. Írja be a lelvastt eredményeket, majd ellenőrizze a megldást. 3.2. ábra 3
3.3. Példa Egyetlen tömbbel fedje le a 3.3. ábra KV tábláinak valamennyi -esét, majd a tömbök lelvasása és beírása után ellenőrizze válaszait. 3.3. ábra 4
3.4. Példa Végezze el a 3.4, 3.5 és 3.6. ábrákn adtt függvények tömbösítését és lelvasását. helyes választ csak valamennyi megldás után nézze meg. 3.4. ábra Eredmények: X: Y: V: Z: X2: Y2: V2: Z2: X3: Y3: V3: Z3: 5
3.5. ábra Eredmények: X: Y: V: Z: X2: Y2: V2: Z2: X3: Y3: V3: Z3: 6
2 3 X Z V Y 3.6. ábra Eredmények: X: Y: V: Z: X2: Y2: V2: Z2: X3: Y3: V3: Z3: 7
3.5. Példa Egyszerűsítse az F (,,, ) = (0,,3,4,5,6,7,,4,5) függvényt diszjunktív és knjunktív alakban. Megldás 3.5.. Ábrázlja a függvényt a 3.7. ábrán megadtt KV táblán! 3.7. ábra 3.5.2. Végezze el a tömbösítést (öt négyes tömb van)! 3.5.3-v Pnttal jelölje meg azn mintermeket, amelyek csak egyetlen tömbbel vannak lefedve! Ezek: m?4, m?4, m?4. 3.5.3. Olvassa le azn tömböket, amelyek a fenti mintermeket lefedik! Tömb (primimplikáns) Minterm 4. m0 4. m 4. m4 3.5.5.v. Vnalkázza be ezen tömböket a 3.8. ábrán! 8
3.8. ábra 3.5.6.v. Maradt-e lyan minterm, amelyet a lényeges primimplikánsk nem fednek le? 3.5.7.v. Mely tömbök redundánsak? 3.5.8.v. Fentiek alapján a függvény minimalizált diszjunktív alakja: F= 3.5.9. knjunktív minimál alak előállításáhz tömbösítse a függvény 0 helyeit a 3.9. ábrán! (Egy 4-es és két kettes tömb van)! 3.9. ábra 3.5.0.v. Pnttal jelölje meg azn 0 helyeket, melyeken valamennyi tömb bejelölése után egyetlen hurk megy keresztül! Ezek: m?4, m?4, m?4, m?4. 3.5.. Írja be a fenti mintermek alá, mely primimplikáns tartalmazza! 3.5.2. Vnalkázza be ezen nélkülözhetetlen tömbök által lefedett területet! Igen? Nem? Melyik? 3.5.3. Van-e redundáns tömb? Igen? Nem? Melyik? 3.5.4.v. Fentiek alapján a függvény knjunktív minimál alakja: F= 9
3.5.5.v. Egészítse ki a 3.0. ábrát a függvény diszjunktív, ill. knjunktív minimál alakjának megfelelő hálózattá. 3.0. ábra 3.5.6. függvény NN/NN alakzatbani megvalósításáhz induljn ki a kétszer tagadtt diszjunktív minimál alakból és bntsa fel a belső tagadás jelet a e Mrgan szabály felhasználásával! F = F = 3.5.7. NOR/NOR alakzatbani realizációhz induljn ki a kétszer tagadtt knjunktív alakból és bntsa fel a belső tagadás jelet a e Mrgan szabály ismételt felhasználásával! ( F = ) ( ) 3.5.8.v. Egészítse ki a 3.. ábrát a függvény NN/NN, ill. NOR/NOR alakjának megfelelően! 3.. ábra 3.5.9.v. z érintkezős megvalósításhz induljn ki a függvény diszjunktív minimál alakjából. Egészítse ki a 3.2. ábrát ennek megfelelően! 0
