Geometria II. Síkidomok, testek: A sík feldarabolásával síkidomokat, a tér feldarabolásával testeket kapunk. Törött vonal: A csatlakozó szakaszok törött vonalat alkotnak. DEFNÍCIÓ: (Sokszögvonal) A záródó törött vonalat egyszerű sokszögvonalnak nevezzük, ha a törött vonal minden csúcsához két szakasz csatlakozik, továbbá a szakaszok nem zárnak be egyenesszöget és a szakaszoknak a csúcsokon kívül nincs más közös pontjuk. DEFINÍCIÓ: (Sokszöglap) A síkbeli egyszerű sokszögvonal két síkidomra vágja a síkot, s ezek közül a sokszögvonalon belüli korlátosat sokszöglapnak nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Sokszög) A sokszöglap és sokszögvonal együttesét sokszögnek (poligonnak) nevezzük. A sokszöget határoló szakaszokat a sokszög oldalainak nevezzük. A sokszögön belül a nem szomszédos csúcsokat összekötő szakaszokat átlóknak nevezzük. Az n oldalú sokszögnek n csúcsa és n belső szöge van. A sokszöget határoló törött vonal hosszát a sokszög kerületének nevezzük. Az egyenesszög és a sokszög belső szöge közötti különbségét a sokszög külső szögének nevezzük. Jelöléssel: konvex α esetén α = 180 α, konkáv α esetén α = α 180. DEFINÍCIÓ: (Konvex alakzat) Egy síkbeli alakzatot konvexnek nevezünk, ha bármely két pontjával együtt a két pontot összekötő szakasz pontjai is az alakzathoz tartoznak. DEFINÍCIÓ: (Konkáv alakzat) Egy síkbeli alakzatot konkávnak nevezünk, ha nem konvex, azaz van olyan az alakzat két pontját összekötő szakasz, amely nem tartozik teljes egészében az alakzathoz. 1
Egy konvex sokszög bármely egyenes vágással 2 darabra esik szét. Egy konvex sokszög minden szöge kisebb az egyenesszögnél. DEFINÍCIÓ: (Szabályos sokszög) Egy sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala egyenlő hosszúságú és minden szöge egyenlő nagyságú. Minden szabályos sokszögnek van beírt és köré írt köre, melyek középpontja a szimmetriatengelyek metszéspontja. Minden szabályos n - szög felbontható n darab egybevágó egyenlő szárú háromszgre, melyek szárszöge 360 n. Minden szabályos sokszög külső szögének nagysága 360 n. Egy n oldalú konvex sokszög átlóinak száma n (n 3) 2. Egy n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n 2) 180. Egy n oldalú konvex sokszög külső szögeinek összege 360. Egy n oldalú szabályos sokszög belső szögének nagysága (n 2) 180 n. 2
Háromszögek DEFINÍCIÓ: (Háromszög) Az olyan sokszöget, amelynek 3 oldala van, háromszögnek nevezzük. Hegyesszögű háromszögben minden szög hegyesszög. Tompaszögű háromszögben 1 tompaszög és 2 hegyesszög található. Derékszögű háromszögben 1 derékszög és 2 hegyesszög található. Derékszögű háromszögben a derékszöget közbezáró két oldalt befogónak nevezzük. Derékszögű háromszögben a derékszöggel szemben fekvő oldalt átfogónak nevezzük. Derékszögű háromszögben az átfogó mindig nagyobb, mint a háromszög befogói. DEFINÍCIÓ: (Egyenlő szárú háromszög) Egy háromszöget egyenlő szárúnak nevezünk, ha van két egyenlő hosszúságú oldala. Az egyenlő szárú háromszög két egyenlő hosszúságú oldalát száraknak nevezzük. Az egyenlő szárú háromszögnek azt az oldalát, amelyen a két egyenlő nagyságú szög fekszik, a háromszög alapjának nevezzük. Az egyenlő szárú háromszögben a szárak által bezárt szöget szárszögnek nevezzük. Az egyenlő szárú háromszög tengelyesen szimmetrikus és a tengely felezi a szárszöget. Az egyenlő szárú háromszögben a tengely merőlegesen felezi az alapot. 3
