MISKOLCI EGYETEM Műszaki Földtudományi Kar Kőolaj és Földgáz Intézet Geotermikus szakmérnöki szak Egy talajszonda geofizikai, hidrodinamikai és TRT adatokon alapuló modellezése (On geophysical, hydrodinamical and TRT data based modeling of a borehole heat exchanger) Diplomaterv ERDÉLYI BARNA Konzulensek: Dr. Szűcs Péter Dr. Bobok Elemér Miskolc, 2011
MISKOLCI EGYETEM Műszaki Földtudományi Kar UNIVERSITY OF MISKOLC Faculty of Earth Science & Engineering KŐOLAJ ÉS FÖLDGÁZ INTÉZET PETROLEUM AND NATURAL GAS INSTITUTE : H-3515 Miskolc-Egyetemváros, Hungary : (36) (46) 565-078 FAX: (36) (46) 565-077 e-mail: tihanyil@kfgi.uni-miskolc.hu Diplomaterv-feladat szigorló geotermikus szakmérnök részére Egy talajszonda geofizikai, hidrodinamikai és TRT adatokon alapuló modellezése 1. Készítsen a hazai és a nemzetközi szakirodalom alapján áttekintést a felszín alatti hőátviteli folyamatokról rétegzett talajszerkezet és zárt rendszerű talajszondák esetén! 2. Ismertesse a Thermal Response Test (TRT) elméletét és a tesztberendezés működését! 3. Mutassa be a vizsgált rétegsor mért és számított adatrendszerét! 4. Ismertesse a vizsgált talajszonda analitikus modelljének felépítését! 5. Határozza meg analitikusan a talajszonda hőmérsékleti viszonyait és termikus paramétereit a TRT stacionárius állapotára! 6. Mutassa be és értelmezze számítási eredményeit! 7. Összegezze megállapításait! Konzulensek: Dr. Szűcs Péter egyetemi tanár, ME Hidrogeológiai Intézeti Tanszék Dr. Bobok Elemér professzor emeritus, ME Kőolaj és Földgáz Intézet Beadási határidő: 2011. május 2. Miskolc, 2011. március 25. Dr. Tihanyi László egyetemi tanár intézet igazgató
Eredetiségi Nyilatkozat "Alulírott, a Miskolci Egyetem Műszaki Földtudományi Karának hallgatója büntetőjogi és fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem és aláírásommal igazolom, hogy ezt a diplomatervet / szakdolgozatot meg nem engedett segítség nélkül, saját magam készítettem, és a diplomatervben csak az irodalomjegyzékben felsorolt forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, melyet szó szerint, vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen, a forrás megadásával megjelöltem." Miskolc, 2011. május 2. geofizikus mérnök szigorló geotermikus szakmérnök
TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS 1 1. Geotermikus energia 4 1.1. A Föld belső hőjének eredete 4 1.2. A Föld hőjelenségei 6 1.3. Földi hőáram 7 1.4. Hőterjedés matematikai megfogalmazása 8 1.4.1. Hőterjedés a földkéreg rétegeiben 10 1.4.2. Hőterjedés a felszínközeli rétegekben 13 1.5. Talajszonda belső energia mérlege 17 2. Thermal Response Test (TRT) 22 2.1 Matematikai alapok 23 2.2. Kelvin vonalforrás egyenlete 25 2.3. Egyszerűsítések, követelmények, előnyök, hátrányok 29 2.4. A tesztberendezés szerkezeti felépítése, működése 34 3. A létesítendő talajszonda rétegsorának mért és számított paraméterei 36 3.1. A vizsgált rétegsor geofizikai felmérése 36 3.2. A vizsgált rétegsor hidrodinamikai felmérése 39 3.3. A vizsgált rétegsor és a talajszonda termikus paramétereinek felmérése 43 4. A talajszonda hőmérsékletviszonyai 46 4.1 A munkaközeg vertikális hőmérséklet-eloszlásának meghatározása 46 4.1.1. Az eredő hőátviteli tényező és a fúrólyuk termikus ellenállás 47 kapcsolata 4.1.2. A kimenő paraméterek pontosítása iterációval 48 4.2. A fúrólyuk-fal hőmérséklet eloszlásának meghatározása 51 4.3. A tömedékelő agyag hővezetési tényezőjének meghatározása 52 5. A formáció hővezetési tényezőjének meghatározása tiszta kondukcióra 53 5.1. A hőátadási tényező meghatározása a rétegvíz és a fúrólyuk között 53 5.1.1. A rétegvíz áramlási sebességének meghatározása 55 5.1.2. A rétegvíz áramlási sebességének hatása a konvektív hőelvonásra 57 5.2. A formáció effektív hővezetési tényezőjének meghatározása 58 5.3. Az eredményszelvény bemutatása 59
6. A talajszonda körüli hőmérsékleti mező 61 6.1 Termikus távolhatás mélység szerinti meghatározása 61 6.2. A hőmérsékleti mező értékei 63 6.3. Surfer ábrák 68 ÖSSZEFOGLALÁS 71 SUMMARY 73 IRODALOMJEGYZÉK 74 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS 78 MELLÉKLETEK 79 MELLÉKLETEK JEGYZÉKE 80