3.2. ábra 3.5.20.v. Milyen tvábbi egyszerűsítéseket tud végezni az érintkezős hálózatn? 3.5.2. Állapítsa meg az érintkező megtakarítást az egyszerűsítés nélküli teljes diszjunktív nrmál alakhz képest! 3.5.22.v. Készítse el a függvény diszjunktív, ill. knjunktív alakjának flyamatábráját a 3.3. ill. 3.4. ábrák kiegészítése révén! KI: KI: 0 KI: KI: 0
3.3. ábra 3.4. ábra 3.6. Példa Egyszerűsítse az F (,,, ) = ( 0,,,2,3,4,5 ) x (5,6,7,8,9,0 ) függvényt diszjunktív és knjunktív alakban. Megldás 3.6.. Ábrázlja a függvényt a 3.5. ábrán! 3.5. ábra 3.6.2. Végezze el a tömbösítést! 3.6.3. Hány tömböt képzett? 2-es tömb db 4-es tömb db 8-as tömb db 3.6.4. Pnttal jelölje meg azn mintermeket, amelyeken csak egy hurk meg keresztül! Ezek: m?4, 3.6.5. m?4, m?4. Írja a fenti mintermek alá a hzzátartzó nélkülözhetetlen primimplikánst! 3.6.6.v. Vnalkázza be az ezen tömbök által lefedett területet! 3.6.7.v. függvény diszjunktív minimál alakja: F= 2
3.6.8. knjunktív minimál alak előállításáhz végezze el a tömbösítést a kiegészített 3.6. ábrán. 3.6. ábra 3
3.6.9. Hány tömböt képzett? 2-es tömb db 4-es tömb db 8-as tömb db 3.6.0.v. Pnttal jelölje meg azn mintermeket, amelyeken egy hurk megy át: Ezek: m?4, m?4, m?4. 3.6..v. knjunktív minimál alak: F= 3.6.2.v. Rajzlja meg az egyszerűsített függvény diszjunktív (a), ill. knjunktív (b) alakjának érintkezős megfelelőjét (ld. 3.7. ábra). a, b, 3.7. ábra 4
3.7. Példa Egyszerűsítse az F (,,, ) = ( 3,4,3,4 ) x ( 2,5,7,9,5) függvényt diszjunktív és knjunktív alakban! 3.7..v. Ábrázlja a függvényt és végezze el a tömbösítést a 3.8. ábrán! 3.8. ábra 3.7.2. nélkülözhetetlen primimplikánsk: az m?4 miatt: 4 az m? miatt: 3.7.3. Lefedik-e a függvény valamennyi -essel jelölt mintermjét a nélkülözhetetlen primimplikánsk? 3.7.4. Ábrázlja ismét a függvényt a 3.9. ábrán és vizsgálja meg, hgy a fennmaradt -esek lefedésére hány lehetőség van! Melyik előnyösebb? m34 Melyik előnyösebb? 4 m3 3.9. ábra 5
3.7.5.v. Fentiek alapján megldáskkal: a függvény minimál diszjunktív alakja az ekvivalens F= F= Melyik megldáshz kell több inverter? 3.7.6.v. 3.7.4-ben a szükséges primimplikáns kiválsztása spekulatív útn történt. Végezze el a segédfüggvény (g) felírásával! E célból fglalja táblázatba a le nem fedett mintermeket és a hzzájuk tartzó primimplikánskat (3.20. ábra). 3.20. ábra 3.7.7.v. Végezze el a kijelölt műveletet! g= 3.7.8. Figyelje meg, hgy a két szóban frgó minterm (3, 3) lefedése bármelyik, a segédfüggvényben együtt szereplő két primimplikánssal lehetséges. választás szempntjai: a, legkevesebb betűt tartalmazó szrzat, b, kevesebb váltzót tartalmazó primimplikáns. 3.7.9. lkalmazza a fenti két feltételt a kaptt g segédfüggvényre! 3.7.0.v. b, szempnt szerint választtt szrzatk: F= F= Hasnlítsa össze a 3.7.5-ben kaptt eredménnyel! 6
