Térgeometria II. 1. Hány részre osztja a teret a kocka lapjainak 6 síkja? Tekintsük a következő ábrát: Oldalnézetből a következő látjuk: Ezek alapján a teret 3 9 = 27 részre osztja fel a kocka lapsíkjai. 2. Hány átlóssíkja van egy kockának? Átlóssíknak nevezzük azt a síkot, amely illeszkedik a kocka négy csúcsára, de lapjára nem. Minden párhuzamos lappárhoz 2 átlóssík tartozik. Ezek alapján összesen 3 2 = 6 átlóssíkja van a kockának. 1
3. Mekkora az a = 12, 6 cm élű kocka testátlója és felszíne? Tekintsük a következő ábrát: A kocka felszínét kiszámíthatjuk a megfelelő képlet segítségével: A = 6 a 2 = 6 12,6 2 = 952,56 cm 2. A derékszögű ABC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a kocka lapátlóját: 12,6 2 + 12,6 2 = AC 2 AC 17,82 cm A derékszögű ACG - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a kocka testátlóját: 12,6 2 + 17,82 2 = AG 2 AG 21,82 cm Általános képletet használva is megkaphatjuk a megoldásokat: A kocka lapátlója: AC = 2 a = 12,6 2 17,82 cm A kocka testátlója: AG = 3 a = 12,6 3 21,82 cm 4. Mekkora a térfogata a 32 kg os ólom kockának, ha az ólom sűrűsége 11, 35 A kocka térfogatát kiszámíthatjuk a tömeg segítségével: 32 = V 11,35 V 2,82 dm 3 2 kg dm 3?
5. Mekkora a térfogata annak a kockának, amelynek felszíne 73, 5 cm 2? Számítsuk ki a kocka élét a felszín segítségével: 73,5 = 6 a 2 a = 3,5 cm Ezek alapján a kocka térfogata: V = 3,5 3 = 42,875 cm 3. 6. Mekkora a kocka átlós síkmetszetének területe, ha éle 24, 6 cm? Tekintsük a következő ábrát: A kocka átlós síkmetszete egy téglalap, melynek egyik oldala a kocka éle, a másik pedig a kocka lapátlója. A derékszögű ABC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a kocka lapátlóját: 24,6 2 + 24,6 2 = AC 2 AC 34,79 cm Ezek alapján az átlós síkmetszet területe: T = 24,6 34,79 855,83 cm 2. 7. Határozd meg a kocka élét, lapátlóját, testátlóját, felszínét és térfogatát, ha átlós síkmetszetének területe 250 cm 2! Az átlós síkmetszet területének segítségével számítsuk ki a kocka élét: 250 = a a 2 a 13,3 cm 3
A kocka lapátlója: x = 13,3 2 18,8 cm. A kocka testátlója: y = 13,3 3 23,04 cm. A kocka felszíne: A = 6 13,3 2 = 1061,34 cm 2. A kocka térfogata: V = 13,3 3 = 2352,637 cm 3. 8. Egy kocka éle 2 m rel hosszabb, mint egy másiké. Térfogatuk különbsége 26 m 3. Mekkorák az élek? Legyenek a kockák élei: a és a + 2. A térfogatok segítségével írjuk fel a következő egyenletet: (a + 2) 3 a 3 = 26. Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: a 2 + 2a 3 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai a 1 = 1 és a 2 = 3. Az a 2 nem felel meg a feladat szövegének. Ezek alapján az egyik kocka éle 1 m, a másik kocka éle 3 m hosszúságú. 9. Egy zárt, kocka alakú láda falvastagsága mindenütt 2 cm, külső élhossza 1 m, kg anyagának sűrűsége 0, 8 dm3. Mekkora a tömege? Legfeljebb mennyi lehet a rakománya, hogy vízben el ne süllyedjen? Először számítsuk ki a belső kocka élét: b = 100 2 2 = 96 cm. Számítsuk ki a láda térfogatát: V = 100 3 96 3 = 115 264 cm 3 = 115,264 dm 3. Ezek alapján a láda tömege: m = 115,264 0,8 92,29 kg. A láda akkor merül el, ha a bemerülő rész térfogatának megfelelő víz tömege akkora, mint a láda teljes tömege. Mivel a víz sűrűsége 1000 kg m 3, a láda térfogata pedig 1 m3, így a láda térfogatának megfelelő víz tömege: m = 1000 kg. Ezek alapján a teher tömege legfeljebb 1000 92,29 = 907,71 kg lehet. 4