BEVEZETÉS Egy talajszonda geofizikai, hidrodinamikai és TRT adatokon alapuló modellezése Napjainkra egyre fokozódó szükséggé vált az alternatív vagy más szóval a megújuló energiahordozók hasznosítása. Ennek oka részben a fosszilis energiahordozók magas világpiaci árában keresendő, részben, pedig abban, hogy az emberiség kezdi felismerni eddigi energiatermelési gyakorlatának a környezetre tett kedvezőtlen hatásait. Itt elsősorban a légkör szén-dioxid terhelésére gondolok, de említhetném a kén-dioxid és a nitrózus gázok, valamint a korom és por légkörbe bocsátását is. E súlyosbodó problémára megoldást jelenthetnek a nem fosszilis eredetű, azaz alternatív energiahordozók, amelyeket azonban csak bizonyos esetben nevezhetünk megújulónak is. Az, hogy egy energiahordozó megújuló-e, a felhasználás és az utánpótlódás ütemének viszonya határozza meg. Tipikusan ilyen alternatív energiafajta a geotermikus energia is, amelyet csak és akkor lehet megújuló energiának tekinteni, ha az annak hasznosítására létrehozott energiatermelőrendszert körültekintően, a fenntarthatóságot figyelembe véve tervezték meg. Hiába korlátlan a Föld belső energia készlete, ha azt lokálisan túlzott mértékben aknázzuk ki, ezáltal ellehetetlenítve a fenntarthatóságot. Gondoljunk csak a kaliforniai Geysers geotermikus mező kényszerűségből leállított erőműveire. Sajnos e probléma nem is olyan távoli, hisz ahogy a kaliforniai gőzrezervoárok, úgy a magyarországi hévízrezervoárok sem végtelen, sőt inkább véges utánpótlódásúak. Ennek máris jelentkeznek aggodalomra okot adó, kézzel fogható tünetei, példaként Hajdúszoboszló térségét tudnám említeni, ahol a túlzott vízkivétel először csak lokális, majd regionális vízszintsüllyedésben jelentkezett. Ma már a néhány évvel ezelőtt létesített hévízkutakban is több méteres nyugalmi vízszint csökkenés mérhető, ami azt jelenti, hogy a búvárszivattyúkat egyre mélyebbre kell beépíteni, hogy az eddigi, megszokott vízhozamot és hőmérsékletet fenntartsák. A megfelelő hőmérsékletű és mennyiségű hévíz kitermelése többlet villamos energia ráfordítással ideig-óráig biztosítható, de a valódi megoldást az utánpótlódás biztosítása jelentené. A felvázolt eset teljesen analóg a nyitott, rétegvizes és a zárt, földhőszondás hőszivattyús rendszerek tervezési problematikájával. Egy alultervezett földhőszondás hőszivattyús rendszer a kellő fűtési hőmennyiséget egyre több szivattyúzási munkával, azaz egyre több villamos energia ráfordítással képes csak fedezni. Ám miközben a villamos áramfogyasztás egyre nő, a talajhőmérséklet a földhőszonda körül egyre csak csökken, hiszen a keringetett 1
munkaközeg növekvő tömegárama egyre több hőt von el a talajtól lokálisan, amit a földi hőáram sem képes pótolni. Manapság, mikor a hőszivattyúk, mint gépészeti egységek rohamos fejlődésének vagyunk tanúi, elsőrendű fontosságú, hogy a talajforrású hőszivattyús rendszerek tervezési módszerei is lépést tartsanak ezzel a fejlődéssel, és így a teljes energiatermelő rendszer földtanilag sokkal megalapozottabbá, gazdaságosan fenntarthatóvá váljon. Egyszer és mindenkorra szakítani kell azzal a megcsontosodott, elavult, és már eddig is számtalan gazdaságtalanul működő, vagy végleg ellehetetlenült hőszivattyús rendszert szülő tervezési módszerrel, amikor is holmi táblázatból, ill. irodalmi adatokra hagyatkozva határozták meg a talajból folyóméterenként kinyerhető hőteljesítményt. Az ilyen hagyományos tervezési módszerek, melyek nem valós mérésen alapulnak, nem tudják figyelembe venni a helyi földtani specialitásokat, így kizárólag alul- vagy túltervezett hőszivattyús rendszerhez vezetnek. Alultervezett rendszernél kedvezőbb esetben egy állandósult, magas üzemeltetési költséggel számolhatunk, kedvezőtlenebb esetben a rendszer teljes tönkremenetelével. Túltervezett rendszer esetén, pedig a beruházási költség lesz indokolatlanul magas, így a megtérülési idő jelentősen meghosszabbodik. Dolgozatomban részletesen ismertetem a földtanilag megalapozott tervezés által megkövetelt mérésfajtákat, és a mért adatok kiértékelésének