3.7..v. Végezze el a knjunktív alak tömbösítését a 3.2. ábrán! 3.2. ábra 4 3.7.2. Nélkülözhetetlen primimplikáns az m? miatt? 3.7.3. Vnalkázza be a 3.22. ábrán, a nélkülözhetetlen tömbök által lefedett területet! Elemezze végig valamennyi fennmaradó mintermet, hgy melyik tömb választása előnyösebb, s ez alapján válassza ki a szükséges primimplikánskat: m0 = m : m6 : m0 : m : 3.7.4.v. Mely minteremknél dönthető el egyértelműen a választás? 3.7.5. Vnalkázza be a választtt primimplikánsk által lefedett területet a 3.22. ábrán. knjunktív alakban egyszerűsített függvény (ekvivalens megldásk): F= F= 3.22. ábra 3.7.7.v. Egészítse ki a 3.23. ábrát a diszjunktív alakú megldásnak megfelelően. 7
3.23. ábra 3.8. Példa Egyszerűsítse az F ( E,,,, ) = ( 0,,2,5,7,8,3,8,23,25,29 ) x ( 9,5,2,24,3) függvényt diszjunktív és knjunktív alakban! megldást az ismert lépésekben végezze el a 3.24. ábrán! Eredmény: F= E=0 E= 3.24. ábra 8
3.9. Példa Egyszerűsítse a 3.25. ábrán grafikusan adtt ötváltzós függvényt diszjunktív alakban! X4 - X X3 - X2 X3 - X5 3.25. ábra 3.0. Példa Egyszerűsítse a 3.26. ábrán grafikusan adtt hatváltzós függvényt diszjunktív alakban! 3.0.. Végezze el a tömbösítést a 4 váltzós táblákn, majd a szmszéds táblák között! Jelölje be az összefüggő tömböket! Eredmény: F= X X F X X E X X 3.26. ábra 9
3.. Példa Állapítsa meg, hgy a 3.27. ábrán látható lgikai hálózat a legegyszerűbben van-e realizálva! választól függően krrigálja a kapcslást és ellenőrizze az eredményt! a b & F c c d 4X& 3.27. ábra 3.2. Példa Állapítsa meg, hgy a 3.28. ábrán vázlt érintkezős hálózatról a mellékelt KV tábla felhasználásával, hgy jól van-e egyszerűsítve! Krrigálja a kapcslást, majd rajzlja meg az MSz jelképet, ill. flyamatábrát! KI: KI: 0 3.28. ábra Gyakrló feladatk Egyszerűsítse az alábbi függvényeket a, diszjunktív b, knjunktív alakban a mellékelt KV táblák felhasználásával (3.29. ábra). 20