10. Egy téglatest élei a = 4, 2 dm, b = 3, 6 dm, c = 2, 8 dm. Mekkora a testátlója, a felszíne és a térfogata? Tekintsük a következő ábrát: A téglatest felszínét kiszámíthatjuk a megfelelő képlet segítségével: A = 2 (a b + b c + a c) = 2 (4,2 3,6 + 3,6 2,8 + 4,2 2,8) = 73,92 dm 2. A téglatest térfogatát kiszámíthatjuk a megfelelő képlet segítségével: V = a b c = 4,2 3,6 2,8 = 42,336 dm 3. A derékszögű DAB - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a téglatest lapátlóját: 4,2 2 + 3,6 2 = BD 2 BD 5,53 dm A derékszögű HDB - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a téglatest testátlóját: 2,8 2 + 5,53 2 = BH 2 BH 6,2 dm Általános képletet használva is megkaphatjuk a testátlót: y = a 2 + b 2 + c 2 = 4,2 2 + 3,6 2 + 2,8 2 = 6,2 dm. 5
11. Egy öntött vasból készült téglatest tömege 100 kg, éleinek aránya 1: 2: 3. Mekkorák az élei, ha sűrűsége 7, 5 kg dm 3? A tömeg segítségével számítsuk ki a téglatest térfogatát: 100 = V 7,5 V 13,33 dm 3 Az arányoknak megfelelően felírhatjuk a következőket: a = x, b = 2x és c = 3x. A térfogat segítségével számítsuk ki az x értékét: 13,33 = x 2x 3x x 1,3 dm Ezek alapján a téglatest élei: a = 1,3 dm, b = 2,6 dm és c = 3,9 dm. 12. Hány darab kisméretű tégla vethető 1 m 3 agyagból, ha a kiégetett tégla mérete 25 cm 12 cm 6, 5 cm, és az agyag térfogatvesztesége az égetéskor 2 %? Először számítsuk ki egy kisméretű tégla térfogatát: V t = 25 12 6,5 = 1950 cm 3. A felhasználható agyag égetés utáni térfogata: V a = 1 0,98 = 0,98 m 3 = 980 000 cm 3. Ebből a következőképpen számíthatjuk ki a megoldást: 980 000: 1950 502,56. Ezek alapján 502 darab tégla készíthető. 13. Hány kg égetett mészből készíthetünk annyi oltott meszet, amennyivel egy 3, 5 m hosszú, 2, 5 m széles, 2 m mély meszesgödör megtelik? (1 m 3 oltott mész készítéséhez 400 kg égetett mészre van szükség.) Először számítsuk ki a meszesgödör térfogatát: V = 3,5 2,5 2 = 17,5 m 3. Ebből a következőképpen számíthatjuk ki a megoldást: 17,5 400 = 7000. Ezek alapján 7000 kg égetett mész szükséges a gödör megtöltéséhez. 6
14. Egy négyzetes oszlop két szemben fekvő oldalélén átmenő síkmetszete négyzet, amelynek területe 283 cm 2. Mekkora a térfogata? Tekintsük a következő ábrát: A síkmetszet területének segítségével számítsuk ki az oszlop oldalélét: BF 2 = 283 BF 16,82 cm A derékszögű DAB - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki az alaplap élét: a 2 + a 2 = 16,82 2 a 11,89 cm Ezek alapján az oszlop térfogata: V = 11,89 11,89 16,82 2377,88 cm 3. 15. Egy négyzetes oszlop térfogata 627, 4 cm 3. A két szemben fekvő oldalélén átmenő síkmetszet területe 116, 8 cm 2. Mekkorák az élei? A síkmetszet területének segítségével számítsuk ki az a b értékét: 116,8 = a 2 b a b 82,59 A térfogat segítségével számítsuk ki az alaplap élét: 627,4 = a a b a 7,6 cm Ebből visszahelyettesítés után adódik a hiányzó él: 82,59 = 7,6 b b 10,87 cm 7
16. Mekkorák a téglatest élei, ha oldallapjainak területe 55 cm 2, 105 cm 2 és 231 cm 2? A területek segítségével írjuk fel a következő egyenleteket: a b = 55 b c = 105 a c = 231 Az első egyenletből fejezzük ki az egyik élt: a = 55 b. Ezt helyettesítsük be a harmadik egyenletbe, s ismét fejezzük ki az egyik élt: b = 55c 231. Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe, s számítsuk ki az adott él hosszát: 55c 231 c = 105 c 21 cm Ebből visszahelyettesítés után adódnak a hiányzó élek: b = 55 21 231 55 = 5 cm a = = 11 cm 5 17. Ha egy téglatest egy egy élét 6 cm rel, illetve 4 cm rel meghosszíbbítjuk, akkor kockát kapunk. A kapott kocka térfogata 2059, 2 cm 3 rel nagyobb a téglatest térfogatánál. Mekkorák az élei? Legyen a kapott kocka éle: a. Ekkor a téglatest élei: a, a 4 és a 6. A térfogatok segítségével írjuk fel a következő egyenletet: a 3 = a (a 4) (a 6) + 2059,2. A rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 5a 2 12a 1029,6 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai a 1 = 15,6 és a 2 13,2. Az a 2 nem felel meg a feladat szövegének. Ezek alapján a téglatest éleinek hossza: 15,6 cm, 11,6 cm és 9,6 cm. 8