módszereit. Jelen dolgozat a földtani szemléletű tervezést teljessé tevő numerikus előremodellezés bemenő paramétereinek egzakt, analitikus módszerekkel való előállításának bemutatására hivatott. Az általam bemutatandó módszer nem elégszik meg azzal, hogy a fúrólyuk geofizikai vizsgálatából csak egy egyszerű rétegsort adjon meg, ahogyan azzal a jelenlegi magyarországi gyakorlat megelégszik, hanem annak eredményeit szorosan integrálja a hidrodinamikai és a termikus tesztek eredményeiből felépülő analitikus modellbe. Így az analitikus modellezésből eredményül kapott értékek immár rétegenként és mélység szerint változó adatokat jelentenek, szemben a jelenlegi gyakorlat 1D-s megközelítésével. Ma a világban, így Magyarországon is, a telepített, próba talajszondán ún. thermal response tesztet (TRT) végeznek, amit a Kelvin-féle vonalforrás elmélet segítségével értékelnek ki. Ebből egy látszólagos, horizontális hővezetési tényezőt és egy fúrólyuk termikus ellenállást határoznak meg a teljes harántolt vertikumra, majd e két értéket egy szoftverbe beírva végeznek modellezést, ami egy teljesen hibás megközelítés, hiszen a fúrólyuk termikus 2
ellenállása mind térben, mind időben is változik. Ráadásul ez a módszer nem veszi figyelembe a geotermikus gradiens hatását, azaz a vertikális hatást, így a keringetett folyadék mélység szerinti valós hőmérséklet eloszlását sem, ezért a fúrólyuk termikus ellenállását jelentősen túlbecsli. E hiba kiküszöbölésére egy iterációs módszert találtam ki, amelyet Dr. Bobok Elemér és Dr. Tóth Anikó által a zárt, koaxiális elrendezésű hőcserélő kút esetére levezetett algoritmusra alkalmaztam olymódon, hogy az eltérő keresztmetszeti geometriát is figyelembe vettem. Dolgozatomban ugyanis, szimpla U-csöves talajszondát kívánok modellezni. Továbbá, ezáltal lehetőség nyílt a tömedékelő anyag és az U-cső együttes hővezetési tényezőjének meghatározására is, amit eddig szintén csak irodalmi adatként ismerhettünk. A TRT hátránya, hogy nem tudja elkülöníteni a vízvezető rétegben áramló víz által elvont hőteljesítményt a hővezetéssel elvont hőteljesítménytől, így a TRT-ből meghatározott hővezetési tényező nem tisztán kondukcióra, hanem advekcióra vonatkozik, ezért az extrém magas érték is lehet. A numerikus modellezéshez azonban nekünk tisztán kondukcióra vonatkozó hővezetési tényezőre van szükségünk, hisz a modellben külön is figyelembe vesszük a rétegvíz áramlását a porózus-permeábilis zónákban. Ezért megoldást kellett találnom a rétegvíz-áramlás által elvont konvektív hőteljesítmény meghatározására, amivel utólag kompenzálható a TRT-ből számított ekvivalens hővezetési tényező, és megadható egy tisztán kondukcióra vonatkozó érték. Ehhez, pedig hőátadási tényezőt számítottam a fúrólyuk fala és az áramló rétegvíz között. Mivel nem ismert olyan formula a Nusselt-szám meghatározására, amely egy furattal harántolt, párhuzamos síklapokkal határolt, porózuspermeábilis rétegre vonatkozna lamináris áramlás esetére, ezért a más esetekre vonatkozó formulákat alakítottam át, és próbálgatásos módszerrel határoztam meg azt az optimális alakot, ami végül a konvektív hőelvonás tekintetében a gyakorlati tapasztalatoknak is megfelelő értéket szolgáltatott. Ennek birtokában állítottam elő azt az adatrendszert, ami egy numerikus modellezés valósághoz legközelebb álló, bemenő paramétereit képezi. 3
1. Geotermikus energia Egy talajszonda geofizikai, hidrodinamikai és TRT adatokon alapuló modellezése Az energia egyik megjelenési formája a hő. E hő földbeli mennyiségének és eloszlásának vizsgálatával a geotermika tudománya foglalkozik. A geotermikus energia a Földbolygónak a belső energiája, amelyet a mag, a köpeny és a kéreg nagy hőmérsékletű tömegei tárolnak (Bobok és Tóth, 2004). Más megfogalmazás szerint a geotermikus energia a Föld belsejének hőtartalékát jelenti, ami döntően a földkéregben koncentrálódó, hosszú felezési idejű radioaktív izotópok bomlási hőjéből táplálkozik (Szőnyi, 2006). 