SEMMELWEIS EGYETEM Biofizikai és Sugárbiológiai Intézet, Nanokémiai Kutatócsoport Transzportjelenségek az élő szervezetben II. Zrínyi Miklós egyetemi tanár, az MTA levelező tagja mikloszrinyi@gmail.com
Konduktív transzportfolyamatok egységes tárgyalása diffúzió hővezetés reológia ÁRAM: komponens áram (tömeg áram) energia áram impulzus áram HAJTÓERŐ: c T v ÁRAMSŰRŰSÉG: jn = D c j = k T Q ji = η v VÁLTOZÁS: c D c T α = 2 t = 2 t T Fick Fourier Newton Laplace operátor: x y z 2 2 2 2 = + + 2 2 2
A diffúzió molekuláris elmélete egyirányú laterális radiális 2 < x >= 2 2 Dt < σ >= 4 Dt 2 < r >= 6 Dt Brown mozgás, bolyongás ( ) P x 0,3 2 1/2 < x > = 1cm kbt kbt D= = ξ 6πηR Stokes-Einstein összefüggés 0,2 0,1 2 1/2 < x > = 0,0-6 -4-2 0 2 4 6 2cm
Konvekció vagy diffúzió? Konvektív anyagtranszport esetén adott L távolság megtételéhez szükséges idő: t = / Konduktív anyagtranszport esetén adott L távolság megtételéhez szükséges idő: Péclet szám: tdiff Pe= = t konv L v D Pe 1 A diffúzió gyorsabb, mint a konvekció! Pe 1 A konvekció gyorsabb, mint a diffúzió! L 6 8 2 1 = 10 m D= 7 10 m s v= 10 egység Proteinek és nuklein savak organelles sejtek kapillárisok szervek test Glükóz diffúziója és áramlása sejtben. ms 2 1 A diffúzió a gyorsabb anyagtranszport! 8 10 Pe= = 0,13 8 7 10 konv L v t 2 diff = L / D Méret (m) 10 8 10 7 10 6 10 4 10 1 0 10
Konszekutiv transzportfolyamatok A leglassúbb folyamat a sebesség meghatározó diffúzió - konvekció Péclet szám: diffúziós idő áramlási idő Pe = L v D y m. átadás - diffúzió Biot szám: (dialízis) v( x, y) diffúzió x m. átadás i. diffúziós idő dc = = dy konvekció c f v( x, y) Bi = k m D A komponens áram függ az áramlási sebességtől! L eff
Ha egy testre erő hat helyváltozás alakváltozás DEFORMÁCIÓ ru g a l m as viszkózus Fluidumok áramlása Fluid fázis: a folyadék és a gáz halmazállapot összefoglaló neve, amely arra utal, hogy az anyagok mindkét állapotban viszonylag könnyen változtatják alakjukat, könnyen folynak.
Biomechanika A mechanika törvényeinek alkalmazása élő rendszerekre. Erő hatására bekövetkező mozgásokat tárgyalja térben és időben. passiv komponensek Erő hatására változnak mint pl. csontok, és inak. Hooke szerű mechanikai viselkedés aktív komponensek Erőt generálnak mint pl. az izmok, Komplex mechanikai viselkedés
Biomechanika energia rugalmasság entrópia rugalmasság Nemlineáris, időtől függő mechanikai viselkedés ε(r) r
Biomechanika f f A Hooke törvény f = E A l l Young modulusz o Nemlineáris, időtől függő mechanikai viselkedés neo-hooke törvény f r π G ( λ λ ) 2 2 / o = x x Nominális feszültség nyíró modulusz deformáció arány Hooke törvény l l o G = E 2(1 + ν ) Poisson arány Egyirányú deformációnál a keresztirányú alakváltozás és a hosszirányú alakváltozás viszonya.
Young modulusz haj: 12000 MPa combcsont: 6000 MPa kollagén 2000 MPa Achilles in: 250 MPa acél: 200 MPa köröm: 160 MPa izületi porc: 24 MPa idegrost: 10 MPa porckorong: 6,0 MPa arcbőr: 0,3 MPa koronária: 0,1 MPa szívizom: 0,08 MPa nyelőcső: 0,03 MPa harántcsíkolt izom: 0,02 MPa
A különböző anyagi rendszerek folyásával foglalkozó tudományt 1928-ban Bingham javaslatára nevezték el reológiának. (Rheos logos = folyástan) Sir Isac Newton (1642-1727)
Hemoreológia
Az áramlás típusa turbulens R e = vdρ η v kr = R e η ρ d lamináris R < e 2100(?)