18. Egy téglatest két élének aránya a: b = 3: 4. A b élhez illeszkedő átlós metszet 16 m 2 területű négyzet. Mekkora a felszíne és a térfogata? Tekintsük a következő ábrát: Az átlós síkmetszet területe segítségével számítsuk ki a b él hosszát: b 2 = 16 b = 4 m Az arányok segítségével számítsuk ki az a él hosszát: a: 4 = 3: 4 a = 3 m A derékszögű DAB - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a hiányzó él hosszát: 3 2 + c 2 = 4 2 c 2,65 m Ezek alapján kiszámíthatjuk a téglatest felszínét és térfogatát: A = 2 (3 4 + 4 2,65 + 3 2,65) = 61,1 m 2. V = 3 4 2,65 = 31,8 m 3. 19. Egy téglatest felszíne 1400 cm 2, éleinek aránya 2: 3: 4. Mekkorák az élei? Az arányoknak megfelelően felírhatjuk a következőket: a = 2x, b = 3x és c = 4x. A felszín segítségével számítsuk ki az x értékét: 1400 = 2 (2x 3x + 3x 4x + 2x 4x) x 5,19 cm Ezek alapján a téglatest éleinek hossza: a = 10,38 cm, b = 15,57 cm és c = 20,76 cm. 9
20. Egy téglatest éleinek aránya 1: 3: 5. Felszínének és térfogatának mérőszáma megegyezik. Mekkorák az élei? Az arányoknak megfelelően felírhatjuk a következőket: a = x, b = 3x és c = 5x. A felszín és térfogat segítségével számítsuk ki az x értékét: x 3x 5x = 2 (x 3x + 3x 5x + x 5x) x 3,07 Ezek alapján a téglatest éleinek hossza: a = 3,07, b = 9,21 és c = 15,35. 21. Egy paralelepipedon két éle 13 cm és 9 cm, hajlásszögük 48, 6. A harmadik él 25 cm, és a másik kettő által kifeszített síkkal 68, 3 - os szöget zár be. Mekkora a térfogata? Tekintsük a következő ábrát: Számítsuk ki az alaplap területét: T a = a b sin γ = 13 9 sin 48,6 87,76 cm 2. A derékszögű BTF - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a test magasságát: sin 68,3 = M 25 M 23,23 cm Ezek alapján a paralelepipedon térfogata: V = 87,76 23,23 = 2 038,66 cm 3. 10
22. Mekkora a paralelepipedon térfogata, ha két éle 21 cm és 28 cm, a közbezárt szögük 53 24 15, és a testmagasság 32 cm? A számítások előtt váltsuk át a szögpercet fokká: γ = 53 24 15 53,4. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 21 28 sin 53,4 472,06 cm 2. Ezek alapján a paralelepipedon térfogata: V = 472,06 32 = 15 105,92 cm 3. 23. Egy szabályos nyolcszög alapú egyenes hasáb alapéle 3, 4 cm, oldaléle 8, 02 cm. Mekkora a térfogata? Az alaplapot felbonthatjuk 8 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 360 = 45. Tekintsük ezek közül a következőt: 8 A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű ATO - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a magasságát: tg 22,5 = 1,7 TO TO 4,1 cm Számítsuk ki a háromszög területét: T = 3,4 4,1 2 = 6,97 cm 2. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 8 T = 8 6,97 = 55,76 cm 2. Ezek alapján a hasáb térfogata: V = 55,76 8,02 447,2 cm 3. 11
24. Egy 82 cm magasságú háromoldalú hasáb alapéleinek hossza 33 cm, 42 cm, illetve 54 cm. Mekkora a felszíne és a térfogata? Számítsuk ki az alaplap kerületét: K = 33 + 42 + 54 = 129 cm. A kerület segítségével számítsuk ki az alaplap területét: T a = 64,5 (64,5 33) (64,5 42) (64,5 54) 692,82 cm 2 Számítsuk ki az oldallapok (téglalapok) területeit: T 1 = 33 82 = 2 706 cm 2 T 2 = 42 82 = 3 444 cm 2 T 3 = 54 82 = 4 428 cm 2 Számítsuk ki a hasáb palástjának területét: T p = T 1 + T 2 + T 3 = 2 706 + 3 444 + 4 428 = 10 578 cm 2. Ezek alapján kiszámíthatjuk a hasáb felszínét és térfogatát: A = 2 692,82 + 10 578 = 11 963,64 cm 2 V = 692,82 82 = 56 811,24 cm 3 25. Egy egyenes hasáb valamennyi éle egyenlő hosszú. Az alaplap 5 cm élű, 63 szögű rombusz. Mekkora a felszíne és a térfogata? Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 5 5 sin 63 22,28 cm 2. A számítsuk ki az oldallapok (négyzetek) területeit: T 1 = T 2 = T 3 = T 4 = 5 2 = 25 cm 2. Számítsuk ki a hasáb palástjának területét: T p = T 1 + T 2 + T 3 + T 4 = 25 + 25 + 25 + 25 = 100 cm 2. Ezek alapján kiszámíthatjuk a hasáb felszínét és térfogatát: A = 2 22,28 + 100 = 144,56 cm 2 V = 22,28 5 = 111,4 cm 3 12
26. Egy 43 cm magasságú egyenes hasáb alaplapja egyenlő szárú trapéz, amelynek párhuzamos oldalai 21 cm és 16 cm, szárai pedig 9 cm hosszúak. Mekkora a felszíne és a térfogata? Tekintsük a következő ábrát: Az alapok segítségével számítsuk ki az AE szakasz hosszát: AE = 21 16 2 = 2,5 cm. A derékszögű AED - ben Pitagorasz - tétellel számítsuk ki a trapéz magasságát: DE 2 + 2,5 2 = 9 2 DE 8,65 cm A magasság segítségével számítsuk ki a trapéz területét: T a = 16 + 21 2 8,65 = 160,025 cm 2. Számítsuk ki az oldallapok (téglalapok) területeit: T 1 = 21 43 = 903 cm 2 T 2 = 16 43 = 688 cm 2 T 3 = T 4 = 9 43 = 387 cm 2 Számítsuk ki a hasáb palástjának területét: T p = T 1 + T 2 + T 3 + T 4 = 903 + 688 + 387 + 387 = 2 365 cm 2. Ezek alapján kiszámíthatjuk a hasáb felszínét és térfogatát: A = 2 160,025 + 2 365 = 2 685,05 cm 2. V = 160,025 43 = 6 881,075 cm 3. 13
27. Egy 6 m magas vasúti töltés felül 8 m széles. Keresztmetszete olyan húrtrapéz, amelynek szárai 7, 3 m hosszúak. Hány m 3 földmunkát kíván egy 50 m hosszú szakasza? A vasúti töltés olyan hasáb, melynek alapja húrtrapéz. Tekintsük a következő ábrát: A derékszögű AED - ben Pitagorasz - tétellel számítsuk ki az AE szakasz hosszát: AE 2 + 6 2 = 7,3 2 AE 4,16 cm Számítsuk ki a hosszabb alap hosszát: AB = 8 + 2 4,16 = 16,32 cm. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 8 + 16,32 6 = 72,96 cm 2. 2 Ezek alapján a hasáb térfogata: V = 72,96 50 = 3 648 cm 3. 28. Egy hasáb tömege 175, 8 kg, anyagának sűrűsége 0, 3 Mekkora az alapterülete? kg dm 3, magassága 3 dm. A hasáb tömegének segítségével számítsuk ki a térfogatát: 175,8 = V 0,3 V = 586 dm 3 A térfogat segítségével kiszámíthatjuk az alaplap területét: 586 = T a 3 T a 195,33 dm 2 14
29. Egy egyenes hasáb alaplapja egyenlő szárú háromszög, melynek szára 9, 3 dm hosszú, és a csúcsnál levő szöge 37, 8. A hasáb magassága 23, 6 dm. Mekkora a hasáb felszíne és a térfogata? Tekintsük a következő ábrát: A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű ATC - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a következőket: cos 18,9 = AT 9,3 sin 18,9 = BT 9,3 AT 8,8 dm BT 3,01 dm Számítsuk ki a háromszög alapjának hosszát: BC = 2 3,01 = 6,02 dm. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 6,02 8,8 2 = 26,488 dm 2. Számítsuk ki az oldallapok (téglalapok) területeit: T 1 = 6,02 23,6 = 142,072 dm 2 T 2 = T 3 = 9,3 23,6 = 219,48 dm 2 Számítsuk ki a hasáb palástjának területét: T p = T 1 + T 2 + T 3 = 142,072 + 2 219,48 = 581,032 dm 2. Ezek alapján kiszámíthatjuk a hasáb felszínét és térfogatát: A = 2 26,488 + 581,032 = 634,008 dm 2. V = 26,488 23,6 625,12 dm 3. 15