1.1. A Föld belső hőjének eredete A Föld belső hője alapvetően három folyamat eredőjeként származtatható (Földessy, 2008): 1. A bolygókeletkezés maradványhője. Ennek elemei: - planetáris akkréció (bolygócsíra kialakulása), melynek során az összeütköző, összetapadó részecskék kinetikus energiája hővé alakul; - gravitációs tömegnövekedés (az anyageloszlás inhomogenitása miatt a gravitációs mező egyre nő a bolygócsíra körül, így az egyre több részecskét vonz magához): az anyagsűrűsödés miatt a belső energia növekedése indul meg; - megolvadás: a belső energia fokozódó felhalmozódásával a szilárd részek összeolvadva fuzionálnak (a fázisátalakulás rejtett hő felszabadulásával jár), kialakul a homogén Föld; - öves szétkülönülés (a bolygót felépítő elemek, vegyületek gravitációs, azaz sűrűségkülönbségen alapuló szétválasztódása); - lehűlés megszilárdulás (a fázisátalakulás rejtett hő felszabadulásával jár). A homogén, megolvadt Föld, illetve a jelenlegi öves szerkezeti állapot közötti energiakülönbség jelentős, 10 38 erg. Felszabadulása részben a bolygó keletkezésekor, részben fokozatosan ment, illetve megy végbe ma is, hiszen bolygónk folyamatosan hűl, szilárdul. 2. A Föld Hold rendszer árapály erői által keltett súrlódási hő. Az árapály erők napi ±30 cm-es elasztikus deformációt okoznak a Föld szilárd kőzetrétegeiben, és több méteres vízszint-változást a tengerekben. A dagálysúrlódás a Föld 4
forgási energiáját csökkenti. Az energia kibocsátás értéke 3 10 19 erg/sec. Kis része eltaszítja a Holdat a Földtől, a maradék része hővé alakul. 3. Hosszú felezési idejű radioaktív izotópok bomlási hője. A radioaktív hőtermelés a felső köpenyben, de még jelentősebb mértékben az alsó, sziallikus (szilíciumban és alumíniumban gazdag), kontinentális kéregben megy végbe. Radioaktív bomlás során a kibocsátott α (He atommag) vagy β (elektron) részecskék mozgási energiája elnyelődés által hővé alakul. A legjelentősebb radioaktív izotópok az 238 U, 235 U, 232 Th és a 40 K. A legjobb hőtermelő az 235 U, ám ennek részaránya elhanyagolható az 238 U-hoz képest. A legnagyobb mennyiségben viszont a kevésbé jó hőtermelő 40 K fordul elő a földkéregben. Rybach László 1988-ban tett közzé egy képletet, amely az egyes kőzetek egységnyi tömege által termelt radioaktív hőmennyiség meghatározására szolgál (Pethő, 2008): Q R = 95,2 C U + 25,6 C Th + 0,00348 C K [W/kg], (1) ahol: C U és C Th a kőzet urán és tórium koncentrációja [ppm]-ben, C K a kálium koncentráció [%]-ban. A radioaktív izotópok könnyebben dúsulnak fel a savanyú magmás kőzetekben, így a legjelentősebb radioaktív hőtermelő kőzet a nagy szilícium-tartalmú gránit. Modellszámítások alapján a radioaktív hőtermelés a Föld belső hőjének legjelentősebb forrása, mintegy 50 60 %-os részesedéssel, 30%-os arányt képvisel a dagálysúrlódás, a maradék 10 20 %-ot a bolygókeletkezés maradványhője adja (Földessy, 2008). Más megközelítés szerint a Föld belső hője 60%-ban a kéregben található rádium, tórium és kálium radioaktív bomlásából, 10%-ban a felső köpeny ásványátalakulási és kristályosodási folyamataiból és 30%-ban a földmag irányába mozgó vas és a felfelé emelkedő szilikátok szételegyedéséből származik (Némedi Varga, 1999). Megemlítendő még az asztenoszféra konvekciós áramlásai által hajtott lemeztektonikai folyamatok során felszabaduló hő is, ami azonban nagyságrendekkel eltörpül a fenti folyamatok energiája mellett. A kiemelkedéssel járó, orogenetikus mozgásokból, és a vele egyensúlyt tartó lepusztulásból származó energia kb. 10 24 erg/év, ami elhanyagolható a földi hőáram 10 28 erg/év (1watt = 10 7 erg/sec.) értékéhez képest. A földrengésekből évente 5
