Jelek tanulmányozása A gyakorlat célja A gyakorlat célja a jelekkel való műveletek megismerése, a MATLAB környezet használata a jelek vizsgálatára. Elméleti bevezető Alapműveletek jelekkel Amplitudó módosítás skálázással Adott egy folytonos jel, x(t): R R. Ha egy amplitúdó skálázást alkalmazunk, akkor egy újabb valós változójú, valós függvényt kapunk vagyis y(t) = c x(t) jelet. Az alkalmazott c együttható eleme a valós számoknak. Egy függvény valós számmal való szorzása minden tulajdonsága igaz ebben az esetben is. Egy példa látható a következő ábrán. Ha most egy diszkrét x [ n] : Z R jel esetében alkalmazzuk, és egy y[n] = c x[n] jelet kapunk. Ha c egy valós szám akkor a következő ábrán láthatunk egy esetet diszkrét amplitudó skálázásra. Jelek összeadása, szorzása A következő ábra két folytonos jel összeadását és szorzását mutatja. 1
A jelek értelmezési tartományát módosító műveletek Időintervallum-skálázás Legyen x(t): R R folytonos jel, akkor az időintervallum-skálázással kapott y(t) jel felírható mint: Legyen a > 0 és y(t) = x(a t) ha a > 1 akkor időintervallum sürítésről beszélünk ha 0 < a < 1 időintervallum dilatációról beszélünk Erre a két esetre láthatunk példát a következő ábrán: Mindkét esetben láthatjuk, hogy a transzformáció során nem változik a jel amplitudó-ja. Legyen most egy x [ n] : Z R egy diszkrét jel. A diszkrét időintervallum-skálázás legyen y[n] = x[k n] anikor k egy egész paraméter vagyis k { ± 1, ± 2, ± 3, } 2
Ebből látható, hogy ez a művelet a diszkrét jelek esetében információvesztéssel jár. Most ugyanazt a skálázási műveletet láthatjuk egy másik jel esetében. n ha n páratlan Legyen ez a jel x[n] = és ez látható a következő ábra bal felében. 0 ha n páros Az eredményből láthatjuk, hogy a skálázás teljes információvesztéssel jár. Időtükrözés (reflexió) Legyen x(t): R R folytonos jel. Ekkor az időtükrözés (az idő-tengely tükrözése a vonatkoztatási rendszer origójára nézve) felírható mint : y(t) = x( t); Ha a jel páros, akkor az időtükröző művelet nem változtatja meg a jelet, mert x ( t) = x(t), míg egy páratlan jel esetében mikor x( t) = x(t), a transzformált az Oxre nézve szimetrikus jel lesz. A következő ábra az időtükrözést mutat. x(t) = 0 ha t < T y(t) = 0 ha t < T 1 2 és t > T 2 és t > T 1 3
Legyen egy x [ n] : Z R egy diszkrét jel. Az időtükrözés művelete legyen y[n] = x[ n]. 1 ha n = 1 A diszkrét jel x[n] = 1 ha n = 1 és számítsuk ki y[n] = x[n] + x[ n] értékét. 0 ha n = 0 és n > 1 A következő ábrán láthatjuk az y [n] jel két kompenensét: Nem nehéz kiszámítani, hogy a két jel összege: y [n] = 0. Idő-eltolás Adott egy x(t): R R folytonos jel. Az idő-eltolás műveletet (t) = x(t t ); t 0; y 0 0 és t 0 egy véges valós szám. Ha t 0 > 0 akkor az időtengelyen jobbra toljuk (transzláció) az x(t) grafikonját, ha meg t 0 < 0 akkor meg az eltolás (transzláció) balra történik. Példa: Legyen egy x [ n] : Z R egy diszkrét jel. Az idő-eltolást y[n] = x[n M] alakban írhatjuk fel, ahol M egy egész szám. Legyen adott a következő diszkrét jel. 1 ha n = 1,2 1 ha n = 1, 2 x[n] = 1 ha n = 1, 2 akkor x [n + 3] = 1 ha n = 4, 5 0 ha n = 0 és n > 2 0 ha n = 3 és n > 1 Grafikus abrázolásuk: 4
Vegyük most a következő, nagyon fontos transzformációt: y(t) = x(a t b) ahol x,y : R R, vagyis valós függvények és a,b szigorúan pozitív valós számok. Alapvető az idő-eltolás és az időtükrözés műveletének a sorrendje. Ez a következő: Első lépés: elvégezzük az idő-eltolás műveletét ( t t b x(t) v(t) ) Második lépés: ezután elvégezzük az időtükrözés műveletét ( v(t) y(t) ) A következő ábrán láthatjk a helyes és a helytelen sorrendben végrehajtott műveleteket mutatja. Látható, hogy ez a transzformáció műveleti sorrendfüggő. Ez érvényes a diszkrét műveleti sorrend esetében is. Egy diszkrét jel esetében következik a helyes sorrendben végrehajtott műveletsor az y [n] = x[2 n + 3] kiszámítására ha a jel: x [n] = 1 ha 1 ha 0 ha n = 1,2 n = 1, 2 n = 0 és n > 2 Ezt a következő ábrán láthatjuk. 5
Feladatok: 1. Hozzátok létre a következő jeleket: 2. Származtassátok a következő jeleket: a. u(t)=x(t-t x ) b. v(t)=y(t+t y ) c. w(t)=y(2t+3) d. p(t)=z(-t+2) e. r[nt]=x[2nt-1] A folytonos jelek ábrázolására használjátok a plot függvényt, a diszkrétekére pedik a stem függvényt. A jelek(x,y,z) létrehozását legalább két módszerrel kérem! Kérdések: 1. Jeleken végzett összetett műveleteknél számít a sorrend? 2. Periodikus folytonos jelet mintavételezve az eredő diszkrét jel is periodikus lesz? Indokoljátok meg a választ példákkal. 3. Soroljatok fel általatok ismert öt jellegzetes jelet! 6