Egy háromszög pontosan akkor egyenlő szárú háromszög, ha van két egyenlő nagyságú szöge, illetve ha van szimmetria tengelye. DEFINÍCIÓ: (Szabályos háromszög) Szabályos háromszögnek nevezzük az egyenlő oldalú és egyenlő szögű háromszögeket. A szabályos háromszögnek 3 szimmetriatengelye van, melyek magasságvonalak, súlyvonalak, oldalfelező merőlegesek és szögfelezők is egyben. A szabályos háromszög beírt körének középpontja, köré írt körének középpontja, súlypontja és magasságpontja egybeesik, s ez a háromszög középpontja. Az a oldalú szabályos háromszög magassága: m = a 3 2. DEFINÍCIÓ: (Belső szög) A háromszög egy csúcsából kiinduló oldalegyenesei által meghatározott négy szögtartomány közül a háromszöget tartalmazó szögtartományt a háromszög belső szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Külső szög) A háromszög valamely oldala és egy szomszédos oldal meghosszabbítása által bezárt szöget a háromszög külső szögének nevezzük. Jele: α, β, γ. A háromszög belső szögeinek összege 180. Jelöléssel: α + β + γ = 180. A háromszög bármely külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő belső szögek összegével. Jelöléssel: α = β + γ; β = α + γ; γ = α + β. A háromszög külső szögeinek összege 360. Jelölléssel: α + β + γ = 360. A háromszögben egyenlő hosszúságú oldalakkal szemben egyenlő nagyságú szögek fekszenek. 4
A háromszögben a hosszabb oldallal szemben fekvő szöge nagyobb, mint a rövidebb oldallal szemben fekvő szöge. (Háromszög egyenlőtlenség) A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál, azaz bármely oldala nagyobb a másik két oldal különbségénél. Jelöléssel: a > b + c; b > a + c; c > a + b. A háromszög ugyanazon szögének külső és belső szögfelezője merőleges egymásra. (Háromszög - szerkesztés alapesetei) Egy háromszög egyértelműen meghatározott, ha adott 3 oldala 2 oldala és az ezek által közbezárt szög 2 oldala és a 2 oldal közül a nagyobbal szemben fekvő szöge 1 oldala és a rajta fekvő 2 szöge. DEFINÍCIÓ: (Háromszög köré írt köre) Az olyan kört, amely áthalad a háromszög csúcsain a háromszög köré írt körének nevezzük. A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, s ez a metszéspont a háromszög köré írható körének középpontja. 5
A köré írt kör sugara a középpontot a háromszög egy csúcsával összekötő szakasz. Jele: R. A köré írt kör középpontja a háromszög csúcsaitól azonos távolságra van. Hegyesszögű háromszögben a köré írt kör középpontja a háromszögön belülre esik. Tompaszögű háromszögben a köré írt kör középpontja a háromszögön kívülre esik. Derékszögű háromszögben a köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja. DEFINÍCIÓ: (Háromszög beírt köre) Az olyan kört, amely érinti a háromszög oldalait a háromszög beírt körének nevezzük. A háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, s ez a metszéspont a háromszög be írható körének középpontja. A beírt kör sugara a középpontból a háromszög egy oldalára bocsátott merőleges szakasz. Jele: r. A beírt kör középpontja a háromszög oldalaitól azonos távolságra van. A háromszög szögfelezője és a szöggel szemközti oldal felezőmerőlegese a köré írt körön metszik egymást. Derékszögű háromszög átfogója a két befogó összegének és a beírható kör kétszeres sugarának különbségével egyenlő. 6
DEFINÍCIÓ: (Háromszög hozzá írt köre) Az olyan kört, amely a háromszög egyik oldalát és a másik két oldalának meghosszabbítását érinti, a háromszög hozzá írt (mellé írt) körének nevezzük. A háromszög egy belső szögfelezője és a nem mellette fekvő két külső szög szögfelezője egy pontban metszik egymást, s ez a metszéspont a háromszög hozzá írt körének középpontja. 7