3.. F (,,, ) = ( 2,3,5,7,8,2,4 ) 3.2. F (,,, ) = (,4,6,7,0,2,3,4 ) X (3,5,5) 3.3. (0,,2,3,4,6,8,9,0,) F (,,, ) = 3.4. F ( X, Y, Z,V ) = (,3,7,9,2,3,4,5) X ( 4,) 3.5. F (,,, ) = ( 2,5,6,9,3,4) X ( 0,7,8,0,5) 3.6. F (,,, ) = ( 4,0,,3) X ( 0,2,5,5) 3.7. F ( P,0, R, S ) = ( 2,6,7,8,0 ) X ( 0,2,3,5) 3.8. F ( X, Y,V, Z ) = (,4,6,8,,2) X ( 2,5,3,5) 3.9. (3,0,2,7,22,3) F,,,, É = ( ) (2,3,4,5,6,0,,2,3,4) 3.0. F ( X, Y, Z,V ) = 3.. F ( X, Y, Z,V ) = ( 2,3,4,5,6,,,3, ) X (0,2,4 ) 3.2. F (,,, ) = (0,,2,4,7,9,0,2,5) 3.3. F (,,, ) = (,3,5,7,8,0,,2,4 ) 3.4. F (,,, ) = (3,6,8,0,,3,4,5) 3.5. F (,,, ) = (0,2,3,4,5,8,0,,2,3,4,5) 3.6. F ( E,,,, ) = ( 2,3,4,5,6,7,3,22,23,30,3) 3.7. F (,,, ) = (,5,6,7,,2,3,5) 3.8. F (W, X, Y, Z ) = ( 4,5,7,2,4,5) X ( 3,8,0) 3.9. Y (,,,, ) = ( 0,2,4,7,,3) X (,5,8,0,4 ) 3.20. Y (,,,, ) = ( 0,2,4,7,,3) X (,5,8,0,4 ) 3.2. Y (,,,, ) = ( 0,,4,7,,3) X ( 2,5,8,0,4 ) 3.22. Y (,,,, ) = ( 0,2,4,7,,4 ) X (,5,8,0,3) 3.23. Y (,,,, ) = ( 0,2,4,8,,3) X (,5,7,0,4 ) 2
3.29. ábra 22
Válaszk, megldásk 3.. Példa: lásd a 3..v. ábrát! 3..v. ábra 3.2. Példa: a megldáskat a 3.2. ábra szerinti elrendezésben adjuk meg. X : F = Y : F = V : F = Z : F = W : F = K : F = X 2 : F = X 3 : F = Y 2 : F = V 2 : F = Z 2 : F = W 2 : F = K 2 : F = Y 3 : F = V 3 : F = Z 3 : F = W 3 : F = K 3 : F = 3.3. Példa: X : F = = Y : F = X 2: F = X 3 : F = Y 2 : F = Y 3 : F = 3.4. Példa a 3.4. ábra jelölésével: X : F = = Y : F = X 2 : F = X 3 : F = Y 3 : F = = ( V : F = Y 2 : F = V 2 : F = V 3 : F = Z : F = Z 2 : F = Z 3 : F = ) 23
3.5. ábra jelölésével: X : F = Y : F = V : F = X 2 : F = Y 2 : F = Z : F = V 2 : F = X 3 : F = Y 3 : F = V 3 : F = Z 3 : F = Z2: F = 3.6. ábra jelölésével: X: F = X 2 : F = X 3: F = Y 2 : F = Y : F = V 2: F = V : F = Z 2 : F = Y3: F = V 3 : F = Z3: F = Z : F = 3.5. Példa 3.5.3. Lásd a 3.7.v. ábrát! 3.7.v. ábra 3.5.5. Lásd a 3.8.v. ábrát. 3.8.v. ábra 3.5.7. Redundáns tömbök:, 24
3.5.8. F = 3.5.0. Lásd a 3.9.v. ábrát! 3.5.4. ( F = ) ( ) 3.9.v. ábra 3.5.4. Lásd a 3.0.v. ábrát! 3.0.v. ábra 3.5.8. Lásd a 3..v. ábrát! 3..v. ábra 3.5.20. Lásd a 3.2.v. ábrát! 25
3.2.v. ábra 3.5.22. Lásd a 3.3.v. ill. 3.4.v. ábrát! 3.3.v. ábra 3.4.v. ábra 3.6. Példa 3.6.6. Lásd a 3.5.v. ábrát! 3.5.v. ábra 3.6.7. F = 26
3.6.0. Lásd a 3.6.v. ábrát! 3.6.. ( F = ) ( ) 3.6.v. ábra 3.6.2. Lásd a 3.7.v. ábrát. 3.7.v. ábra 3.7. Példa 3.7.. Lásd a 3.8.v. ábrát. 3.8.v. ábra 3.7.5. F = F = 27
3.7.6. g = ( a c ) ( b d ) 3.7.7. g = ab bc ad cd 3.7.9. ab, bc 3.7.. Lásd a 3.22.v. ábrát! 3.20.v. ábra 4 3.22.v. ábra 4 3.7.4. m, m 3.7.6. ( )( ) = ( )( ) ( )( ) F = ( )( ) F2 3.7.7. Lásd a 3.23.v. ábrát! 3.23.v. ábra 3.8. Példa 3.24.v. ábra alapján: F = E 28
3.24.v. ábra 3.9. Példa 3.25.v. ábra alapján: F = X 2 & X 4 X 3 & X 5 X 2 & X 3 3.25.v. ábra 3.0. Példa 3.26.v. ábra alapján: Y = F F 29
3.26.v. ábra 3.. Példa 3.27.v. ábra szerinti tömbösítéssel: F = 3.27.v. ábra 30