30. Egy 40 dm magas egyenes hasáb alaplapja egy 12 dm sugarú körbe írt szabályos ötszög. Mekkora a felszíne és a térfogata? Az alaplapot felbonthatjuk 5 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 360 = 72. Tekintsük ezek közül a következőt: 5 A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű ATO - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a következőket: sin 36 = BT 12 cos 36 = TO 12 BT 7,05 dm TO 9,71 dm Számítsuk ki a háromszög alapjának hosszát: AB = 2 7,05 = 14,1 dm. Számítsuk ki a háromszög területét: T = 14,1 9,71 2 68,46 dm 2. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 5 T = 5 68,46 = 342,3 dm 2. Számítsuk ki az oldallapok (egybevágó téglalapok) területeit: T o = 14,1 40 = 564 dm 2. Számítsuk ki a hasáb palástjának területét: T p = 5 T o = 5 564 = 2 820 dm 2. Ezek alapján kiszámíthatjuk a hasáb felszínét és térfogatát: A = 2 342,3 + 2820 = 3 504,6 dm 2. V = 342,3 40 = 13 692 dm 3. 16
31. Egy 50 cm magas egyenes hasáb alaplapja egy 15 cm sugarú kör köré írt szabályos nyolcszög. Mekkora a felszíne és a térfogata? Az alaplapot felbonthatjuk 5 egybevágó egyenlőszárú háromszögre, melyek szárszögei 360 = 45. Tekintsük ezek közül a következőt: 8 A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű ATO - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a BT szakasz hosszát: tg 22,5 = BT 15 BT 6,21 cm Számítsuk ki a háromszög alapjának hosszát: AB = 2 6,21 = 12,42 cm Számítsuk ki a háromszög területét: T = 12,42 15 2 = 93,15 cm 2. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 8 T = 8 93,15 = 745,2 cm 2. Számítsuk ki az oldallapok (egybevágó téglalapok) területeit: T o = 12,42 50 = 621 cm 2. Számítsuk ki a hasáb palástjának területét: T p = 8 T o = 8 621 = 4 968 cm 2. Ezek alapján kiszámíthatjuk a hasáb felszínét és térfogatát: A = 2 745,2 + 4 968 = 458,4 cm 2. V = 745,2 50 = 37 260 cm 3. 17
32. Mekkora a háromoldalú ferde hasáb térfogata, ha alapélei 20 dm, 26 dm, 33 dm, az oldalélek hossza 52 dm, és az alaplappal 69, 6 szöget zárnak be? Tekintsük a következő ábrát: Számítsuk ki a háromszög kerületét: K = 20 + 26 + 33 = 79 dm. A kerület segítségével számítsuk ki az alaplap területét: T a = 39,5 (39,5 20) (39,5 26) (39,5 33) 259,98 dm 2. A derékszögű BTE - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a test magasságát: sin 69,6 = M 52 M 48,74 dm Ezek alapján a hasáb térfogata: V = 259,98 48,74 12 671,43 dm 3. 18
33. Egy háromoldalú hasáb alapja egy 3 dm sugarú körbe írt háromszög, melynek szögei 50 7 és 70 13. A hasáb oldaléle 7 dm hosszú, és az alaplappal 60 szöget zár be. Mekkora a térfogata? Tekintsük a következő ábrát: A számítások előtt váltsuk át a szögperceket fokokká: 50 7 50,12 és 70 13 70,22. Számítsuk ki a háromszög harmadik szögét: γ = 180 50,12 70,22 = 59,66. Számítsuk ki a szinusz tétel geometriai alakjával a háromszög két oldalát: 2 3 = BC sin 50,12 2 3 = AC sin 70,22 BC 4,6 dm AC 5,65 dm Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 4,6 5,65 sin 59,66 2 11,22 dm 2. A derékszögű BTE - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a test magasságát: sin 60 = ET 7 ET 6,06 dm Ezek alapján a hasáb térfogata: V = 11,22 6,06 67,99 dm 3. 19
34. Az egyenes körhenger alaplapjának kerülete 20, 33 cm, a magasságnak és az alaplap sugarának különbsége 11, 6 cm. Mekkora a felszíne? Az alaplap kerületének segítségével számítsuk ki a kör sugarát: 20,33 = 2 r π r 3,24 cm Az alaplap sugarának segítségével számítsuk ki a magasságot: M = 11,6 3,24 = 8,36 cm. Számítsuk ki a palást területét: T p = 20,33 8,36 169,96 cm 2. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 3,24 2 π 32,98 cm 2. Ezek alapján a henger felszíne: A = 2 T a + T p = 2 32,98 + 169,96 235,92 cm 2. 