felszabaduló energia mennyisége kb. 10 26 erg, azaz a földi hőáram 1 %-a. Nagyságrendileg hasonló mértékű lehet a nem-elasztikus deformációkból származó energia is (Földessy, 2008). 1.2. A Föld hőjelenségei A geotermikus energia a Föld magja és a felszíne közötti hőmérsékletkülönbség hatására a felszín felé áramlik, a fel nem használt rész a légkörön keresztül a világűrbe távozik. A hőterjedésnek alapesetben három formája ismeretes: a hővezetés (kondukció), a hőszállítás (konvekció) és a hősugárzás (radiáció). A geotermikus mérnöki gyakorlatban ezek kombinációja fordul elő a leggyakrabban, pl.: vízjárta porózus-permeábilis kőzetrétegekben advekció (kondukció és konvekció együtt), illetve a Föld felszínközeli rétegeiben az advekció kiegészül még a Nap besugárzásának, vagy egyszerűen csak a felszíni hőmérséklet periodikus változásaiból származó hatásokkal. Hővezetés esetén a hő terjedése az anyag részecskéinek rendezetlen hőmozgása során létrejött ütközésekkel valósul meg, amely nem jár együtt a közeg elmozdulásával. A hőkonvekció mindig anyagáramláshoz, hőszállító közeg mozgásához kötött. Hősugárzásnál a termikus energia elektromágneses hullámok formájában terjed. A földkéregben és a litoszférában a jellemző hőterjedési forma a hővezetés, de felszín alatti víz- és gázáramlások, ill. magmaáramlások esetén konvekció is létrejön. A köpeny asztenoszféra részében a konvekció a domináns hőterjedési forma, amelyet a geológiai időtávban viszkózus folyadékként viselkedő szilárd kőzetek szállítanak. A külső mag folyadékállapotú fémolvadékainál a konvekció mellett a magas hőmérséklet miatt talán már a hősugárzás is jelentős. A földfelszínen és a felszínközeli rétegekbe a Nap hősugarai exponenciálisan csillapodó harmonikus elektromágneses sugárzás formájában hatolna be. 6
1.3. A földi hőáram Mivel a hőmérsékletkülönbség a Föld felszíne és a középpontja között mintegy 5000 C, ezért a Föld belső energiájának árama indul meg a felszín felé, amit földi hőáramnak, pontosabban hőáram-sűrűségnek (hőfluxusnak) nevezünk. Ez a hőáram a Föld különböző felszíni pontjain igen változatos értéket mutat, mivel a Föld szerkezeti felépítése nem csak mélység szerint, de laterálisan is igen változatos. A hőáram felszíni eloszlása függ a geotektonikai helyzettől és a földkérget alkotó kőzetek hővezetési tényezőjétől (Szőnyi, 2006). A hőáram korrelációt mutat a különféle geológiai területekkel, más-más területhez más-más jellemző értékek tartoznak. 1. sz. ábra: A Föld vertikális hőmérséklet eloszlása (Clauser, 2008) Tektonikailag nyugodt, ősi pajzsterületeken vagy óceáni medencékben alacsony hőáram értékeket mérhetünk, melyek szórása is kicsi, ám tektonikailag jelenleg is aktív területeken (orogén övek, szubdukciós zónák, óceánközépi hátságok, vulkanikus területek, gyorsan süllyedő kontinentális üledékgyűjtő medencék) magas hőáram mérhető, melyek szórása is nagy (Völgyesi, 2002). 7
A kontinentális területek átlag hőáram-sűrűsége 65 mw/m 2, az óceáni medencéké 101 mw/m 2, az óceáni hátságok és aktív mezozóos, ill. kainozóos orogén területeké 200mW/m 2 (Pethő, 2008). Magyarország területe alatt a litoszféra és a kéreg kifejezetten vékony, és a Pannon-medencét kitöltő agyagos, homokos üledékek rossz hővezetési tényezője miatt a geotermikus gradiens magas (átlagosan 50 C/km), emiatt a földi hőáram-sűrűség maximuma eléri a 90 120 mw/m 2 -es értéket, de a jellemző értékek is magasabbak a kontinentális átlagnál 80 110 mw/m 2 (Szőnyi, 2006). 1.4. Hőterjedés matematikai megfogalmazása A Föld kőzetrétegeinek (öveinek) termikus inhomogenitása miatt a belső energia árama indul meg. Termikus egyensúly hiányában mechanikai egyensúlyról sem beszélhetünk, ezért geológiai idők alatt a konduktív hőáram mellett, makroszkopikus anyagmozgással járó konvektív hőáram is kialakul. E mozgásból származó jelenségek összességét nevezzük lemeztektonikának. Konvekció nem csak bolygóléptékben alakul ki, hanem a megfelelő vertikális kiterjedésű vízvezető kőzettestekben, kőzetrétegekben is, erről később részletesebben is írok. A Föld belsejében lezajló hőterjedési folyamatokat a belső energia mérlegegyenlete írja le. A belső energia mérlegegyenletét úgy kapjuk meg, hogy az energia-megmaradás mérlegegyenletét írjuk fel egy a környezetével termikus és mechanikai kölcsönhatásban álló testre, majd abból kivonjuk a kinetikus energiamérleget. Feltesszük, hogy a kontinuum bármely elemi térfogata termikus egyensúlyban van (Bobok és Navratil, 1993), ekkor: 2 d v r r r r r r r + u ρ dv = ρ g v dv + v F da q da (2) dt V 2 V (A) (A) Ez az energia-megmaradás törvényének integrális alakja. Az egyenlet azt fejezi ki, hogy a kinetikus és a belső energia időegység alatti megváltozása egyenlő a felületi és a tömegerők teljesítményével, illetve a közölt hőteljesítménnyel. Ahol: v a sebességvektor, u a fajlagos belső energia, g a tömegerők eredője, F a feszültségtenzor, q a hőáram-sűrűség vektor, ρ a közeg sűrűsége. 8