A hozzá írt kör sugara a középpontból a háromszög egy oldalegyenesére bocsátott merőleges szakasz. Jele: r a (az a oldalhoz hozzá írt kör sugara); r b ; r c. A hozzá írt kör középpontja a háromszög oldalegyeneseitől azonos távolságra van. A háromszög a, b és c oldalához hozzá írt körének sugara: r a = 2T b+c a r b = 2T a+c b r c = 2T a+b c DEFINÍCIÓ: (Háromszög középvonala) A háromszög két oldalfelező pontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük. A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és hossza annak a fele. A háromszög 3 középvonala a háromszöget 4 egybevágó háromszögre bontja. DEFINÍCIÓ: (Háromszög magasságvonala) A háromszög egy csúcsából a szemközti oldalra bocsátott merőleges egyenest a háromszög egy magasságvonalának nevezzük. Jele: m a ; m b ; m c. DEFINÍCIÓ: (Háromszög magassága) A háromszög magassága a háromszög csúcsa és a szemközti oldalegyenes távolsága. 8
A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, s ezt a pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük. Jele: M. Hegyesszögű háromszögben a magasságpont a háromszögön belülre esik. Tompaszögű háromszögben a magasságpont a háromszögön kívülre esik. Derékszögű háromszögben a magasságpont az átfogóval szemben levő csúcs. Tekintve egy háromszög három csúcsát és a magasságpontját, kiválasztva ezek közül három pontot, olyan háromszöget kapunk, melynek magasságpontja éppen a ki nem választott negyedik pont. Hegyesszögű háromszögben a magasságpont valamely oldalra vonatkozó tükörképe illeszkedik a háromszög köré írt körére. DEFINÍCIÓ: (Háromszög súlyvonala) A háromszög egy csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt a háromszög egy súlyvonalának nevezzük. Jele: s a ; s b ; s c. A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, s ezt a pontot a háromszög súlypontjának nevezzük. Jele: S. 9
A háromszög súlypontja a súlyvonalaknak a csúcsoktól távolabbi harmadolópontja. A háromszög súlyvanala felezi a háromszög területét. DEFINÍCIÓ: (Euler egyenes) A háromszög magasságpontja, súlypontja és a köré írható körének középpontja egy egyenesre esik. Ezt az egyenest a háromszög Euler egyenesének nevezzük. Az S pont az MO szakasz O hoz közelebbi harmadolópontja. DEFINÍCIÓ: (Feuerbach kör) A háromszög oldalfelező pontjai, magasságainak talppontjai, illetve a magasságpont és a csúcsok által meghatározott szakaszok felezőpontjai egy körön vannak. Ezt a kört a háromszög Feuerbach körének nevezzük. A kör középpontja az MO szakasz felezőpontja, sugara pedig a háromszög köré írt kör sugarának a fele. DEFINÍCIÓ: (Simson egyenes) A háromszög köré írt körének bármely pontjából a háromszög oldalaira bocsátott merőlegesek talppontjai egy egyenesre esnek. Ezt az egyenest a körvonal adott pontjához tartozó Simson egyenesének nevezzük. (Pitagorasz tétel) A derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével. Jelöléssel: a 2 + b 2 = c 2 (ahol c a háromszög átfogója). 10
Igaz a tétel megfordítása is: Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. Hegyesszögű háromszögben a két rövidebb oldal négyzetösszege nagyobb, mint a leghosszabb oldal négyzete. Tompaszögű háromszögben a két rövidebb oldal négyzetösszege kisebb, mint a leghosszabb oldal négyzete. (Thalesz tétel) Azon pontok halmaza a síkon, amelyekből a sík egy AB szakasza derékszögben látszik, az AB átmérőjű kör, kivéve az A és B pontot. Az AB szakasz, mint átmérő fölé rajzolt kört az AB szakaszhoz tartozó Thalesz körnek nevezzük. A tétel másképpen megfogalmazva: Ha egy kör átmérőjének végpontjait összekötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. Igaz a tétel megfordítása is: Ha egy szakasz egy adott pontból derékszög alatt látszik, akkor az a pont a szakasz, mint átmérő fölé rajzolt körvonalnak az átmérőre nem illeszkedő pontja. A Thalesz kör belső pontjaiból az AB szakasz 90 - nál nagyobb, míg a körön kívüli pontokból 90 - nál kisebb szögben látszik. 11