Folyás lamináris, turbulens, összenyomható, összenyomhatatlan, Bernoulli egyenlet száraz, 1 2 viszkózus, p + ρ vx + ρ gh = konst.. 2 állandó, pulzáló, rotáló. A keringési rendszer (cardiovascularis) többségében az áramlás lamináris. Kivétel a szívből az aortába kilökődő vér áramlása.
Alapfogalmak: Nyomó erő Nyíró erő Nyírás: tangenciálisan ható (nyíró)erő (F) vált ki deformációt. Tiszta nyírás Rotációs nyírás
Alapfogalmak: Nyírófeszültség: τ = F A S A S F y Elmozdulás: ux x ( y) F Deformáció: γ = dux dy y ( )
Alapfogalmak: y ux y ( ) x Deformáció: Deformáció sebesség: d γ d t γ = dux dy d γ d d u x d d u x d v = = d t d t d y d y = d t d y x A deformáció sebesség megegyezik a sebesség gradienssel!
Alapfogalmak: ji = η v τ = η v Kapcsolat a nyírófeszültség és a sebesség gradiens között: τ η dv x = Newton egyenlet dy viszkozitás
Rotációs viszkoziméter τ = η dv x dy
Dinamikai viszkozitás (általában ezt értjük viszkozitás alatt pascal seconds (Pa s) Régebben Jean Louis Marie Poiseuille (1797-1869) tiszteletére használták a 1 poise = 100 centipoise = 0.1 Pa s. Fluiditás a viszkozitás reciproka (= 1/η). Kinematikai viszkozitás: a dinamikai viszkozitás és a sűrűség hányadosa (= η/ρ). (m 2 s -1 ) or the stoke (St).
Newtoni folyadék folyásgörbéje τ nyírófeszültség dv τ =η x dy viszkozitás tg α= η [ Pa] [ Pa s] s 1 α dv x dy sebesség gradiens vagy deformáció sebesség
Newtoni testek folyás és viszkozitásgörbéi -folyás már a legkisebb nyíróerő hatására is megindul, -a nyíróerő és a sebesség-gradiens között egyenes arányosság van, -a viszkozitás független a nyíróerő nagyságától. víz, tej, cukor oldat, étolaj dv x dy
Anyag Hőmérséklet Viszkozitás Levegő 18 C 0,018 [ mpa s] Víz 0 C 1,8 Víz 20 C 1 Víz 100 C 0,28 Glicerin 20 C 1500 Higany 20 C 1,6 n-pentán 20 C 0,23 Argon 85 K 0,28 He 4 4,2 K 0,033 Szuperfoly. He 4 < 2,1 K 0 Üveg > 10 15
biofolyadék T/ C viszkozitás /mpa s vér 37 4 (nem Newtoni) vér plazma 37 1,5 könny 37 0,73 0,97 levegő 20 1,8 10 2 izületi folyadék 20 2 > 3 10 (nem Newtoni) agyvíz 20 1,02
Nem newtoni testek folyásgörbéi - viszkozitás nagysága az anyagi minőségen kívül a deformációs hatás mértékétől és idejétől is függ. Folyásgörbéik alapján megkülönböztetünk: ideálisan plasztikus (Bingham-testek) reális plasztikus tulajdonságú testeket. szerkezeti viszkozitás
ideálisan plasztikus (Bingham-test) dv x dy
Reálisan plasztikus testek
Dilatancia Viszkozitás növekszik nyírás hatására τ Nedves homok Keményítő szuszpenzió vér dv x dy
szerkezeti viszkozitás. At moderate concentrations above a critical value (C*, [244]) hydrocolloid solutions exhibit non-newtonian behavior where their viscosity depends on the shear strain rate, typically as opposite, where γ is the shear strain rate, η 0 andη are the viscosities at zero and infinite shear strain rate respectively and τ is a sheardependent time constant that represents the reciprocal of the shear strain rate required to halve the viscosity Viszkozitás csökken nyírás hatására The exponent (m) gives the degree of thinning (0 = no thinning, i.e. Newtonian behavior; 1 = maximal thinning) and determines the slope of the graph (i.e. polimer oldat festék the slope is greater when m is greater). ketchup The equation is one of a number of empirical relationships that can be used.