Az energia-megmaradás törvényét differenciális alakban felírva (Bobok és Navratil, 1993): 2 2 v v r r r r rr u div ρ u v F v + q = ρgv t + 2 + + 2 (3) Ahol, az első tag a kinetikus és a belső energia lokális megváltozását, a második tag a konvektív és a konduktív áramokat jelenti, amelyek egyensúlyt tartanak a jobb oldalon lévő energiaforrással, azaz a külső erőtér tömegerőinek teljesítményével. A kinetikus energiamérleg differenciális alakját az alábbi módon írhatjuk fel (Bobok és Navratil, 1993): 2 v ρ t 2 2 v + div ρ 2 r r r rr r r v F v = ρgv F : v (4) Ahol, az első tag a kinetikus energia lokális megváltozását, a második tag a konvektív és konduktív áramokat jelenti. A jobb oldalon a tömegerők teljesítményének és a kinetikus energiaveszteségnek az eredője látható. A kinetikus energia egy része nem-mechanikai energiafajtává, súrlódás útján belső energiává alakul (-F : v ). Ezek után felírható (3) és (4) egyenletek különbségeként a belső energia mérlegegyenlete (Bobok és Navratil, 1993): ( ρu) t + div r r r r ( ρuv + q) = F : v Ahol, az első tag a belső energia lokális megváltozását, a második tag a konvektív és konduktív hőáram lokális megváltozását jelenti, a jobb oldalon pedig, a belső energia forrását találjuk. (5) Ha elvonatkoztatunk a geológiai időtávtól, és a mérnöki létesítmények élettartama szerint vizsgáljuk a kőzeteket, akkor azt látjuk, hogy a kőzetek folyása, deformációja gyakorlatilag zérus (azaz mechanikai egyensúlyban vannak), emiatt a belső energia konvektív árama elhanyagolgató. Így a súrlódási hővé (belső energiává) átalakuló mechanikai teljesítmény is jelentéktelen. Ugyanakkor létezhet a belső energiának egy nem-mechanikai forrása is, mint pl. radioaktív bomlás-, vagy a szén- és érctelepek oxidációs hője, amit térfogati hőforrásként (q 0 ) vehetünk figyelembe. A belső energia mérlegegyenletét, térfogati hőforrást tartalmazó, rövid időtávot tekintve mechanikai nyugalomban lévő szilárd testre (pl. a kontinentális kéreg gránitos aljzatára) az alábbi módon írhatjuk fel (Bobok és Navratil, 1993): 9
( ρu) t r + divq = Egy talajszonda geofizikai, hidrodinamikai és TRT adatokon alapuló modellezése q 0 (6) 1.4.1. Hőterjedés a földkéreg rétegeiben Tekintve, hogy dolgozatomban a földhőszondák analitikus modellezésével fogok foglakozni, és az általam megjelölt vizsgálati mélység a 0 140 m-es intervallumba esik, ezért az e mélységben települő, pleisztocén korú, agyagos-homokos üledékek miatt a térfogati hőforrást elhagyom. ( ρu) t r + divq = 0 Szilárd testekre, összenyomhatatlan folyadékokra és ideális gázokra a fajlagos belső energia az u = c v T (8) kifejezéssel adható meg, ahol c v a közeg állandó térfogaton vett fajhője, T a hőmérséklete. A hőkiegyenlítődés mértékét a Fourier I. egyenlettel jellemezzük (Pethő, 2008): q = - λ gradt. (9) Ez az egyenlet a hővezetés alaptörvénye, ahol q a hőáram-sűrűség (1s alatt 1m 2 -nyi felületen átáramló hőmennyiség [J]-ban), ami egyenesen arányos a gradt hőmérsékleti gradienssel (hosszegységre jutó hőmérsékletváltozás mértéke). A földkéreg vertikális irányú hőmérsékletváltozására jellemző mennyiség a geotermikus gradiens. Az egyenletben a negatív előjelet a hő terjedési iránya indokolja, ugyanis, a lefelé mutató pozitív mélységtengellyel épp ellentétesen a hőterjedés a felszín felé irányul (Pethő, 2008). Az arányossági tényező a λ hővezetési tényező (fajlagos hővezető-képesség), amely homogén, izotróp közeg esetén egy skalár szám. (7) Kitüntetett szerkezeti irányítottságot (pl. metamorf kőzeteknél), palásságot, mikrorétegzettséget (üledékek), stb. mutató kőzetek hővezetési tényezője a helykoordinátáktól függően változik. A hővezetési tényező inhomogén térbeli eloszlását anizotrópiának nevezzük, ilyenkor a vezetési tényezőt egy kilenc skalár komponensből álló másodrendű tenzor írja le (Bobok és Navratil, 1993): λ Λ = λ λ 11 12 13 λ λ λ 21 22 23 λ λ λ 31 32 33 10