35. Egy egyenes körhenger felszíne 1111 cm 2. Az alaplap sugarának és a henger magasságának az összege 26, 8 cm. Mekkora a sugár és a magasság? Fejezzük ki a magasságot a sugár segítségével: r + M = 26,8 M = 26,8 r A felszín segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 1111 = 2 r 2 π + 2 r π (26,8 r) r 6,6 cm Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a henger magasságát: M = 26,8 6,6 = 20,2 cm. 36. A 15 m hosszú pince dongaboltozata egy 5, 6 m átmérőjű félhenger palástja. Mennyi idő alatt készíthető el a belső felület vakolása, ha 1 óra alatt 4, 5 m 2 t lehet bevakolni? A henger sugara: r = 2,8 m. Számítsuk ki a félhenger palástjának területét: T p = 2 2,8 π 15 2 131,95 m 2. Ebből a következőképpen számíthatjuk ki a megoldást: 131,95: 4,5 29,32. Ezek alapján kb. 29,32 óra kell a bevakolásához. 20
37. Egy 26 cm és 33 cm oldalú téglalapot kétféleképpen csavarhatunk hengerré. Hogyan aránylik egymáshoz ennek a két hengernek a térfogata? Először legyen az alapkör kerülete a téglalap rövidebb oldala, a magassága pedig a másik oldal. A kerület segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 26 = 2 r π r 4,14 cm Ezek alapján a henger térfogata: V 1 = 4,14 2 π 33 1 776,91 cm 3. Most legyen az alapkör kerülete a téglalap hosszabb oldala, a magassága pedig a másik oldal. A kerület segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 33 = 2 r π r 5,25 cm Ezek alapján a henger térfogata: V 2 = 5,25 2 π 26 2 251,34 cm 3. A két henger térfogatának aránya: V 1 = 1 776,91 26 0,789. V 2 2 251,34 33 38. Mekkora a kétliteres, henger alakú edény magassága, ha kétszer olyan magas, mint amilyen széles? Fejezzük ki az alapkör sugarát a magasság segítségével: r = 0,25 M. Mivel 2 l = 2 dm 3, így a térfogat segítségével számítsuk ki a henger magasságát: 2 = (0,25 M) 2 π M M 2,17 dm 39. Hány hl víz van egy 1, 6 m széles kútban, ha a víz 3, 2 m magasan áll benne? A kút alapkörének sugara: r = 0,8 m. Számítsuk ki a kút térfogata: V = 0,8 2 π 3,2 6,43 m 3. Ezek alapján a víz mennyisége: 6,43 m 3 = 6430 dm 3 = 6430 l = 64,3 hl. 21
40. Egy malomkő külső és belső sugara 0, 5 m és 0, 1 m, vastagsága 0, 2 m. Mekkora a tömege, ha sűrűsége 2, 5 kg dm 3? Számítsuk ki a külső henger térfogatát: V k = 0,5 2 π 0,2 0,157 m 3. Számítsuk ki a belső henger térfogatát: V b = 0,1 2 π 0,2 0,006 m 3. Számítsuk ki a malomkő térfogatát: V = V k V b = 0,157 0,006 = 0,151 m 3 = 151 dm 3. Ezek alapján a malomkő tömege: m = 151 2,5 = 377,5 kg. 41. Egyenes körhenger térfogata 9 628, 17 cm 3, palástjának felszíne 2 128, 29 cm 2. Mekkora az alaplap sugara és a testmagasság? A palást területének segítségével fejezzük ki a magasságot az alapkör sugarával: 2 128,29 = 2 r π M M = 2 128,29 2 r π A térfogat segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 9 628,17 = r 2 π 2 128,29 2 r π r = 9,04 cm Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a henger magasságát: M 37,47 cm. 42. Egyenes körhenger térfogata 3 280 cm 3, az alaplap sugara és a magasság úgy aránylik egymáshoz, mint 5: 6. Mekkora a henger felszíne? Az arányoknak megfelelően felírhatjuk a következőket: r = 5x és M = 6x. A térfogat segítségével számítsuk ki az x értékét: 3 280 = (5x) 2 π 6x x 1,91 cm Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a henger alapkörének sugarát és magasságát: r = 9,55 cm és M = 11,46 cm. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 9,55 2 π 286,52 cm 2. Számítsuk ki a palást területét: T p = 2 9,55 π 11,46 687,65 cm 2. Ezek alapján a henger felszíne: A = 2 286,52 + 687,65 = 1 260,69 cm 2. 22