Négyszögek DEFINÍCIÓ: (Négyszög) Az olyan sokszöget, melynek 4 oldala van, négyszögnek nevezzük. A négyszög belső, illetve külső szögeinek összege 360. Jelöléssel: α + β + γ + δ = 360 ; α + β + γ + δ = 360. DEFINÍCIÓ: (Trapéz) Az olyan négyszöget, melynek van párhuzamos oldalpárja, trapéznak nevezzük. A trapéz párhuzamos oldalait alapoknak, a másik két oldalát száraknak nevezzük. A trapéz egy száron fekvő szögei kiegészítő szögek. DEFINÍCIÓ: (Húrtrapéz) Az olyan trapézt, amelynek van szimmetriatengelye, húrtrapéznak nevezzük. 12
A húrtrapéz szimmetriatengelye felezi az alapokat. A húrtrapéznak van köré írt köre. A húrtrapéz 2 szára egyenlő hosszúságú. A húrtrapéz azonos alapon fekvő szögei egyenlő nagyságúak. A húrtrapéz szemben fekvő szögei kiegészítő szögek. A húrtrapéz átlói egyenlő hosszúságúak, s a metszéspontra illeszkedik a szimmetriatengely. DEFINÍCIÓ: (Paralelogramma) Az olyan négyszöget, melynek szemközti oldalai párhuzamosak paralelogrammának nevezzük. A paralelogramma szemközti oldalai egyenlő hosszúságúak. A paralelogramma szemközti szögei egyenlő nagyságúak és váltószögek. A paralelogramma szomszédos szögei társszögek és kiegészítő szögek. A paralelogramma átlói felezik egymást, s metszéspontjuk a szimmetria középpont. Minden paralelogramma trapéz. 13
DEDFINÍCIÓ: (Deltoid) Az olyan négyszöget, amelynek két két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú, deltoidnak nevezzük. A deltoid átlói merőlegesek egymásra és egyik felezi a másikat. A deltoid egyik átlója a négyszög szimmetriatengelye, amely 2 szöget felez, s a másik 2 szög pedig egyenlő nagyságú. DEFINÍCIÓ: (Rombusz) Az olyan négyszöget, amelynek minden oldala egyenlő hosszúságú, rombusznak nevezzük. A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást. Minden rombusz paralelogramma, illetve deltoid. 14
DEFINÍCIÓ: (Téglalap) Az olyan négyszöget, amelynek minden szöge egyenlő nagyságú, téglalapnak nevezzük. A téglalap átlói egyenlő hosszúságúak és felezik egymást. Minden téglalap paralelogramma. DEFINÍCIÓ: (Négyzet) Az olyan négyszöget, amelynek minden oldal és minden szöge egyenlő nagyságú, négyzetnek nevezzük. A négyzet átlói egyenlő hosszúságúak és merőlegesen felezik egymást. Minden négyzet téglalap, illetve deltoid. Minden középpontosan szimmetrikus négyszög paralelogramma. 15
DEFINÍCIÓ: (Paralelogramma középvonala) A paralelogramma 2 szemközti oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a paralelogramma középvonálnak nevezzük. A paralelogramma középvonala párhuzamos a paralelogramma nem felezett oldalaival és hossza a nem felezett oldalak hosszával egyenlő. DEFNÍCIÓ: (Trapéz középvonala) A trapéz szárainak felezőpontjait összekötő szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük. A trapéz középvonala párhuzamos a trapéz alapjaival és hossza az alapok hosszának számtani közepe. Jelöléssel: k = a+c 2. Minden négyszögnek két középvonala van. Síkidom területe: A síkbeli alakzat területe olyan valós szám, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: minden sokszög területe pozitív szám az egymással egybevágó sokszögek területe egyenlő ha egy sokszöget 2 részre bontunk, akkor a 2 rész területének összege egyenlő az eredetiével az 1 oldalú négyzet területe 1. 16