Kőzetekre jó közelítéssel elfogadható, hogy két főtengely (i és j) által meghatározott sík a rétegződés síkjával párhuzamos, ezért λ 11 = λ 22 = λ װ. Azaz, a rétegződés síkjában fekvő irányok megkülönböztetésének nincs földtani indoka. A harmadik főtengely (k) a rétegződés síkjára merőleges, így λ 33 = λ. Tehát a hővezető-képesség anizotrópiáját a rétegződéssel párhuzamos és az arra merőleges irányokban mért értékek hányadosával jellemezzük: K λ = λ װ / λ (Egerer és Kertész, 1993). A (8) és a (9) egyenleteket a (6) egyenletbe helyettesítve kapjuk a hővezetés differenciál egyenletének legismertebb alakját: T ρ c v = λ divgradt + q 0 = λ T + q 0 (10) t Amennyiben a (8) és (9) egyenleteket a (7) egyenletbe helyettesítjük, azaz a térfogati hőforrást nullának vesszük (q 0 = 0), a Fourier II. egyenletet (vagy diffúziós egyenletet) kapjuk, amely homogén, izotróp közegre a következő alakot ölti: T λ = t ρ c v 2 2 2 T T T T = α + + (11) 2 2 2 x y z Ekkor az anyagjellemzők (λ, ρ, c v ) sem a helykoordináták, sem a hőmérséklet függvényében nem változnak. Az egyenlet a hőmérsékleti viszonyok térbeli és időbeli változását írja le. Ez a hővezetési egyenlet használható a periodikus hőmérsékleti változások (napi, évszakos, éves) mélységbehatolásának vizsgálatakor, vagy ha például felmelegedési, illetve eljegesedési periódusokat vizsgálunk (Pethő, 2008). Ha ismert a rétegekben a hőmérséklet-eloszlás a t = 0 időpillanatban (kezdeti feltétel), továbbá a talaj határfelületén a környezettel való hőcsere mértéke (határfeltétel), akkor ennek az egyenletnek a megoldása szolgáltatja a hőmérsékleteloszlást bármely későbbi időpillanatban. Az egyenletben c v a térfogati fajhő (az a hőmennyiség, amely 1kg tömegű test hőmérsékletét 1 C-kal változtatja meg), ρ a közeg sűrűsége, λ a közeg hővezetési tényezője, T a hőmérséklet, z a mélységkoordináta, a Laplace-operátor (= 2, a Nabla-operátor), α = λ/(ρc v ) a hődiffúzivitás. A hőmérséklet időbeli és térbeli változásaira, a hőmérséklet-kiegyenlítődés gyorsaságára a hőmérsékletvezetési tényező (hődiffúzivitás) a mértékadó mennyiség, nem pedig a hővezetési tényező (Tóth, 2008). Mint azt később, a TRT mérés Kelvin vonalforrás elméletével való kiértékelésekor is, látni fogjuk, a hődiffúzivitás a tranziens, míg a hővezetési tényező a stacionárius hőátviteli folyamatokat jellemzi. 11
A stacionárius (időben állandósult) hővezetés differenciálegyenleteit az alábbi esetekre írhatjuk fel (Tóth, 2008): - van hőforrás, de nincs időbeli hőmérsékletváltozás (Poisson-egyenlet): T = -q 0 /λ (12) - se hőforrás, se időbeli hőmérsékletváltozás sincs (Laplace-egyenlet): T = divgradt = 0 (13) - a Laplace-egyenlet egydimenziós esetben: d 2 T/dz 2 = 0 (14) Ezzel el is érkeztünk a homogén, izotróp, párhuzamos síklapokkal határolt, vízszintes étegekből felépülő üledékes összletben kialakuló 1D-s, időben állandó hővezetéshez. Az N számú, T i hőmérsékletű, L i vastagságú és λ i hővezetési tényezőjű rétegekben kialakuló földi hőáram-sűrűséget, az alábbi egyenlet adja meg (Bobok és Navratil, 1993, Steger és társai, 1995): T0 TN q = N (15) Li λ i= 1 i ahol, T 0 a külső környezeti (felszíni) hőmérséklet. Mint látható, tiszta hővezetés esetén a rétegekben a hőmérséklet lineáris eloszlású. Ez Fourier I. egyenletének megoldása többrétegű síkfalra. Mint azt a 1.2. fejezet bevezetőjében említettem, a geotermikus mérnöki gyakorlatban összetett hővezetési feladatok kell megoldani. Ilyen például az az eset, amikor egy porózuspermeábilis rétegben víz áramlik. Ekkor a kondukció mellett konvekció is kialakul, amit együttesen advekciónak nevezünk. Erre az esetre vonatkozik a Fourier Kirchhoff egyenlet: T λ = t ρ c v r T + v gradt (16) Szintén erre az esetre írta fel Bartels, Kühn és Clauser az alábbi egyenleteket (Clauser és társai, 2003). Az advekív hőtranszport egyenlet meghatározásához figyelembe kell venni az ellenőrző térfogat (dv) hőtartalmának változását egy dt idő alatt. Az energia-megmaradás egyenletének integrális alakja ekkor, az alábbi formában írható fel: Q t t ( ρct) dv = ( λ T ρf cf Tv) ndf dv = + V V F r r V HdV (17) 12