43. Egyenes körhenger kiterített palástja egy négyzet, melynek átlója 10 cm. Mekkora a henger térfogata? Számítsuk ki Pitagorasz tétel segítségével palást oldalait: x 2 + x 2 = 10 2 x 7,07 cm A palást oldalai a henger alapkörének kerülete és a henger magassága. Az alapkör kerületének segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 7,07 = 2 r π r 1,13 cm Ezek alapján a henger térfogata: V = 1,13 2 π 7,07 28,36 cm 3. 44. Egyenes körhenger felszíne 4 532, 6 cm 2, a tengelymetszet területe 969, 5 cm 2. Mekkora a térfogata? A tengelymetszet egy téglalap, melynek egyik oldala az alapkör átmérője, a másik pedig a henger magassága. A tengelymetszet segítségével fejezzük ki a magasságot az alapkör sugarával: 969,5 = 2 r M M = 969,5 2 r A felszín segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 4 532,6 = 2 r 2 π + 2 r π 969,5 2 r r 15,38 cm Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a henger magasságát: M 31,52 cm. Ezek alapján a henger térfogata: V = 15,38 2 π 31,52 23 423,34 cm 3. 45. Egyenes körhenger alaplapjának sugara 6 cm, a magassága 11 cm. A tengelyre illeszkedő egymással 40 - os szöget bezáró két félsíkkal kivágunk egy részt. Mekkora a kisebbik rész térfogata? A keletkező testek alaplapja egy körcikk. Számítsuk ki a körcikk területét: T a = 6 2 π 40 360 12,57 cm2. Ezek alapján a keletkező test térfogata: V = 12,57 11 = 138,27 cm 3. 23
46. Egy 80 dm 2 területű, téglalap alakú bádogból csövet akarunk készíteni. A téglalap egyik oldala a másik oldal 5 része. A rövidebb oldal legyen a cső tengelyével 8 párhuzamos. Ráhajtásra 2 cm t szánjunk. Mekkora lesz a cső átmérője és magassága? A téglalap rövidebb oldala a henger magassága, a hosszabb oldala pedig az alapkör kerülete. A téglalap rövidebb oldalát fejezzük ki a hosszabb oldal segítségével: a = 5 8 b. A téglalap területének segítségével számítsuk ki a hosszabb oldalt: 80 = 5 b b b 11,31 dm 8 Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a rövidebb oldalt: a 7,07 dm. Ezek alapján a cső magassága: M = 7,07 dm. A hosszabb oldal (a ráhajtással együtt) segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 2 r π = 9,31 r 1,48 dm Ezek alapján a cső átmérője: d = 2 1,48 = 2,96 dm. 47. Egyenlő oldalú egyenes körhenger palástja 25 m 2. Mekkora a térfogata? (Egyenlő oldalú a hanger, ha ugyanolyan magas, mint amilyen széles.) Fejezzük ki a henger magasságát az alapkör sugarával: M = 2 r. A palást területének segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 25 = 2 r π 2 r r 1,41 m Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a henger magasságát: M = 2,82 m. Ezek alapján a henger térfogata: V = 1,41 2 π 2,82 17,61 m 3. 24
48. Egy óránként 82 hl vizet adó forrás egy 7, 5 m átmérőjű henger alakú medencébe folyik. Mennyit emelkedik a vízszint 4 óra alatt? A medence alapkörének sugara: r = 3,75 m. A vízoszlop térfogata: V = 82 hl = 8200 l = 8200 dm 3 = 8,2 m 3. A térfogat segítségével számítsuk ki a vízoszlop magasságát: 8,2 = 3,75 2 π M M 0,19 m Ezek alapján 4 óra alatt h = 4 0,19 = 0,76 m lesz a víz magassága. 49. Szivattyú dugattyújának átmérője 18 cm, lökethossza 46 cm. Percenként 100 szor szív és nyom. Hatásfoka 0, 9. (A hatásfok a valóságos teljesítmény és az elméletből adódó teljesítmény hányadosa.) Mennyi vízet szállít percenként ez a szivattyú? A dugattyú alapkörének sugara: r = 9 cm. Számítsuk ki egy nyomásnál keletkező víz térfogatát: V = 9 2 π 46 11 705,57 cm 3. Ezek alapján a percenkénti vízszállítás: 11 705,57 100 0,9 = 105 350 1,3 cm 3 1,05 m 3. 50. Mekkora a falvastagsága annak az üreges henger alakú öntöttvas oszlopnak, melynek külső keresztmetszete 90 cm kerületű kör, magassága 3, 6 m, tömege 650 kg, sűrűsége 7, 5 kg dm 3? A tömeg segítségével számítsuk ki az oszlop térfogatát: 650 = V 7,5 V 86,67 dm 3 A kör kerületének segítségével számítsuk ki az oszlop külső körének sugarát: 90 = 2 R π R 14,32 cm = 1,432 dm A térfogat segítségével számítsuk ki az oszlop belső körének sugarát: 86,67 = 1,432 2 π 36 r 2 π 36 r 1,133 dm Ezek alapján az oszlop vastagsága: h = R r = 1,432 1,133 = 0,299 dm = 2,99 cm. 25