Négyszögek területképlete: Ha egy síkidomot feldarabolunk, akkor a darabok területének összege megegyezik az eredeti síkidom területével. A speciális négyszögek területét visszavezethetjük téglalapokra. Négyzet: T = a 2 Téglalap: T = a b Paralelogramma: T = a m a = b m b. Deltoid: T = e f 2 Rombusz: T = a m a = e f 2 Trapéz: T = a+c 2 m = k m 17
Háromszög területképletei: (s a kerület fele, R a köré írt kör sugara, r a beírt kör sugara) T = a m a 2 T = abc 4R T = r s = b m b 2 = c m c 2 T = s (s a) (s b) (s c) Heron - képlet Tetszőleges sokszög területét megkapjuk, ha a sokszöget háromszögekre daraboljuk. Kör és részei DEFINÍCIÓ: (Kör) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott O pontjától adott r távolságra vannak, egy kört (körvonalat) határoznak meg. Az O pontot a kör középpontjának, az r távolságot a kör sugarának nevezzük. Ha a körbe és a kör köré szabályos sokszögeket írunk és ezek oldalszámát növeljük, akkor a beírt sokszögek területe és a köré írt sokszögek területe egyetlen számot fog közre. Ez a szám a kör területének mértékszáma: π 3,14. A π az egység sugarú kör területe. Ezt a módszert kétoldali közelítésnek nevezzük. A kör kerülete: K = 2rπ. A kör területe: T = r 2 π. DEFINÍCIÓ: (Zárt körlap) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott O pontjától adott r távolságnál nem nagyobb távolságra vannak, egy zárt körlapot határoznak meg. DEFINÍCIÓ: (Nyílt körlap) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott O pontjától adott r távolságnál kisebb távolságra vannak, egy nyílt körlapot határoznak meg. 18
DEFINÍCIÓ: (Koncentrikus körök) Két kört koncentrikusnak nevezünk, ha középpontjaik egybeesnek. DEFINÍCIÓ: (Körív) A körvonal két pontja közé eső részét körívnek nevezzük. Minden körívhez tartozik egy α = AOB középponti szög, ahol az A, B pontok a körív végpontjai. Egy α középponti szöghöz tartozó körív hossza: i α = 2rπ α 360. DEFINÍCIÓ: (Húr) A kör 2 pontját összekötő szakaszt a kör húrjának nevezzük. Ha a húr illeszkedik a kör középpontjára, akkor azt a kör átmérőjének nevezzük, s ennek hossza a sugár kétszerese. DEFINÍCIÓ: (Szelő) A kör 2 pontjára illeszkedő egyenest a kör szelőjének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Érintő) Azt az egyenest, amelynek pontosan 1 közös pontja van a körrel, a kör érintőjének nevezzük. Egy körhöz egy külső pontból két érintő húzható. A kör minden húrjának felező merőlegese illeszkedik a kör középpontjára. Ha 2 kör érinti egymást, akkor a két kör középpontja és az érintési pont egy egyenesen van. Egy kör minden egyes pontjába pontosan egy érintő húzható és az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre. 19
DEFINÍCIÓ: (Körgyűrű) A körgyűrű olyan síkidom, amelyet a koncentrikus r, illetve R sugarú körvonalak határolnak, ahol r < R. DEFINÍCIÓ: (Körgyűrű cikk) Egy középponti szögnek és a körgyűrűnek a közös részét körgyűrűcikknek nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Körcikk) A körcikk olyan síkidom, amelyet a körvonal egy íve és a kör két sugara határol. DEFINÍCIÓ: (Körszelet) A körszelet olyan síkidom, amelyet a körvonal egy íve és a kör egy húrja határol. 20
DEFINÍCIÓ: (Érintőszakasz) Az érintőnek az adott ponttól az érintési pontig terjedő szakaszát érintőszakasznak nevezzük. Egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. A kör részeinek területe: Kör gyűrű területe: T = R 2 π r 2 π. Körgyűrű cikk területe: T = R 2 π α 360 r2 α π ; T = i R + i r m = ρ m 360 2 (i R ; i r a hatáéroló ívek hossza, m a szélesség, ρ a körgyűrű középvonala) Körcikk területe: T = r 2 π α 360 = r i 2 Körszelet területe: T = T körcikk T háromszög, vagy T = T körcikk + T háromszög. 21