13 Ahol, a baloldalon a hőtartalom időbeli változása áll, a jobb oldalon a felületi integrál alatt a hődiffúzió és a hőadvekció, a térfogati integrál alatt pedig, a hőtermelés, H a térfogati hőforrás. A λ a hővezetési tenzor, df az ellenőrző térfogat felülete. A (17) egyenlet differenciális alakban: ( ) ( ) H Tv c p T λ T c ρ t t Q f f + = = r (18) Ahol, c f és ρ f a folyadék állandó nyomáson vett fajlagos hőkapacitása és sűrűsége. A kőzet és a folyadék térfogati hőkapacitása (ρc p ) lineáris függvénykapcsolatban van a porozitással (ϕ): ( ) ( ) ( ) m m f f c ρ φ 1 c ρ φ t T T c ρ t + = (19) Ahol c m és ρ m a kőzetmátrix térfogati fajhője és a sűrűsége. Végül a hőtranszport egyenlet advekcióra Descartes koordináta-rendszerben (x, y, z): ( ) ( ) ( ) H c ρ φ 1 c φρ t T Tv c ρ T λ m m f f f f + = r (20) A hőtranszport egyenlet advekcióra hengerkoordináta-rendszerben (r, z): ( ) ( ) H c ρ φ 1 c ρ φ t T v T c ρ r T λ z v T c ρ r T λ r r r 1 m m f f z f f z r f f r + = = + (21) Ahol λ r és λ z a rétegződéssel párhuzamos, ill. rétegződésre merőleges hővezetési tényezőt jelentik, H a térfogati hőforrás. 1.4.2. Hőterjedés a felszínközeli rétegekben A Föld felszínének és felszínközeli rétegeinek hőmérsékletét két hőforrás, a Nap és a földi hőáram szabályozza. A napsugárzás a Föld felszínének adja át hőenergiáját, amely 10000-szer nagyobb, mint az átlagos földi hőáram-sűrűség. Ennek az energiának egy része kisugárzódik a világűrbe, más része hőátadással a légkört melegíti, harmadik része, pedig hővezetés révén a Föld belseje felé terjed. A Föld felszínének hőmérséklete periodikusan változik, amit az alábbi diagram szemléltet:
1. sz. diagram: A földfelszín éves hőmérséklet változása (a szerző saját munkája). A napi középhőmérséklet adatok forrása: http://www.met.hu/eghajlat/eghajlati_adatsorok/. Először az Országos Meteorológiai Szolgálat honlapjáról letöltött, háromévnyi napi középhőmérséklet adatokat (kék görbe) ábrázoltam, majd képeztem az évszakoknak megfelelő hosszúságú, 90 napos mozgó átlagát (piros görbe). Az így kapott szűrt görbére szinuszos trendvonalat illesztettem (sárga görbe), egyenlete a diagramon látható, aminek általános alakja: T(t) = T 0 + A 0 sin(ωt + Φ) (22) ahol: T a hőmérséklet [ C], T 0 a felszíni éves középhőmérséklet [ C], A 0 az évi hőmérsékleti amplitúdó a felszínen [ C]; ω = 2π/t 0 a körfrekvencia [rad/nap], t 0 a periódus hossza [nap], t az idő [nap]; Φ a t = 0 időponthoz (jan. 1.) tartozó fázis [rad]. Goguel szerint a felszíni hőmérsékletváltozás amplitúdója homogén talajszerkezet esetén a mélységgel exponenciálisan csillapodó szinuszfüggvény szerint változtatja a mélyebb zónák hőmérsékletét, melyre rátevődik a geotermikus gradiens hatása. Így a hőmérséklet-eloszlás mélység és idő szerint az alábbi kifejezéssel adható meg (Buday, 2010): z ω/2α ( z, t) = T + γz + Ae sin( ωt + φ z ) T T 0 ω/2α φ (23) 14
ahol, T a hőmérséklet [ C], T 0 a felszíni középhőmérséklet [ C]. A 0 az éves hőmérsékleti amplitúdó a felszínen [ C], ω az éves körfrekvencia [rad/nap], ϕ az éves fázis a földfelszínén [rad], γ a geotermikus gradiens [ C /m]. α T az exponenciális csökkenés hődiffúzivitási paramétere [m 2 /s], α ϕ a szinuszos változás hődiffúzivitási (fáziseltolódási) paramétere [m 2 /s]. Átlagos α = 10-6 m 2 /s es hődiffúzivitás értékkel számolva, az alábbi hőmérsékleti görbék rajzolódnak ki Goguel alapján. Mélység [m] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Talajhőmérséklet [ C] 0 5 10 15 20 25 December Január Február Március Április Május Június Július Augusztus Szeptember Október November 2. sz. ábra: Felszínközeli rétegek hőmérsékletének havonkénti alakulása a felszíni hőmérsékletváltozás és a geotermikus gradiens hatására Goguel szerint (a szerző saját munkája). Más modellek nem számolnak a geotermikus gradiens hatásával és a fázisszöggel, ill. nem tesznek különbséget a szinuszos változás és az exponenciális csillapodás hődiffúzivitási paramétere között (Völgyesi, 2002): T(t, z) ω z ω 2α z/d = T0 + A e sin ω t z = T0 + A e sin 2α ( ωt z/d) (24) 15