A tixotrópiát mutató testek külső mechanikai erők hatására (rázás, keverés, dörzsölés), aránylag kis munkabefektetés mellett elfolyósodnak. Az elfolyósodás viszkozitás csökkenésben nyilvánul meg. (festék, joghurt) A reopexiát mutató testek külső mechanikai erők A reopexiát mutató testek külső mechanikai erők hatására (rázás, keverés, dörzsölés), aránylag kis munkabefektetés mellett keményednek. Az elfolyósodás viszkozitás növekedésben nyilvánul meg. (gipsz szuszpenzió)
tixotrópia reopexia η η t t
P + P P Folyadék áramlása csőben áramlási profil 2R τ= η dv dr x L π τ = = = 2rπ dx 2 dx 2 L 2 r dp r dp r P 2R P P dvx = 2 r dr= d 4Lη 4Lη ( 2 r ) 2r dx v ( ) 0 x r= R = v x P r = r + konst. 4Lη ( ) 2 P ( 2 2 ( ) ) PR r vx r = R r = 1 4Lη 4Lη R 2 2 2
Folyadék áramlása csőben térfogatáram 2 2 2 ( ) 1 4 x PR r v r L R η = 2 max 4 R P v L η = 2 max 2 x ( ) 1 r v r v R = 0 2 ( ) R V x I r v r dr π = 0 2 max 2 0 2 1 R V r I r v dr R π = 0 L P R I o V = η π 8 4 max 2 0 2 2 1 8 v L P R R I v o V x = = = η π
Newtoni folyadék lamináris áramlása (összefoglalás) 2R o P+ P P Parabolikus sebesség profil r 2 2 v x (r) PR 0 r vz ( r) = 1 2 x I V L 4LL η R 0 Hagen-Poiseuille törvény 4 o π R = 8 η P L x 1 2 p ρvx ρ gh const 2 + + = Bernoulli törvény
Parabolikus sebesség profil módosulása katéter A A2 1 turbulens
Vér áramlása elágazó erekben I π R P 1 = = P V 4 o 8η L Rre s R res ( soros) R, = i res i R res ( párhzamo ) s = i 1 R res, i érszakasz átmérő cm hossz cm elágazások száma áramlási seb. cm/s aorta 2,4 40 1 23 artériák 0,4 15 160 5 10 kapillárisok 0,0007 0,07 1,2 10 0,022 vénák 0,5 15 200 2,5
Relativ viszkozitás (η rel ). oldat η rel η = η o t t o oldószer Specifikus viszkozitás (η sp ) η = η 1 sp rel Ostwald-féle viszkoziméter
Redukált viszkozitás (η red ) η = red η sp c Jellemző viszkozitás ([η]) [ η] = lim c 0 η red ηsp c Ubbelohde féle viszkoziméter [ η] c
Stokes törvény: f η = πη 6 a v r x a r v x Höppler féle viszkoziméter
Híg szuszpenziók viszkozitása: Általában newtoni viselkedés Einstein-egyenlet [ η ] = 2.5Φ η = η o 1+ 2.5Φ ( ) Térfogati tört A viszkozitás független a részecskék méretétől!
Einstein-egyenlet általánosítása: [ η] = ν Φ a η = η 1+ ν Φ o ( ) a Asszimetria faktor ( a b) ( a b) 2 2 / / 14 ν a = + + 2a 3 2a 1 5 15 ln 5 ln b 2 b 2 Prolát elipszoid ν a 16 ( a / b) = Oblát elipszoid 1 15 tan ( a / b) DNS-re: ν = 65, 2 a / b= 27,8 a
η = η o 1+ 2.5Φ ( )
A viszkozitása függése a hőmérséklettől: η E RT a ( T) ηiexp = o
Stokes-Einstein law: D = 6 k T B πηa r