51. Erősáramú kábelben 3 darab 6, 6 mm átmérőjű rézdrót van. Kívül 2 mm falvastagságú, 3 cm es belső átmérőjű ólomköpeny veszi körül, amelyen belül a fenn maradó részt szigetelőanyag tölti ki. Mekkora a tömege 1 m kábelnek? (A réz kg sűrűsége 8, 9 dm 3, az ólomé 11, 4 kg dm 3, a szigetelőanyagé pedig 0, 9 kg dm 3.) Tekintsük a következő ábrát: Először számítsuk ki a három rézdrót tömegét. Egy rézdrót sugara: r = 3,3 mm = 0,033 dm. Számítsuk ki egy rézdrót térfogatát: V = 0,033 2 π 10 0,0342 dm 3. Ezek alapján a három rézdrót tömege: m = 3 0,0342 8,9 0,91 kg. Most számítsuk ki az ólomköpeny tömegét. A köpeny belső hengerének sugara 1,5 cm = 0,15 dm, a külső hengerének sugara 0,17 dm. Számítsuk ki a köpeny külső hengerének térfogatát: V k = 0,17 2 π 10 0,9079 dm 3. Számítsuk ki a köpeny belső hengerének térfogatát: V b = 0,15 2 π 10 0,7069 dm 3. Számítsuk ki az ólomköpeny térfogatát: V = V k V b = 0,9079 0,7069 = 0,201 dm 3. Ezek alapján az ólomköpeny tömege: m = 0,201 11,4 2,29 kg. Végül számítsuk ki a szigetelőanyag tömegét. A szigetelőanyag térfogatát megkaphatjuk, ha a kábel térfogatából kivesszük az előzőleg kiszámolt anyagok térfogatát: V = 0,9079 3 0,0342 0,201 = 0,6043 dm 3 Ezek alapján a szigetelőanyag tömege: m = 0,6043 0,9 0,54 kg. Ezek alapján a kábel tömege: m = 0,91 + 2,29 + 0,54 = 3,74 kg. 26
52. Körhenger alakú fekvő kazán belső átmérője 150 cm, hossza 5 m. Mennyi víz van benne, ha a magasságának 4 részéig áll a víz? 5 Tekintsük a következő ábrát: A kazán sugara: r = 75 cm. A víz által keletkező test alaplapja a nagyobb körszelet. Számítsuk ki az AOB magasságát: OT = 150 4 75 = 45 cm. 5 A derékszögű AOT - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a γ 1 = AOT : cos γ 1 = 45 75 γ 1 53,13 Számítsuk ki az AOB szárszögét: γ = AOB = 2 53,13 = 106,26. Számítsuk ki a kazán alapkörének területét: T k = 75 2 π 17 671,46 cm 2. Számítsuk ki az AOB körcikk területét: T cikk = 75 2 π 106,26 360 Számítsuk ki az AOB területét: T = 75 75 sin 106,26 2 2 700 cm 2. 5 216,03 cm 2. A kisebb körszelet területe: T szelet = T cikk T = 5 216,03 2 700 = 2 516,03 cm 2. Ezek alapján az alaplap területe: T a = T k T szelet = 17671,46 2516,03 = 15155,23 cm 2. Ezek alapján a víz mennyisége: V = 15 155,23 500 = 7 577 615 cm 3 = 7 577,615 dm 3 = 7 577,615 l. 27
53. Egy ferde henger alkotója 3, 42 m, az alkotónak az alapsíkkal bezárt szöge 32 16, az alapkör sugara 1, 57 m. Mekkora az alapsíkra merőleges, az alapkör és a fedőkör középpontjait tartalmazó metszet területe? A számítások előtt váltsuk át a szögpercet fokká: 32 16 32,27. A tengely metszet egy paralelogramma, melynek egyik oldala az alapkör átmérője, a másik oldala pedig a henger alkotója. Az alapkör átmérője: d = 3,14 m. Ezek alapján a tengelymetszet területe: T = 3,14 3,42 sin 32,27 5,73 m 2. 54. Egy ferde körhenger alkotói 15 dm hosszúak, az alkotók az alapsíkkal 67 34 szöget zárnak be. Az alaplap kerülete a magasság ötszöröse. Mekkora a henger térfogata? Tekintsük a következő ábrát: A számítások előtt váltsuk át a szögpercet fokká: γ 67,57. A derékszögű BTA - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a henger magasságát: sin 67,57 = AT 15 AT 13,87 dm Az alapkör kerületének segítségével számítsuk ki a kör sugarát: 2 r π = 5 13,87 r 11,04 dm Ezek alapján a henger térfogata: V = 11,04 2 π 13,87 5 310,86 dm 3. 28